第六章 微分方程 第四节 高阶线性方程
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第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
第6章-微分方程
kt
dQ dt
kQ .
解得
Q t Ce .
把t = 0代入其中求得C= Q0. 由条件得Q(240) = 0.9Q0,代入得 0.9 Q0 = Q0 e240k， 解得 k = ( ln 0.9)/240 -0.000439. 因此,所求特解为 Q(t) = Q0e-0.000439t.
例5（陨石的挥发）
陨石挥发的速度与陨石的表
面积成正比. 若假设陨石是质量均匀的球体,试求出 陨石的质量m关于时间t的函数表达式.
解 设t时刻陨石的半径为r(t),质量为m(t),表面积为s(t). 由题意得
s t 4 r
d m (t ) dt
2
ks t 其 中 k 0 .
u
2
x
2
u
2
y
2
0.
把常微分方程称为微分方程或简称为方程.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数,叫做该方程的阶 ,例如
x2y + 2xy - y + 5y = e x 和 y(5) + 3y(4) -5xy - y = 0 分别是3阶和5阶微分方程. n阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y,…,y(n)) = 0，
利息,同时每个月获得的利息存在银行也可生利息).
如果存款时间很长,可把资金看成时间的连续函数. 假定该款存入后在时刻t的资本总额(连本带利)为
s(t). 于是,资金函数s(t)就是如下初值问题的解:
r s '( t ) 1 0 0 s ( t ) . s |t 0 s 0
例7（Logistic模型 ）设对某种传染病,某个居民区有
y
x0
dQ dt
kQ .
解得
Q t Ce .
把t = 0代入其中求得C= Q0. 由条件得Q(240) = 0.9Q0,代入得 0.9 Q0 = Q0 e240k， 解得 k = ( ln 0.9)/240 -0.000439. 因此,所求特解为 Q(t) = Q0e-0.000439t.
例5（陨石的挥发）
陨石挥发的速度与陨石的表
面积成正比. 若假设陨石是质量均匀的球体,试求出 陨石的质量m关于时间t的函数表达式.
解 设t时刻陨石的半径为r(t),质量为m(t),表面积为s(t). 由题意得
s t 4 r
d m (t ) dt
2
ks t 其 中 k 0 .
u
2
x
2
u
2
y
2
0.
把常微分方程称为微分方程或简称为方程.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数,叫做该方程的阶 ,例如
x2y + 2xy - y + 5y = e x 和 y(5) + 3y(4) -5xy - y = 0 分别是3阶和5阶微分方程. n阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y,…,y(n)) = 0，
利息,同时每个月获得的利息存在银行也可生利息).
如果存款时间很长,可把资金看成时间的连续函数. 假定该款存入后在时刻t的资本总额(连本带利)为
s(t). 于是,资金函数s(t)就是如下初值问题的解:
r s '( t ) 1 0 0 s ( t ) . s |t 0 s 0
例7（Logistic模型 ）设对某种传染病,某个居民区有
y
x0
第六章 常微分方程
第六章常微分方程第1节基本概念1.常微分方程含未知函数的导数的方程。
2.阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。
3.解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。
特解：通解中的任意常数确定。
初始条件：y(=，=，…，=4.线性方程y和y的各阶导数都是以一次式出现的。
第2节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程：转化：=f(x)g(x)=两边同时积分2.齐次微分方程：如果=f()，那么设=u，则y=x u(x)那么=u(x)+x带入原方程得：u+x=f(u)= （可分离变量）3.一阶线性微分方程通式：+P(x)y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。
一阶线性齐次微分方程通解：y=C一阶线性非齐次微分方程通解：y=(第3节高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程a)逐次积分解决。
b)令u(x)=,则=。
代入原式。
c)令=p(y),则=。
代入原式。
2.线性微分方程解的结构通式（二阶为例）：++Q(x)y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。
（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。
（2）若,是齐次的解，则仍然是它的解。
（3）接（2）若,线性无关，则是它的通解。
（4）若Y是齐次的通解，是非齐次的特解，则y=Y+是非齐次的通解。
3.二阶常系数线性微分方程通式：++Qy=f(x)齐次：++Qy=0特征方程：a)>0，有两个不等实根、。
则Y=+是齐次方程的通解。
b)=0，有两个相等实根。
则Y=+=是齐次方程的通解。
c)<0，有两个不等虚根。
则Y=是齐次方程的通解。
非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。
只有两种f(x)能找到特解：a)f(x)==是特征方程的k重根。
Qn是和Pn相同形式多项式。
b)f(x)=[Cos+sin]=[Cos+sin]m=max{n,l}是特征方程的k重根。
更多资料信息联系QQ：3324785561。
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程是一类数学方程，可以用来描述物理系统的运动规律。
它的形式为：y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + ... + an-1y(1) + any(0) = f(t)，其中，y(n)是未知函数，a1、
a2、...、an-1、an是系数，f(t)是非齐次项。
高阶线性微分方程可以用来描述振动系统、声学系统、电磁系统等多种物理系统的运动，是工程学、物理学、数学等学科的重要研究内容。
解决高阶线性微分方程的方法有多种，如拉普拉斯变换、积分变换、Laplace变换等。
高阶线性微分方程在工程应用中有着重要的作用，它可以用来描述工程系统的运行规律，为工程设计提供重要的理论支持。
因此，研究高阶线性微分方程具有重大的意义。
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
微积分(高阶线性微分方程
tan x
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
14
已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
14
已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
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高阶线性方程
定义 设 y1 ( x ), y2 ( x ),, yn ( x )是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
第 十 二 章 微 分 方 程
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如，
第 十 y P ( x ) y Q( x ) y 0 二 章 的两个解, 则 y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x )
定理1. 若函数 y1 ( x ), y2 ( x ) 是二阶齐次线性方程
微 也是该方程的解. (叠加原理) 分 方 证: 将 y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) 代入方程左边, 得 程
( n1)
an1 ( x ) y an ( x ) y f ( x )
f ( x) 0 f ( x) 0
时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.
