第1讲 有理数
第1讲：认识有理数
第一讲：认识有理数模块一 正数与负数在小学时我们学过像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数，在小学时，老师给我们说，它们分别是整数、小数、分数，进入初中以后，我们把像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数叫 ；如果我们把在小学学过的整数、小数、分数前面加一个“—”，比如像这些数，－3，-2，－1，－0.58，41-......，我们把它们叫 。
把下列具有相反意义的量有用线边起来：（1）收入20元 前进100米 后退100米 支出20元 高于海平面155米 亏损6万元 盈余6万元 低于海平面155米（2）零上10C ︒运出50筐梨高于海平面8848米 低于海平面392米运进80筐梨 零下5C ︒学习与归纳：①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上 号，把另一 个数前面加上 号来进行区分；前面带 号的数叫做正数，前面 的 号经常可以省略不写，前面带 号的数叫做负数，前 面的 号不可以省略；② 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点； ③ 大于零， 小于零，正数 一切负数。
现在我们就把正数与负数的概念总结如下： 像5，2.1，21，⋅⋅⋅这样的数叫做正数，它们都比0大。
在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如：13-，6.1-，32-，⋅⋅⋅ 0既不是正数，也不是负数。
典型例题讲解（理解新知识） 例1：填空：（1）如果收入50元记作50+元，那么支出50元，记作 ，80-元表示 。
（2）手表的指针顺时针旋转︒90记作︒-90，那么逆时针旋转︒60则记作 。
（3）如果比海平面高规定为正，那么珠穆朗玛峰海拨8848米记作 ，吐鲁番盆地海拨155-米表示 。
变式练习： 判断题：（1）前进100米和前进－30米是两个相反意义的量（ ） （2）前进100米和后退－100米是两个相反意义的量（ ）（3）零上10C ︒和支出20元是两个相的反意义的量（ ）解题方法点拨：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。
第一讲 有理数的基本概念
【知识导航】
正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正数。正数都大于0。
负数：像-1、-3.12、 、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。运算符号读作加减,性质符号读作正负.如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m
⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（）
A．200米B．50米C．300米D．350米
⑸dd饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“ ”字样，请问“ ”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为 ，问抽查产品的容量是否合格？
问题4填空：（1）a-4的相反数是，3-x的相反数是。
（2） 是的相反数。（3）如果-a=-9,那么-a的相反数是。
问题5填空：
（1）若-（a-5）是负数，则a-50. (2)若 是负数，则x+y0.
问题6已知a、b在数轴上的位置如图所示。
（1）在数轴上作出它们的相反数；
（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来。
3.北京某一天记录的温度是：早晨－1℃，中午4℃，晚上－3℃，（0℃以上温度记为正数），其中温度最高是______(写度数),最低是________(写度数).
4．某班在班际篮球赛中，第一场赢4分，第二场输3分，第三场赢2分，第四场输2分，结果这个班是赢了还是输了？请用有理数表示各场的得分和最后的总分。
C组1．写出比O小4的数，比4小2的数，比-4小2的数．
2．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．
六年级春季班第1讲：有理数-教师版
有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．本讲会在讲解有理数的意义和数轴的知识之后，学习一些绝对值的基础知识，并会在下一讲中，着重讲解绝对值相关的化简及运算．1、正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．2、有理数的概念整数和分数统称为有理数．3、有理数的分类按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．有理数内容分析知识结构模块一：有理数的意义知识精讲例题解析【例1】下列说法错误的是（）A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量C．增加20人和减少10人是相反意义的量D．支出600元和收入800元是相反意义的量【难度】★【答案】B【解析】B答案错误，向西走5千米和向东走5千米是相反意义的量．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例2】如果5-米表示向南走5米，那么下列各数分别表示什么意义？（1）8+米；（2）3-米；（3）0米；（4）6米．【难度】★【答案】（1）向北走8米；（2）向南走3米；（3）停留在原地；（4）向北走6米．【解析】向南为负数，则向北为正数．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例3】下列说法错误的是（）A．