第7章汉诺Hanoi塔问题
《Hanoi塔问题》课件
在游戏设计和人工智能领域，Hanoi塔问题可以作为解决游戏策略和决策问题的 模型。例如在围棋、象棋等游戏中，可以利用Hanoi塔问题的解法来设计更强大 的游戏AI。
PART 04
Hanoi塔问题的扩展和变 种
REPORTING
带限制的Hanoi塔问题
总结词
带限制的Hanoi塔问题是指在移动盘 子时，需要满足一些特定的限制条件 。
分治策略解法的优点是能够将问题分 解为更小的子问题，降低问题的复杂 度。但缺点是需要仔细设计子问题的 分解方式和合并方式，以确保能够正 确地解决问题。
PART 03
Hanoi塔问题的应用
REPORTING
在计算机科学中的应用
算法设计
Hanoi塔问题可以作为解决复杂算法问题的模型，例如在解决图论、动态规划 等算法问题时，可以利用Hanoi塔问题的特性来设计更高效的算法。
决。
在Hanoi塔问题中，递归解法的基本思 路是将问题分解为三个子问题：将n个 盘，最后将第n个盘子从
A柱移动到B柱。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但缺点是对于大规模问题，递归 解法的时间复杂度较高，容易造成栈溢
出。
动态规划解法
动态规划解法是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算的方法。
数学模型的应用
汉诺塔问题可以通过数学模型进行描述和解决，如使用递归公式或动态规划方法。理解如何将实际问题转化为数 学模型，并运用数学工具进行分析和解决，是数学应用的重要能力。
对解决问题的方法论的启示
解决问题的思维方式
汉诺塔问题提供了一种独特的思维方式，即通过不断将问题分解为更小的子问题来解决。这种思维方 式有助于我们在面对复杂问题时，能够更加清晰地理解和分析问题，从而找到有效的解决方案。
Hanoi塔问题Hanoi塔问题...
PARTITION过程
以 2 8 7 1 以 6 10 13 5 3 8 5 3 6 2 4 为例 11为例
PARTITION(A, p, r) x←A[r] i←p-1 for j ← p to r-1 do if A[j] ≤ x then i ← i+ 1 exchange A[i] ↔A[j] exchange A[i+1] ↔A[r] return i+1
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递归举例-汉诺(Hanoi)塔问题
汉诺(Hanoi)塔问题分析
n=1时，直接a->b即可 n>1时，借助c实现移动，可先将n-1个圆盘按照规 则a->c，再将大圆盘a->b，最后将n-1个圆盘c->b 可以通过递归实现
伪码： hanoi(int n,int a,int b,int c) { if(n>0){hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b); hanoi(n-1,c,b,a)} }
logb a −
b b b
logb a
)
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主方法的应用
请注意，上述三种情况没有覆盖所有的f(n) 在应用时需要注意是否符合这三种情况 T(n) = 4T(n/2) + n T(n) = 4T(n/2) + n2 T(n) = 4T(n/2) + n3 T(n) = 4T(n/2) + n2/lgn T(n) = 2T(n/2) + nlgn
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分治法
分治法的基本策略
分解（Divide）：将原问题分解为子问题 解决（Conquer）：求解子问题 合并（Combine）：组合子问题的解得到原问题的 解
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分治法的适用条件
Hanoi双塔问题 代码加注释
/*拿到这个题目首先想到的是经典的“汉诺塔问题”，
但是那是汉诺“单塔”，而这道题目是汉诺“双塔”，于是可以用
贪心策略，把两块相同大小的圆盘看成一个圆盘，于是问题就简化成“单塔”了，
而hanoi塔简单的做法就是递归，递归方程为f(n)=2*f(n-1)+1,道理很简单，当前
n个圆盘总的移动次数可以看成y由n-1个圆盘移动基础上得来的，而具体关系就是
f(n)=f(n-1)+f(n-1)+1,例如，n个盘都在A塔上，先把A上面的n-1个盘移到B盘上，用了
f(n-1)次，再把A盘上最底下的盘放到C盘上，用1次，最后，再把B盘上的盘都移到C盘
上，用f(n-1)次，总共为2*f(n-1)+1次。
而为了简化程序，可以把递归改为迭代，用一个循环加数组存储搞定，省时省空间*/
#include<stdio.h>
int main()
{int f[100],i,n;
