高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面平行的性质正式版
高中数学-直线与平面平行、平面与平面平行的性质
【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1 的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＭＰ.
∵Ｐ，Ｑ分别是面ＡＡ１ Ｄ１Ｄ，面A1B1C1D1的中点，
∴ＭＰ∥AD, MP=
ＮＱ＝
1 2
Ａ１Ｄ１.
1 2
AD,NQ∥A1D1，
∴ＭＰ∥ＮＱ且ＭＰ＝ＮＱ.
∴四边形ＰＱＮＭ为平行四边形.
∴ＰＱ∥ＭＮ.
∵MN AA1B1B，
∵CQ∥
∴CQ∥MN.
∵ＥＦ是△ABC的中位线，∴Ｍ是ＰＣ的中点，
则Ｎ是ＰＱ的中点，即ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.
【点评】Ｐ，Ｃ，Ｑ三点所确定的辅助平面是解决本题的 核心.有了面ＰＣＱ，就有了连接ＣＤ与面ＥＦＧＨ的桥梁， 线面平行的性质才能得以应用.
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如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
.
∴AC∥MN∥AC,且AC＝ 13ＡＣ.
∴AC∥平面ＡＢＣ.
同理，A′B′∥平面ＡＢＣ.
又∵AC∩A′B′=A′,
∴平面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥平面ＡＢＣ.
1
1
（２）同理A′B′= AB3 , B=C BC3 ，
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′
S△ABC =1：9.
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1.如何理解线面平行的性质定理？
表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一 边或平行四边形内的一条线段平行.
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2.如何理解两个平面平行的性质定理？
平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的 定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与 平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者， 是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往 转化为证明面面平行.
高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP .►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF .[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG .►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H .【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH .3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE .►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离.【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC.[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a ⊂α,b ⊂α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥αD.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D.当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝34,求A到平面PBC 的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π2, AB =BC =12AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′ABCFE 的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD , ∠BAD =∠ABC =90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.。
必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习
必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习本文档将介绍必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质，并提供相关练题。
一、线线平行的判定和性质1. 判定方法- 定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。
定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。
- 定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。
定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。
2. 性质- 平行线之间的距离相等。
- 平行线截取的两个平行线段成比例。
- 平行线相交的任意两对内错角相等，外错角相等。
- 平行线与一个横截线相交，所成的相应角、对应角均相等。
二、面面平行的判定1. 判定方法- 定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。
定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。
