3.1.1倾斜角与斜率(小结练习)
3.1.1直线的倾斜角与斜率题型全归纳
3.1.1直线的倾斜角与斜率题型全归纳【知识梳理】1.倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系的正切值叫做这条直线的斜率．即k ＝tan_α.5．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．6．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．【常考题型】题型一、直线的倾斜角例1：若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°变式1：直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( )A ．[0°，90°)B ．[90°，180°)C ．(90°，180°)D ．(0°，180°) 变式2：设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135° 题型二、直线的斜率例2：(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________；(2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________；(3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________．变式1：若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°变式2：已知过两点)3,2(22-+m m A ，)2,3(2m m m B --的直线l 的倾斜角为045，则m = . 变式3：已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________． 变式4：已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则m = ．题型三、直线的斜率的应用例3:在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1,-1,2及-3直线1l ，2l ，3l 及4l .例4:如图直线l 1，l 2，l 3，l 4的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，比较斜率的大小关系变式1：已知点A （-2,3）、B （3,2），过点P （0,-2）的直线l 与线段AB 有公共点，试求直线l 的斜率的取值范围。
第三章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
[课时作业][A 组 基础巩固]1.直线x =1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°，1B.135°，-1C.90°，不存在D.180°，不存在【答案】C【解析】直线x =1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，但斜率不存在.2.若直线过点(1,2)，(4,2，则此直线的倾斜角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】由题意得22413k ==-，∴直线的倾斜角为30°.3.经过点M (-2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为() A.1B.4C.1或3D.1或4【答案】A【解析】由两点斜率公式得412mm -=+，解之得m =1.4.若A (-2,3)，B (3，-2)，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为( )A.-2B.12-C.1 2D.2【答案】C【解析】由23213(2)32m--+=---得12m=.5.如图，设直线l₁，l₂，l₃的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则k₁，k₂，k₃的大小关系为()A.k₁＜k₂＜k₃B.k₁＜k₃＜k₂C.k₂＜k₁＜k₃D.k₃＜k₂＜k₁【答案】A【解析】根据“斜率绝对值越大，直线的倾斜程度越大”可知k₁＜k₂＜k₃.6.已知直线l₁的倾斜角为α，直线l₂与l₁关于x轴对称，则直线l₂的倾斜角为()A.180°-αB.90°-αC.90°+αD.45°+α【答案】A【解析】如图所示，可得直线l₂与l₁的倾斜角互补，故直线l₂的倾斜角为180°-α.7.(填空题)设斜率为m (m ＞0)的直线上有两点(m,3)，(1，m )，则此直线的倾斜角为________°.(填数字)【答案】60【解析】由31m m m-=-得：23m =，∵m ＞0，∴m =.又在[0°，180°)内tan 60︒=∴倾斜角为60°.8.已知实数x ，y 满足方程x +2y =6，当1≤x ≤3时，12y x --的取值范围为( ) A.13(,][,)22-∞-⋃+∞ B.35(,][,)22-∞⋃+∞ C.31(,][,)22-∞-⋃+∞ D.1(,][1,)2-∞-⋃+∞ 【答案】C 【解析】12y x --的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x +2y =6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且53(1,),(3,)22A B ，由于31,22NA NB k k =-=，所以12y x --的取值范围是31(,][,)22-∞-⋃+∞.9.(主观题)已知A (m ，-m +3)，B (2，m -1)，C (-1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值.【解析】由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠-1. ∴(3)41AC m k m -+-=+，(1)42(1)BC m k --=--. ∴(3)4(1)4312(1)m m m -+---=⋅+--.整理得：-m-1=(m-5)(m+1)，即(m+1)(m-4)=0，∴m=4或m=-1(舍去).∴m=4.10.(主观题)已知M(2m+3，m)，N(m-2,1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3)当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？