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2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析
2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析注：1）本篇试题选自2004年—2014年数学一、二、三的考研真题，共35题； 2）本篇真题题型：选择题，填空题，解答题； 3）本篇试题包括两部分，第一部分是精选极限真题解析，第二部分是补充极限真题解析(P9)；第一部分（精选“极限”真题解析）（共20题）一、选择题1、设lim ,0n n a a a →∞=≠且，则当n 充分大时有（ ）（A ）n a >||2a （B ）||||2n a a <(C) 1n a a n>-(D) 1n a a n<+答案：(A)，注：2014年数三（1） 解析：方法1：lim 0,lim 0,=2n n n n aa a a a ε→∞→∞=≠∴=>取，则当n 充分大时，3,,22n n n a a a a a a a εεε-<-<-<<<即，故（A ）正确。
方法2：lim n n a a →∞=N N n N ε+∴∀>∃∈∀>使，有||n a a ε-<即 ||||||.0,222n n a a a a a a a a a a εεε-<<+≠∴=<<+可取，则- 不论a >0或a <0，都有||2n a a >，选A2、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 答案：(B)，注：2012年数二（3）解析：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
考研数学二极限试题及答案
考研数学二极限试题及答案# 考研数学二极限试题及答案## 题目一：求极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答步骤：1. 首先，我们考虑极限的类型，这是一个0/0型的不定式。
2. 为了解决这个问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
3. 应用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}\]4. 当 \(x \to 0\) 时，\(\cos x\) 趋向于 1。
5. 因此，极限的值为 1。
答案：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]## 题目二：函数极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)。
解答步骤：1. 观察极限表达式，这是一个无穷大的倒数。
2. 当 \(x\) 趋向于无穷大时，\(x^2\) 也趋向于无穷大。
3. 任何数除以一个趋向于无穷大的数，结果都趋向于 0。
答案：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\]## 题目三：复合函数的极限题目描述：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求极限 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。
解答步骤：1. 直接将 \(x = 2\) 代入函数 \(f(x)\) 中。
2. 计算得到 \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2\)。
3. 简化得到 \(f(2) = 8 - 12 + 4\)。
4. 计算结果为 \(f(2) = 0\)。
答案：\[\lim_{x \to 2} f(x) = 0## 题目四：数列极限题目描述：考虑数列 \(a_n = \frac{1}{n}\)，求其极限。
考研数学极限与导数部分练习题(带答案)
1. 0ln(1)lim1cos x x x x→+=- .分析 当0x →时,2ln(1)~x x x +,21cos ~2x x -,利用等价无穷小代换可求出极限解 2200ln(1)limlim 21cos 2x x x x x xx →→+==- 2.cos 0x x →= .分析 先变形cos cos 1cos (1)xx x e ee e --=-,21cos (1)~1cos ~2xx ex ---,21~3x ,再利用等价代换求其极限解2cos cos 1cos 1cos 200032lim 23x x x x x x x x x ee e x --→→→→====. 3.求3limx x →.分析 分子有理化后等价无穷小代换求极限. 解0x x →→=001sin (1)x x x →→-==20114x x x →⋅==.4. 求极限.分析 该极限为型，先取对数，再使用洛必达法则.11ln lim (1)xxx e →+∞-0解5.求极限. 分析 将变形为，将分子分母中的，展开，再求极限. 解. 6.计算.分析 将分子中的函数，展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，再求极限.解从而7.设函数()()()2()12x x nxf x e e en =---,其中n 为正整数，求(0)f '.分析 (0)0f =，0x →时，1~xe x -，所以用导数定义求(0)f '简单.解()()()()()210012()(0)(0)lim lim11!0x x nxn x x e e en f x f f n x x-→→----'===---，所以选（A ）.8.