布莱克舒尔斯期权定价模型.pptx
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期权定价模型：Black-Scholes期权定价模型 期货理论与实务 (金融期货) 教学课件
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 2S2的伊藤过程来表示：
dSSdtSdz
两边同除以S得：
dSdtdz （6.6）
S
则： SS tS z （6.12）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
d f( S fS ft1 2 S 2f22S2)d t S fS（d 6.z 13） f ( S fS ft 1 2 S 2f22 S 2 ) t S fS票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： dG ( G xa G t1 2 2 xG 2b2)d t G xb（d6z.8）
由于 dSSdtSdz （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22S2)d t G SSd (6.1z0)
i1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
Black-Scholes期权定价模型46页PPT
变量x的漂移率为a，方差率为b2，都随时间变化。这就是伊 藤过程。
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
其中，d dG z 是( 一G xa 个 标 G t准1 2 布 2 x 朗G 2b 运2)d 动t。 G x由b d z 于a 和b都是x和t的函数， 因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
17.07.2021
如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者 绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的 收益率难以直接计算。
如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同 时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。
12
几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： Stt
可见，S在短时间内， S 具有正态分布特征
S
S~(t, t)
S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
17.07.2021
13
几何布朗运动的深入分析（2）
但态是分，布在的一性个质较：长的ห้องสมุดไป่ตู้间T后， S S 不再具有正
Black-Scholes期权定价模型
第六章
Black-Scholes期权定价模型
17.07.2021
2
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
其中，d dG z 是( 一G xa 个 标 G t准1 2 布 2 x 朗G 2b 运2)d 动t。 G x由b d z 于a 和b都是x和t的函数， 因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
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如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者 绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的 收益率难以直接计算。
如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同 时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。
12
几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： Stt
可见，S在短时间内， S 具有正态分布特征
S
S~(t, t)
S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
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几何布朗运动的深入分析（2）
但态是分，布在的一性个质较：长的ห้องสมุดไป่ตู้间T后， S S 不再具有正
Black-Scholes期权定价模型
第六章
Black-Scholes期权定价模型
17.07.2021
2
第6章 布莱克-斯科尔斯期权定价模型 PPT课件
由（6.10）可得
x2 b2 2t
(6.10)
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （6.11）
由于 : N(0,1),则 D( ) E[( 0)2] E( 2) 1
由（6.11）得到
E(x2 ) b2t
（6.12）
19 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 半强式效率市场假说认为， ➢ 证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息 调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已 公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的 证券。
▪ 强式效率市场假说认为， ➢ 不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都 已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”） 对挑选证券都没有用处。
▪ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
2 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
8 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
wt t t
（6.1）
这里，wt wt wt1,t : iid N (0,1)
布莱克—舒尔斯定价PPT课件
简化的模拟式: t 1 S0 1
S1 exp( z) exp(0.15 0.3z)
区间 [0，0.15]
股价个数 0
区间 [1.20,1.35]
股价个数 139
[0.15,0.30]
0
[1.35,1.50] 113
[0.30,0.45]
0
[1.50,1.65] 74
[0.45,[t
z
t ] 2t
13
E[ln(Stt / St )]
t
2 var[ln(Stt / St )]
t
通过计算对数收益序列
ln(Stt / St ),t 1, 2, , m
的均值和方差，再除以时间区间的长度 t ， 就可得资产收益对数的均值和方差。
下界:
38.56 40exp(0.15 0.004 0.31.96 0.004) S2
对于给定的置信水平 ,由标准正态分布表可
确定随机变量z的取值范围(z , z )，把所得取 值的上下界分别代入模拟式中, 即可得出该置 信水平下股票价格的变动范围。
12
估计资产收益对数的均值及其波动性( , )
票价格 )，如果采用正态分布的假定进行模拟
有可能产生负的价格.
8
实际的模拟过程
把整个时段分成若干个小的时间区间，对每 个时间区间递推使用模拟式, 得出资产在整个 时段内价格的一个走势，由此得出资产在期 末的一个价格。
假设需要模拟某股票一年以后的价格及其分布， 按一年有250个工作日算，把一年分成250个 时段, 在每一个时段使用模拟式
利用资产价格的历史数据来估计
Stt St exp(t z t )
布莱克斯科尔斯期权定价模型PPT课件
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
4、American Option：Gives owner the right to exercise the option on or before the expiration date.