- 定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。
定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。
2. 性质- 平行面之间的距离相等。
三、线面垂直的判定1. 判定方法- 定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。
定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。
2. 性质- 垂直于同一平面的两条直线平行。
四、练题1. 若两线段的长度相等，能判断这两条线段平行吗？若能，请说明理由。
2. 若两平行线上的两点与另外一直线上的两点分别相连，那么这四条线段相交于一点还是两点？请说明理由。
3. 若两平面平行，能判断这两个平面之间的距离吗？请说明理由。
以上是必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质的介绍及练题。
通过理解和练这些内容，你将更好地掌握立体几何的基本概念和性质。
希望对你有帮助！。
高中数学必修二2.2-直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
立体几何直线平面平行的判定和性质课件文
2023-11-06•直线与平面平行的判定•直线与平面平行的性质•直线与平面平行的重要结论•立体几何直线平面平行问题建模•立体几何直线平面平行问题的求解策略目录01直线与平面平行的判定直线与平面平行是指直线与平面内任意一条直线都无公共点，即直线与平面平行。
直线与平面平行的基本性质是：如果直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行。
直线与平面平行的定义直线与平面平行的判定定理如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的任何一条直线都平行。
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线的方向向量与此平面的法向量垂直。
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线的斜率与此平面的法向量的斜率互为相反数的倒数。
在工程学中，直线与平面平行的判定定理也被广泛应用，例如在机械加工、建筑设计等领域中，都需要用到这个定理来计算和设计物体的位置和形状。
直线与平面平行判定的应用在立体几何中，我们常常需要判断一条直线是否与一个平面平行，或者判断一个平面是否与另一个平面平行。
通过直线与平面平行的判定定理，我们可以很容易地判断出直线与平面的位置关系，从而解决一些立体几何的问题。
02直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理直线与平面平行，则该直线与平面内的任意一条直线均无交点，因此它们平行或异面。
若直线与平面平行，则该直线与平面的垂线互相垂直。
若两条直线都与同一平面平行，则它们的夹角为0度。
直线与平面平行性质的应用在建筑学中，可以利用直线与平面平行的性质来设计建筑物的结构，确保其稳定性和安全性。
在机械加工中，可以利用直线与平面平行的性质来加工和测量工件的尺寸和形状。
在实际生活中，可以利用直线与平面平行的性质来检测平直的物体或线段是否平行。
直线与平面平行性质的证明方法方法一01利用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行，然后根据性质定理得出结论。
方法二02利用反证法证明直线与平面平行。
假设直线与平面不平行，根据性质定理可得出矛盾，从而证明直线与平面平行。
高中数学必修二 8 5 2 直线与平面平行(第2课时)直线与平面平行的性质 练习(含答案)
8.5.2 直线与平面平行第2课时 直线与平面平行的性质一、选择题1．已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，且在平面α内C ．有无数条，一定在平面α内D ．有无数条，一定不在平面α内【答案】B【解析】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，∴//m l 且//n l ，由平行公理得//m n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾.故选：B .2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A 【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴， ∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴，EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴，又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.3．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC 、AC 于点E 、F ，则 ( )A．MF∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE【答案】B【解析】∵在AA 1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM//BN，∴MN//AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．4．如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为AB=BC=CD=DA=2，所以四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB，又CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，所以CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB=EF，所以CD∥EF，所以EF∥AB.又因为E为SA中点，所以EF=12AB=1.又因为△SAD和△SBC都是等边三角形，所以所以四边形DEFC 的周长为：故选C.5．