设(1)(),(0)(,0)f x af x f b a b '+==≠, 求(1)f '.1211111ln 111limlimln(1)11lim1ln 1lim (1)x x x x x x xx xx e x xe e e xxe x e eeee →+∞→+∞→+∞⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭--⋅---→+∞-====011limcot x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭011limcot x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭30sin cos lim x x x x x →-sin x cos x 323233000()1()3!2!11sin cos lim cot lim lim x x x x x x o x x o x x x x x x x x x →→→⎡⎤-+--+⎢⎥-⎛⎫⎣⎦-== ⎪⎝⎭333011()()12!3!lim 3x x o x x →-+==403cos 2lim 2x x e x x -+→cos x 2x e 2x e),(!211442x o x x +++=x cos ),(!4!21442x o x x ++-=∴3cos 22-+x e x ),(!412!2144x o x +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=403cos 2lim2x x e x x -+→4440)(127lim x x o x x +=→.127=分析 抽象函数求导数必须用导数的定义式. 解00(1)(1)()(0)()(0)(1)limlim lim (0)x x x f x f af x af f x f f a af ab x x x→→→+---''=====.9.设2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e --→∞++=+，问a 与b 为何值时，()f x 可导，并求()f x '． 分析 由连续及左右导数的定义即可得到答案. 解：1x >时，(1)lim n x n e -→∞=+∞；1x <时，(1)lim 0n x n e -→∞=；2,11(),12,1x x a b f x x ax b x ⎧>⎪++⎪∴==⎨⎪+<⎪⎩.由1x =处连续性得：11lim ()lim ()11x x f x f x a b -+→→==⇒+=. 由1x =处可导性得：(1)(1)f f -+''=，111(1)2(1)lim lim 11x x a b ax b ax b f f a x x ---→→+++-+-'===--， 21(1)(1)lim 21x x f f x ++→-'==-，故2a =.那么2a =，1b =.于是2, 1()1, 121,1x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩， 2,1()2, 1x x f x x ≥⎧'=⎨≤⎩.10.曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）. （A ）4e （B ）3e （C ）2e （D ）e分析 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则它们有共同的切点及斜率，从而解出a解 因与相切，故. 2x y =)0(ln ≠=a x a y 212a x x a x =⇒⋅=在上，时，.在上，时，. ln ln 1e 2e 22222a a a a aa ⇒=⋅⇒=⇒=⇒=， 所以选择（C ）2x y =2a x =2a y =)0(ln ≠=a x a y 2a x =2lna a y =2ln 21aa =。
有关极限考研试题及答案
有关极限考研试题及答案1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以求导数来计算极限。
对于本题，我们有：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 在 \(x = 1\) 处的左极限和右极限。
答案：- 左极限 \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\) - 右极限 \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\)由于左极限等于右极限，所以函数在 \(x = 1\) 处的极限存在，且为 \(-2\)。
3. 判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) 是否在 \(x = 0\) 处连续。
答案：函数 \(g(x)\) 在 \(x = 0\) 处的左极限和右极限都等于1，即：\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\]同时，\(g(0) = 1\)，因此函数在 \(x = 0\) 处连续。
4. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)。
答案：这是一个标准积分形式，其积分结果为：\[\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]其中 \(C\) 为积分常数。
5. 求函数 \(h(x) = \ln(x)\) 在 \(x = e\) 处的导数。
答案：函数 \(h(x)\) 的导数为 \(h'(x) = \frac{1}{x}\)，因此在 \(x = e\) 处的导数为：\[h'(e) = \frac{1}{e}\]6. 判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。
高数考研极限试题及答案
高数考研极限试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 8在x=3处的极限值是（）。