scanf("%d",&n);
f[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)f[i]=2*f[i-1]+1; //递归公式f[n]=f[n-1]*2+1;
printf("%d",f[n]*2); //在单塔的基础上乘2
return 0;
}。
汉诺塔问题数学解法
汉诺塔问题数学解法汉诺塔问题是一个经典的数学难题，也是计算机科学中的常见算法题目。
在这个问题中，我们需要将三个塔座上的圆盘按照一定规则从一座塔移动到另一座塔，只能每次移动一个圆盘，并且在移动过程中始终保持大圆盘在小圆盘下面。
为了解决汉诺塔问题，我们首先需要了解递归的概念。
递归是一种问题解决方法，其中问题被分解为更小的子问题，直到最小的问题可以直接解决。
在汉诺塔问题中，我们可以使用递归来实现移动圆盘的步骤。
设有三个塔座，分别为A、B、C，并且初始时所有的圆盘都在A 塔上，我们的目标是将所有的圆盘移动到C塔上。
为了方便讨论，我们将最小的圆盘称为第1号圆盘，次小的圆盘称为第2号圆盘，以此类推，最大的圆盘称为第n号圆盘。
解决汉诺塔问题的数学解法如下：1. 当只有一个圆盘时，直接将它从A塔移动到C塔，移动结束。
2. 当有两个或以上的圆盘时，可以按照以下步骤进行移动：(1) 先将上面n-1个圆盘从A塔移动到B塔（借助C塔）。
(2) 将第n号圆盘从A塔移动到C塔。
(3) 最后将n-1个圆盘从B塔移动到C塔（借助A塔）。
通过以上步骤，我们可以将n个圆盘从A塔移动到C塔，完成整个汉诺塔问题的解。
这个数学解法的正确性可以通过递归的思想来解释。
当有n个圆盘时，我们需要借助第三个塔座将前n-1个圆盘移动到B塔上，然后将第n号圆盘移动到C塔上，最后再将n-1个圆盘从B塔移动到C塔上。
这个过程可以看作是一个递归过程，我们首先需要将前n-1个圆盘从A 塔移动到B塔上，然后再将第n号圆盘从A塔移动到C塔上，最后再将n-1个圆盘从B塔移动到C塔上。
通过不断缩小问题规模，我们最终可以将整个汉诺塔问题解决。
总结起来，汉诺塔问题是一个经典的数学难题，解决这个问题可以使用递归的数学解法。
通过将问题分解为更小的子问题，我们可以将n 个圆盘从一座塔移动到另一座塔上。
这个数学解法的正确性可以通过递归的思想来解释。
希望通过以上的介绍，您对汉诺塔问题的数学解法有了更深入的理解。
汉诺塔问题与函数递归调用课件
高效、通用
VS
详细描述
动态规划法是一种通过将问题分解为子问 题，并存储子问题的解，最终得出原问题 的解的方法。在汉诺塔问题中，可以将问 题分解为将n-1个盘子从源柱移动到辅助 柱，再将第n个盘子从源柱移动到目标柱 ，最后将n-1个盘子从辅助柱移动到目标 柱。通过这种方式，可以避免重复计算子 问题，提高效率。
汉诺塔问题与函数递归调用 课件
目录
• 汉诺塔问题简介 • 函数递归调用基础 • 汉诺塔问题的递归解法 • 汉诺塔问题的其他解法 • 函数递归调用的优化与扩展
01
汉诺塔问题简介
汉诺塔问题的起源与背景
汉诺塔问题的起源
汉诺塔问题是一个经典的递归问题，起源于印度的古老传说。传说中，有三根柱 子和一些不同大小的圆盘，要将这些圆盘从一根柱子移动到另一根柱子上，且在 移动过程中不能将一个较大的圆盘放在较小的圆盘上。
1. 定义三个柱子：源柱、辅助柱、目标柱。
2. 定义递归函数hanoi(n, source, target, auxiliary)，其中n为盘子的数量，source 为源柱，target为目标柱，auxiliary为辅助柱。
汉诺塔问题递归解法的思路与流程设计
3. 当n=1时，直接将第1个盘子从源柱移动到目标柱。
THANKS
感谢观看
扩展汉诺塔问题的应用场景
拓展问题场景
汉诺塔问题不仅仅是一个数学问题，它也可以拓展到其 他领域的应用场景中。例如，可以将汉诺塔问题视为一 个典型的分治算法问题，从而可以应用于图像处理、文 本编辑器、编译器等领域。
寻找最优解
在解决汉诺塔问题时，可以通过使用递归和记忆化等技 术来寻找最优解。最优解是指在移动盘子时所需的最小 移动次数和最小时间成本。这些技术在优化算法和提高 算法效率方面具有广泛的应用价值。
汉诺塔问题的详解课件
03 汉诺塔问题的变 种和扩展
多层汉诺塔问题
01
02
03
定义
多层汉诺塔问题是指将多 层的盘子从一个柱子移动 到另一个柱子，同时满足 汉诺塔问题的规则。
难度
随着盘子层数的增加，解 决问题的难度呈指数级增 长。
子从中间柱子移动到目标柱子。
递归解法的优点是思路简单明了，易于 理解。但是，对于较大的n值，递归解 法的时间复杂度较高，容易造成栈溢出
。
分治策略
分治策略是解决汉诺塔问题的另一种方法。它将问题分解为若干个子问题，分别求解这些子 问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治策略的基本思路是将汉诺塔问题分解为三个阶段：预处理阶段、递归转移阶段和合并阶 段。预处理阶段将n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子，递归转移阶段将第n个盘子从起 始柱子移动到目标柱子，合并阶段将n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子。
