考研极限试题(卷)
2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析
2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析注：1）本篇试题选自2004年—2014年数学一、二、三的考研真题，共35题； 2）本篇真题题型：选择题，填空题，解答题； 3）本篇试题包括两部分，第一部分是精选极限真题解析，第二部分是补充极限真题解析(P9)；第一部分（精选“极限”真题解析）（共20题）一、选择题1、设lim ,0n n a a a →∞=≠且，则当n 充分大时有（ ）（A ）n a >||2a （B ）||||2n a a <(C) 1n a a n>-(D) 1n a a n<+答案：(A)，注：2014年数三（1） 解析：方法1：lim 0,lim 0,=2n n n n aa a a a ε→∞→∞=≠∴=>取，则当n 充分大时，3,,22n n n a a a a a a a εεε-<-<-<<<即，故（A ）正确。
方法2：lim n n a a →∞=N N n N ε+∴∀>∃∈∀>使，有||n a a ε-<即 ||||||.0,222n n a a a a a a a a a a εεε-<<+≠∴=<<+可取，则- 不论a >0或a <0，都有||2n a a >，选A2、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 答案：(B)，注：2012年数二（3）解析：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
考研数学二极限试题及答案
考研数学二极限试题及答案# 考研数学二极限试题及答案## 题目一：求极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答步骤：1. 首先，我们考虑极限的类型，这是一个0/0型的不定式。
2. 为了解决这个问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
3. 应用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}\]4. 当 \(x \to 0\) 时，\(\cos x\) 趋向于 1。
5. 因此，极限的值为 1。
答案：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]## 题目二：函数极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)。
解答步骤：1. 观察极限表达式，这是一个无穷大的倒数。
2. 当 \(x\) 趋向于无穷大时，\(x^2\) 也趋向于无穷大。
3. 任何数除以一个趋向于无穷大的数，结果都趋向于 0。
答案：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\]## 题目三：复合函数的极限题目描述：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求极限 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。
解答步骤：1. 直接将 \(x = 2\) 代入函数 \(f(x)\) 中。
2. 计算得到 \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2\)。
3. 简化得到 \(f(2) = 8 - 12 + 4\)。
4. 计算结果为 \(f(2) = 0\)。
答案：\[\lim_{x \to 2} f(x) = 0## 题目四：数列极限题目描述：考虑数列 \(a_n = \frac{1}{n}\)，求其极限。
考研数学极限与导数部分练习题(带答案)
1. 0ln(1)lim1cos x x x x→+=- .分析 当0x →时,2ln(1)~x x x +,21cos ~2x x -,利用等价无穷小代换可求出极限解 2200ln(1)limlim 21cos 2x x x x x xx →→+==- 2.cos 0x x →= .分析 先变形cos cos 1cos (1)xx x e ee e --=-,21cos (1)~1cos ~2xx ex ---,21~3x ,再利用等价代换求其极限解2cos cos 1cos 1cos 200032lim 23x x x x x x x x x ee e x --→→→→====. 3.求3limx x →.分析 分子有理化后等价无穷小代换求极限. 解0x x →→=001sin (1)x x x →→-==20114x x x →⋅==.4. 求极限.分析 该极限为型，先取对数，再使用洛必达法则.11ln lim (1)xxx e →+∞-0解5.求极限. 分析 将变形为，将分子分母中的，展开，再求极限. 解. 6.计算.分析 将分子中的函数，展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，再求极限.解从而7.设函数()()()2()12x x nxf x e e en =---,其中n 为正整数，求(0)f '.分析 (0)0f =，0x →时，1~xe x -，所以用导数定义求(0)f '简单.解()()()()()210012()(0)(0)lim lim11!0x x nxn x x e e en f x f f n x x-→→----'===---，所以选（A ）.8.