[整理]一阶线性非齐次方程解法推倒.
一阶非齐次微分方程的通解公式
一阶非齐次微分方程的通解公式
我们要找出一阶非齐次微分方程的通解公式。
首先，我们需要理解一阶非齐次微分方程的基本形式和它的通解。
一阶非齐次微分方程的一般形式是：
y' = f(x) + g(x)y' = f(x) + g(x)y'=f(x)+g(x)
其中 f(x) 和 g(x) 是已知函数，y 是未知函数。
通解是满足方程的所有可能的 y(x)y(x)y(x)。
为了找到通解，我们通常使用常数变易法。
常数变易法的基本思想是：
1. 先解对应的齐次方程 y' = f(x)y' = f(x)y'=f(x)。
2. 然后将任意常数 C 替换为待求的 y，得到非齐次方程的特解。
3. 最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到非齐次方程的通解。
根据常数变易法，一阶非齐次微分方程的通解公式为：
y = e−∫g(x)dx[∫f(x)e∫g(x)dxdx+C]y = e^{- \int g(x) \, dx} \left[ \int f(x) e^{\int g(x) \, dx} \, dx + C \right]y=e−∫g(x)dxdx∫f(x)e∫g(x)dxdx+C
其中 C 是任意常数。
一阶非齐次线性微分方程
一阶非齐次线性方程的解一阶非齐次线性方程比较两个方程： .)()(x q y x p y =+' ,0)(=+'y x p y 请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。
但差了一点什么东西呢？⎰-=dxx p Ce y )(⎰-=dxx p e x C y )()(行吗?!)()(x q y x p y =+' 则可微且待定函数令,)(,)()(x C ex C y dx x p ⎰=-,)()()())(()()()(⎰⎰⎰----'='='dx x p dx x p dx x p e x C x p e x C e x C y 怎么办？得的表达式代入方程中及将,y y ', )()()()()()()()()(x q x p e x C e x C x p ex C dx x p dx x p dx x p =+-'⎰⎰⎰---故,)()()(x q e x C dx x p ='⎰-即,)()()(⎰='dx x p e x q x C上式两边积分，求出待定函数C dx e x q x C dx x p +=⎰⎰)()()()(为任意常数C通解为得一阶非齐线性方程的中代入,)()(⎰=-dx x p e x C y ,))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-以上的推导过程称为“常数变易法”。
这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。
=+'y x p y )(⎰-=dxx p Ce y )(⎰+=⎰⎰-)C dx e x q e y dx x p dx x p )()()(()()(x q y x p y =+'解 2 12.cos 的通解求方程例x e xy y x =-' ,cos )(,2)(2x e x q x x p x =-=因为所以，方程的通解为)cos ()()( 222C dx xe e ey dx x x dx x +=⎰⎰⎰---)cos ( C 222+=⎰-dx ex e e x x x )cos ( C 2+=⎰xdx e x . 2)sin (C x e x +=解.的通解求方程例 23y x y dx dy +=不是线性方程原方程可以改写为 12,y x y dy dx =-这是一个以y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中12,)(,)(y y q y y p =-=故原方程的通解为)()()( 121⎰+=⎰⎰---C dy e y e x dy y dy y . 213Cy y +==+'y x p y )(⎰-=dxx p Ce y )(⎰+=⎰⎰-) C dx e x q e y dx x p x x p )(d )()(()()(x q y x p y =+'⎰+=⎰⎰-) C dy e y q e x dy y p dy y p )()()(()()(y q x y p x =+'。
(整理)一阶线性非齐次方程解法推倒.