Sichuan University
一、期权
思考： 期权与期货的主要区别？
Sichuan University
一、期权
(五）期权价格的合理界限 1.假设： 没有交易费用； 所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率 可以按无风险利率借入和贷出资金 一旦有套利机会出现，市场参与者随时准备利用这些套利 机会。
Sichuan University
一、期权
2、符号 S：股票现价； X：期权执行价； T：期权的到期时间； ST：在T时刻股票价格； r: T时期到期的投资的无风险利率（连续复利）；
Sichuan University
一、期权
（二）期权合约的特点： 期权合约交易的是一种买卖证券的权力，而不是交易 证券本身； 期权的买方有权力买进或卖出，但没有义务买进或者 卖出； 期权的卖方有义务履行合约，却没有权利要求执行合 约； 期权买方要向期权卖方支付一定的费用，这就是期权 费（Premiun）或期权价格（Option Price）； 期权交易具有风险与收益形式上不对称的性质; 交易所中交易的大部分期权合约是标准化合约
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
4、American Option：Gives owner the right to exercise the option on or before the expiration date.
Sichuan University
一、期权
思考： 期权与期货的主要区别？
Sichuan University
一、期权
(五）期权价格的合理界限 1.假设： 没有交易费用； 所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率 可以按无风险利率借入和贷出资金 一旦有套利机会出现，市场参与者随时准备利用这些套利 机会。
Sichuan University
一、期权
2、符号 S：股票现价； X：期权执行价； T：期权的到期时间； ST：在T时刻股票价格； r: T时期到期的投资的无风险利率（连续复利）；
Sichuan University
一、期权
（二）期权合约的特点： 期权合约交易的是一种买卖证券的权力，而不是交易 证券本身； 期权的买方有权力买进或卖出，但没有义务买进或者 卖出； 期权的卖方有义务履行合约，却没有权利要求执行合 约； 期权买方要向期权卖方支付一定的费用，这就是期权 费（Premiun）或期权价格（Option Price）； 期权交易具有风险与收益形式上不对称的性质; 交易所中交易的大部分期权合约是标准化合约
布莱克-舒尔斯期权定价模型.共34页PPT
谢谢！
布莱克-舒尔斯期权定价模型.
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜பைடு நூலகம்不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
布莱克-舒尔斯模型ppt课件
.
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导
出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如
下过程： dG (G aG 12G b2)d tG bdz
x t 2x2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
.
首先，我们要明确，在研究证券价格变化过程的时候，我 们的目标是找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地 描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单 性。 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移 率为μS、方差率为 S22 的伊藤过程来表示：
这意味着： lS n T lS n ~ [( 2 2 )T ( t),T t]
进一步从正态分布的性质可以得到：
lS n T ~ [S l n ( 2 2 )T ( t),T t]
.
也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的 自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。 这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以 及符号的定义，我们可以得到 E(ST)S和e(Tt)
dSSdtSdz
.
两边同除以S得： dSdtdz
S
该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中 S 表示证券价格， μ表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收
益率）， 表示2证券收益率瞬间的方差， 表示证券收益率瞬
间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz表示标 准布朗运动。
S
组合的价值，则： f
f
S
(3)
x
在 t时间后，该投资组合的价值变化 为：
f f S S
(4)
.
将式（1）和（2）代入式（4），可得：
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导
出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如
下过程： dG (G aG 12G b2)d tG bdz
x t 2x2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
.
首先，我们要明确，在研究证券价格变化过程的时候，我 们的目标是找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地 描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单 性。 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移 率为μS、方差率为 S22 的伊藤过程来表示：
这意味着： lS n T lS n ~ [( 2 2 )T ( t),T t]
进一步从正态分布的性质可以得到：
lS n T ~ [S l n ( 2 2 )T ( t),T t]
.
也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的 自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。 这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以 及符号的定义，我们可以得到 E(ST)S和e(Tt)
dSSdtSdz
.
两边同除以S得： dSdtdz
S
该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中 S 表示证券价格， μ表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收
益率）， 表示2证券收益率瞬间的方差， 表示证券收益率瞬
间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz表示标 准布朗运动。
S
组合的价值，则： f
f
S
(3)
x
在 t时间后，该投资组合的价值变化 为：
f f S S
(4)
.
