一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶非齐次线性微分方程的通解
一阶非齐次线性微分方程的通解
一阶非齐次线性微分方程的通解形如y'P()y=Q()的线性微分方程称
之为一阶线性微分方程，Q()称为随意项。
一阶，指的是方程式中有关Y
的导函数是一阶导数。
线形，指的是方程式简单化后的每一项有关y、y'
的系数为1。
线性微分方程，就是指带有不明函数公式以及导函数的表达式。
解微分方程便是找到不明函数公式。
物理学中很多涉及到变力的动力学、动力学模型问题，如气体的压力
为速率函数公式的落体健身运动等问题，许多可以用微分方程求解。
除此
之外，线性微分方程在有机化学、水利学、社会经济学和人口数据等方面
都是有运用。
线性微分方程的功效：线性微分方程，是高数中较为关键的一个支系
行业，只需在式子中带有未知量的导函数与自变量中间相互关系的方程式，都能够称作线性微分方程。
大家使用线性微分方程可以将一个错综复杂的个人切分成无尽个细微
一部分，在运用线性微分方程对一个一个的小一部分运用初始条件对它进
行求得，最终求得全部一部分的解。
线性微分方程，如今广泛运用在现代
电子技术、电子线路测算、航天航空等众多行业。
一阶线性非齐次微分方程两个特解的关系
一阶线性非齐次微分方程两个特解的关系
一阶线性非齐次微分方程是一种重要的数学模型，用于研究复杂的物理或经济实际问题。
它的特解就是对方程的解，它可以完全描述该非齐次微分方程的解决过程。
一阶线性非齐次微分方程的两个特解的关系可以分为两类：一类是相关的，另一类是不相关的。
当两个特解相关时，它们之间可以存在一种线性关系，也就是一个特解可以利用另一个特解来求解，这就是特解之间的相关关系。
例如，当非齐次微分方程为：y' + y = 1，两个特解相关，可写作：y1 = (1/2)e－x + x + 1，y2 = (1/2)e－x + 1。
可以看出，y2是用y1通过偏微分的方法求得的，它们之间有线性关系。
当两个特解不相关时，尽管它们都是方程的解，但它们之间没有线性关系。
例如，非齐次微分方程为：y''+y =a，两个特解之间不相关，可写作：y1 = e*x + c，y2 = sin2x，这里y1和y2之间没有线性关系，他们是不相关的。
总结一下，一阶线性非齐次微分方程的两个特解可以分为相关和不相关两类。
相关的特解之间存在一种线性关系，可以利用已知的特解求出另一个特解。
而不相关的特解之间没有线性关系，也就是说，他们是没有关系的。
所以在求解这种非齐次微分方程的问题时，我们就要根据两个特解之间的关系来解决这类非齐次微分方程。
一阶非齐次线性微分方程
一阶非齐次线性方程的解一阶非齐次线性方程比较两个方程： .)()(x q y x p y =+' ,0)(=+'y x p y 请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。
但差了一点什么东西呢？⎰-=dxx p Ce y )(⎰-=dxx p e x C y )()(行吗?!)()(x q y x p y =+' 则可微且待定函数令,)(,)()(x C ex C y dx x p ⎰=-,)()()())(()()()(⎰⎰⎰----'='='dx x p dx x p dx x p e x C x p e x C e x C y 怎么办？得的表达式代入方程中及将,y y ', )()()()()()()()()(x q x p e x C e x C x p ex C dx x p dx x p dx x p =+-'⎰⎰⎰---故,)()()(x q e x C dx x p ='⎰-即,)()()(⎰='dx x p e x q x C上式两边积分，求出待定函数C dx e x q x C dx x p +=⎰⎰)()()()(为任意常数C通解为得一阶非齐线性方程的中代入,)()(⎰=-dx x p e x C y ,))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-以上的推导过程称为“常数变易法”。
这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。
=+'y x p y )(⎰-=dxx p Ce y )(⎰+=⎰⎰-)C dx e x q e y dx x p dx x p )()()(()()(x q y x p y =+'解 2 12.cos 的通解求方程例x e xy y x =-' ,cos )(,2)(2x e x q x x p x =-=因为所以，方程的通解为)cos ()()( 222C dx xe e ey dx x x dx x +=⎰⎰⎰---)cos ( C 222+=⎰-dx ex e e x x x )cos ( C 2+=⎰xdx e x . 2)sin (C x e x +=解.的通解求方程例 23y x y dx dy +=不是线性方程原方程可以改写为 12,y x y dy dx =-这是一个以y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中12,)(,)(y y q y y p =-=故原方程的通解为)()()( 121⎰+=⎰⎰---C dy e y e x dy y dy y . 213Cy y +==+'y x p y )(⎰-=dxx p Ce y )(⎰+=⎰⎰-) C dx e x q e y dx x p x x p )(d )()(()()(x q y x p y =+'⎰+=⎰⎰-) C dy e y q e x dy y p dy y p )()()(()()(y q x y p x =+'。
(整理)一阶线性非齐次方程解法推倒.