设(1)(),(0)(,0)f x af x f b a b '+==≠, 求(1)f '.1211111ln 111limlimln(1)11lim1ln 1lim (1)x x x x x x xx xx e x xe e e xxe x e eeee →+∞→+∞→+∞⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭--⋅---→+∞-====011limcot x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭011limcot x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭30sin cos lim x x x x x →-sin x cos x 323233000()1()3!2!11sin cos lim cot lim lim x x x x x x o x x o x x x x x x x x x →→→⎡⎤-+--+⎢⎥-⎛⎫⎣⎦-== ⎪⎝⎭333011()()12!3!lim 3x x o x x →-+==403cos 2lim 2x x e x x -+→cos x 2x e 2x e),(!211442x o x x +++=x cos ),(!4!21442x o x x ++-=∴3cos 22-+x e x ),(!412!2144x o x +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=403cos 2lim2x x e x x -+→4440)(127lim x x o x x +=→.127=分析 抽象函数求导数必须用导数的定义式. 解00(1)(1)()(0)()(0)(1)limlim lim (0)x x x f x f af x af f x f f a af ab x x x→→→+---''=====.9.设2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e --→∞++=+，问a 与b 为何值时，()f x 可导，并求()f x '． 分析 由连续及左右导数的定义即可得到答案. 解：1x >时，(1)lim n x n e -→∞=+∞；1x <时，(1)lim 0n x n e -→∞=；2,11(),12,1x x a b f x x ax b x ⎧>⎪++⎪∴==⎨⎪+<⎪⎩.由1x =处连续性得：11lim ()lim ()11x x f x f x a b -+→→==⇒+=. 由1x =处可导性得：(1)(1)f f -+''=，111(1)2(1)lim lim 11x x a b ax b ax b f f a x x ---→→+++-+-'===--， 21(1)(1)lim 21x x f f x ++→-'==-，故2a =.那么2a =，1b =.于是2, 1()1, 121,1x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩， 2,1()2, 1x x f x x ≥⎧'=⎨≤⎩.10.曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）. （A ）4e （B ）3e （C ）2e （D ）e分析 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则它们有共同的切点及斜率，从而解出a解 因与相切，故. 2x y =)0(ln ≠=a x a y 212a x x a x =⇒⋅=在上，时，.在上，时，. ln ln 1e 2e 22222a a a a aa ⇒=⋅⇒=⇒=⇒=， 所以选择（C ）2x y =2a x =2a y =)0(ln ≠=a x a y 2a x =2lna a y =2ln 21aa =。
数学极限练习题考研
数学极限练习题考研数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。
掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。
下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。
【练习题一】求极限1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$【解答】1. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$2. 同样根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$3. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$5. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\sin x}}{x}$$利用洛必达法则：$$= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}\sin x + \frac{x\cos x}{\sin^2 x}}{1} = -\frac{1}{2}$$通过解答以上练习题，我们可以发现，掌握数学极限的运算方法和技巧是非常重要的。
考研极限专项练习
考研极限专项练习1 如果lim x→x 0f (x )存在，则下列极限一定存在的为(A)lim x→x 0[f (x )]α （B ）lim x→x 0|f (x )| （C ）lim x→x 0lnf (x ) （D ）lim x→x 0arcsinf (x )2 设f (x )在x =0处可导，f (0)=0，则lim x→0x 2f (x )−2f(x 3)x 3=（A ）−2f ′(0)（B −f ′(0)（C ）f ′(0)（D ）03.设f (x )，g (x )连续x →0时，f (x )和g (x )为同阶无穷小则x →0时，∫f (x −t )ⅆt x0为∫xg (xt )ⅆt 10的（A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小4.设正数列{a n }满足lim n→∞∫x n ⅆx an 0 =2 则lim n→∞a n =（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）12 5.x →1时函数x 2−1x−1ⅇ1x−1的极限为（A ）2 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在，但不为∞6.