09-2_质心系 南开大学特色大学物理课件力学
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大学物理竞赛辅导-力学部分ppt课件
可获得的最大加速度为
，可获得的最大速度值为
。
解： ①质心 的最大加速度
N kx (m1 m2 )ac
k ac m1 m2 x
xl
kl acmax m1 m2
k m1
F m2
f m1
N
F
f
m2
18
②质心 的最大速度
m2过平衡位置时的速度
1 2
kl 2
1 2
m
v2 2 max
10
1、可变质量系统
例3、一雨滴的初始质量为 m0 ，在重力的影响下，
由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，
其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度
的乘积：
dm kmv
式中为常量。试证明dt 雨滴的速率实际上最后成为
常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。
11
解：由变质量的运动方程：
a (2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
B
vc
A 30
例、质量为m，半径为R 的均匀球体，从一倾角为的斜面上滚 下。设球体与斜面间的摩擦系数为m，求使该球体在斜面上只
滚不滑时, 角的取值范围。
解：球体对中心轴的转动惯量为Jc = (2/5)mR2
k m1
v2max
kl m2
=0
v c max
(
m1v1 m1
m2v m2
2
)max
km2 l m1 m2
F m2
19
例：（11th,12）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点
开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以
大学物理力学PPT课件
即
r
位矢：
r x i y j z k
o
模：
| r| x2y2z2
kz
p
x
i
方向余弦：co s x,co s y,cos z
r
r
r
位矢单位：m
二、位移(displacement)
t时刻，
r1 这r1(称t) 为质点的运动方程，
在运动方程中把t消去可得到质点的轨道方程。
tt r2r2( tt)
dx dl 两边对时间t 求导数, 得 2x 2l
dt dt d l u绞车拉动纤绳的速率, 纤绳随时间在缩
dt
短, 故 d l 0 ; d x v 是小船向岸边移动的速率。
dt
dt
l
22
x h
负号表示小船速
v u
u
x
x 度沿x 轴反方向。
小船向岸边移
d2x dv u2h2
a
动的加速度为
解：（1）由题意可得速度矢量为：
vd rd x(t)id y(t)j i 1tj
d t d t d t
2
所以t =3s时质点的速度为： v(3)i1.5j
（2）由运动方程 x(t) t和2 y(t)(1/4)t22
消去t 可得轨迹方程为： y 1 x2 x 3 4
由此可知该质点的运动轨迹为抛物线。
四、加速度(acceleration)
t
例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如 果绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面 的高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。
解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向
右, y 轴竖直向下, 如图所示。
大学物理力学ppt课件
应用实例
天体运动中行星绕太阳的角动量守恒，刚体定点转动的 角动量守恒等。
06
功能原理和机械能守恒定律
功能原理内容解释
功能原理定义
系统所受外力的功等于系统动能的变化量。
公式表示
$W\_{ext}=\Delta E\_k$
物理意义
外力做功导致物体动能改变，是能量转化和 传递的基本规律之一。
机械能定义及分类
大学物理力学ppt课件
目
CONTENCT
录
• 力学基本概念 • 运动学基础 • 牛顿运动定律及应用 • 动量定理与动量守恒定律 • 角动量定理与角动量守恒定律 • 功能原理和机械能守恒定律
01
力学基本概念
质点与刚体
质点
具有一定质量，但没有形状和大小的理想化物理模型。质点模型 忽略了物体的形状和大小，只考虑其质量，便于研究物体的运动 规律。
动量定理表述及证明过程
动量定理表述
物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化 量。