制作汉诺塔问题的动画演示
除了使用Python或数学软件进行可视化演示外，还可以使 用动画制作软件来制作汉诺塔问题的动画演示。这些软件 提供了丰富的动画效果和编辑工具，可以创建生动有趣的 演示。
在动画演示中，可以使用不同的颜色和形状来表示不同的 柱子和盘子。通过添加音效和文字说明，可以增强演示的 视觉效果和互动性。最终的动画演示可以保存为视频文件 ，并在任何支持视频播放的设备上播放。
使用Python的图形库，如matplotlib或tkinter，可以创建汉诺塔的动态演示。 通过在屏幕上绘制柱子和盘子，并模拟移动过程，可以直观地展示汉诺塔问题的 解决方案。
Python代码可以编写一个函数来模拟移动盘子的过程，并在屏幕上实时更新盘 子的位置。通过递归调用该函数，可以逐步展示移动盘子的步骤，直到所有盘子 被成功移动到目标柱子上。
汉诺塔问题非递归算法
汉诺塔问题非递归算法汉诺塔（Hanoi）问题，又称为汉诺塔游戏，是一种数学问题，源自印度传说。
它主要涉及把一堆圆盘，从一个柱子上移动到另一个柱子上的规则和方法。
在这篇文章中，我们将介绍汉诺塔问题的非递归算法，即利用迭代实现移动圆盘的操作。
汉诺塔问题的规则很简单：给定三个柱子，分别标记为源柱子（A）、辅助柱子（B）和目标柱子（C）。
开始时，所有的圆盘都放置在源柱子上，按从大到小的顺序堆叠。
目标是将所有圆盘从源柱子上移到目标柱子上，期间可以借助辅助柱子。
但是，有以下限制条件：1. 每次只能移动一个圆盘；2. 大圆盘不能放在小圆盘上面。
接下来，我们将详细介绍如何使用非递归算法来解决汉诺塔问题。
首先，我们可以观察到移动圆盘的规律：1. 如果只有一个圆盘，直接将其从源柱子移动到目标柱子上即可；2. 如果有两个圆盘，先将较小的圆盘从源柱子移动到辅助柱子上，再将较大的圆盘从源柱子移动到目标柱子上，最后将较小的圆盘从辅助柱子移动到目标柱子上。
根据以上规律，我们可以推导出非递归算法的步骤：步骤一：定义一个栈，用于存储每一步的操作。
首先将开始状态（源柱子、辅助柱子、目标柱子）入栈。
步骤二：当栈不为空时，执行以下操作：1. 弹出栈顶元素，即当前状态；2. 如果只有一个圆盘需要移动，直接移动该圆盘到目标柱子，并将该状态出栈；3. 如果有多个圆盘需要移动，根据汉诺塔的规则，推导出下一个状态（包括源、辅助和目标柱子的变化），并将该状态入栈。
步骤三：重复步骤二，直到栈为空。
通过以上步骤，我们可以实现汉诺塔问题的非递归算法。
以下是一个示例代码：```pythondef hanoi(n, source, auxiliary, target):stack = []stack.append((n, source, auxiliary, target)) # 步骤一while stack:disks, source, auxiliary, target = stack.pop() # 步骤二 - 弹出当前状态if disks == 1: # 只有一个圆盘需要移动print(f"Move disk 1 from {source} to {target}")else:stack.append((disks-1, auxiliary, source, target)) # 推导下一个状态并入栈stack.append((1, source, auxiliary, target)) # 推导下一个状态并入栈stack.append((disks-1, source, target, auxiliary)) # 推导下一个状态并入栈# 在此处输入汉诺塔的初始状态和圆盘数量n = int(input("请输入圆盘的数量："))hanoi(n, 'A', 'B', 'C')```以上示例中，我们使用了一个栈来模拟递归的过程，并根据汉诺塔问题的规律，不断推导下一个状态，并将其入栈。
汉诺塔问题算法
汉诺塔问题算法汉诺塔问题是一个经典的数学问题和递归算法问题。
在汉诺塔问题中，有三个柱子，分别称为A、B、C，有一组大小不同的圆盘，开始时，这些圆盘都堆叠在A柱子上，目标是将所有的圆盘从A柱子移动到C柱子上，期间可以借助B柱子。
以下是汉诺塔问题的算法实现:1.如果只有一个圆盘，直接将其移动到C柱子上。
2.如果有多个圆盘(n个)，先将上面的n1个圆盘从A柱子移动到B柱子上。
a.将上面的n1个圆盘从A柱子移动到C柱子，此时B柱子作为辅助柱子。
b.将最下面的第n个圆盘从A柱子移动到C柱子。
3.最后将B柱子作为起始柱子，A柱子作为辅助柱子，将B 柱子上的n1个圆盘移动到C柱子上。
实现递归函数hanoi(n,start,aux,end)：如果n=1，直接将start柱子上的圆盘移动到end柱子上。