（多选题）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．共面 【答案】AB【解析】∵AB CD ∥，AB 平面α，CD ⊄平面α，∴CD ∥平面α，∴直线CD 与平面α内的直线没有公共点，直线CD 与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选A B ．6．（多选题）在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形【答案】CD【解析】由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形.故选：CD .二、填空题7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，E 是11A C 上一点，但1//A B 平面1B DE ，则11A E EC 的值为_______. 【答案】12【解析】如下图所示，连接1BC 交1B D 于点F ，连接EF .在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BDF C B F ∴∆∆， D 为BC 的中点，111122BD BC B C ∴==，11112BF BD FC B C ∴==. 1//A B 平面1B DE ，1A B ⊂平面11A BC ，平面11A BC ⋂平面1B DE EF =，1//A B EF ∴，11112A E BF EC FC ∴==，故答案为12. 8．正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在1CC 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =_____.【解析】取1AA 中点M ，连接,EM MFE 为AD 的中点，M 为1AA 中点⇒11EMA D EMBC ⇒⇒//EM 平面1AB C又因为：//EF 平面1AB C ⇒ 平面//EMF 平面1AB C ⇒ //MF 平面1AB C ，因为MF ⊂平面11,AA C C 平面11AAC C 平面1AB C AC =MF AC ⇒⇒F 为1CC 中点.在Rt ECF ∆中，计算知：EF =9．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，DD 18= ，E ，F 分别是侧棱1AA ，1CC 上的动点，8AE CF +=，点P 在棱1AA 上，且2AP =，若//EF 平面PBD ，则__________CF =.【答案】2【解析】连接AC ，交BD 于点O ，连接PO .因为//EF 平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF 平面PBD PO =，所以//EF PO ；在1PA 上截取2PQ AP ==，连接QC ，则//QC PO ，所以//EF QC ，所以易知四边形EFCQ 为平行四边形，则CF EQ =.又8AE CF +=，18AE A E +=，所以11122A E CF EQ AQ ====，故2CF =. 故答案为：2.10．如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①，AC BD =②，//AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45．【答案】①③④【解析】解：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，//PQ MN ∴，PQ ⊄平面ACD ，MN ⊂平面ACD ，//PQ ∴平面ACD ．平面ACB ⋂平面ACD AC =，//PQ AC ∴，可得//AC 平面PQMN ．同理可得//BD 平面PQMN ，//BD PN ．PN PQ ⊥，AC BD ∴⊥．由//BD PN ，MPN ∴∠是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45．由上面可知：//BD PN ，//PQ AC ．PN AN BD AD ∴=，MN DN AC AD=， 而AN DN ≠，PN MN =，BD AC ∴≠．综上可知：①③④都正确．故答案为①③④．利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．三、解答题11．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M,N 分别为AB,PC 的中点，平面PAD 平面PBC ＝l .(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l.(2)解 MN ∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD 中点E ，连结AE ，EN.又∵N 为PC 的中点，∴//12EN CD =又∵//12AM CD = ∴//AM EN =即四边形AMNE 为平行四边形．∴AE ∥MN ，又MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD.∴MN ∥平面PAD.12．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点，点M 在侧棱PC 上，且PM tPC =，若//PA 平面MQB ，试确定实数t 的值.【答案】13【解析】如图，连接BD AC AC ,,交BQ 于点N ，交BD 于点O ，连接MN ，易知O 为BD 的中点.∵,BQ AO 分别为正三角形ABD 的边,AD BD 上的中线，∴N 为正三角形ABD 的中心.设菱形ABCD 的边长为a，则AN =，AC =. ∵//PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC平面MQB MN =， ∴//PA MN ，∴13a PM AN PC AC === 即13PM PC =，∴实数t 的值为13.。
高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面垂直的性质(复习课)全面版