【解析】(1)斜率大于0，即1123(2)5m mkm m m--==>+--+，解之得m＞1或m＜-5.(2)斜率小于0，即110 23(2)5m mkm m m--==<+--+，解之得-5＜m＜1.(3)当直线垂直于x轴时直线倾斜角为直角，即2m+3=m-2，解之得m=-5.[B组能力提升]1.已知点P(1,1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为()A.135°B.90°C.45°D.30°【答案】C【解析】如图所示，因为直线l不经过第四象限，故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0,0)时，它的倾斜角有最大值，易求得其值为45°.2.过点M (0,1)和N (-1，m ²)(m ∈R)的直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.0°≤α＜180°B.45°≤α＜180°C.0°≤α≤45°或90°＜α＜180°D.0°≤α≤45°或90°≤α＜180°【答案】C【解析】如图所示，当点N 从点A 移动到点B (-1，1)时，倾斜角由45°减小到0°；当从点B 上移时，倾斜角为钝角并逐渐减小，且向90°接近.由倾斜角的定义，得直线l 的倾斜角α为0°≤α≤45°或90°＜α＜180°.3.已知A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则11a b+=( ) A.1 B.12D.2【答案】B【解析】由题知22,22AB AC b k k a -==- 又A ，B ，C 三点共线，∴AB AC k k =，∴4=(2-a )(2-b )，∴2a +2b =ab ，∴1112a b +=.4.已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为( )A.B.3,0)C.3,0)D.【答案】B【解析】设点Q 的坐标为(x,0)，则20tan1503k x -==︒=-，解得3x =.5.(主观题)已知坐标平面内三点A (-1,1)，B (1,1)，1)C .(1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的变化范围.【解析】(1)由斜率公式得 1101(1)AB k -==--.3113BC k +-==. 3113AC k +-==. 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.又∵tan 0°=0，3tan 603,tan 30︒=︒=， ∴AB 的倾斜角为0°，BC 的倾斜角为60°，AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由CA k 增大到CB k ，所以k 的取值范围为3[,3]3.6.(主观题)已知实数x，y满足y=-2x+8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.【解析】如图，由点(x，y)满足关系式2x+y=8，且2≤x≤3，知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)，故22,3 OA OBk k==.因为yx的几何意义是直线OP的斜率，且OB OP OAk k k≤≤，所以yx的最大值为2，最小值为23.。
高中数学 直线的倾斜角与斜率(常见例题 考题 练习)附答案
直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。
(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。
2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。
(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。
3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。
5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。
查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。
直线的倾斜角和斜率练习题
直线斜率的性质
直线斜率等于直线倾斜角的正切 值
直线斜率为0时，直线垂直于x 轴
直线斜率为无穷大时，直线与x 轴垂直
直线斜率存在时，直线必与x轴 有交点
直线的倾斜角和斜率的 实际应用
直线的倾斜角和斜率在几何图形中的应用
确定位置：直线 的倾斜角和斜率 可以用来确定平 面上的一个点或 一条直线的位置。
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实际应用：在解析几何中，直线的倾斜角和斜率可以用来描述直线 在平面上的位置和方向，进而解决实际问题。
添加项标题
计算方法：通过直线上两点的坐标可以计算出直线的斜率和倾斜角。
添加项标题
几何意义：直线的倾斜角和斜率可以用来研究直线与其他几何图形 之间的关系，例如直线与圆、椭圆等的位置关系。
计算距离：通 过直线的斜率 和垂直距离， 可以计算出两 点之间的距离。
判断平行：两 条直线的斜率 相等，则这两 条直线平行。
判断垂直：两 条直线的斜率 的乘积为-1， 则这两条直线
垂直。
直线的倾斜角和斜率在解析几何中的应用
添加项标题
定义：直线的倾斜角是直线与x轴正方向之间的夹角，斜率是直线 在坐标系中的倾斜程度。
直线垂直于x轴时，倾斜角为90度， 斜率不存在
特殊情况的处理
直线过原点时，倾斜角与斜率的关 系为tan(倾斜角)=斜率
添加标题
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直线平行于x轴时，倾斜角为0度或 180度，斜率为0
直线与x轴垂直时，倾斜角为90度， 斜率不存在
计算方法的总结
定义：直线的倾 斜角是直线与x 轴正方向的夹角， 斜率是直线在x 轴上的一个单位 长度内对应的y
练习题二：提高题
题目：已知直线方程为 y = 2x + 5，求该直线的斜率。
直线的倾斜角与斜率题型归纳与练习