动量定理证明过程
通过牛顿第二定律和运动学公式推导得出。
动量守恒条件及应用实例
动量守恒条件
系统所受合外力为零或不受外 力作用。
动量守恒应用实例
碰撞问题、爆炸问题等。在这 些问题中，可以通过动量守恒 定律求解物体的速度、位移等 物理量。
、位移等物理量。
注意事项
当存在非保守力（如摩擦力 ）做功时，机械能不守恒， 需要考虑能量损失和转化。
THANK YOU
感谢聆听
03
牛顿运动定律及应用
牛顿三定律内容
第一定律
任何物体都要保持匀速直线运 动或静止状态，直到外力迫使 它改变运动状态为止。
第二定律
物体的加速度跟物体所受的合 外力成正比，跟物体的质量成 反比，加速度的方向跟合外力 的方向相同。
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科里奥利力的概念
在非惯性系中，当物体相对于非 惯性系有相对运动时，会受到科 里奥利力的作用，其方向垂直于 物体相对运动方向和非惯性系的 角速度方向。
04
动量守恒定律和能量守恒 定律
动量守恒定律
定律表述
一个系统不受外力或所受合外力为零， 则系统的总动量保持不变。
适用范围
适用于宏观低速物体，也适用于微观高 速粒子；既适用于单个物体，也适用于 多个物体组成的系统。
大学物理涉及的知识面很广，包括力学、热 学、电磁学、光学、原子物理学等，因此要 拓宽知识面，掌握不同领域的知识。
02
质点运动学
质点运动的描述
01
位置矢量与位移
02
位置矢量的定义和性质
03
位移的计算方法和物理意义
质点运动的描述
加速度的定义、种类和计 算
速度的定义、种类和计算
速度与加速度
01
03 02
03
观察和实验
物理学是一门以实验为基础的自然科学， 观察和实验是物理学的基本研究方法，通 过实验可以验证物理假说和理论，发现新 的物理现象和规律。
建立理想模型
理想模型是物理学中经常采用的一种研究 方法，它忽略了次要因素，突出了主要因 素，使物理问题得到简化。
数学方法
数学是物理学的重要工具，通过数学方法 可以精确地描述物理现象和规律，推导物 理公式和定理。
03
动能定理的应用
用于解决刚体定轴转动中的功能 转换问题，如计算外力对刚体所 做的功、求解刚体的角速度等。
06
机械振动和机械波
简谐振动
简谐振动的定义和基本概 念
阐述简谐振动是物体在一定位置附近做周期性 的往返运动，介绍振幅、周期、频率等基本概 念。
大学物理学课件(南开大学)力学
I y F y d m t v 2 s3 i m n 0 v 1 s4 i n F 5 y t
撞击时间为0.01s，板施于球的平均冲力大小和方向：
m2.5g t 0.0 v 1 1 1 m 0 s ,v ,2 / s 2 m 0
Ix0 .06 N； 1s Iy0 .00 N7s
I Ix 2Iy 26.1 41 0 2Ns
*系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 * 动量守恒可在某一方向上成立。 * 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
a
18
例3.11 一个有1/4圆弧滑槽的大物体质量为M，停在
光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧
顶点由静止下滑。
求：当小物体滑到底时，大物体
mR
M在水平面上移动的距离？
解：选如图坐标系，在m下滑 过程中，M和m组成的系统在 水平方向上合外力为零，因此
M
dm MdM x
在外t 时力刻的总影动响量。Mv沿x方向
t
t dt
在t +dt时刻总动量: d( v m u ) ( M d)v m (d v )
dm dM 由动量守恒定律：
d( v M u ) ( M d)v M ( d v ) M v
略去二阶无穷小量 dMdv ud M M v d 0
以上讨论均在实验室参照系（惯性系）中。
a
9
§2 动量 动量定理及动量守恒
一、2.1动量动（量描动述量质定点理运动状态，矢量）P mv
大小：mv 方向：速度的方向
单位：kgm/s 量纲：MLT－1
二、冲量（力的作用对时间的积累，矢量）I
t2
Fdt
大小：|
t2
Fdt
|
方向：速度变化的方向
撞击时间为0.01s，板施于球的平均冲力大小和方向：
m2.5g t 0.0 v 1 1 1 m 0 s ,v ,2 / s 2 m 0
Ix0 .06 N； 1s Iy0 .00 N7s
I Ix 2Iy 26.1 41 0 2Ns
*系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 * 动量守恒可在某一方向上成立。 * 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