否则，将上面的n1个圆盘从start柱子移动到aux柱子。
调用递归函数hanoi(n1,start,end,aux)，将start柱子上的n1个圆盘移动到aux柱子上。
将第n个圆盘从start柱子移动到end柱子上。
调用递归函数hanoi(n1,aux,start,end)，将aux柱子上的n1个圆盘移动到end柱子上。
调用递归函数hanoi(n,'A','B','C')可以解决汉诺塔问题，其中n表示圆盘的数量，'A'、'B'、'C'表示三个柱子。
以上是汉诺塔问题的基本算法。
通过递归调用，可以有效地解决汉诺塔问题，但是当圆盘数量较大时，计算量会变得非常大。
因此，在实际应用中需要考虑到算法的优化和效率问题。
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将3个盘子从A移到C的全过程
将2个盘子从A移到B
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将3个盘子从A移到C的全过程
将1个盘子从A移到C
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将3个盘子从A移到C的全过程
第1个和尚的做法
将1个从A到C
……
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
第1个和尚的做法
将63个从B到C
……
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
第1个和尚的做法
将63个从B到C
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
地球物理与信息工程学院计算机系
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
解题思路： 要把64个盘子从A座移动到C座，需要移动大约 264 次盘子。一般人是不可能直接确定移动盘子的 每一个具体步骤的 老和尚会这样想：假如有另外一个和尚能有办法 将上面63个盘子从一个座移到另一座。那么，问 题就解决了。此时老和尚只需这样做：
C语言程序设计
第7章 利用函数实现模块化程序设计
Hanoi（汉诺）塔问题
地球物理与信息工程学院计算机系
第7章 利用函数实现模块化程序设计
例7.8 Hanoi（汉诺）塔问题。古代有一个梵塔， 塔内有3个座A、B、C，开始时Ａ座上有64个盘子， 盘子大小不等，大的在下，小的在上。有一个老和 尚想把这64个盘子从Ａ座移到Ｃ座，但规定每次只 允许移动一个盘，且在移动过程中在3个座上都始 终保持大盘在下，小盘在上。在移动过程中可以利 用B座。要求编程序输出移动一盘子的步骤。
第2个和尚的做法
将62个从A到C
……
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
第2个和尚的做法
将62个从A到C
……
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
第2个和尚的做法
将1个从A到B
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
第2个和尚的做法
将1个从A到B
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
第2个和尚的做法
将62个从C到B
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
第2个和尚的做法
将62个从C到B
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将1个盘子从A移到C
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将3个盘子从A移到C的全过程
将2个盘子从B移到C
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将3个盘子从A移到C的全过程
将2个盘子从B移到C
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将2个盘子从A移到B的过程
将1个盘子从A移到C
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将2个盘子从A移到B的过程
将1个盘子从A移到C
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将2个盘子从A移到B的过程
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将2个盘子从B移到C的过程
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将2个盘子从B移到C的过程
