第六章趋势时间序列模型
趋势时间序列模型及其应用
趋势时间序列模型及其应用摘要： 针对非平稳时间序列的趋势性变化特点，可建立包含确定性时间趋势的时间序列模型，确定性时间趋势的残差项由ARIMA (p, d ,q ) 模型拟合。
并做实际预测，进行了趋势残差项的周期谱分析，确定出随机扰动的波动周期。
关键词：非平稳时间序列；时间趋势；随机扰动；时间序列模型；波动周期1 引言序列非平稳性的表现具有多样性和复杂性，化非平稳时间序列为平稳时间序列的方法也是多样的，常用的方法有：Ⅰ 差分对序列做d 阶差分，B 为延迟算子，B = ， ，一阶差分算子∇=1-B ， t y t y 1−t y k t t k y y B −=t d t d y B y )1(−=∇ d 阶差分后，序列成为平稳序列。
若是含有周期为T 的波动序列，可做季节差分，以表示季节差分，t d y ∇t y T ∇T t t t T y y y −−=∇ ，序列t T y ∇成为平稳序列。
Ⅱ 对数变换与差分时间序列的变化常呈现出一定的趋势，如线性趋势或指数趋势，此类趋势函数f(t)具有特定的形式，称此类时间序列具有确定性趋势。
若含有指数趋势，可先对取对数，再进行差分运算，得到平稳序列： 。
t y t y t d y log ∇结合我国月外汇储备的时间序列数据（1993.1—2002.9），进行了ARIMA 模型的拟合。
叶阿忠、李子奈[1]采用我国外汇储备与通货膨胀（居民消费价格指数）的月度数据，建立了高预测精度的通货膨胀的回归—时间序列组合模型（含解释变量），据此可进行结构、预测分析。
实践中碰到的时间序列y t 常为非平稳时间序列，如美国名义GNP （1947—1987）有着明显的指数向上的趋势，文献[2]给出了确定此类经济增长的一般性方法：(1-B )log (y t )={1+( y log t - y t-1)/ y t-1}≈( y t - y t-1)/ y t-1 （1） B 为延迟算子。
《时间序列模型 》课件
目录
Contents
• 时间序列模型概述 • 时间序列模型的基础 • 时间序列模型的建立 • 时间序列模型的预测 • 时间序列模型的应用 • 时间序列模型的未来发展
01 时间序列模型概述
时间序列的定义
01 时间序列是指按照时间顺序排列的一系列观测值 。
02 时间序列数据可以是数值型、分类型或混合型。 03 时间序列数据可以用于描述和预测时间变化的现
详细描述
通过分析历史经济数据的时间序列特性，时间序列模型能够预 测未来经济走势，为政策制定者和企业决策者提供重要参考。
举例说明
例如，利用ARIMA模型分析国内生产总值（GDP）的时间 序列数据，可以预测未来一段时间的GDP增长趋势。
股票预测
01
总结词
时间序列模型在股票市场中具有实际应用价值。
02 03
SARIMA、VAR等。
识别模型阶数
02
确定模型的参数，如自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
考虑季节性和趋势性
03
如果时间序列数据存在季节性和趋势性，需要在模型中加以考
虑。
参数估计
01
使用最小二乘法或最大似然法等统计方法估计模型 的参数。
02
考虑使用软件包或编程语言进行计算，如Python的 statsmodels库或R语言的forecast包。
象。
时间序列的特点
时序性
时间序列数据是按照时间顺序排列的，具有 时间上的连续性。
趋势性
时间序列数据通常具有一定的趋势，如递增 、递减或周期性变化。
季节性
一些时间序列数据呈现季节性变化，如年度 、季度或月度的变化规律。
不确定性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有不 确定性，难以精确预测。
时间序列模型讲义
时间序列模型讲义时间序列模型讲义一、概念介绍时间序列模型是一种用于分析和预测时间上变化的数据模型。
它是一种建立在时间序列数据上的数学模型，旨在揭示时间序列中的隐藏规律和趋势，并利用这些规律和趋势进行预测和决策。
二、时间序列的特征时间序列数据具有以下几个主要特征：1. 时间相关性：时间序列数据中的观测值在时间上是相关的，前一个时刻的观测值往往会影响后续时刻的观测值。
2. 趋势性：时间序列数据往往具有明显的趋势性，即观测值随时间呈现出递增或递减的趋势。
3. 季节性：时间序列数据中可以存在固定的周期性变化，比如月份、季节、一周等周期性变化。
4. 周期性：时间序列数据中可能存在非固定的周期性变化，比如经济周期、股票市场周期等。
三、时间序列模型的构建过程时间序列模型的构建过程主要包括以下几个步骤：1. 数据探索和预处理：对时间序列数据进行可视化和探索，查看数据的分布、趋势和周期性等特征，并进行缺失值处理、异常值处理等预处理操作。
2. 模型选择：选择适合数据特征的时间序列模型，常用的模型包括移动平均模型（MA模型）、自回归模型（AR模型）和自回归移动平均模型（ARMA模型）等。
3. 参数估计：利用已选定的时间序列模型，对模型中的参数进行估计，通常采用极大似然估计或最小二乘估计等方法。
4. 模型诊断：对估计得到的时间序列模型进行诊断，检验模型是否满足统计假设，例如模型的残差序列是否具有零均值和白噪声等特征。
5. 模型评价和预测：通过对模型在历史数据上的拟合程度进行评价，选择最优的模型，并利用该模型对未来的数据进行预测和决策。