设f (x )在x =0的左右极限均存在则下列不成立的为（A ）lim x→0+f (x ) = lim x→0−f (−x ) （B ） lim x→0f (x 2) = lim x→0+f (x ) （C ）lim x→0f (|x |) = lim x→0+f (x ) （D ）lim x→0f (x 3) = lim x→0+f (x ) 6.极限limx→∞ⅇsin1x −1(1+1x )α−(1+1x)=A ≠0的充要条件为（A ）α>1 （B ）α≠1 （C ）α>0 （D ）和α无关7. .已知lim x→∞[x 21+x−ax −b ]=0，其中a,b 为常数则a,b 的值为（A ）a =l，b =1（B ）a =−1，b =1 （C ）a =1，b =−1（D a =−1，b =−18.当x →0时下列四个无穷小量中比其他三个更高阶的无穷小为（A ）x 2 （B ）1−cosx （C ）√1−x 2−1 （D ）x −tanx9.已知x n+1=√x n y n ，y n+1=12(x n +y n ) ，x 1=a >0，y 1=b >0 （a <b ） 则数列{x n }和{y n }(A)均收敛同一值（B ）均收敛但不为同一值 （C ）均发散 （D ）无法判定敛散性 10.设α>0,β≠0，lim x→∞[(x2α+xα)1α−x 2]=β则α,β为11.若 lim x→x 0[f (x )+g (x )]存在，lim x→x 0[f (x )−g (x )]不存在，则正确的为（A ）lim x→x 0f (x )不一定存在 （B ）lim x→x 0g (x )不一定存在（C ）lim x→x 0[f 2(x )−g 2(x )] 必不存在 （D ）lim x→x 0f (x )不存在12.下列函数中在[1,+∞)无界的为 (A)f (x )=x 2sin1x 2（B ）f (x )=sin x 2+2√x（C ）f (x )=x cos √x +x 2ⅇ−x （D ）f (x )=arctan1xx 213.设f (x )连续lim x→0f (x )1−cosx =2且x →0时∫f (t )ⅆt sin 2x 0为x 的n 阶无穷小则n=（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614.当x →0时下列四个无穷小中比其他三个高阶的为（A ）tanx −sinx （B ）(1−cosx )ln(1+x ) （C ）(1+sinx)x−1（D ）∫arcsint ⅆt x 215.设[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =x −[x ]是（A ）无界函数 （B ）单调函数 （C ）偶函数 （D ）周期函数16.极限lim x→∞[x 2(x−a )(x+b )]x=（A ）1 （B ）ⅇ (C) ⅇa−b （D ）ⅇb−a 17.函数f (x )=x 2−xx 2−1√1+1x 2的无穷间断点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2（D ） 3 18.如果lim x→0[1x−(1x −a)ⅇx ]=1，则a=（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 19.函数f (x )=x−x 3sinπx 的可去间断点的个数为（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）无穷多个20.当x →0+时，与√x 等价的无穷小量是（A ） 1-ⅇ√x （B ）ln1−√x(C ） √1+√x −1（D ）1−cos√x 21.设函数f (x )=1ⅇxx−1−1，则（A ） x =0,x =1都是f (x )的第一类间断点 （B ）x =0,x =1都是f (x )的第二类间断点（C ）x =0是f (x )的第一类间断点，x =1是f (x )的第二类间断点 （D ）x =0是f (x )的第二类间断点，x =1是f (x )的第一类间断点22 lim n→∞ln√(1+1n )2(1+2n )2…(1+nn )2n等于 (A ）∫ln 2x ⅆx 21(B) 2∫lnx ⅆx 21(C) 2∫ln (1+x )ⅆx 21(D)∫ln 2(1+x )ⅆx 21 23.若limx→0sin6x+xf (x )x 3=0，则limx→06+f (x )x 2为（A ）0 （B ）6 （C ）36 （D ）∞24.对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N ,当n ≥N 时，恒有“|x n −a |≤2ε”是数列收敛于a 的（A ）充分必要条件（B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件（D ）非充要条件 25.设函数f (x )=limn→∞1+x1+x 2n，讨论函数f (x )的间断点，其结论为（A ） 不存在间断点（B ）存在间断点x =0（C ）存在间断点x =1（D ）存在间断点x =−1 26..lim n→∞[tan(π4+2n )]n=27.x [sinln(1+3x )−sinln(1+1x )] =28.已知lim x→∞3xf (x )=lim x→∞[4f (x )+5]则lim x→∞xf (x )=29.在[0,1]上函数f (x )=nx (1−x )n 的最大值记为M (n ) 则lim n→∞M (n ) =30. 设k 、L 、δ>0则lim x→0[δk−x+(1−δ)L−x ]−1x=31.lim x→+∞arcsin(√x 2+x −x) =32.limx→0∫(3sint+t2cos1t)ⅆtx(1+cosx)∫ln(1+t)ⅆtx=33.limx→+∞(1+2x+3x)1x+sinx =34.α~β（x→a）则limx→a (βα)β2β2−α2 =.lim x→0∫tsin(x2−t2)ⅆtx(1−cosx)ln(1+2x2)=35.limx→0+(ⅇx−1−x)1lnx =36.f(x)有连续的导数f(0)=0，f′(0)=6，则limx→0∫f(t)ⅆtx3[∫f(t)ⅆtx]3=37.f(x)的周期T=3且f′(−1)=1，则limℎ→0ℎf(2−3ℎ)−f(2)=38.limn→∞2n n!n n=39.