直线与平面、平面与平面垂直的性质( 复习课 )【常考题型】题型一、线面、面面垂直的综合问题【例 1】如图，已知直线a⊥ α，直线 b⊥ β，且 AB⊥ a，AB⊥ b，平面α∩β＝ c.求证： AB∥ c.[ 证明 ]如图，过点 B 作直线 a′ ∥a， a′与 b 确立的平面设为γ.由于 a′ ∥a，AB⊥a，所以 AB ⊥a′，又 AB⊥b， a′∩ b＝ B，所以 AB ⊥γ.由于 b⊥β， c? β，所以 b⊥c.①由于 a⊥α， c? α，所以 a⊥c，又 a′ ∥a，所以 a′ ⊥c.②由①②可得c⊥γ，又 AB⊥γ，所以 AB∥c.【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判断定理和性质定理，有时也能够放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)而后再判断它们的地点关系．【对点训练】1.如下图：平面α，β，直线a，且α⊥ β，α∩ β＝AB，a∥ α，a⊥ AB.求证： a⊥ β.证明：∵a∥α，过 a 作平面γ交α于 a′，则 a∥a′∵a⊥AB ，∴a′ ⊥AB.∵α⊥β，α∩β＝ AB，∴a′ ⊥β，∴a⊥β.题型二、求点到面的距离 【例2】 已知△ABC ， AC ＝BC ＝1， AB ＝2，又已知S 是△ ABC所在平面外一点，SA＝ SB ＝ 2， SC ＝5，点P 是 SC 的中点，求点P 到平面ABC的距离．[ 解] 法一： 如下图，连结 PA ， PB.易知△SAC ，△ACB 是直角三角形，所以 SA ⊥AC ，BC ⊥AC.取 AB 、 AC 的中点 E 、F ，连结 PF ， EF ，PE ，则 EF ∥BC ，PF ∥SA.所以 EF ⊥AC ， PF ⊥AC.由于 PF ∩ EF ＝F ，所以 AC ⊥平面 PEF.又 PE? 平面 PEF ，所以 PE ⊥AC.易证△SAC ≌△SBC.由于 P 是 SC 的中点，所以 PA ＝PB .而 E 是 AB 的中点，所以 PE ⊥AB .由于 AB ∩ AC ＝A ，所以 PE ⊥平面 ABC.进而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离．151 2在 Rt △AEP 中， AP ＝2SC ＝ 2 ，AE ＝2AB ＝ 2 ，225 1 3所以 PE ＝ AP －AE ＝4－ 2＝ 2 ， 即点 P 到平面 ABC 的距离为3 2.法二： 如下图，过 A 作 AE ∥BC ，过 B 作 BF ∥AC ，交 AE 于点 D ，则四边形 ACBD 为正方形．连结 SD.由于 AC ⊥SA ， AC ⊥AD ， SA ∩ AD ＝ A ，所以 AC ⊥平面 SDA.所以 AC ⊥SD.又由题意，可知BC ⊥SB.由于 BC ⊥BD ，SB ∩ BD ＝ B ，所以 BC ⊥平面SDB ，所以 BC ⊥SD.又 BC ∩ AC ＝C ，于是 SD ⊥平面 ACBD .所以 SD 的长为点 S到平面 ABC 的距离．在 Rt△SDA 中易得 SD＝SA2－AD 2＝ 22－ 12＝ 3.由于 P 为 SC 的中点，故点P 到平面 ABC 的距离为13 2SD＝2 .【类题通法】求点到面的距离的重点是确立过点与平面垂直的线段．可经过外形进行转变，转变为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．【对点训练】2.如下图，正四棱柱 ABCD － A1B1C1D1中，底面边长为 2 2，侧棱长为 4， E， F 分别为棱 AB ，BC 的中点， EF∩ BD ＝G.(1)求证：平面 B1EF⊥平面 BDD 1B1；(2)求点 D1到平面 B1EF 的距离．解：证明： (1)连结 AC.∵正四棱柱 ABCD － A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD .又 AC ⊥DD 1，且 BD ∩DD 1＝ D，故 AC⊥平面 BDD 1B1，∵E， F 分别为棱 AB， BC 的中点，故EF ∥AC，∴EF⊥平面 BDD 1B1，∴平面 B1EF ⊥平面 BDD 1B1.(2)解题流程：题型三、折叠问题【例 3】如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿 DE 将△ ADE 折起．(1)假如二面角 A－ DE －C 是直二面角，求证： AB＝AC ；(2) 假如 AB＝ AC，求证：平面ADE ⊥平面 BCDE .[证明 ] (1)过点 A 作 AM ⊥DE 于点 M，则 AM ⊥平面 BCDE ，∴AM ⊥BC.又 AD＝ AE，∴M 是 DE 的中点．取BC 中点 N，连结 MN ， AN，则 MN ⊥BC.又 AM ⊥BC，AM∩ MN＝M，∴BC⊥平面 AMN ，∴AN⊥BC.又∵N 是 BC 中点，∴AB＝ AC.(2)取 BC 的中点 N，连结 AN.∵AB＝ AC，∴AN⊥BC.取 DE 的中点 M，连结 MN ， AM，∴MN ⊥BC.又 AN∩MN＝N，∴BC⊥平面 AMN ，∴AM ⊥BC.又 M 是 DE 的中点， AD＝ AE，∴AM⊥DE .又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的订交直线，∴AM ⊥平面 BCDE .∵AM ? 平面 ADE ，∴平面 ADE ⊥平面 BCDE .【类题通法】解决折叠问题的策略(1) 抓住折叠前后的变量与不变量．一般状况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“ 越过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这种问题的重点．(2) 在解题时认真审察从平面图形到立体图形的几何特点的变化状况．注意相应的点、直线、平面间的地点关系，线段的长度，角度的变化状况．【对点训练】3．如下图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD ＝2AB＝ 2a，BD ＝ 3a， AC∩ BD＝ E，将其沿对角线 BD 折成直二面角．求证： (1) AB⊥平面 BCD ；(2) 平面 ACD ⊥平面 ABD .证明： (1) 在△ABD 中， AB＝ a，AD ＝ 2a， BD ＝3a，222∴AB ＋BD ＝AD ，∴∠ABD ＝ 90°，∴AB⊥BD.又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ，平面 ABD ∩平面 BCD ＝BD ，AB? 平面 ABD，∴AB⊥平面 BCD .(2)∵折叠前四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB⊥BD ，∴CD ⊥BD .