四、常见的时间序列模型1. 移动平均模型（MA模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的加权平均，其中权重是模型的参数。
该模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列。
2. 自回归模型（AR模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的线性组合，其中系数是模型的参数。
该模型适用于具有明显的趋势性的时间序列。
时间序列模型的趋势
时间序列模型的趋势
时间序列模型的趋势是指数据随时间变化的总体方向。
趋势可以是上升的，下降的或者平稳的。
时间序列模型的目标就是利用历史数据中的趋势信息来预测未来的趋势。
常见的时间序列模型中，线性模型可以用来描述平稳的趋势，如ARMA模型、ARIMA模型等。
这些模型假设时间序列的趋势是线性的，通过拟合历史数据的线性关系来预测未来的趋势。
非线性模型可以用来描述非线性的趋势，如GARCH模型、神经网络模型等。
这些模型能够更好地捕捉时间序列数据中的非线性关系，从而更准确地预测未来的趋势。
除了线性和非线性模型，还有一些特殊的时间序列模型可以用来描述特定的趋势，如季节性模型、周期性模型等。
这些模型在分析具有明显周期性或季节性的时间序列数据时非常有用。
总之，时间序列模型的趋势是在历史数据中根据统计分析得到的，并用于预测未来的趋势。
选择合适的模型来捕捉时间序列数据中的趋势是时间序列分析和预测的重要一步。
第六章 时间序列分析
第六章时间序列分析重点：1、增长量分析、发展水平及增长量2、增长率分析、发展速度及增长速度3、时间数列影响因素、长期趋势分析方法难点：1、增长量与增长速度2、长期趋势与季节变动分析第一节时间序列的分析指标知识点一：时间序列的含义时间序列是指经济现象按时间顺序排列形成的序列。
这种数据称为时间序列数据。
时间序列分析就是根据这样的数列分析经济现象的发展规律，进而预测其未来水平。
时间数列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列。
表现了现象在时间上的动态变化，故又称为动态数列。
一个完整的时间数列包含两个基本要素：一是被研究现象或指标所属的时间；另一个是该现象或指标在此时间坐标下的指标值。
同一时间数列中，通常要求各指标值的时间单位和时间间隔相等，如无法保证相等，在计算某些指标时就涉及到“权”的概念。
研究时间数列的意义：了解与预测。
[例题·单选题]下列数列中哪一个属于时间数列（）.a.学生按学习成绩分组形成的数列b.一个月内每天某一固定时点记录的气温按度数高低排列形成的序列c.工业企业按产值高低形成的数列d.降水量按时间先后顺序排列形成的数列答案：d解析：时间序列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列，表现了现象在时间上的动态变化。
知识点二：增长量分析（水平分析）一.发展水平发展水平是指客观现象在一定时期内（或时点上）发展所达到的规模、水平,一般用yt（t=1,2,3，…,n) 。
在绝对数时间数列中，发展水平就是绝对数；在相对数时间数列中，发展水平就是相对数或平均数。
几个概念：期初水平y0，期末水平yt，期间水平(y1,y2,….yn-1)；报告期水平(研究时期水平)，基期水平（作为对比基础的水平）。
二.增长量增长量是报告期发展水平与基期发展水平之差，增长量的指标数值可正可负，它反映的是报告期相对基期增加或减少的绝对数量，用公式表示为：增长量＝报告期水平－基期水平根据基期的不同确定方法，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。
第六章时间序列趋势预测法(管理预测)
如果通过数年的时间序列显示，观察期资料并无显著 的长期升降趋势变动和季节变动时，就可以采用此方法。
(2)以观察期的每月平均值作为预测期对应月份 的预测值。
当时间序列资料在年度内变动显著，或呈季节性变化 时，如果用上一种方法求得预测值，其精确度难以保证。
不规则变动通常用I表示，I=I（t）。
三、时间序列因素的组合形式
时间序列变动是长期趋势变动、季节变动、循 环变动和不规则变动四种因素综合作用的结果。 四种因素组合的形式有多种，有以下两种基本 形式。
1．加法型 2．乘法型
Y=T+C+S+I Y=T ·C ·S ·I
四、时间序列预测的步骤
（1）绘制观察期数据的散点图，确定其变化 趋势的类型。
（1）以上年度为基期分别求各年的环比指数。
（2）求环比指数的几何平均数，即发展速度。
G n x1 x2 xn 13 114102108118 105.34%
或 G arc lg lg xi arc lg 2.023 105.34% n
（3）利用平均发展速度进行预测。
图5.2 时间序列数据季节变化曲线
3、循环变动
循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周 期性变动。
即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。 循环变动是时间的函数，通常用C表示，
C=C（t）。
图5.3 时间序列数据循环变化曲线
4.不规则变动
不规则变动是指由各种偶然因素引起 的随机性变动。