a
18
例3.11 一个有1/4圆弧滑槽的大物体质量为M，停在
光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧
顶点由静止下滑。
求：当小物体滑到底时，大物体
mR
M在水平面上移动的距离？
解：选如图坐标系，在m下滑 过程中，M和m组成的系统在 水平方向上合外力为零，因此
M
dm MdM x
在外t 时力刻的总影动响量。Mv沿x方向
t
t dt
在t +dt时刻总动量: d( v m u ) ( M d)v m (d v )
dm dM 由动量守恒定律：
d( v M u ) ( M d)v M ( d v ) M v
略去二阶无穷小量 dMdv ud M M v d 0
以上讨论均在实验室参照系（惯性系）中。
a
9
§2 动量 动量定理及动量守恒
一、2.1动量动（量描动述量质定点理运动状态，矢量）P mv
大小：mv 方向：速度的方向
单位：kgm/s 量纲：MLT－1
二、冲量（力的作用对时间的积累，矢量）I
t2
Fdt
大小：|
t2
Fdt
|
方向：速度变化的方向
01南开大学特色大学物理课件力学
22
典型的质量
已知宇宙 银河系 地球 人 灰尘 烟草花叶病毒 质子 电子
1053 k g 2.2 1041 k g 6.0 1024 k g 6.0 101 k g 6.7 1010 k g 2.3 1013 k g 1.7 1027 k g 9.11031 k g
23
典型的时间
宇宙年龄 地球的年龄 人的平均寿命 一天 典型的分子旋转周期 快速运动粒子穿越原 子核的时间
自己的物理图象。
12
大学 把大学生领进物理学的各个领域的大 物理 门。打开大门，并送一枚指南针，使 课的 之能在物理学展示的五彩缤纷的世界 任务 中汲取营养，茁壮成长。
参考书目
“大学物理学基础教程” 物理学院基础教研室编 “大学物理学”一套五册（第二版），张三慧主编 “大学物理通用教程”，北京大学出版社鈡锡华等 “基础物理学”上下册， 陆果
宇宙是怎样运动的呢？ 进行绝热膨胀 宇宙半径增大 宇宙密度降低 温度降低
二、关于两个前沿的基本理论
粒子物理学(微观理论) 1、标准模型 2、认定基本粒子 3、揭示物质的组成 高能物理实验(实验手段)
发展加速器取得实验数据 验证微观理论 4
天体物理学(宇观理论) 1、标准宇宙模型 2、分析宇宙的起源 大爆炸宇宙学
▲ 打好学习其它学科的基础 ▲ 提高科学素质和能力,以适应社会发展的需要
★ 学习物理对提高科学素质有重要作用：
（1）培养辩证唯物主义的世界观 （2）学会掌握科学的方法 （3）培养科学思维能力、发展智力 （4）培养探索与创新精神
★ 现代科学技术人员必须具备良好的科学
素质。
11
关于学习方法和学风的要求
（技术）
现代光学
（物理）
《大学物理课件——力学》
3
第三定律
探索牛顿第三定律，了解力的作用与反 作用，并学习如何计算力对物体的影响。
矢量运算与坐标系
为了描述物体的运动，我们将引入矢量运算和坐标系的概念，帮助你准确地 描述和分析各种力学问题。
力的定义与分类
力的定义
我们将解释力的概念，并探 讨力如何影响物体的运动。
接触力和距离力
详细介绍不同类型的力，包 括接触力和距离力，并讨论 它们的特性和应用。
动量定理及难点解析
动量定理是力学中的重要定理，我们将详细探讨它的原理，并分析一些相关 的难题。
矩量定理及转动难点解析
我们将介绍矩量定理的概念和应用，以及涉及转动的难题的解析和分析。
动能定理及应用
动能定理是力学中的关键理论，我们将详细解释其原理，并通过实例展示如何应用动能定理解决问题。
动量守恒定律
重力和弹力
深入研究两个重要的力：重 力和弹力，包括它们的工作 原理和实际应用。
牛顿第一定律与惯性系
我们将详细解释牛顿第一定律，同时探讨什么是惯性系，并通过实例说明惯 性对物体运动的影响。
牛顿第二定律及应用
我们将全面介绍牛顿第二定律，并通过例题演示如何应用它来解决各种力学 问题。牛顿第三定与反作用力1 牛顿第三定律
探索牛顿第三定律，了解力的作用与反作用 的基本原理。
2 反作用力示例
通过具体实例演示反作用力对物体的影响， 并解释如何计算反作用力的大小。
浮力定律与浮力的应用
我们将介绍浮力定律的原理和应用，以及浮力对物体浸没和浮出的影响。
质点的运动规律
给定力的情况下，我们将讨论质点的运动规律，包括匀速直线运动和自由落 体等。
大学物理课件——力学
力学是物理学的一个分支，研究物体的运动与力的关系。本课件将系统地介 绍力学的基础知识，让你轻松掌握这一重要领域。
《质心运动定理》课件
Байду номын сангаас
表达形式二