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如 ()()dyP x y Q x dx+= (1)的方程称为一阶线性方程.这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上是连续的.当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解. 形如 ()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3)的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦(4)则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(4)化为 ()()()nn d F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+=()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+=(6)则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7)定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0n ndy F x F x y dx⎡⎤+=⎣⎦(8)则它的通解为 ()nCy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证. 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11)定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12)当1n =时,其通解为[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰(13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上是连续的. 证明 若1n =,方程(12)变为 ()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式.若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln ()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+=(0,1)n ≠(12)则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+=[]()()n d F x y y Q x dx =方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx ⎡⎤⎣⎦+= 方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.。
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，那么方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，那么方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
别离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dx e x c ey dx x dxx ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知，假设能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如()()dyP x y Q x dx+= (1) ()P x 、()Q x ()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+=(2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用别离变量法求解. 形如()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果定理1 假设一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()nndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦ (4) 那么它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(4)化为 ()()()n nd F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+= ()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕. 推论1 假设一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+= (6) 那么它的通解为1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰(7)定理2 假设一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0n ndy F x F x y dx⎡⎤+=⎣⎦ (8) 那么它的通解为 ()n Cy F x =(9)证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证. 推论2 假设一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 那么它的通解为 ()Cy F x =(11)定理3 假设一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上是连续的. 证明 假设1n =,方程(12)变为()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= []()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式.假设1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln ()nz F y -=,那么定理3 假设一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (12) 那么它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+= []()()n d F x y y Q x dx =方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,那么(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.定理3 假设一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 那么它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(12)化为 ()()()nnn d F x dy F x y Q x y dx dx⎡⎤⎣⎦+= 方程两端除以ny ,得到 1()()()n n nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,那么(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.。