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
由上面的分析可知：将n个盘子从A座移到C座可 以分解为以下3个步骤： (1) 将A上n-1个盘借助C座先移到B座上 (2) 把A座上剩下的一个盘移到C座上 (3) 将n-1个盘从B座借助于Ａ座移到C座上
第7章 利用函数实现模块化程序设计
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
#include <stdio.h> int main() { void hanoi(int n,char one, char two,char three); int m; printf(“the number of diskes:"); scanf("%d",&m); printf("move %d diskes:\n",m); hanoi(m,'A','B','C'); }
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
void hanoi(int n,char one,char two, char three) { void move(char x,char y); if(n==1) move(one,three); else { hanoi(n-1,one,three,two); move(one,three); hanoi(n-1,two,one,three); } }
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
解题思路： (1) 命令第2个和尚将63个盘子从A座移到B座 (2) 自己将1个盘子（最底下的、最大的盘子）从A 座移到C座 (3) 再命令第2个和尚将63个盘子从B座移到C座
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将2个盘子从A移到B的过程
将1个盘子从C移到B
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将2个盘子从B移到C的过程
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将2个盘子从B移到C的过程
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
void move(char x,char y) { printf("%c-->%c\n",x,y); }
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第1个和尚的做法
将63个从A到B
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第1个和尚的做法
将63个从A到B
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
第1个和尚的做法
将1个从A到C
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
把上面3个步骤分成两类操作： (1) 将n-1个盘从一个座移到另一个座上（n＞ 1）。这就是大和尚让小和尚做的工作，它是一 个递归的过程，即和尚将任务层层下放，直到 第64个和尚为止。 (2) 将1个盘子从一个座上移到另一座上。这是 大和尚自己做的工作。
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
可以将第(1)步和第(3)步表示为： 将“one”座上n-1个盘移到“two”座(借助 “three”座)。 在第(1)步和第(3)步中，one 、two、three和A、 B、C的对应关系不同。 对第(1)步，对应关系是one对应A，two对应B， three对应C。 对第(3)步，对应关系是one对应B，two对应C， three对应A。
第3个和尚的做法 第4个和尚的做法 第5个和尚的做法 第6个和尚的做法 第7个和尚的做法 …… 第63个和尚的做法
第64个和尚仅做：将1个从A移到C
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将3个盘子从A移到C的全过程
将2个盘子从A移到B
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将1个盘子从A移到B
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第7章 利用函数实现模块化程序设计
将2个盘子从A移到B的过程
将1个盘子从A移到B
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