质心的速度等于各个质点速度乘以其质量的乘 积之和除以系统总质量。
质心运动定理的推导过程
通过从牛顿第二定律的微分形式出发，我们可以推导出质心运动定理的表达式，详细的推导过程在课件 中进行阐述。
质心运动定理的应用实例
火箭发射
平衡木比赛
通过计算火箭系统的质心位置， 我们可以优化火箭的稳定性及 飞行性能。
《质心运动定理》PPT课 件
探秘质心运动定理
通过本课件，我们将一起深入了解质心运动定理的概念，质心的定义与性质， 以及应用实例，一起探索这个有趣且实用的物理定理。
质心运动定理的概念
质心运动定理描述了一个系统的质心的运动行为。通过计算质心的位置随时间的变化，我们可以了解系 统整体的运动特性。
质心的定义与性质
2
展望
质心运动定理的应用还有待进一步拓展，可以应用于更多领域的研究和实践中。
运动员在平衡木上的动作稳定 性与质心位置密切相关。
摆钟
通过质心运动定理，我们可以 理解摆钟的运动规律及影响因 素。
质心运动定理的意义与局限
意义
质心运动定理为我们理解和研究物体的整体运动提供了重要的理论基础。
局限
质心运动定理仅适用于那些质量分布均匀、不受外力作用的系统。
总结与展望
1
总结
质心运动定理是研究物体整体运动的重要工具，能够揭示系统的运动特性。
1 质心定义
质心是系统的质量分布的平均位置，可以看作是整个系统的重心。
2 质心性质
质心的位置不受系统形状的影响，仅与物体的质量分布有关。
3 质心稳定性
系统的质心总是遵循牛顿第一定律，即以恒定速度直线运动或保持静止。
表达形式二
质心的速度等于各个质点速度乘以其质量的乘 积之和除以系统总质量。
质心运动定理的推导过程
通过从牛顿第二定律的微分形式出发，我们可以推导出质心运动定理的表达式，详细的推导过程在课件 中进行阐述。
质心运动定理的应用实例
火箭发射
平衡木比赛
通过计算火箭系统的质心位置， 我们可以优化火箭的稳定性及 飞行性能。
《质心运动定理》PPT课 件
探秘质心运动定理
通过本课件，我们将一起深入了解质心运动定理的概念，质心的定义与性质， 以及应用实例，一起探索这个有趣且实用的物理定理。
质心运动定理的概念
质心运动定理描述了一个系统的质心的运动行为。通过计算质心的位置随时间的变化，我们可以了解系 统整体的运动特性。
质心的定义与性质
2
展望
质心运动定理的应用还有待进一步拓展，可以应用于更多领域的研究和实践中。
运动员在平衡木上的动作稳定 性与质心位置密切相关。
摆钟
通过质心运动定理，我们可以 理解摆钟的运动规律及影响因 素。
质心运动定理的意义与局限
意义
质心运动定理为我们理解和研究物体的整体运动提供了重要的理论基础。
局限
质心运动定理仅适用于那些质量分布均匀、不受外力作用的系统。
总结与展望
1
总结
质心运动定理是研究物体整体运动的重要工具，能够揭示系统的运动特性。
1 质心定义
质心是系统的质量分布的平均位置，可以看作是整个系统的重心。
2 质心性质
质心的位置不受系统形状的影响，仅与物体的质量分布有关。
3 质心稳定性
系统的质心总是遵循牛顿第一定律，即以恒定速度直线运动或保持静止。
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Ek内
1 2
m1v'12
1 2
m2 v'22
Ek内
1 2
[
(
m1m22 m1 m2
)2
m2m12 (m1 m2
)2
]u
2
13
Ek内
1 2
[
m1m22 (m1 m2
)2
m2m12 (m1 m2
)2
]u2
Ek内
1 2
m1m2 m1 m2
u2
m1m2 折合质量
m1 m2
Ek内
1 2
u2
m2 (r1 r2 )
m1 m2
m2r12 ;
m1
m2
两个质点 相对质心
r2 '
r2 rC
m1(r2 r1 )
m1 m2
m1r12 m1 m2
;
的角动量
为： LC
LC r1' p1'r2' p2'
m2r12
u
m1r12
(
u)
m1 m2
r12
u
m1 m2
与一u个的位质矢点为的角r12动，量动相量同为
L LC rC (m1 m2 )vC
6.3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该
质点系内部角动量的关系。
以两 个质点的系统为例M
ri
r1
F1
r2
F2
ri 'rC
M r1'F1 r2'F2 rC (F1 F2 )
M MC rC F外
MC ri 'Fi
质心平动动能（轨道动能） 。
*一个体系的内能就是指：
内能=质点系各质点 相对于质心的内动能 +质点间相互作用的内势能
*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍
然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系 是惯性系还是非惯性系。（证明从略）