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
一阶线性非齐次微分方程的解法探析
一阶线性非齐次微分方程的解法探析汤维曦【摘要】介绍求解一阶线性非齐次微分方程的积分变换法和积分因子法,有助于解决学生学习“常数变易法”中的存疑；通过对三种解法的辨析,明确各种解法的特点与关系；对同一问题,注重采用一题多解的教学方式,从不同角度、采用不同方法加以探究求解,有利于拓宽学生的解题思路,培养学生灵活解题的能力.【期刊名称】《福建教育学院学报》【年(卷),期】2013(014)001【总页数】3页(P122-124)【关键词】一阶线性非齐次微分方程;通解;常数交易法;积分变换法;积分因子法【作者】汤维曦【作者单位】漳州城市职业学院教师教育系,福建漳州 363000【正文语种】中文【中图分类】O175.1形如y′+p（x）y=q（x）的方程称为一阶线性微分方程.当q（x）=0时，称为一阶线性齐次微分方程；当q（x）≠0时，称为一阶线性非齐次微分方程.对于一阶线性齐次微分方程，用分离变量法可得其通解y=ce-∫p（x）dx（c为任意常数），而对于一阶线性非齐次微分方程，其求通解的方法较多也较复杂.许多高等数学教材仅介绍“常数变易法”，其余方法未予介绍.常数变易法虽然解法较为简洁、巧妙，但在教学过程中学生普遍反映思维突兀、不易理解.为此，教师可向学生多介绍其它几种解法：如积分变换法和积分因子法等，变过去“单向的、线性的”教学模式为“多向的、非线性的”教学模式.对同一问题，注重采用一题多解的教学方式，从不同角度、采用不同方法加以探究求解，不但有助于拓宽学生的解题思路，培养学生灵活解题的能力，激发学生探究问题的热情，同时还可弥补一些高等数学教材中仅介绍“常数变易法”这一种解法的不足.1 常数变易法一阶线性非齐次微分方程与一阶线性齐次微分方程y′+p（x）y=0的差异仅在于方程右边的项 q（x）.y′+p （x）y=0 是可分离变量的微分方程，用分离变量法易得其通解为y=ce-∫p（x）dx（c为任意常数），而方程（1）不能用分离变量法求解，但因其形式与y′+p （x）y=0类似，因此，猜测其通解也应有类似的表达式.于是将方程y′+p（x）y=0的通解y=ce-∫p（x）dx中的任意常数 c 换成待定函数 c（x），假设y=c （x）e-∫p（x）dx 为方程（1）的解.为了确定 c（x），将整理得c′（x）=q（x）e∫p（x）dx两边积分，得 c（x）=∫q（x）e∫p（x）dxdx+c（c 为任意常数）代入 y=c（x）e-∫p（x）dx，即可得到一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q （x）的通解y=e-∫p（x）dx（∫q（x）e∫p（x）dx+c）（c为任意常数）上述“常数变易法”解法，是从给定的非齐次方程所对应的齐次方程的通解出发的，把对应的齐次方程的通解中的常数c变易为待定函数c（x），然后通过确定待定函数c（x）的表达式，进而求出非齐次方程的通解.“常数变易法”无疑是求一阶线性非齐次微分方程通解的重要方法，在一般的微积分或微分方程的教学中所采用的多是常数变易法，在解高阶常微分方程时，这种方法更能发挥作用，体现解法优势，所以教学中最常介绍它，很多教材都采用它.这是一种相当简洁、思维巧妙的解法.但正因其解法过于巧妙，学生普遍反映此种解法思维太突然，不易理解：为什么可以把这个任意常数c变易为待定函数c（x）呢?对此，多数教材中并未给予解释.那么，如何才能解决学生在学习“常数变易法”中存在的疑惑，降低思维难度呢?作为教师，需结合教学经验，改变以往教学中一开始就直接向学生介绍“常数变易法”的教法，采用先介绍积分变换法或积分因子法为过渡，然后再介绍“常数变易法”来解一阶线性非齐次微分方程.2 积分变换法将方程（1）改写成y′=-p（x）y+q（x），注意到未知函数 y 的导数是两个代数式-p（x）y 与 q（x）的和，并联想到求导运算中两个函数之积的导数也是两个代数式的和.受此启发，构造函数其中u和z都是关于x的函数.这样求y关于x的函数关系就转化为分别求u关于x的函数关系和z关于 x的函数关系的问题.将（2）代入（1），得如果此时利用分离变量法来求z关于x的函数关系，我们发现无法把 z从（u′+p （x）u）z单独分离出来.注意到若令u′+p（x）u 等于 0，则应用分离变量法，可求得u=e-∫p（x）dx.则方程（3）简化为z′=q（x）u-1，于是可求得z=∫q（x）u-1dx+c=∫q（x）e∫p（x）dxdx+c.将 u 和 z代入（2），即得方程（1）的通解这一解法过程联系学生熟知的两个函数之积的导数公式，再采用变量代换y=uz，从另一角度探究了求一阶线性非齐次微分方程（1）的通解的方法.此法看起来似乎增加了求解过程的复杂度，但实际上是把一个不能直接分离变量的微分方程转化成了两个可以直接分离变量的微分方程，即用u·ν代换y思维自然，简单明了，更易于学生理解和掌握.3 积分因子法对于解一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）（其中q（x）≠0），按照通常思路，可考虑运用积分求解，但此式明显不能直接积分，其原因在于方程左边y′+p（x）y为两项之和，一般来说这样的和式不是一个完全微分式，不可直接积分，联想我们所熟知的乘积的导数公式：由此得到启示，不妨将（1）式两端同乘以一个适当的函数因子 h（x）（h（x）≠0），可得：比较（4）式的右端与（5）式的左端，可知 h（x）应满足：于是（5）式可以写成（h（x）y）′=h（x）q（x）.积分得现在问题归结为求解齐次方程（6），得出 h（x）.对方程（6）应用分离变量法，得 h（x）=e∫p（x）dx，代入（7），得到所求的一阶线性非齐次微分方程（1）的通解称h（x）为积分因子，故上述求解方法称为“积分因子法”，此种解法，思路清晰，方法自然，学生很容易掌握.