∵AB⊥平面 BCD ，∴AB⊥CD .又∵AB∩ BD＝B，∴CD ⊥平面 ABD.又∵CD ? 平面 ACD，∴平面 ACD ⊥平面 ABD .【练习反应】1．如下图，三棱锥P，A，B 是定点，则动点P－ABC 的底面在平面C 运动形成的图形是(α上，且)AC ⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点A．一条线段B．一条直线分析：选 D∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC?平面PAC，且平面PAC∩平面 PBC ＝∴AC⊥平面 PBC.又∵BC? 平面 PBC ，∴AC ⊥BC，∴∠ACB＝ 90°，∴动点 C 运动形成的图形是以AB 为直径的圆，除掉 A 和 B 两点，应选 D.2．在三棱锥P— ABC 中，平面 PAC⊥平面角形， PC＝ 4，M 是 AB 边上的一动点，则PM ABC，∠ PCA ＝ 90°，△ ABC 是边长为 4 的正三的最小值为 ()A．23B．27C．43D．47分析：选B连结CM ，则由题意PC⊥平面 ABC，可得PC⊥CM ，所以 PM＝PC 2＋CM 2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC 中，当CM ⊥AB 时CM有最小值，此时有CM＝4×32 ＝23，所以 PM 的最小值为 2 7.3．若组成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD ，教室内一点墙面α，β，γ的距离分别为 3 m， 4 m,1 m ，则 P 与墙角 B 的距离为 ________ m.P 到三分析：过点P 向各个面作垂线，组成以BP为体对角线的长方体．|BP|＝32＋ 42＋ 1＝26.答案：264．如下图，平面α⊥平面β， A∈ α， B∈ β， AA′⊥ A′ B′， BB′⊥ A′ B′，且 AA′＝ 3， BB′＝ 4，A′ B′＝ 2，则三棱锥 A— A′ BB′的体积 V＝ ________.分析：由题意 AA1⊥面A′ BB′，BB′ ⊥面A′ B′A，则三棱锥 A—A′ BB′中，AA′为高，底面△A′ BB′为 Rt△.∴V A－′BB′ ＝1△′BB′＝1×3×1× 2×4＝ 4.AA′ ·S323答案： 45．如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ.α∩ γ＝ a，β∩γ＝b，且 a∥b，求证：α∥ β.证明：在平面γ内作直线c⊥a.∵α⊥γ，α∩ γ＝ a，∴c⊥α.∵a∥b，∴c⊥b.又∵β⊥γ，β∩ γ＝ b，∴c⊥β，∴α∥β.你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面平行的判定正式版
直线与平面、平面与平面平行的判定知识梳理】1．直线与平面平行的判定表示定理图形 文字 符号直线与平面平行 的判定定理平面外一条直线与此 平面内一直线平行，则该 直线与此平面平行a?α b? α a ∥b? a ∥ α表示位置图形 文字 符号平面与平面平行 的判定定理一个平面内的两条 相交直线与另一个平面 平行，则这两个平面平 行a? βb? β a ∩b ＝ P ? α∥β a ∥α b ∥α常考题型】题型一、直线与平面平行的判定【例 1】 已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， P ，Q 分 别是对角线 AE ，BD 上的点，且 AP ＝ DQ （如图 ）．求证： PQ ∥平面 CBE.［证明］ 作PM ∥AB 交 BE 于点 M ，作 QN ∥AB 交BC 于点 N ，连接 MN ，如图，∴EP ＝ BQ.又 AB ＝CD ，∴PM 綊 QN ， ∴四边形 PMNQ 是平行四边形， ∴PQ ∥MN .则 PM ∥QN ， PM＝EP ，QN ＝BQ. AB ＝EA ，CD ＝BD .EA ＝BD ， AP ＝DQ ，又PQ?平面CBE，MN? 平面CBE，∴PQ∥平面CBE.【类题通法】利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．【对点训练】1.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E，F分别是PB，PC 的中点．证明：EF∥平面PAD.证明：在△PBC 中，E，F 分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD ，∴EF ∥AD .∵AD? 平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD .题型二、面面平行的判定【例2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，M、E、 F 、N 分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、 F 、B、 D 四点共面；(2)平面MAN ∥平面EFDB .[证明] (1)连接B1D1，∵E、F 分别是边B1C1、C1D1 的中点，∴EF∥B1D 1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D 四点共面．(2)易知MN ∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN ∥BD. 又MN?平面EFDB ，BD? 平面EFDB.∴MN ∥平面EFDB .连接MF.∵M、F 分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF ∥A1D 1，MF ＝A1D1.∴MF ∥AD ，MF ＝AD.∴四边形ADFM 是平行四边形，∴ AM ∥DF . 又AM?平面BDFE ，DF? 平面BDFE，∴AM ∥平面BDFE .又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN ∥平面EFDB .类题通法】两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．对点训练】2.如图，已知四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M，N，Q 分别在PA，BD，PD 上，且PM∶MA＝BN∶ND ＝PQ∶QD.求证：平面MNQ ∥平面PBC.