直线的倾斜角与斜率重点一、倾斜角重点二、斜率(倾斜角为α)重点三、两条直线平行对于两条不重合．．．的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． [归纳总结] (1)当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．(2)直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，当k 1＝k 2时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)对于不重合的直线l 1、l 2，其倾斜角分别为α、β，有l 1∥l 2⇔α＝β．重点四、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们互相垂直．[归纳总结] 当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同；(4)垂直：倾斜角相差90°．【典题精练】考点1、直线的倾斜角例1．下列命题正确的是（ ）．A ．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α≥D ．若直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π【解析】倾斜角为90︒的直线，其斜率不存在，故A 错误；若直线的斜率为tan α，只有当[)0,απ∈时，其倾斜角才为α，故B 错误；直线的斜率为0，其倾斜角为0而不是π，故D 错误．故选C ． 所以本题答案为C.考点点睛： 1.求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之； (2)先求出直线的斜率k ，再由k ＝tan α，求倾斜角α．2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k 的值依次为0，正值，不存在，负值．考点2、已知两点坐标求倾斜角和斜率例2．过两点(4,A B 的直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】直线AB 的斜率k ==,故直线AB 的倾斜角30α=，故选A 考点点睛：(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．考点3、两直线平行关系的判断与应用例3．已知直线1:sin 0l x y θ+=与直线2:2sin 10l x y θ++=，试求θ的值，使12l l //． 【解析】12//l l ，112sin sin 0112sin 00θθθ⨯-⨯=⎧∴⎨⨯-⨯≠⎩，sin θ∴=，故θ=()4k k ππ±+∈Z考点4、两条直线垂直关系的判断与应用例4．已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.考点点睛：两条直线垂直的判定条件：(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． 课后训练：1．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解析】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，所以20m -=，得2m =．故选：D ． 2．直线30x y ++=的倾斜角为（ ）A ．56π B ．34π C ．3π D ．4【答案】B【解析】由题得直线的斜率为1-,故其倾斜角为34π.故选B 。
3[1].1直线的倾斜角与斜率
![3[1].1直线的倾斜角与斜率](https://img.taocdn.com/s3/m/414e24b369dc5022aaea00b2.png)
y P o
x
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向所成的角叫做直线l 的 倾斜角. 00<1800
l1的倾斜角为锐角
l2的倾斜角为直角 l4
y
l3
l2
l1
P o
l3的倾斜角为钝角
当直线与x轴平行或重 合时，我们规定它的倾斜 角为o0
x
下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗？
y A o
D
C
B
x
两条直线的垂直判定
如果两直线垂直，这两条直线的倾斜角有什么 关系？斜率呢？ 如图，设直线l1与l2的倾斜角 分别为α1与α2，且α1<α2， y 因为l1⊥l2 ，所以α2=900+α1
1 tan 2 cot1 tan1
l2Leabharlann l1 αα2
O
1
x
1 所以k 2 k1
3.1
直线的倾斜角和斜率
主要内容
3.1.1 倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
3.1.1
倾斜角与斜率
倾斜角与斜率
对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置 由哪些条件确定呢？ 两点确定一条直线．
还有其他方法吗？或者说如 果只给出一点，要确定这条直线 还应增加什么条件？
问：在直角坐标系中，下图中的四条直线 在位置上有什么联系和区别？ 1. 经过同一点P 2. 倾斜程度不同
一次函数 y x, y 3x 的图象是直线，在坐 标系中画出这两条直线，并求这两条直线的倾斜 角分别是多少？
y
A
y=x
y
C
y 3x
o
B
x
o
D
3.1.1倾斜角与斜率
∴9a5＋7＝3－5 a，∴25＝27a＋21－9a2－7a，
页
解得 a＝2 或 a＝29.
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第 三
3．求证A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
章
直 证明：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
上 页
线 与 方
∴kAB＝－－7－2－－11＝2，kAC＝－30－－－1 1＝2.
上 页
与 方
∴直线 AB 的斜率为17，AC 的斜率为53.
下 页
程 (2)如图，当 D 由 B 运动到 C 时，直线 AD 的
斜率由 kAB 增大到 kAC，所以直线 AD 的斜率
的变化范围是[17，53]．
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第 三 2．如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求直
第
三
章 直 线
[错因] 由于本题中含有参数m，故需要对m的取值情况 上 进行讨论．在上述解题过程中遗漏了m＝1的情况，当m＝ 页
与 方
1时，斜率不存在．
下 页
程
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[正解] 当 m＝1 时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为
第
α＝90°.
三 章 直
当 m≠1 时，由斜率公式可得 k＝m3－－21＝m－1 1.