将式（1）和（2）代入式（4），可得：
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
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❖ 特征1：z 和 t 的关系满足：z t
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0
的正态分布）中取的一个随机值。
❖ 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解：
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
❖ dz是一个标准布朗运动 ❖ a、b是变量x和t的函数 ❖ 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
❖ 目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
❖ 普通布朗运动的离差形式
x at b t
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
dx adt bdz
对普通布朗运动的理解： x at b t
❖ 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过 程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时 间为a
第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。 这种噪音是由维纳过程的b倍。
❖ z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t， 标准差为 t 。
❖ 标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。
❖ 遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：
以 z(T ) z(0) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个
长度为t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 N T / t ，
因此：
N
z(T ) z(0) i t
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程
❖ 随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。
根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可 以做如下的划分：
时间的连续性
离散时间随机过程 连续时间随机过程
变量取值范围的连续性 离散变量随机过程 连续变量随机过程
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权 价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机 过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型 第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
❖ Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是 标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。
❖ dz ：遵循标准布朗运动
几何布朗运动的离散形式 S t t
S
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征：
❖
在短时间 t
后，证券价格比率的变化值
S S
为：
S t t
S
S
❖ 因此： S 也具有正态分布特征，其均值为 t ， 方差为 2t ，标准差为 t
❖ 即： S ~ (t, t )
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
i 1
z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为 。
T
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
普通布朗运动
❖ 变量X遵循普通布朗运动：
dx adt bdz adt b dt
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差
❖ 普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。
❖ 期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化
❖ 在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程
标准布朗运动
设 t 代表一个小的时间间隔长度， z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z具有两种特 征：
❖ 基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 、 方差率为 2S 2 的伊藤过程来表示：
dS Sdt Sdz
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动
dS dt dz
S
❖ ：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 ❖ 2 ：证券收益率单位时间的方差 ❖ ：证券价格的波动率（Volatility）
思考：
❖一个投资者以100元的价格买入股票， 首先获得10%的收益然后再损失10%，看上 去不赔不赚
❖ 但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz
S
S t t
S
为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？
❖ 市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变 动有用的信息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关， 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来 的预测无关。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可 夫性质，符合弱式假说。
第一节 证券价格的变化过程
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0
的正态分布）中取的一个随机值。
❖ 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解：
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
❖ dz是一个标准布朗运动 ❖ a、b是变量x和t的函数 ❖ 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
❖ 目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
❖ 普通布朗运动的离差形式
x at b t
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
dx adt bdz
对普通布朗运动的理解： x at b t
❖ 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过 程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时 间为a
第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。 这种噪音是由维纳过程的b倍。
❖ z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t， 标准差为 t 。
❖ 标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。
❖ 遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：
以 z(T ) z(0) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个
长度为t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 N T / t ，
因此：
N
z(T ) z(0) i t
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程
❖ 随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。
根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可 以做如下的划分：
时间的连续性
离散时间随机过程 连续时间随机过程
变量取值范围的连续性 离散变量随机过程 连续变量随机过程
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权 价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机 过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型 第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
❖ Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是 标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。
❖ dz ：遵循标准布朗运动
几何布朗运动的离散形式 S t t
S
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征：
❖
在短时间 t
后，证券价格比率的变化值
S S
为：
S t t
S
S
❖ 因此： S 也具有正态分布特征，其均值为 t ， 方差为 2t ，标准差为 t
❖ 即： S ~ (t, t )
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
i 1
z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为 。
T
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
普通布朗运动
❖ 变量X遵循普通布朗运动：
dx adt bdz adt b dt
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差
❖ 普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。
❖ 期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化
❖ 在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程
标准布朗运动
设 t 代表一个小的时间间隔长度， z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z具有两种特 征：
❖ 基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 、 方差率为 2S 2 的伊藤过程来表示：
dS Sdt Sdz
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动
dS dt dz
S
❖ ：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 ❖ 2 ：证券收益率单位时间的方差 ❖ ：证券价格的波动率（Volatility）
思考：
❖一个投资者以100元的价格买入股票， 首先获得10%的收益然后再损失10%，看上 去不赔不赚
❖ 但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz
S
S t t
S
为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？
❖ 市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变 动有用的信息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关， 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来 的预测无关。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可 夫性质，符合弱式假说。
第一节 证券价格的变化过程