在实际教学中，若能按上述方法一步一步对学生加以引导，让学生了解解法特点，定能使学生思维顺畅，更好地理解和掌握求解一阶线性非齐次微分方程的过程.4 三种解法的辨析上述积分变换法与积分因子法的求解过程，可以看出：两种解法有着异曲同工之效，其思维切入点相同，都是始于乘积的导数公式的启示从而找到求解思路的，其求解关键都是将不可分离变量的微分方程转化为可以直接分离变量的微分方程，最终达到求解目的.但两种解法的思考角度不同，求解方法也不同，求解步骤各异，解法各有特点.积分变换法这一种解法，应抓住两个关键：其一，巧妙作出变量代换，令y=uz，以u·ν 代换 y，从而将方程化成uz′+（u′+p（x）u）z=q（x），接下来的思路很明确，即分别将u和z求出；其二，在发现无法把z从（u′+p（x）u）z单独分离出来时，令u′+p（x）u=0，不但使计算可行更使计算简化.而积分因子法的关键在于：将一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）乘以一个积分因子 h（x）（h（x）≠0），把方程变形为（h（x）y）′=h（x）q（x），积分可得h（x）y=∫h（x）q（x）dx+c（c为任意常数），只要再设法求出积分因子h（x）即可.比较常数变易法与积分变换法，不难发现，用常数变易法在求一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）对应的齐次方程y′+p（x）y=0时，其实就是积分变换法中求 u 的微分方程u′+p（x）u=0.求得齐次方程y′+p（x）y=0的解为 y=ce-∫p（x）dx，这其实是积分变换法中的 u 被求出而已，最终答案应该是 y=uz，进一步，y=ze-∫p（x）dx.由此得到启发，只要将齐次方程y′+p（x）y=0的解y=ce-∫p（x）dx中的 c 换成关于 x 的函数 z即可得到非齐次微分方程的解.这里的z就相当于常数变易法中由c“变易”而成的待定函数c（x）.通过对常数变易法的“变易”过程的审视可见，常数变易法实际上是未知量代换的过程，常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的，二者的本质相同.此法在思路上并无多大突破，只是利用积分变换法现成的结论逆推而得.所以，可以说常数变易法是由积分变换法发展而来的.用通俗的话来说，常数变易法是借用积分变换法“走了一条捷径”，只是教材对于“这条捷径从何来”自始至终未加解释，因而导致读者疑惑茫然.经过以上辨析，能使学生明白常数变易法中为什么可以把这个任意常数变易为待定函数的道理，解决学生在学习“常数变易法”中存在的疑惑.5 结论常数变易法显然不是求一阶线性非齐次微分方程的通解的唯一方法，并且学生在初学时往往觉得有一定难度，不易理解，因此，教师可以尝试改变以往教学中一开始就直接向学生介绍“常数变易法”的教法，采取先介绍积分变换法或积分因子法为过渡，然后再介绍常数变易法.这样做，可以降低思维难度，易于学生接受.同时，向学生介绍不同解法，可使学生了解各种解法的特点，拓宽学生的解题思路，使学生在实际应用中能更好地根据自身情况选择合适的方法求解问题.【相关文献】[1]徐荣聪.高等数学[M].厦门：厦门大学出版社，2003：164-165.[2]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].第五版.北京：高等教育出版社，2002.[3]王高雄等.常微分方程[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.[4]赵奎奇.几个特殊类型微分方程的统一方法[J].高等数学研究，2006（2）：30.[5]汪维刚.关于常数变易法求一阶线性非齐次微分方程通解的两点思考[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2012（6）.。
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0,则方程称为齐次的;如果Q x()不恒等于零,则方程称为非齐次的。
a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x(),即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() , '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于就是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之与y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。
解:]23)1([1212dx e x c ey dx x dxx ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式。
以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如()()dyP x y Q x dx+= (1) 的方程称为一阶线性方程、这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上就是连续的、当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程、方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解、 形如()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程、它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解、现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解、 