A. 1B. 5C. 9D. 11答案：C2. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x) = 1/x在x→0时的极限是（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：C4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x=2处的极限值是（）。
A. 0B. 2C. 4D. 6答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算极限lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2)的值为______。
答案：82. 函数f(x) = (x^3 - 27)/(x - 3)在x=3处的极限值为______。
答案：03. 计算极限lim(x→∞) (2x^2 + 3x - 1)/(x^2 - 5x + 6)的值为______。
答案：24. 函数f(x) = sin(x)/x在x→0时的极限值为______。
答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x。
答案：首先，我们使用洛必达法则，分子和分母同时求导，得到lim(x→0) (e^x - 1)/x = lim(x→0) e^x = 1。
2. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 4x + 4)/(x^2 + 2x + 1)。
答案：分子和分母同时除以x^2，得到lim(x→∞) (1 - 4/x +4/x^2)/(1 + 2/x + 1/x^2) = 1。
3. 计算极限lim(x→0) (tan x - sin x)/x^3。
答案：使用泰勒展开，tan x ≈ x + x^3/3，sin x ≈ x，所以原式= lim(x→0) (x + x^3/3 - x)/x^3 = lim(x→0) x^3/3x^3 = 1/3。
[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc
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（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题，二)设数列xn满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )．
（A）若xn发散，则yn必发散
（B）若xn无界，则yn必有界
（C）若xn有界，则yn必为无穷小
（D）若 为无穷小，则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“ ”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数 (x)是偶函数
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）非充分也非必要条件
6 (2003年试题，二)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 =∞，则必有( )。
（A）ann对任意n成立
（B）bnn对任意n成立
（C）极限 ancn不存在
（D）极限 bncn不存在
7 (1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．
35 (2002年试题，一)
36 (1999年试题，十)设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明数列{an}的极限存在．
9 (2002年试题，二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数 的极限( )．
考研数学一(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2003年)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有( )A．an＜bn对任意n成立B．bn＜cn对任意n成立C．极限不存在D．极限不存在正确答案：D解析：由于则由极限的保号性可知，存在N＞0，使得当n＞N时，an＜bn，但不是对任意的n都成立。
例如bn=1，n=1，2时不满足an＜bn，所以选项A错误。
类似地，选项B也是错误的。
例如bn=1，n=1，2时不满足bn＜cn。
由于因此是0·∞型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项C是错误的。
例如极限证明发散，可采用反证法。
假设是收敛的，由于可知也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即是发散的。
由此唯一正确的选项是D。
知识模块：函数、极限与连续2．(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )A．若u1＞u2，则(un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散正确答案：D解析：方法一：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；设则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但收敛．排除B；设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnn}发散，排除A。
故应选D。
方法二：由拉格朗日中值定理，有un+1一un=f(n+1)一f(n)=f′(ξn)(n+1—n)=f′(ξn)，其中n＜ξn＜n+1(n=1，2，…)。
由f”(x)＞0知，f′(x)单调增加，故f′(ξ1)＜f′(ξ2)＜…＜f′(ξn)＜…，所以于是当u2一u1＞0时，有故选D。
近30年数学考研真题高数极限连续部分