定理 5
n k 1
是n阶齐次线性方程的
n个线性无关特解, 则 y C k yk ( x )
是该方程的通解.
第四节
高阶线性方程
思考: 必线性 定理 2. 相关
中有一个恒为 0, 则 是二阶线性齐次方程的两个线
第 十 性无关特解, 则 y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) 二 章 数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程 微 分 y2 常数, 方 y tan x 程 1
有特解
若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关.
-4-
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
第四节
高阶线性方程
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的
第 十 二 章 微 分 方 程
使
y1 ( x ) y2 ( x )
k2 k1
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ; (C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示:
y1 y3 , y2 y3
都是对应齐次方程的解,
- 11 -
二者线性无关 . (反证法可证)
第四节
高阶线性方程
例2 已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 有三 个解 y1 x , y2 e x , y3 e 2 x , 求此方程满足初始条件
[ C1 y1 C 2 y2 ] P ( x )[ C1 y1 C 2 y2 ]
Q( x )[ C1 y1 C 2 y2 ]
C1 [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ]
C 2 [ y2 P ( x ) y2 Q ( x ) y 2 ] 0
- 13 -
第四节
高阶线性方程
定理 6 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性
第 十 无关特解, 二 章 的通解为 微 分 方 程
是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
Y ( x) y ( x)
齐-
第四节
高阶线性方程
定理 7
分别是 n 阶线性方程
第 十 二 章 微 分 方 程
定理 3. 设 y * ( x ) 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y ( x) y * ( x)
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y Y ( x ) y * ( x ) 代入方程①左端, 得
( Y y * ) P ( x ) ( Y y * ) Q( x ) ( Y y * ) ( Y P ( x )Y Q( x )Y )
( 无妨设
k1 0 )
线性无关 由此可知
y1 ( x ) y2 ( x )
常数
函数 e ax , e bx ( a b ) 是线性无关的；
ax ax 函数 e , xe 是线性无关的；
函数 e a x co s b x , e a x sin b x ( b 0 ) 是线性无关的；
-5-
是方程
y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f 2 ( x )
y 1 y 2 P ( x )[ y 1 y 2 ] Q ( x )[ y 1 y 2 ] [ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ] [ y 2 P ( x ) y 2 Q ( x ) y 2 ] f1 ( x ) f 2 ( x )
y P ( x ) y Q( x ) y 0
的解。
- 10 -
第四节
高阶线性方程
例1 设线性无关函数
都是二阶非齐次线
性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )的解, C1 ,C 2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
第 十 二 章 微 分 方 程
-2-
证毕
第四节
高阶线性方程
说明:
y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
第 十 也是齐次方程的解 二 章 但是 微 分 方 程
并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
-3-
第四节
第 十 二 章 微 分 方 程
则 的解, , 为常数， y y 1 y 2 是n阶线性方程
f1 ( x ) f 2 ( x )
的解。
- 15 -
f ( x) 0 f ( x)
-7-
第四节
高阶线性方程
故 y Y ( x ) y * ( x ) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
第 十 二 章 微 分 方 程
证毕
例如, 方程 y y x 有特解
对应齐次方程 y y 0 有通解
y(0) 1 , y(0) 3
第 十 二 章
的特解 .
e x
x
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
y2 y1 y3 y1 e
2x
微 分 因而线性无关, 方 程
x
常数
故原方程通解为
x 2x
y C1 (e x ) C 2 (e
x)
第四节
高阶线性方程
第四节 高阶线性方程
第 十 二 章 微 分 方 程
一 二阶齐次线性方程的通解结构
二 二阶非齐次线性方程的通解结构 三 n阶线性方程的通解结构
-1-
第四节
高阶线性方程
一 二阶齐次线性方程的通解结构
二阶齐次线性方程一般形式
y P ( x ) y Q( x ) y 0
Y C1 cos x C 2 sin x
因此该方程的通解为
-8-
第四节
高阶线性方程
定理 4.
分别是方程
y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
第 十 二 章 微 分 方 程
的特解, , 为常数， 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) y P ( x ) y Q ( x ) y 证
代入初始条件 y(0) 1 , y(0) 3, 得 C1 1 , C 2 2 ,
故所求特解为 y 2e 2 x e x .
- 12 -
第四节
高阶线性方程
三 n阶线性方程的通解结构
n 阶线性微分方程的一般形式为
y
第 十 二 章 微 分 方 程
( n)
a1 ( x ) y
故方程的通解为
x
且
又例如 : 对 ( x 1 ) y ' ' xy ' y 0 , y 1 x , y 2 e 是方程
的两个解 , 则方程的通解为
: y c1 x c 2e .
x
-6-
第四节
高阶线性方程
二 二阶非齐次线性方程解的结构
二阶非齐次线性方程一般形式
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
-9-
第四节
高阶线性方程
特别取 f ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ), 1 , 有 设 y1 ( x ), y2 ( x ) 为方程
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
第 十 二 章 微 分 方 程
则 的两个解， y1 y2 为方程