证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD ，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP? 平面PBC，NQ?平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD 为平行四边形，∴BC ∥AD ，∴MQ ∥BC.∵BC? 平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩ NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ ∥平面PBC.题型三、线线平行与面面平行的综合问题【例 3】 如图，在四棱锥 O － ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， M 为 点，N 为BC 的中点．证明：直线 MN ∥平面 OCD.［证明］ 如图，取 OB 中点 E ，连接 ME ，NE ，则 ME ∥AB .又∵AB ∥CD ， ∴ME ∥CD .又∵ME?平面 OCD ， CD? 平面 OCD ， ∴ME ∥平面OCD .又∵NE ∥OC ，且 NE?平面 OCD ， OC? 平面 OCD ， ∴NE ∥平面OCD.又∵ME ∩NE ＝ E ，且 ME ，NE? 平面 MNE ， ∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN? 平面 MNE ，∴MN ∥平面OCD . 类题通法】解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．(2)判定判定―→ 线面平行 ――面面平行线线平行 OA 的中G( )所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．对点训练】∴直线EG ∥平面BDDB .(2)连接 SD ，∵F ，G 分别是 DC ，SC 的中点，∴FG ∥SD.又∵SD? 平面 BDD 1B 1，FG ?平面 BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDDB .又 EG ∥平面BDD B ，且 EG? 平面 EFG ，FG? 平面 EFG ，EG ∩FG ＝G ，∴平面 EFG ∥平面BDD B .练习反馈】解析： 选 C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．2．能保证直线 a 与平面 α平行的条件是 ( )A ． b? α，a ∥ b则这两个平面的位置关A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对3.如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点， E ，F ，∴EG ∥SB.又∵SB? 平面 BDD 1B 1，EG?平面 BDD 1B 1. 1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线， 分别是 BC ，DC ，SC 的中点．求证： (1)直线 EG ∥平面 BDD B ；(2)平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1. 证明： (1) 如图，连接 SB ，∵E ，G 分别是 BC ，SC 的中点， 系是B ．b? α，c ∥α，a ∥b ， a ∥cC ．b? α，A 、B ∈ a ，C 、D ∈b ，且 AC ∥BD D ． a?α，b? α， a ∥b解析： 选 D 由线面平行的判定定理可知， D 正确．置关系是解析： 如右图所示，连接 BD 交 AC 于点 O. 在正方体中容易得到点 O 为BD 的中点．又因为 E 为 DD 1 的中点，所以 OE ∥BD 1.又∵OE? 平面 ACE ， BD 1?平面 ACE ，∴BD 1∥平面ACE.答案： 平行4．下列命题真命题序号为 _______① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行； ② 若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③ 若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．解析： ①错，应为一平面内两相交直线与另一平面平行；②当两平面相交时，一面内也有 无数条直线均与另一平面平行，②也不对；③中任意直线都与另一平面平行，也有两相交直线 与另一平面平行，故③为真；④为两平面平行的判定定理，故④也为真．答案： ③④5.如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面相交． EF ∥ AC ， AB ＝ 2，EF ＝1.求证： AF ∥平面 BDE.证明： 设 AC ， BD 交于点 G ，因为 EF ∥AC ，且 EF ＝ 1，易得AG ＝ 12AC ＝1，所以四边形 AGEF 为平行四边形，所以 AF ∥EG.因为 AF?平面 BDE ，EG? 平面 BDE ， 所以 AF ∥平面BDE.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。
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直线与平面、平面与平面平行的性质
【知识梳理】
1．线面平行的性质定理
(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (2)图形语言：
(3)符号语言：
⎭
⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b
(4)作用：线面平行⇒线线平行．
2．面面平行的性质定理
(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
⎭
⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b
(4)作用：面面平行⇒线线平行．
【常考题型】
题型一、线面平行的性质及应用
【例1】 如图所示，已知三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为▱EFGH ，求证：CD ∥平面EFGH .