设f(x)在x=1连续且limx→1f(x)+x x−3x−1=−3，则f′(1)=40.极限p=∫limn→∞√2n+x2n n2−2ⅆx =41.limx→0[1+tanx1+sinx]1x3 =42.limx→+∞(lnx)1x−1 =43.x→0时f(x)=ⅇx−1+ax1+bx为x的3阶无穷小则a=，b =44. 极限limx→−√4x2+x−1+x+1√x2+sinx=45.limn→∞(1−122)(1−132)⋯(1−1n2) =46.limx→+∞(√x6+x56−√x6−x56) =47.f′′(x)存在f(0)=f′(0)=0，f′′(x)>0，u(x)为曲线f(x)在(x，f(x))处切线在x轴的截距则limx→0xu(x)=48.a>0，bc≠0，limx→+∞[x a ln(1+bx)−x] =c (c≠0)则a= b= c=49.limn→∞sin(√n2+1π) =50.已知x →0时x −(a +bcosx )sinx 为x 的5阶无穷小则a = ，b = lim x→0[(1+x )1xⅇ]1x=35.limx→+∞∫|sint |ⅆtx0x=36.f (x )可导对于∀x ∈(−∞,+∞)有|f (x )|≤x 2则f ′(0)=37.lim n→∞∫x n1+xⅆx 10= 38.如果lim x→∞(1+x x)ax =∫tⅇt ⅆt a−∞ 则a =39.设x →1+时√3x 2−2x −1lnx 与(x −1)n 为同阶无穷小则n = 40 .limx→+∞ⅇx(1+1x)x 2=41.limx→0ln(sin 2x+ⅇx )−x ln(x 2+ⅇ2x )−2x =42.|x |<1时lim n→∞(1+x )(1+x 2)⋯(1+x 2n )=43. 设极限lim x→+∞[(x 5+7x 4+2)a −x ]=b （b ≠0）则a =b =44. lim x→∞[x −x 2ln(1+1x )] =45. w =lim x→0[ln(x+√1+x 2)−1ln (1+x )] =46. 设y =y (x )由y 2+xy +x 2−x =0确定满足y (1)=−1的连续函数则lim x→1(x−1)2y (x )+1 =47 .设a 1,a 2…a m 为正数（m ≥2）则lim n→∞(a 1n+a 2n +⋯+a m n )1n =48.f (x )连续x →0时F (x )=∫(x 2+1−cos t )f (t )ⅆt x0为x 3的等价无穷小则f (0)=49.f (x )连续f (0)=0，f ′(0)≠0则limx→0∫f(x 2−t)ⅆtx 2x 3∫f (xt )ⅆt10 =50.f (x )=∫sin(xt )t ⅆt xx 2则limx→0f (x )x 2=51. 极限lim x→∞x 2[a1x+1−a 1x] =52. 已知f (x )在x =a 可导f (x )>0，n ∈N ，f (a )=1，f ′(a )=2则极限lim n→∞[f(a+1n)f (a )]n=53.lim x→0(cot 2x −1x 2)=54.limx→1lncos(x−1)1−sinπ2x=55.如果lim x→−∞(√x 2+x +1+ax +b)=0则a =b = 56.lim x→0(arcsinxx)11−cosx=57. 已知曲线y =f (x )在点（0,0）处切线经过点（1,2）则极限lim x→0[cosx +∫f (t )ⅆt x 0]1x 2=58. 已知f (x )在x =0邻域内可导且lim x→0[sinx x 2+f (x )x]=2则f (0)=f ′(0)=limx→0xf (x )+ⅇx=59.limx→0√1+tanx−√1+sinxxln(x+1)−x 2 = 60lim x→1ln x ln (1−x )= 61.lim n→∞[12+322+523+⋯+2n−12n] =62.lim x→0[ax −(1x 2−a 2)ln (1+ax )] = （a ≠0） 63 .limx→0ⅇ1x +1ⅇ1x −1arctan 1x =64.设f (x )在[a,b ]连续则lim n→+∞∫x n f (x )ⅆx 10 = 65.w =lim x→0arcsinx−sinx arctanx−tanx =66.limx→0(x+3)x −3xx 2=67.limx→+∞1x∫(1+t 2)ⅇt 2−x 2ⅆt x=68. lim x→0ⅇ2−(x+1)2xx = 69.limx→02√1+xsinx−cosx=70.lim n→∞[(1+12n 2)(1+22n 2)+⋯+(1+n 2n 2)]1n=71. 设x n =1n 2+1+2n 2+22+…+nn 2+n 2则lim n→+∞x n =72.P =lim x→0[ln(1+ⅇ2x )ln(1+ⅇ1x)+a [x ]]存在求p 及a 的值. 73.limx→+∞∫(1+t 2)ⅇt 2ⅆtxxⅇx2=74.lim x→0[1ln(1+x 2)−1sin 2x] =75.lim x→+∞(x +ⅇx )1x=76.limx→1x−x x1−x+lnx =77.lim n→∞1.3.5.7…(2n−1)2.4.6.8…(2n ) =78.limn→∞1n√n (n −1)⋯(2n −1)n=79. 极限lim x→0(1−√cosx)(1−√cosx 3)…(1−√cosx n)(1−cosx )n−1 = 80. 设f (x )一阶连续可导且f (0)=0，f′(0)=1则下列极限lim x→0[1+f (x )]1arcsinx=81. 函数f (x )满足f (0)=0，f ′(0)>0则极限lim x→0+x f (x )= 82.lim x→+∞[x +√1+x 2]2x=83. lim x→+∞[π2−arctan x]1lnx=84.limx→01−cosx √cos2x √cos3x3x 2=85. 