课时4函数与等腰三角形及三角形的面积问题(教师用)

图1 图2
的三边长，为解等腰三角形做好准备．
是等腰三角形，分三种情况列方程求解．
的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长
1．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得
图3 图4 图5
所经过的路径长为
54
π
．
）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以
12
P C M B C M
B A
==．因此P C
，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m
m
-=．解得图6 图7
如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，x 的函数关系式；
，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ ，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
图2 图3 图4
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42
A B=，所以OB＞AB．因此∠
P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
图5 图6 图7
上，QP＝QA时，也可以用2co s
=⋅∠来求解．
A P A Q A
，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在
OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥
）题的计算中要用到．
为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，
＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．
． 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，
图3 图4 图5
考点伸展
在第（2）题情景下，∠EDC 绕点D 旋转的过程中，FG 的长怎样变化？ 设AF 的长为m ，那么82)
2()
2(2
2
2
+=-++=
m
m m FG ．
点F 由E 开始沿射线EA 运动的过程中，FG 先是越来越小，F 与A 重合时，FG 达到最小值图2
的位置关系分两种情况讨论．kx b
+，代入点A (1，0)
图2 图3 图4
AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．
，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x
x x ⎛
⎫⎛
⎫--
=--
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．解得1x
=
图5 图6
，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点
的坐标；
＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．
①求二次函数的解析式和它的对称轴；
．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．
在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点
的纵坐标表示△ABM的底边长，因点M的位置不同而不同．
图2 图3
，还有几个典型结论：
三点在同一条直线上；△CEM的周长最小．
的解析式为
4
4
5
y x
=-+，当x＝3时，
8
5
y=．
）在直线AC上．
边对应的高等于OC；当E在AB边上时，
图2 图3 图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5
5
，如图7所示．
的最小面积为1，如图6所示；最大面积为
3
图5 图6 图7
2，如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点
方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x
点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图
图1 图2
图3 图4
附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点倍．先求直线AB、BC、的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．
附加题也可以这样解：
AMP中，设AM＝3m，5m，那么OQ＝8m．根据
图5 图6
参考答案
3．3
≥4．2(x-．1
x-
=+等
y x
8 8．19°9．1
13．C 14．C 15A。