所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。12
例1：求两个质点系统相对于质心的动能与
vC' 0
x
L
r1
p1
r2
p2
p1 p2
m1v1 m2 v 2
m1v1'm1vC m2 v 2 ' m2 vC
z' z m1
rC
x'
O
r1 ' rC2 '
m2
y'
y
5
L (r1'rC ) ( p1'm1vC ) (r2'rC ) ( p2'm2vC )
L
（(r1m'1rp11'mr22'r2p)2'）vC
称为两个质点系 的相对动能
高能粒子与静止靶 上粒子的碰撞，可 用来研究其结构和 相互作用以及反应 机制。
Ek Ek内 EkC
Ek
1 2
u2
1 2 (m1
m2 )vC2
14
例2：求两个质点系统相对于质心的动量和角动量
v1 v1' vC v2 v2' vC
u
v12
v1
v2
1
§6 质心参照系
6.1 质心系是零动量参照系
考虑由质量分别为m1、m2、… mn 的N个质点
组 矢成 量的 分质 别点 为系r1O，, r每2O 个....质..r点nO相；对其于质任心一相点对O于的O位点置的
定义为：
rCO
mi riO
i
;
m
其中m为质心系的总质量，m mi
mi
riO
相对速度间的关系
v1 v1' vC
v2
v2
'
vC
u v12 v1 v2 v1'v2'
v2' v1'u
质心系是零动量参照系
v'1
m2 m1 m2
u
m1v'1m2v'2 0
v'1
v'2
m1 m1 m2
u
m2 m1
v'2
相对质心的动能：
def
rCC
mi riC
i
0
m
vCC
mi viC
i
0
m
mi
riO
riC
c
o
rCO
也就是说，所有质点相对于质心的总动量为零，
质心系是零动量参照系。
3
为了方便书写下面作以下符号代换：
L系
rCO
mi riO
i
;
m
rC
mi ri
i
;不代撇
m
C系 rCC
mi riC
i
0
m
rC '
第三章 动力学
§6 质心参照系
6.1 质心系是零动量参照系 6.2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 6.3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该 质点系内部角动量的关系。 6.4 质点系统相对于L系、C系的动能间的关系 例1折合质量、例2、例3.24
作业 3-12，3-22，3-24
mi ri '
i
0代撇
m
C系
vCC
mi viC
i
0
m
vC
'
i
mi vi ' 0 代撇
m
4
6.2 质点系相对于实验室参照系(L系)的角动量与它相 对于质心参照系(C系)的角动量之间的关系
以两个质点的系统为例
在质L心系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
在质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及、' v其2、'
在 质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及'、v其2'、 x vC' 0
在L系中：
v1 v1' vC
z' z m1
rC
x'
O
r1 ' rC2 '
m2
y'
y
v2 v2' vC
10
在L系中：
v1
v1'
vC
v2
v2
'
vC
Ek
1 2
m1v12
1 2
m2
v
2 2
1 2
m1(
v'1
若取质心为参考点，则有rC ' 0，即重力对质心
的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 只受到重力的质点系角动量守恒。
下面的学习中请注意这点。
9
6.4 质点系统相对于实验室参照系(L系)的动能与它相 对于质心参照系(C系)的动能（内动能）之间的关系
以两个质点的系统为例
在 质心L系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
vC
)2
1 2
m2
(
v'2
vC
)2
1 2
m1v'12
1 2
m2v'22
1 2
(m1
m2 )vC2
(m1v'1
m2
v'2
)
vC
r 'C
m1r '1m2r '2 m1 m2
0
r'C
m1r'1 m2r'2 m1 m2
为零 0
m1r'1m2r'2 0
Ek
1 2
m1v'12
1 2
0
rC
rC
dpC
dt
dpC dt
rC F外
MC
dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