当
时，用“
”表示比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：D
（2013302）
函数
的可去间断点的个数为：（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：C
（2014201）
当
时，若
，
均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】：B
（2014301）
f
x 的间断点,其结论为
(
)
(A) 不存在间断点
(B) 存在间断点 x 1
(C) 存在间断点 x 0
(D) 存在间断点 x 1
【答案】：B
（1999209）
“对任意给定的 e 0,1，总存在正整数 N ，当 n N 时，恒有 | xn a | 2 ”是数列 xn
收敛于 a 的（ ）
（A）充分条件但非必要条件 （C）充分必要条件 【答案】：C
()
(C) 1 x2 1
【答案】：D
(D) x tan x
（1993202）
当
x
0时，变量
1 x2
sin
1 x
是 则（
）
（A）无穷小
（C）有界的，但不是无穷小
【答案】：D
（B）无穷大 （D）有界的，但不是无穷大
（1994102）
设 lim x0
a tan x b(1 cos x) c ln(1 2x) d (1 ex2
【答案】：B
（2008301）
设函数 在区间
上连续，则
是函数
的：（ ）
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“考研数学”——做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军序近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。
这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。
自 1989 年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲” ，该考试大纲除了在1996 年实施了一次重大的修补以外，从1997 年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。
因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解” ，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。
通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分150 分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。
这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。
为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。
该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。
第一章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。
考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。
3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。
6、掌握极限的性质与四则运算。
7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。
9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。
10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。
§1 函数一、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性；三、函数的运算（重要考点） ：四则运算、复合运算（复合函数） 、逆运算（反函数） ；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。
例题1 、（ 88 ）已知 f (x) x20，求 (x) 及定义域。
e ,f [ ( x)] 1 x ，且 (x)2 、（ 92 ）已知f (x) sin x, f [ ( x)] 1x 2 ，求 (x) 定义域。
3 、设 f ( 1) x(1x 2 1), x 0 ，求 f ( x) 。
x4 、f (sin x1sinx)sin 2x12x3，求f (x) 。
5 2 x,x 0 x 2 , x 0、（ 97 ） g ( x)x,x , f ( x)x,求 g[ f ( x)] 。
2x,6 1 x, x 0，求 f [ f (x)] 。
、设 f ( x)x 01,1, x 17 、（ 90 ） f ( x)x，求 f [ f ( x)] 。
0,1x 22 1 x 08 、求 y20 x的反函数。
x11 2x2 ,x 1 9 、（ 96 ）设函数 f ( x)x 3 ,1 x2 ，12x 16, x 2（ 1）写出 f (x) 的反函数 g( x) 的表达式；（ 2） g( x) 是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。
1 c b ，试证： f (x) 为奇函数。
10 、设 f (x) 满足： af ( x) bf ( ), a,b, c 为常数，且 axx11 、 xR, f (x) 满足： 2 f (x) f (1 x)x 2 ，求 f ( x) 。
12 、设 f (x) 连续，且 f (x)sin x 2lim f ( x) ，求 f (x),lim f ( x) 。