线 提示：这句话是不对的，当倾斜角α＝0°时，k＝0；当
与 方
0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α
下 页
程 ＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并
且随α的增大k也增大．
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学案4：3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1倾斜角与斜率课标要求1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．核心扫描1．求直线的倾斜角和斜率．(重点)2．常与三点共线、平面几何知识等结合命题．(难点)3．准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率．(易混点)新知探究新知导学1．倾斜角的概念和范围当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴或时，我们规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的范围是≤α＜.温馨提示：直线的倾斜角概念的理解注意三个方面：(1)直线与x轴相交；(2)x轴正方向；(3)直线向上的方向2．斜率的概念及斜率公式本质上是一致的．但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表：探究点1 直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜角？探究点2 (1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度？其斜率存在吗？(2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点有关吗？题型探究类型一直线的倾斜角与斜率的概念例1 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l和倾斜角为________．[规律方法](1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况．(2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．活学活用1 (1)已知点P(1,1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为()A．135° B．90° C．45° D．30°(2)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1类型二求斜率及其范围例2 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．[规律方法] (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决 (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．活学活用2 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．类型三 斜率公式的应用例3 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[规律方法] 若所求最值或范围的式子可化为y 2－y 1x 2－x 1的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．活学活用3 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．易错辨析 因忽略两点斜率公式的条件而致错示例 求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [错解] 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1. ①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.[错因分析] 未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对m ＝1情况． [正解] 当m ＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°.②当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°.[防范措施] 学习定理、公式一定要注意它们的适用条件，对k ＝tan α注意α≠90°；对k ＝y 2－y 1x 2－x 1注意x 1≠x 2，对不满足公式适用条件的可能情况，要多加考虑，不可忽略.感悟提升课堂达标1．下列说法中，正确的是( )A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°3．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为________．4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1 B．5 C．－1 D．－55．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线P A的倾斜角为60°.课堂小结1．直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的坐标系中的倾斜程度，要理解k ＝tan α(α≠90°)在0°≤α＜90°和90°＜α＜180°上的变化情况．2．注意两个公式的适用条件，注意考虑直线垂直于x轴这种情形，善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决问题.参考答案新知探究新知导学1．正方向 向上 平行 重合 0° 180° 2．正切值 tan α k ＝0 k ＞0 k ＜0 不存在 互动探究探究点1 提示 是．探究点2 提示 (1)90° 不存在 (2)无关题型探究类型一 直线的倾斜角与斜率的概念 例1 60°或120° 【解析】有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°. 活学活用1 (1)C (2)A【解析】(1)如图，因为直线l 不经过第四象限，故当直线l 处于图示位置，即过坐标原点(0,0)时，它的倾斜角有最大值．易求得其值为45°，故选C.(2)设直线l 1、l 2、l 3的倾斜角分别为α1、α2、α3，则0°＜α1＜α2＜α3＜90°，故k 1＜k 2＜k 3，选A.类型二 求斜率及其范围例2 【解】根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线P A 的斜率k P A ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°， 故斜率的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞， 当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时，它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角，故斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 综上可知，直线l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 活学活用2 【解】如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间， 又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 类型三 斜率公式的应用例3 【解】如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.活学活用3 【解】由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,2)，B (－1,4)．则k P A ＝2－－31－－2＝53，k PB ＝4－－3－1－－2＝7.∴53≤k ≤7，∴y ＋3x ＋2的最大值为7，最小值为53. 感悟提升课堂达标1．D【解析】对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D. 2．C【解析】直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是90°＜α＜180°. 3．－2【解析】由过两点的直线的斜率公式，知直线AB 的斜率为4－20－1＝－2.4．D【解析】由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.5．【解】①当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k ＝0－2a －1＝－2a －1.又∵直线P A 的倾斜角为60°， ∴tan 60°＝－2a －1.解得a ＝1－233.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1－233，0.②当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )，同理可得b ＝2－3，∴点P 的坐标为(0,2－3)．。
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第三章 直线与方程
3.1.1倾斜角与斜率
一、选择题
1. 下列说法中正确的是（ ）
A.直线l 的倾斜角为α，则直线l 的斜率为tan α
B.若直线l 的斜率为tan α，则直线l 的倾斜角为α
C.若直线l 的倾斜角为α=90°，则直线l 必平行于y 轴
D.每一条直线l 都存在它的倾斜角α，但并非每一条直线l 都存在斜率
2. 若直线l 的斜率k 满足，则l 的倾斜角α的范围是( )
A.0°<α<45°
B.45°<α<60°
C. 0°<α<60°
D.α>60°
3.已知直线l 过点A(1，1)，B(-2，-2)，则直线l 的斜率为( )
A.3
B.-3
C.1
D. -2 4.若直线l 过点(-1，2)，(a 2，3)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )
A. 045α<≤
B. 4590α≤<
C. 045α≤≤ 或90180α<<
D. 135180α≤<
5.若直线l 的倾斜k=tan α( )
A.α一定是直线l 的倾斜角
B.α一定不是直线l 的倾斜角
C.π-α一定是直线l 的倾斜角
D.α不一定是直线l 的倾斜角 6.给出以下四个命题：
①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；
③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；
④坐标平面上所有的直线都有斜率。
其中正确的是( )
A.①③
B.③④
C.①②
D.②④
二、填空题
7.已知直线过和两点，则直线的倾斜角为________.
8. 已知点M(5，3)，N(-3，2)，若直线PM 与PN 的斜率分别为2和74
-，则点P 的坐
标为________.
9. 斜率为k 的直线l 过点P(-1，2)，且与以A(-2，-3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．
10. 若直线过(-2，m)、(1，3)两点且斜率为2，则m=________.
三、解答题
11. 已知某直线的倾斜角为α满足cos α=
(5)5a a <，求该直线的斜率。
12. 设直线l 经过点M(0,3)和N(m ，1)，其倾斜角为α.
（1）求直线l 的斜率k ；
（2）若233
π
πα<<，求实数m 的取值范围；
（3）若(,2))m ∈-∞-+∞ ，求α的取值范围。