以上证明具有普遍性。
8
*若质点系所受的外力是重力，按质心的定义，
合外 力矩为：
M外 ri mi g
mi ri g rC mg
i
i
上式表明，重力的合力矩与系统的全部 质量集中在质心上所受到的力矩等价。
riC
c
i
每一个位矢
riO
，动量可写为
mi viO：
o
rCO
riO riC rCO (1)
mi viO
mi viC
mi vCO
(2)
2
因在riC为 质、v质 心iC 心 系表相 中示对 质的于 心第质的i个心速质的度点位也相矢恒对恒为于为零质零心vC，CC的即0位rCC矢和0,速所度以。
*计算一个氢原子的角动量时必须用电子—质子系统
的折合质量来代替电子质量。
16
例3.24质量为m1和m2的两个小球，用长为l、质量和 伸缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平
桌面上，开始时m2固定不动， m1绕m2作匀速圆周运 动，线速率为v0 ，如果 突然失去约束，求杆中张力？
m1
vo
l1
C
i
外力对质心的转矩
合外力作用在 质心上对 O的转矩
7
M MC rC F外
L LC rC (m1 m2 )vC
M
dL
dt
dL dt
dLC dt
drC dt
(m1 m2 )vC
rC
dpC dt
drC dt
(m1
MC rC
m2
)vC
F外
dLC dt
m2 v'22
1 2
(m1
m2
)v
2 C
def
Ek内
1 2
m1v'12
1 2
1 2
m1v'12
1 2
m2 v'22
Ek内
1 2
[
(
m1m22 m1 m2
)2
m2m12 (m1 m2
)2
]u
2
13
Ek内
1 2
[
m1m22 (m1 m2
)2
m2m12 (m1 m2
)2
]u2
Ek内
1 2
m1m2 m1 m2
u2
m1m2 折合质量
m1 m2
Ek内
1 2
u2
m2 (r1 r2 )
m1 m2
m2r12 ;
m1
m2
两个质点 相对质心
r2 '
r2 rC
m1(r2 r1 )
m1 m2
m1r12 m1 m2
;
的角动量
为： LC
LC r1' p1'r2' p2'
m2r12
u
m1r12
(
u)
m1 m2
r12
u
m1 m2
与一u个的位质矢点为的角r12动，量动相量同为
L LC rC (m1 m2 )vC
6.3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该
质点系内部角动量的关系。
以两 个质点的系统为例M
ri
r1
F1
r2
F2
ri 'rC
M r1'F1 r2'F2 rC (F1 F2 )
M MC rC F外
MC ri 'Fi
质心平动动能（轨道动能） 。
*一个体系的内能就是指：
内能=质点系各质点 相对于质心的内动能 +质点间相互作用的内势能
*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍
然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系 是惯性系还是非惯性系。（证明从略）
所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。12
例1：求两个质点系统相对于质心的动能与
vC' 0
x
L
r1
p1
r2
p2
p1 p2
m1v1 m2 v 2
m1v1'm1vC m2 v 2 ' m2 vC
z' z m1
rC
x'
O
r1 ' rC2 '
m2
y'
y
5
L (r1'rC ) ( p1'm1vC ) (r2'rC ) ( p2'm2vC )
L
（(r1m'1rp11'mr22'r2p)2'）vC
称为两个质点系 的相对动能
高能粒子与静止靶 上粒子的碰撞，可 用来研究其结构和 相互作用以及反应 机制。
Ek Ek内 EkC
Ek
1 2
u2
1 2 (m1
m2 )vC2
14
例2：求两个质点系统相对于质心的动量和角动量
v1 v1' vC v2 v2' vC
u
v12
v1
v2
1
§6 质心参照系
6.1 质心系是零动量参照系
考虑由质量分别为m1、m2、… mn 的N个质点
组 矢成 量的 分质 别点 为系r1O，, r每2O 个....质..r点nO相；对其于质任心一相点对O于的O位点置的
定义为：
rCO
mi riO
i
;
m
其中m为质心系的总质量，m mi
mi
riO
相对速度间的关系
v1 v1' vC
v2
v2
'
vC
u v12 v1 v2 v1'v2'
v2' v1'u
质心系是零动量参照系
v'1
m2 m1 m2
u
m1v'1m2v'2 0
v'1
v'2
m1 m1 m2
u