[证明]∵EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.
又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，
∴EF∥CD.
又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
【类题通法】
运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．【对点训练】
1．求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
证明：如图，过a作平面γ交α于b.
∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，
∴a∥c，∴b∥c.
又b⊄β且c⊂β，∴b∥β.
又平面α过b交β于l，∴b∥l.
∵a∥b，∴a∥l.
题型二、面面平行的性质及应用
【例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别
交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.
[证明]过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，
连接MP，PN，BE，ED，AC.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC.
∵α∥β，∴AC∥DE.
又∵P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥DE.∵PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.
又∵M，P分别为AB，AE的中点，
∴MP∥BE.又∵MP⊄α，BE⊂α，
∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P，
∴平面MPN∥α.
又∵MN⊂平面MPN，∴MN∥α.
【类题通法】
1．把握面面平行性质定理的关键
(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交．
(2)定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
2．面面平行的性质定理的几个推论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．
(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
【对点训练】
2.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝2a ，E 为AB 上一点，将
B 点沿线段E
C 折起至点P ，连接P A 、PC 、P
D ，取PD 中点F ，若有AF
∥平面PEC ，试确定E 点的位置．
解：取PC 的中点G ，连接GE ，GF .如右图．
由条件知GF ∥CD ，
EA ∥CD ，∴GF ∥EA ，则G ，E ，A ，F 四点共面．
∵AF ∥平面PEC ，
平面GEAF ∩平面PEC ＝GE ，
∴AF ∥GE .∴四边形GEAF 为平行四边形．
∵GF ＝12CD ，∴EA ＝12CD ＝12
BA ， ∴E 为AB 的中点．
题型三、线面平行和面面平行的综合问题
【例3】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，如图．
(1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；
(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，
并证明：A 1E ＝EF ＝FC .
[解] 证明：(1)因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 綊B 1C 1，
所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D .
又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD .
所以AB 1∥平面C 1BD .
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，
即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，
即CF＝FE，
所以A1E＝EF＝FC.
【类题通法】
1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
2．要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．【对点训练】
3.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别
是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．
(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；
(2)求PQ 的长；
(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .
解：(1)证明：如图所示．
连接AC ，CD 1，
∵P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点，
∴PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1，
CD 1⊂平面DCC 1D 1，
∴PQ ∥平面DCC 1D 1.
(2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22
a . (3)证明：取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，∴平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .
又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .
【练习反馈】
1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A ．平行
B ．平行或异面
C ．平行或相交
D ．异面或相交
解析：选B 由题意，CD ∥α，则平面α内的直线与CD 可能平行，也可能异面．
2.如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN
∥平面P AD，则()
A．MN∥PD
B．MN∥P A
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：选B∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN∥P A.
3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.
答案：平行
4.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边
形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边
形ABCD的形状一定是________．
解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在面与面α平行，
则AB∥A1B1，且四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形．∴AB綊CD，从而四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
5.如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，点M，N分别为AB，PC
的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面P AD是否平行？证明你的结论．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD.又因AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，所以BC∥平面P AD.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l.
(2)MN∥平面P AD.证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE，
AE ，所以NE ∥CD ，NE ＝12
CD . 而CD 綊AB ，M 为AB 中点，所以NE ∥AM ，NE ＝AM ，所以四边形MNEA 是平行四边形，所以MN ∥AE .又AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .。