量子力学2 2017回忆版 南开大学
量子力学教程(二版)习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式：ννπνρννd e ch d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd cd 2-=得1185-=kThc ehc λλλπρ，令kT hcx λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x xe xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kThcm λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mEh p h λ #1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkTh mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k #1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμEb E a ==，相空间面积为,2,1,0,2=====⎰n nh EEab pdq νωππ所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为()ϕω+=t A q sin速度为 ()ϕωω+='t A q c o s ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 ()()nh TA dt t A dt t A pdq T T==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=nνμωnh Tnh A E ===222， ,2,1,0=n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
2017年北京大学理论物理量子力学（612）真题回忆版
2017年北京大学理论物理量子力学（612）真题回忆版
2017年北京大学理论物理之量子力学（612）真题回忆版
一、
1）宽度为L 2的无限深势阱，范围为L x L -<<，求能量本征态和相应的本征值
2）已知t 0=时处于基态，势阱宽度突然变为L 4，范围为22L x L -<<，求随时间变化的波函数表达式)(t ?，求处于变化后体系本征能量的概率，求体系的能量平均值)(t E 二、一个二维谐振子，哈密顿量为222211?2222
y x x y p p H m x m y m m ωω=+++ 1）若4
3=y x ωω，求第一个和第二个简并能级 2）若y x ωω=，有两个自旋为
21的全同粒子处于此谐振子势场中，求体系最低三个能级，并给出简并度
三、
1）在z σ表象下，x σ、y σ、z σ的矩阵表示及其归一化本征态，本征值
2）在x σ表象下，y σ和z σ的归一化本征态
四、体系哈密顿量为()1221?+= H ，1和2为体系两个正交归一的本征态。
在t=0
时，算符22113?-=O
的平均值为1-，求体系初始状态及0>t 的体系最快转化为1的时间
五、考虑氢原子核不是点电荷，而是均匀带电的球体
1）体系能量基态本征函数为a r
Ne -=ψ，求归一化系数N 和不确定度2)(x ?和()2
r ?
2）用微扰求出这种效应对氢原子能量基态能量的一级修正六、一维粒子由右边入射，收到的势能为20()()02x V x g x a x m
δ∞ ?? 1)若能量0E >，求反射波与入射波之间的相位差，及相位差在低能和高能下的表现 2求存在束缚态的条件。
南开大学《量子力学》考研真题详解
南开大学《量子力学》考研真题详解2021年南开大学《量子力学》考研全套目录•南开大学陈省身数学研究所《量子力学》历年考研真题汇编•全国名校量子力学考研真题汇编•2021年量子力学考研真题精解精析50题说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。
2．教材教辅•曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解•[预售]曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。
•试看部分内容波函数与Schrödi nger方程1.1 复习笔记一、波函数的统计诠释1实物粒子的波动性de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-p article duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为并称之为物质波（matter wave）．2波粒二象性的分析（１）包括波动力学创始人Schrödi nger，de Brogli e等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．3概率波，多粒子体系的波函数把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Bo rn（1926）提出的概率波．表征在r点处的体积元中找到粒子的概率．这就是Born提出的波函数的概率诠释．它是量子力学的基本原理之一．根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为1，即要求波函数ψ（r）满足下列条件这称为波函数的归一化（normalization）条件．归一化条件就可以简单表示为（ψ，ψ）=14动量分布概率动量分布概率密度即．5不确定性原理与不确定度关系不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Hei senberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映．6力学量的平均值与算符的引进令称为动量算符．l是一个矢量算符．它的三个分量可以表示为一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出是与力学量A相应的算符．如波函数未归一化，则与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为7统计诠释对波函数提出的要求统计诠释赋予了波函数确切的物理含义．根据统计诠释，究竟应对波函数ψ（r）提出哪些要求?（1）根据统计诠释，要求|ψ（r）|2取有限值似乎是必要的，即要求ψ（r）取有限值．（2）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）但概率描述中实质的问题是相对概率．因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数．（3）按照统计诠释，要求|ψ（r）|2单值．是否由此可得出要求ψ（r）单值?否．（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性．2021年量子力学考研真题精解精析50题1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著
《量子力学教程》第二版答案周世勋原著量子力学，这一神秘而又令人着迷的科学领域，对于许多学习者来说，既是挑战，也是机遇。
周世勋先生的《量子力学教程》作为经典教材，为我们开启了探索量子世界的大门。
而与之配套的第二版答案，则像是一把解锁知识宝库的钥匙。
在深入探讨这份答案之前，我们先来简单了解一下量子力学的重要性。