函数f (x )=x ln|1−x |的第一类间断点的个数为86.lim x→0(cotx )2sinx = 87.limx→+∞ⅇx −2πxarctanxx+ⅇx=88.lim n→∞(√2+√2+⋯+√22) =89. lim x→+∞x 2[lnarctan (x +1)−lnarctan x ] =90.limx→+∞x32(√x+2−2√x+1+√x) =91 设x≠0时limn→∞cosx2cosx4…cosx2n=92极限w=limx→+∞1+2|x|1+xarctanx =93.limx→0tan x+(1−cosx)ln(1−2x)+(1−ⅇx2)=94f(x)=arcsin x在[0,b]上用拉格朗日中值定理且中值为ε则limb→0εb=95 已知曲线y=f(x)与y=sinx在(0,0)处相切则limn→∞[1+f(2n)]n=96limn→∞(1n2+n+1+2n2+n+2+⋯+nn2+n+n) =97 limx→+∞(a1x+b1x+c1x3)x=98 极限limx→0(1+x)1x−ⅇx=99.设f(x)在x=1处可导且在（1,f(1)）处的切线方程为y=x−1，求极限P =limx→0∫ⅇt f(1+ⅇx2−ⅇt)ⅆt x2x2lncosx100.如果limx→+∞(x n+7x4+1)m−x=b（n>4，b≠0）求m,n及b的值。
考研高数极限试题及答案
考研高数极限试题及答案模拟试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{2}\)2. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限是多少？A. 2B. 1C. 0D. 不存在3. 极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\) 存在吗？A. 是B. 否4. 函数 \(g(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处的右极限是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在5. 极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\) 等于多少？A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（每题10分，共40分）6. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
7. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)。
8. 计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\)。
9. 计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3}\)。
三、解答题（每题20分，共40分）10. 证明 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。
11. 已知 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，证明 \(\lim_{x \to 2} [f(x)]^2 = 9\)。
有关极限考研试题及答案
有关极限考研试题及答案1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以求导数来计算极限。
对于本题，我们有：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 在 \(x = 1\) 处的左极限和右极限。
答案：- 左极限 \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\) - 右极限 \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\)由于左极限等于右极限，所以函数在 \(x = 1\) 处的极限存在，且为 \(-2\)。
3. 判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) 是否在 \(x = 0\) 处连续。
答案：函数 \(g(x)\) 在 \(x = 0\) 处的左极限和右极限都等于1，即：\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\]同时，\(g(0) = 1\)，因此函数在 \(x = 0\) 处连续。
4. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)。
答案：这是一个标准积分形式，其积分结果为：\[\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]其中 \(C\) 为积分常数。
5. 求函数 \(h(x) = \ln(x)\) 在 \(x = e\) 处的导数。
答案：函数 \(h(x)\) 的导数为 \(h'(x) = \frac{1}{x}\)，因此在 \(x = e\) 处的导数为：\[h'(e) = \frac{1}{e}\]6. 判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。
（完整版）考研极限试题（卷）
（完整版）考研极限试题（卷）“考研数学”——做到更好，追求最好南⼯程考研数学辅导材料之⼀⾼等数学主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军序近⼏年来，随着⾼等教育的⼤众化、普及化，相当多的⼤学本科毕业⽣由于就业的压⼒，要想找到⾃⼰理想的⼯作⽐较困难，这从客观上促使越来越多的⼤学毕业⽣选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更⾼的学历，以增强⾃⼰的竞争能⼒；同时还有相当多的往届⼤学毕业⽣由于种种的原因希望通过读研来更好地实现⾃我。
这些年的统计数据表明：应届与往届的考⽣基本各占⼀半。
⾃1989年起，研究⽣⼊学数学考试实⾏全国统⼀命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中⼼制定的“数学考试⼤纲”，该考试⼤纲除了在1996年实施了⼀次重⼤的修补以外，从1997年起⼀直沿⽤⾄今，但期间也进⾏了⼏次⼩规模的增补。