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦ (4) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()nnd F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+= ()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+= (6) 则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7) 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0nndy F x F x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (8) 则它的通解为 ()n Cy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证、 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上就是连续的、 证明 若1n =,方程(12)变为()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程、分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式、若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+= []()()n d F x y y Q x dx =g方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx⎡⎤⎣⎦+=方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=-令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、。
一阶非齐次线性微分方程
一阶非齐次线性微分方程是微积分学中的一个重要分支，包含了很多实际问题的数学建模。
本文旨在探讨的性质、求解方法及其应用。
一、概述的一般形式为：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中$P(x),Q(x)$为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
如果$Q(x)=0$，则方程为齐次线性微分方程。
否则为非齐次线性微分方程。
二、性质的性质如下：1.线性方程中未知函数$y$和其导数$\frac{dy}{dx}$的系数都是常数或已知函数，因此方程是线性的。
2.非齐次方程中的常数项$Q(x)$非零，因此方程是非齐次的。
3.存在唯一解根据常微分方程的Peano存在定理和Picard-Lindelof定理可知，方程存在唯一解。
三、求解方法的求解方法主要有两种：常数变易法和Lagrange乘数法。
1.常数变易法常数变易法的基本思想是将未知函数的系数表示为某个待定常数的函数形式。
设$$y=y(x,a)$$其中$a$为待定常数。
将上式带入方程中，得到$$\frac{\partial y}{\partial x}+P(x)y(x,a)=Q(x)$$对上式两边同时关于$a$求偏导数，得到$$\frac{\partial y}{\partial a}+\frac{\partial y}{\partialx}\frac{\partial a}{\partial a}+P(x)y(x,a)\frac{\partial a}{\partiala}=0$$即$$\frac{\partial y}{\partial a}=-\int P(x)y(x,a)da$$因此，设$y_p(x)$为方程的一个特解，则有$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$其中$y_h(x)$为方程的齐次解，由$$\frac{dy_h}{dx}+P(x)y_h=0$$解得。
grange乘数法Lagrange乘数法的基本思想是将方程写成如下形式：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y-Q(x)=0$$其中，$Q(x)$是一个与$y$无关的函数。
一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy?P(x)y?Q(x)dx1。
)一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的叫做0x)?Q(，则方程称为齐次的；如果)(xQ非齐次的。
不恒等于零，则方程称为如果式所对应的齐次方程a)首先，我们讨论1dy0x)y??P(dx2的通解问题。
dydx)P??(x y分离变量得c?ln)Plny??(xdx?两边积分得dx)?(Px?ec??y或的通解。
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1u(x)c，即作变换换成的未知函数将的通解中的常数1?P(x)dx?eu?y? ?P(x)dx?P(x)?y?uP(x)e两边乘以得dy?P(x)dx?P(x)dx??exe)?uP(?u?dx两边求导得得代入方程1?P(x)dx dxx)P(???Q(x)u?Q(uex)e??，P(x)dx?dx?)eQ(xu?c?的通解于是得到非齐次线性方程1??dx)P(xdx)x?P(??dx?c?Qy?eex)(?将它写成两项之和P(x)dxdxx)P?(?Px)dx(???dx?ecy??Qe)?e(x?不难发现：第一项是对应的齐次线性方程的通解；2第二项是非齐次线性方程的一个特解。
1一阶线性非齐次方程的通解之结构。