它反映了经济现象的主要变动趋势。 长期趋势变动是时间t的函数，它反映了不可
逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常用T 表示，T=T（t）。
统计学第六章构成因素分析法
(Y1
Y2
Yt )
t
Yi
i 1
3. 有了t+1的实际值，便可计算出的预测误差为
et1 Yt1 Ft1
4. t+2期的预测值为
Ft2
t
1
1
(Y1Biblioteka Y2 Yt Yt1)
t
1 1
t 1
Yi
i1
简单平均法
(特点)
1. 适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当 时间序列没有趋势时，用该方法比较好
– 加法模型 Yi=Ti+Si+Ci+Ii
四 平稳序列的分析和预测
一.简单平均法 二.移动平均法
简单平均法
(simple average)
1. 根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值
2. 设时间序列已有的其观察值为 Y1、Y2、… 、Yt，
则t+1期的预测值Ft+1为
1
1t
Ft 1
t
1. 趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小 二乘法(Least-square Method)求得
– 根据回归分析中的最小二乘法原理 – 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小 – 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配
合趋势曲线
2. 根据趋势线计算出各个时期的趋势值
线性模型法
(a 和 b 的求解方程)
1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
Y na bt tY at bt 2
解得：b
ntY tY
nt 2 t2
a Y bt
2. 预测误差可用估计标准误差来衡量
计量经济学第6章时间序列分析
则一个时间序列是“弱平稳的”，通常情况下，我们所 说的平稳性指的就是弱平稳。
三、五种经典的时间序列类型
1.白噪声（ White noise）
白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满足： （1）E(εt) = 0 , 对所有t成立； （2）V ar(εt) = σ2，对所有t成立； （3）Cov (εt, εt+k) = 0，对所有t和k≠0成立。
而与α、β无关。
2. ADF检验
在DF检验中，实际上是假定了时间序列是由具有白噪声 随机误差项的一阶自回归过程AR(1)（见教材式6.3.2）生成的。 但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成 的，或者随机误差项并非是白噪声的，为了保证DF检验中随 机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，
第六章 时间序列分析
6.1 时间序列分析的基本概念 6.2 平稳性检验 6.3 ARIMA模型 6.4 协整与误差修正模型 6.5* 向量自回归（VAR）模型
第一节 时间序列分析的基本概念
一、时间序列与随机过程
随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{X t ，t T }
的两个模型分别进行检验，可以得到同样的结论。
第三节 ARIMA模型
ARIMA 模 型 （ autoregressive integrated moving average model ），又称为 Box-Jenkins 模型，简称为 BJ 模 型。它是单变量时间序列在同方差情况下进行线性建模的 最常用的方法。 ARIMA 模型实质上是差分运算与 ARMA 模型 的组合，它不同于经济计量模型的两个主要特点是：第一， 这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的 变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化；第二，明 确考虑时间序列的非平稳性，如果时间序列非平稳，建立 模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考 虑建模问题。
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（二）随机趋势模型
随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。 为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对 ARMA模型的性质作一回顾。
假设有一个ARMA( p, q)模型如下 :
(B)xt (B)at 其中: (B) 11B 2B2 B p
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
(B)wt (B)at
可见一个齐次非平稳过程经过若干次(d次)差分 运算后可变为平稳序列.