因此要求考⽣能及时了解掌握当年数学考试⼤纲的变化，并能按⼤纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。
通常研究⽣⼊学数学考试与在校⼤学⽣的期末考试相⽐，考试的深度与难度都将⼤⼤的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分150分）左右命题，试题涉及的范围⼤，基础性强，除了需要掌握基本的计算能⼒、运算技巧外，还需掌握⼀些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。
这使得研究⽣数学⼊学考试的竞争⼒强，淘汰率很⾼。
为了我院学⽣的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。
该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试⼤纲，含盖⾯⼴、量⼤，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能⼒的培养，⼒求给同学们做出有效的指导。
第⼀章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表⽰，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建⽴，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，⽆穷⼩与⽆穷⼤的关系，⽆穷⼩的性质及⽆穷⼩的⽐较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“考研数学”——做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军序近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。
这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。
自1989年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲”，该考试大纲除了在1996年实施了一次重大的修补以外，从1997年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。
因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。
通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分150分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。
这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。
为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。
该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。
第一章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。
考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。
3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。
6、掌握极限的性质与四则运算。
7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。
9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。
10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。
§1 函数一、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性；三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函数）；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。
例题1、（88）已知2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ及定义域。
2、（92）已知2()sin ,[()]1f x x f x x ϕ==-，求()x ϕ定义域。
3、设1()(10f x x x=+>，求()f x 。
4、2211(sin )sin 3sin sin f x x x x+=++，求()f x 。
5、（97）22,,(),()2,0,x x x x g x f x x x x x -≤⎧<⎧==⎨⎨+>-≥⎩⎩,求[()]g f x 。
6、设1,0()1,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，求[()]f f x 。
7、（90）1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，求[()]f f x 。
8、求2221001x x y xx ⎧+-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩的反函数。
9、（96）设函数2312,1(),121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩， （1）写出()f x 的反函数()g x 的表达式；（2）()g x 是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。
10、设()f x 满足：1()(),,,caf x bf a b c x x+=为常数，且a b ≠，试证：()f x 为奇函数。