m2 m1
v'2
相对质心的动能：
def
rCC
mi riC
i
0
m
vCC
mi viC
i
0
m
mi
riO
riC
c
o
rCO
也就是说，所有质点相对于质心的总动量为零，
质心系是零动量参照系。
3
为了方便书写下面作以下符号代换：
L系
rCO
mi riO
i
;
m
rC
mi ri
i
;不代撇
m
C系 rCC
mi riC
i
0
m
rC '
第三章 动力学
§6 质心参照系
6.1 质心系是零动量参照系 6.2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 6.3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该 质点系内部角动量的关系。 6.4 质点系统相对于L系、C系的动能间的关系 例1折合质量、例2、例3.24
作业 3-12，3-22，3-24
mi ri '
i
0代撇
m
C系
vCC
mi viC
i
0
m
vC
'
i
mi vi ' 0 代撇
m
4
6.2 质点系相对于实验室参照系(L系)的角动量与它相 对于质心参照系(C系)的角动量之间的关系
以两个质点的系统为例
在质L心系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
在质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及、' v其2、'
在 质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及'、v其2'、 x vC' 0
在L系中：
v1 v1' vC
z' z m1
rC
x'
O
r1 ' rC2 '
m2
y'
y
v2 v2' vC
10
在L系中：
v1
v1'
vC
v2
v2
'
vC
Ek
1 2
m1v12
1 2
m2
v
2 2
1 2
m1(
v'1
若取质心为参考点，则有rC ' 0，即重力对质心
的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 只受到重力的质点系角动量守恒。
下面的学习中请注意这点。
9
6.4 质点系统相对于实验室参照系(L系)的动能与它相 对于质心参照系(C系)的动能（内动能）之间的关系
以两个质点的系统为例
在 质心L系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
vC
)2
1 2
m2
(
v'2
vC
)2
1 2
m1v'12
1 2
m2v'22
1 2
(m1
m2 )vC2
(m1v'1
m2
v'2
)
vC
r 'C
m1r '1m2r '2 m1 m2
0
r'C
m1r'1 m2r'2 m1 m2
为零 0
m1r'1m2r'2 0
Ek
1 2
m1v'12
1 2
0
rC
rC
dpC
dt
dpC dt
rC F外
MC
dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
以上证明具有普遍性。
8
*若质点系所受的外力是重力，按质心的定义，
合外 力矩为：
M外 ri mi g
mi ri g rC mg
i
i
上式表明，重力的合力矩与系统的全部 质量集中在质心上所受到的力矩等价。
riC
c
i
每一个位矢
riO
，动量可写为
mi viO：
o
rCO
riO riC rCO (1)
mi viO
mi viC
mi vCO
(2)
2
因在riC为 质、v质 心iC 心 系表相 中示对 质的于 心第质的i个心速质的度点位也相矢恒对恒为于为零质零心vC，CC的即0位rCC矢和0,速所度以。
*计算一个氢原子的角动量时必须用电子—质子系统
的折合质量来代替电子质量。
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例3.24质量为m1和m2的两个小球，用长为l、质量和 伸缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平
桌面上，开始时m2固定不动， m1绕m2作匀速圆周运 动，线速率为v0 ，如果 突然失去约束，求杆中张力？
m1
vo
l1
C
i
外力对质心的转矩
合外力作用在 质心上对 O的转矩
7
M MC rC F外
L LC rC (m1 m2 )vC
M
dL
dt
dL dt
dLC dt
drC dt
(m1 m2 )vC
rC
dpC dt
drC dt
(m1
MC rC
m2
)vC
F外
dLC dt
m2 v'22
1 2
(m1
m2
)v
2 C
def
Ek内
1 2
m1v'12
1 2