可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的 非平稳序列，即齐次非平稳序列。
由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根 在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次 非平稳序列又称单位根过程。
二、方差和自协方差非平稳过程
一个均值平稳过程不一定是方差和自协方 差平稳过程，同时一个均值非平稳过程 也可能是方差和自协方差非平稳过程。
第六章 趋势时间序列模型
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和 预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。 一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数， 并且它的协方差有时间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是非平 稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各 种情形，如它们具有非常数的均值μt，或非常数 的二阶矩，如非常方差σt2，或同时具有这两种情 形的非平稳序列。
第二节 非平稳性的检验
一、通过时间序列的趋势图来判断 二、通过自相关函数(ACF)判断 三、特征根检验法 四、用非参数检验方法判断序列的平稳性 五、随机游走的单位根检验
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一、通过时间序列的趋势图来判断
这种方法通过观察时间序列的趋势图来判 断时间序列是否存在趋势性或周期性。
趋势性时间序列是在图形上表现出一个长期上升 或向下的趋势。一般情况下，通过时间序列观察值来 判断序列的趋势性是比较容易，但是有些情况下，就 比较困难，这主要原因是从短期看，时间序列具有趋 势变动，但从长期看，它只不过是循环波动的一部分。 时间序列的趋势性，有确定性和非确定性两种，前者 有线性趋势和非线性趋势。具有非确定性趋势的序列， 往往表现为一种慢慢地向上或向下漂移的时间序列.
若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于 所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而 且随着时滞k的增加而具有季节性，那末对 于按月采集的数据，时滞12，24， 36……的自相关系数达到最大(如果数据 是按季度采集，则最大自相关系数出现 在4，8，12， ……)，并且随着时滞的增 加变得较小。
为满足平稳性,则必须有 :(B) 0的
根都在单位圆外.
如果(B) 0的根不都在单位圆外, 那
么, xt就是非平稳的.
现假设(B) 0恰有d个根落在单位圆上,
而其它根都在单位圆外,则可令 :
(B) (B)(1 B)d
于是原模型可写为 :
(B)(1 B)d xt (B)at
这时我们就称xt为齐次非平稳过程, d称为齐次性的阶. 令wt (1 B)d xt ,则 :
1998 1994 1990 1986 1982 1978 1974 1970 1966 1962 1958 1954 1950
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200
0
第一节 非时间序列模型的种类 一、均值非平稳过程 二、方差和自协方差非平稳过程
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则原序列可用确定的有趋势模型表示如下 :
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳过程,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述.
对二次均值函数, t 0 1t 2t 2
原序列可用下式表示 :
xt 0 1t 2t 2 yt 此外，均值函数还可能是指数函数、 正弦—余弦波函数等，这些模型都可 以通过标准的回归分析处理。 处理方法是先拟合出μt的具体形式， 然后对残差序列yt={xt－ μt}按平稳 过程进行分析和建模。
不是所有的非平稳问题都可以用差分方法 解决，还有期望平稳和方差非平稳序列， 为了克服这个问题，我们需要适当进行 方差平稳化变换。
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一般用幂变换使方差平稳, 表示如下 :
xt( )
ln
xt
xt
1
0 0
这个变换最早由BOX和COX于1964年提出， 因此称作BOX—COX变换。其中λ为变换 参数。
第六章 趋势时间序列模型
第一节 非平稳时间序列模型的种类 第二节 非平稳性的检验 第三节 平稳化方法 第三节 求和自回归滑动平均模型(ARIMA)
在现实世界中的大多数经济时间序列都表现出 趋势性，即时间序列值随时间的变化呈现出增加或减 少趋势和方差的不稳定性。例如，城镇居民人均可支 配收入数据序列就有上升趋势，并且波动幅度逐年增 大，表现出方差的不平稳性。因此在对时间序列建立 模型之前，必须分析时间序列的平稳性和平稳化方法， 这对于我们进行时间序列的统计分析、预测与控制， 都具有十分重要的意义。
优点：简便、直观。对于那些明显为非平 稳的时间序列，可以采用这种方法。
缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不 易用这种方法判断出来。
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二、通过自相关函数(ACF)判断
平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的， 要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性 来判断时间序列是否为平稳序列。
一、均值非平稳过程
均值非平稳过程指随机过程的均值随均 值函数的变化而变化。
我们可以引进两种非常有用的均值非平 稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。
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（一）确定趋势模型
当非平稳过程均值函数可由一个特定的时 间趋势表示时，一个标准的回归模型曲 线可用来描述这种现象。
例如,若均值t服从线性趋势, t 0 1t
若序列是有趋势的，且具有季节性，其自
相关函数特性类似于有趋势序列，但它 们是摆动的，对于按月数据，在时滞12， 24，36，……等处具有峰态；如果时间序 列数据是按季节的，则峰出现在时滞4， 8，12， ……等处。
三、特征根检验法（P146）
基本思想 : 先拟合序列的适应模型,然后 求由该适应模型的参数组成的特征方程的