量子力学是现代物理学的基石之一，它不仅改变了我们对微观世界的理解，还在众多领域引发了革命性的变革，如半导体技术、激光物理、量子计算等。
可以说，没有量子力学的发展，我们的现代科技将难以达到如今的高度。
周世勋先生的《量子力学教程》以其清晰的逻辑和系统的阐述，深受广大师生的喜爱。
然而，对于学习者来说，在学习过程中难免会遇到一些难题，这时候答案的作用就显得尤为重要。
这份第二版答案的第一个显著特点是准确性。
每一道题目的解答都经过了精心的推导和论证，确保了答案的正确性。
这对于学习者来说是至关重要的，因为错误的答案可能会导致对概念的误解，进而影响后续的学习。
其次，答案的解析过程详细而清晰。
它不仅仅给出了最终的结果，更重要的是展示了如何从问题出发，运用所学的量子力学知识和方法，逐步推导出答案。
这种详细的解析有助于学习者理解解题的思路和技巧，从而提高自己的解题能力。
比如说，在处理一些复杂的波函数问题时，答案会详细地说明如何进行变量分离、如何运用边界条件，以及如何根据物理意义进行合理的假设和简化。
这让学习者能够明白每一个步骤的依据和目的，而不是仅仅记住一个机械的解题过程。
此外，答案还注重对知识点的总结和归纳。
在解答完一组相关的题目后，会对涉及到的重要概念和方法进行总结，帮助学习者加深对这些知识点的理解和记忆。
这对于构建完整的量子力学知识体系非常有帮助。
以量子态的叠加原理为例，答案在解答相关题目后，会总结叠加原理的适用条件、常见的应用场景以及与其他原理的联系和区别。
这样的总结能够让学习者更好地把握这一重要概念的本质。
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章 态和力学量的表象——第6章
n
中，以 Sn 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。设态 在 A，B 表象中的矩阵表示分别为 a，
b，S 为两表象之间的幺正变换，则态在两表象之间的变换为
b S 1a ，算符在两表象之间的变换为 F ' S 1FS 。
1
(2) 2
动量本征函数，则
C( p,t) 即为该态在动量表象中的波函数。 C( p,t) 的物理意义为： C( p.t) 2 dp 表示在该态
中，测量粒子的动量所得结果在 p 到 p+dp 范围内的几率。
二、幺正变换
1．变换矩阵
满足 S S 1 的矩阵称为幺正矩阵，幺正矩阵不是厄米矩阵。由幺正矩阵所表示的变
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a1
(t
)
a2 (t) 函数，则 (x,t) 在力学量 Q 表象中矩阵表示可写为： 。
a
n (t
)
aq (t)
3．算符 F 在 Q 表象中的矩阵表示．
算符 F 在 Q 表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元是 Fnm un* Fumdx ，平均值公式是
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
（2）哈密顿量本征方程
H
p ( x)
1
i px
1e
(2 ) 2
本征方程
p p'
p ' p'
C( p,t) ( p' p) p ( p p' ) p' ( p p' )
5．一个典型的例子分析
大学物理量子物理二
h
mv
0
h
2h 2 (15-13) 0 sin 由(1)、(2a)、(2b)解得： m0 c 2 其中m0为 电子静止质量， c=h /m0c 称为康普顿波长。 表明： 0与散射角有关，与散射物质无关。
康普顿效应说明：
0
h
cos +mvcos
(2a)
0
h
sin mvsin
(2b)
(1) 光子确实有一定的质量、动量和能量；
(2) 在微观粒子的相互作用过程中，严格 遵守相对论及能量和动量守恒定律。
例3 已知X射线光子能量为0.6MeV，若在康普顿散射中散射 光子的波长变化了20％，试求反冲电子的动能。 解： 散射前电子为静止自由电子 则反冲电子的动能为： k＝入射光子与散射光子能量之差 E
第十五章
量子物理
（第二讲）
作业：P390 15-16 15-17 15-21 15-25 15-27
回顾康普顿效应： 光子和电子的相对论能量和动量守恒 h0+m0c2 = h +mc2 (1)
或：h0 h = mc2 m0c2 h h n0 n mv (2) (1)
(n=k+1,k+2,) (15-17)
——广义巴耳末公式
二．里兹并合原理
~ T ( k ) T ( n)
参变量k, n为正整数 (n>k)； T(k)、T(n) — 称为光谱项。
对氢原子光谱： T(k)=R/k2， T(n) =R/n2
对碱金属光谱： T(k)=R/(k+)2，T(n) =R/(n+)2
周世勋《量子力学教程》(第2版)-绪论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定态时所吸收或发射的辐射频率 满足：
四、微粒的波粒二象性
1．玻尔理论所遇到的困难说明探索微观粒子运动规律的迫切性
在光的波粒二象性的启示下，德布罗意提出微粒具有波粒二象性的假设。
微粒的粒子性（E,p）与波动性（ , 或，k ）的关系满足
E h
p
h
n
k
这公式称为德布罗意公式，或德布罗意关系。
戴维孙-革末的电子衍射实验 该实验充分说明电子具有波动性，验证了德布罗意波的存在。
vd
v
8hv 3 c3
1
hv
dv ，
e kT 1
以及
（1）
v c ，
（2）
v dv d ，
（3）
有
dv d
v
()
d
d
c
v () 2
c
8 hc 1
5
hc
ekT 1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，
的，这样则有
mT
hc xk
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
b mT 2.9 103 m K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较
高等教育出版社量子力学教程第二版课后答案周世勋陈灏着
λmT
=
hc xk
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
λmT = 2.9 × 10−3 m ⋅ K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定 温度的高低。
1．2 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。
∫ pdq = nh
其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿 运动轨道积一圈，n 是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为μ，于是有
E = p 2 + 1 kx 2 2µ 2
这样，便有
p = ± 2µ(E − 1 kx 2 ) 2
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好 表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
面波。 rr
解： J1和J 2只有r分量
在球坐标中
∇
=
r r0
∂ ∂r
+
r eθ
1 r
∂ ∂θ
+
r eϕ
1 r sinθ
∂ ∂ϕ
8
(1)
r J1
=
ih 2m
(ψ
1∇ψ
* 1
−ψ1*∇ψ1 )
=
ih [1 2m r
eikr
∂ ∂r
(1 r
e −ikr
)
−
1 r
e −ikr
∂ ∂r
(1 eikr r
r )]r0
1．3 氦原子的动能是 E = 3 kT （k 为玻耳兹曼常数），求 T=1K 时，氦原子的德 2