由此得到非齐次通解齐次通解非齐次特解】求方程【例13y2dy2)1x???(1?dxx?(x?y?e1)??[cedx]1x?1x?解：3的通解。
322??dx??dx?2222)?1?ln((lnx?1)x?(x??e1)?e?[c?dx]1?22dx)]1c?(x??x?(?1)[?122])x?1(?[1x?(?)?c2由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
．二、贝努利方程方程dy n(n?0,1(?Qx)?y)?P(x)?y dx叫做贝努利方程。
n?0时，它是一阶线性非齐次微分方程当dy?P(x)?y?Q(x)dxn?1时，它是一阶线性齐次微分方程当dy?[P(x)?Q(x)]?y?0dxn?0,1时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性当微分方程。
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。
对于常系数非齐次线性方程组（1）的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组（2）的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。
我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。
1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。
1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。
1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程
方程
dy dx
P x y Q x
+=
()()
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
Q x()≡0，则方程称为齐次的；
如果
Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程
dy dx
P x y
+=
()0
2
的通解问题。
分离变量得dy
y
P x dx =-()
两边积分得ln()ln y P x dx c
=-+
⎰
或
y c e P x dx
=⋅-⎰()
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换
y u e P x dx
=⋅-⎰()
两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()
⋅=-⎰
两边求导得dy
dx
u e uP x e
P x dx P x dx ='-
-⎰-⎰
()()
()
代入方程1得
'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()
u c Q x e dx
P x dx =+⎰⎰()()
于是得到非齐次线性方程1的通解
[]
y e c Q x e dx
P x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()
将它写成两项之和
y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()
不难发现：
第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程
dy dx
y
x
x
-
+
=+
2
1
1
3
2
()
的通解。
解：
]
2
3
)1
(
[1
2
1
2
dx
e
x
c
e
y dx
x
dx
x⎰⎰
+
+
⋅
⎰
=+
-
+
-
-
]
2
3
)1
(
[2
2)1
(
ln
)1
(
ln dx
e
x
c
e x
x+
-
+⎰⋅
+
+
⋅
=
=+⋅++
-
⎰
()[()]
x c x dx
11
2
1
2
=+⋅++
()[()]
x c x
121
2
1
2
由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
二、贝努利方程
方程
dy dx
P x y Q x y n
n
+⋅=⋅≠
()()(,)
01
叫做贝努利方程。
当n=0时，它是一阶线性非齐次微分方程
dy dx
P x y Q x +⋅=
()()
当
n=1时，它是一阶线性齐次微分方程
dy dx
P x Q x y
+-⋅= [()()]0
当
n≠01,时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。
具体解法如下：
dy dx
P x y Q x y y
dy
dx
P x y Q x
n n n
+⋅=⋅⇒⋅+⋅=
--()()()()
1
1
1
1
1
-
⋅+⋅=
-
-
n
d y
dx
P x y Q x
n
n
()
()()
d y dx
n P x y n Q x n n ()
()()()()1111--+-⋅=-
令
y z n 1-= ，方程化为关于z 的一阶线性非齐次微分方程
dz
dx
n P x z n Q x +-⋅=-()()()()11
【例2】求贝努利 dy dx y
x a x y +=(ln )2 的通解。
解 ：112y dy dx xy
a x ⋅+=⋅ln ，-+⋅=⋅--d y dx x y a x ()()ln 111
d y dx x
y a x ()()ln ---⋅=-111
]
ln [11
1dx e
x a c e
y dx x
dx
x
⎰⎰
⋅-+⋅⎰
=----
=⋅-⋅⋅-⎰e c a x e dx x x ln ln [ln ]
=⋅-⋅⎰
x c a x
x dx [ln ]
=⋅-x c a
x [(ln )]
22。