11、,()x R f x ∀∈满足：22()(1)f x f x x +-=，求()f x 。
12、设()f x 连续，且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-，求(),lim ()x f x f x π→。
13、（89）设()f x 连续，且1()2()f x x f x dx =+⎰，求()f x 。
14、（97）设1201()()1f x f x dx x=++，求10()f x dx ⎰。
§2 极限一、定义及性质 （1）唯一性；（2）局部有界性；（3）局部保号性:()0,( ()0 ), lim () 0 ( 0 );x x f x f x f x A A A →≥≤=≥≤（i）若或且，则或00 lim () 0 ( A 0 ),U(,),U(,) ()0 ( ()0 );o ox x f x A x x x f x f x δδ→=><∃∀∈><（ii）若或则，或二、求极限的方法（重点）1、用定义证明和观察法如 lim arctan ;lim arctan ;22x x x x ππ→+∞→-∞==- 1100lim ;lim 0xxx x e e +-→→=+∞= 。
2、用极限的四则运算法则和函数的连续性3、用两个重要极限：0sin )lim1x x i x →= （或1sin lim 0=→uuu ）注意比较如下几个极限：sin lim0x x x →∞=，1sin lim 0=→x x x ，11sin lim =∞→x x x ，01sin lim 0=→xx x1011)lim(1),lim(1),lim(1)x n x x n x ii e e x e x n→∞→∞→+=+=+=一般形式：e u uu =+→1)1(lim ，e uuu =+∞→)11(lim 通常对于含三角函数的型极限用i)，对于1∞型极限用ii)。
4、(1) 用等价无穷小计算极限 0x →时，常见的等价无穷小有sin ,tan ,ln(1),1,arcsin ,arctan ~,x x x x e x x x +-211cos ~,(1)1~(0)2x x x x ααα-+->. 注意： x 的广泛的代表性u u e u u u u arctan ,arcsin ,1),1ln(,tan ,sin -+～uu cos 1-～221u ,1)1(-+αu ～u α等(2) 有界函数乘无穷小仍为无穷小。
5、用罗必达法则设（1）)(0)(lim ∞=x f ，)(0)(lim ∞=x F ，（0x x →或∞→x ）（2）在0x 的某个去心邻域内（当x 充分大时）)(),(x F x f 可导，且0)(≠'x F （3）)()()(lim∞=''A x F x f 则 =)()(limx F x f )()()(lim ∞=''A x F x f 基本类型有00和∞∞。
对于0,⋅∞∞-∞，可以通过初等变形转化为00和∞∞。
对于001,,0∞∞，通过取对数再用罗必达法则。
6、用变量代换注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算0x x →的极限时，如果被求极限中含有0x x -的因式时，可以令0x x -=t ；在计算∞→x 的极限中，如果被求极限中含有x 1，则可令t x=1。
在研究生数学入学考试中不常出现7、用极限存在的二个准则 i)夹逼（两边夹）定理；ii)单调有界定理：单调递增（减）有上界（下界）的数列必有极限。
8、利用导数定义 9、用定积分定义当已知函数)(x f 可积时，有⎰∑==∞→101)(1)(limdx x f n n i f ni n ，⎰∑==∞→101)(1)(lim dx ax f n n ia f n i n =⎰adx x f a 0)(1⎰∑+=+=∞→101)(1)(limdx x a f n n i a f ni n =⎰+1)(a a dx x f⎰∑=--+=∞→b a ni n dx x f nab n i a b a f )())((lim110、用微分和积分中值定理 11、用Taylor 公式注意：下面几类极限一般要讨论左右极限： 分段函数在分段点的极限；0x x →时，与绝对值或开偶次方根有关的极限； 0x x →时，含有形如01x x a-因式的极限。
三、无穷小阶的比较设,αβ均为无穷小，且不为0，如果：（1）lim /0αβ=时，则称α是β的高阶无穷小，或称β是α的低阶无穷小，记0()αβ=。
（2）lim /0c αβ=≠时，则称α与β为同阶无穷小，特别当1c =时，称α与β是等价无穷小。
（3）lim /0kc αβ=≠时，则称α是β的k 阶无穷小。
注意：无穷小的比较是在数学考试中一个经常考的考点，尤其在数二、三、四中。
其主要考法有： 已知函数)(x f 与另一已知函数)(x g 是同阶无穷小，求)(x f 中所含的参数； 当函数)(x f 满足什么条件时，是nx 的同阶（高阶）无穷小； 将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。
例题（一）极限的计算1、（00）设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞：（A ）存在且等于零， （B ）存在但不一定为零， （C ）一定不存在， （D ）不一定存在。
2、（1）0sin lim cos sin x x e x x x x →++； （2）20tan lim sin x x x x x→-；（3）（97）2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →++⋅+； （4）（00）30arctan lim ln(12)x x x x →-+。
3、（1）0x →； （2）（99）0x →。
4、（1）（00）1402sin lim()1xx xe x x e→+++。
（2）（05）（数三、四）⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-→x exx x 111lim 0 )23( 5、（1）1lim[(1)]xx e x x→∞+-⋅； （2）lim )x x x →-∞+。