一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解；第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
一阶非齐次微分方程的通解和特解
一阶非齐次微分方程的通解和特解微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系。
其中，一阶非齐次微分方程是指方程中含有非零常数项的微分方程。
在求解一阶非齐次微分方程时，我们需要找到其通解和特解。
让我们来了解一阶非齐次微分方程的概念。
一阶非齐次微分方程的一般形式为dy/dx = f(x) + g(x)，其中f(x)和g(x)分别是x的函数。
这里，f(x)是方程的非齐次项，g(x)是方程的齐次项。
为了求解一阶非齐次微分方程，我们首先考虑其对应的齐次方程dy/dx = g(x)，其中g(x)为非零函数。
对于齐次方程，我们可以使用分离变量的方法求解。
将dy和dx分离开来，然后两边同时积分，最后得到齐次方程的通解。
然而，对于一阶非齐次微分方程，我们还需要找到其特解。
特解是指满足方程的一个特定解，它与通解不同。
为了求解一阶非齐次微分方程的特解，我们可以使用常数变易法。
常数变易法的基本思想是假设特解为一个常数乘以非齐次项的一个特解。
我们假设特解为y = u(x) * v(x)，其中u(x)是未知函数，v(x)是非齐次项。
然后，我们求出u(x)和v(x)的导数，代入原方程，从而得到一个关于u(x)和v(x)的代数方程。
通过解这个方程，我们可以得到u(x)和v(x)的具体表达式。
有了u(x)和v(x)的表达式后，我们就可以得到特解y = u(x) * v(x)。
将这个特解代入原方程，我们可以验证特解是否满足原方程。
如果满足，那么我们就找到了一阶非齐次微分方程的特解。
我们将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，就得到了一阶非齐次微分方程的通解。
这个通解包含了齐次方程的通解和特解，它能够满足原方程的所有解。
总结一下，一阶非齐次微分方程的求解过程包括求解齐次方程、求解特解和得到通解三个步骤。
通过齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，我们可以得到一阶非齐次微分方程的通解。
这个通解能够满足原方程的所有解。
在实际问题中，一阶非齐次微分方程的求解具有重要的应用价值。
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一阶线性非齐次微分方程一、线性方程
方程
dy dx
P x y Q x
+=
()()
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
Q x()≡0，则方程称为齐次的；
如果
Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程
dy dx
P x y
+=
()0
2
的通解问题。
分离变量得dy
y
P x dx =-()
两边积分得ln()ln y P x dx c
=-+
⎰
或
y c e P x dx
=⋅-⎰()
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换
y u e P x dx
=⋅-⎰()
两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()
⋅=-⎰
两边求导得dy
dx
u e uP x e
P x dx P x dx ='-
-⎰-⎰
()()
()
代入方程1得
'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()
u c Q x e dx
P x dx =+⎰⎰()()
于是得到非齐次线性方程1的通解
[]
y e c Q x e dx
P x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()
将它写成两项之和
y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()
不难发现：
第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程
dy dx
y
x
x
-
+
=+
2
1
1
3
2
()
的通解。
解：
]
2
3
)1
(
[1
2
1
2
dx
e
x
c
e
y dx
x
dx
x⎰⎰
+
+
⋅
⎰
=+
-
+
-
-
]
2
3
)1
(
[2
2)1
(
ln
)1
(
ln dx
e
x
c
e x
x+
-
+⎰⋅
+
+
⋅
=
=+⋅++
-
⎰
()[()]
x c x dx
11
2
1
2
=+⋅++
()[()]
x c x
121
2
1
2
由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
二、贝努利方程
方程
dy dx
P x y Q x y n
n
+⋅=⋅≠
()()(,)
01
叫做贝努利方程。
当n=0时，它是一阶线性非齐次微分方程
dy dx
P x y Q x +⋅=
()()
当
n=1时，它是一阶线性齐次微分方程
dy dx
P x Q x y
+-⋅= [()()]0
当
n≠01,时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。
具体解法如下：
dy dx
P x y Q x y y
dy
dx
P x y Q x
n n n
+⋅=⋅⇒⋅+⋅=
--()()()()
1
1
1
1
1
-
⋅+⋅=
-
-
n
d y
dx
P x y Q x
n
n
()
()()
d y
dx
n P x y n Q x
n
n
()
()()()()
1
1
11
-
-
+-⋅=-
令y z
n
1-=
，方程化为关于z的一阶线性非齐次微分方程dz
dx
n P x z n Q x
+-⋅=-
()()()()
11
【例2】求贝努利 dy dx y
x a x y +=(ln )2 的通解。
解 ：112y dy dx xy
a x ⋅+=⋅ln ，-+⋅=⋅--d y dx x y a x ()()ln 111
d y dx x y a x ()()ln ---⋅=-111
]
ln [11
1dx e
x a c e
y dx x
dx
x
⎰⎰
⋅-+⋅⎰
=----
=⋅-⋅⋅-⎰e c a x e dx x x ln ln [ln ]
=⋅-⋅⎰
x c a x
x dx [ln ]
=⋅-x c a
x [(ln )]
22。