xx x13 、（ 89 ）设 f ( x) 连续，且 f (x)1x 2 f ( x) dx ，求 f ( x) 。
14 、（ 97 ）设 f ( x)11 x21 12f ( x)dx ，求 f ( x) dx 。
1 x§2 极限一、定义及性质（1 ）唯一性；（2 ）局部有界性； （ 3）局部保号性 :（ i ） 若 f ( x) 0,( 或 f ( x) 0 ), 且 lim f ( x)A ， 则 A0 ( 或 A 0 );x x 0oo（ ii ） 若 lim f ( x) A0 ( 或 A0 ),则 U( x 0 , ), xU( x 0 , ) ，f ( x) 0 ( 或 f (x) 0 );x x 0二、求极限的方法（重点）1 、用定义证明和观察法11如lim arctan; lim arctan;xx。
xx2x2lim e;lim exx 0x 02 、用极限的四则运算法则和函数的连续性3 、用两个重要极限：i ) limsin x1 （或 lim sin u 1 ）x 0xu 0u注意比较如下几个极限 ：lim sin x0 ， limsin x1 ， lim x sin11， lim xsin1xxx 0xxxx 0x1 ) x1) n1 ii ) lim(1e, lim(1e, lim(1x) xexx nn x 011) u一般形式： lim (1u) u e ， lim (1 eu 0uu通常对于含三角函数的型极限用 i)，对于 1 型极限用 ii) 。
4 、 (1) 用等价无穷小计算极限x0 时，常见的 等价无穷小 有sin x, tan x, ln(1 x), e x 1, arcsin x, arctan x ~ x, 1 cos x ~ 1 x 2 , (1 x)1 ~ x (0) .2注意： x 的广泛的代表性sin u, tan u, ln(1 u), e u 1, arcsin u, arctan u ～ u1 cosu ～ 1 u2 , (1 u)1 ～ u 等2(2) 有界函数乘无穷小仍为无穷小。
5 、用罗必达法则设（ 1 ） lim f ( x)0( ) ， lim F (x) 0( ) ，（ xx 0 或 x）（ 2 ）在x0的某个去心邻域内（当x 充分大时） f ( x), F ( x) 可导，且 F ( x) 0（3 ）lim f ( x) A( )F (x)则 lim f ( x) lim f (x) A( )F ( x) F ( x)基本类型有0 和。
对于 0 , ，可以通过初等变形转化为0 和。
对于 1 , 0 , 00，0 0通过取对数再用罗必达法则。
6、用变量代换注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算x x0的极限时，如果被求极限中含有x x0的因式时，可以令x x0=t；在计算 x的极限中，如果被求极限中含有1，则可令1t。
在研究x x生数学入学考试中不常出现7、用极限存在的二个准则i)夹逼（两边夹）定理；ii)单调有界定理：单调递增（减）有上界（下界）的数列必有极限。
8 、利用导数定义(ch.2)9 、用定积分定义(ch.3)当已知函数 f (x) 可积时，有n limni 1 f (i)11 nf (x)dx ， limn n n i 1f(ia)1n n11 af ( ax) dx = f (x)dxa 0ni ) 1 1 a 1lim f (a f (a x)dx = f ( x) dxni 1 n n0 alim n (b a)i ) b a f ( x) dxbni 1 n n a10 、用微分和积分中值定理(ch.2)11 、用 Taylor公式(ch.2)注意：下面几类极限一般要讨论左右极限：分段函数在分段点的极限；x x0时，与绝对值或开偶次方根有关的极限；1x x0时，含有形如 a x x0因式的极限。
三、无穷小阶的比较设, 均为无穷小，且不为0，如果：（ 1）lim / 0 时，则称是的高阶无穷小，或称是的低阶无穷小，记0( ) 。
（ 2）lim / c 0 时，则称与为同阶无穷小，特别当 c 1 时，称与是等价无穷小。
（ 3）lim / k c 0 时，则称是的 k 阶无穷小。
注意：无穷小的比较是在数学考试中一个经常考的考点，尤其在数二、三、四中。
其主要考法有：已知函数 f ( x) 与另一已知函数g(x) 是同阶无穷小，求 f ( x) 中所含的参数；当函数 f (x) 满足什么条件时，是x n 的同阶（高阶）无穷小；将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。
例题（一）极限的计算1 、（ 00 ）设对任意的x，总有( x) f ( x) g (x) ，且lim[ g ( x)(x)] 0 ，则 lim f ( x) ：x x （ A）存在且等于零，（ B）存在但不一定为零，（ C）一定不存在，（ D ）不一定存在。
2 、（ 1）lim e x sin x ；（ 2 ）lim tan x x ；2 sin xx 0 x cos x sin x x 0 x3sin x （3 ）（ 97 ）limx0 (1 cos x)x2 cos 1arctan x x x ；ln(1 x)（ 4）（ 00 ）lim 。
x 0 ln(1 2x 3 )3 、（ 1）lim 1 x 1 tan x ；（ 2 ）（ 99 ）lim 1 tan x 1 sin x 。
x 0 1 x 1 sin x x 0 x ln(1 x) x214 、（ 1）（00 ）2 e x sin x（ 2 ）（ 05 ）（数三、四）1 x 1 lim(4) 。
lime x x x 0 x x 0 11 e x5 、（ 1）lim[(1 1 )x e] x ；（2 ）lim x( x2 100 x) 。
x x x6 、（ 1）（04 ）求极限 lim 13[( 2 cos x)x 1] ；（ 2 ）（ 93 ）lim 3x2 5sin2；x 0 x 3 x 5x 3 x7 、（ 1）（99 ） lim( 1 1 ) ；（ 2 ）（ 94 ）lim[ x x2 ln(1 1 )] 。