正整数、0、负整数统称整数B．0既不是正数，也不是负数C．有理数包括正数和负数D．有理数包括整数和分数【难度】★【答案】C【解析】C答案错误，有理数包括正数和负数和0．【总结】考察有理数的分类．【例4】判断题：（1）小数都是有理数；（）（2）大于负数的数是正数；（）（3）有理数中不是正数就是负数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×【解析】（1）小数分为有限小数和无限小数，而无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为有理数，无限不循环小数为无理数；（2）大于负数的数也可以是0；（3）有理数分为正数、负数、0．【总结】考察有理数的分类，注意0既不属于正数也不属于负数．【例5】若人口增加2万人，记作+2万人，那么人口减少1万人，记作______．【难度】★【答案】-1万人．【解析】增加为+，则减少为-．【总结】考察正负数的意义．【例6】若盈利100元记作+100元，则50-元表示______．【难度】★【答案】亏损50元【解析】盈利为+，则亏损为-．【总结】考察正负数的意义．【例7】把下列各数填入它所属的圈内：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，π，0，5.5555，20-，0.3，567．【难度】★★【答案】正整数：11，567；负数：18-，5-，158-， 5.67-，20-；正分数：215，0.3，5.5555，0.3；非负数：11，215，0.3，π，0，5.5555，0.3，567；有理数：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，0，5.5555，20-，0.3，567；非负有理数：11，215，0.3，0，5.5555，0.3，567．【解析】有理数分为整数和分数，注意无限不循环小数属于无理数．【总结】考察实数的分类．【例8】六（2）班在一次期中测验中，数学平均分为87分，若把高于平均分的部分记为正数，小智得93分，应记为多少？小方被记为9-分，他实际得分是多少？【难度】★★【答案】+6；78．【解析】小智得93分，记为93-87=6；小方记作-9分，则他实际得分为87-9=78分．【总结】考察正负数的意义及简单运算．【例9】a-表示的数一定是（）A．负数B．正数C．正数或负数D．正数或负数或0【难度】★★★【答案】D【解析】因为a有可能为正数、负数、0，则a-可能是正数或负数或0．【总结】考察正负数的意义．【例10】按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）．【难度】★★★【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017．【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数个数字为负数．则可得答案．（2）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正．()67232016312017=÷=÷-则第2017个数正数，为2017．【总结】考察数字找规律．A BC DE122-1、 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2、 相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．【例11】 填空：（1）数轴的三要素是______、______、______；（2）在数轴上表示的两个数，______边的数总比______边的数小；（3）正数都_____0，负数都______0，正数______负数．（填“>”、“ < ”或“=”） 【难度】★【答案】（1）原点、正方向、单位长度；（2）左，右；（3）>；< ；>． 【解析】考察数轴的基本要素．【例12】 在下图所示的数轴上，写出A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数． 【难度】★【答案】10.50 1.5 1.25A B C D E ==-===-，，，，． 【解析】考察数轴上数字的表示方法．例题解析模块二：数轴知识精讲【例13】下列说法正确的是（）A．任何有理数一定都有相反数，但不一定都有倒数B．任何有理数一定都有倒数，但不一定都有相反数C．任何有理数一定既有相反数，也有倒数D．任何一个正有理数的倒数都比1小【难度】★【答案】A【解析】任何有理数一定有相反数，但是除了0之外都有倒数．D答案错误，如0.5的倒数为2，比1大．【总结】考察相反数和倒数的意义．【例14】判断题：（1）数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数．（）（2）一个数的相反数的相反数是它本身．（）（3）正数和负数互为相反数．（）【难度】★【答案】（1）√；（2）√；（3）×【解析】0和正数统称为非负数；1（正数）和-2（负数）不是互为相反数．【总结】考察相反数的意义．【例15】7的相反数是______， 3.2-是______的相反数．【难度】★【答案】-7；3.2【解析】正数的相反数是在数字前面加负号，负数的相反数是去掉数字前面的负号．【总结】考察相反数的表示方法．【例16】先画出数轴，然后在数轴上画出表示3-、32-、0、2及它们的相反数的点，并将它们从小到大排列起来．【难度】★★【答案】A、B、C、D、E、F、G所代表的数字分别为3-、32-、0、2、3、32、-2它们从小到大排列为3-<-2<32-<0<32<2<3．【解析】考察数轴上有理数的表示方法．【例17】 数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______； 数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______． 【难度】★★【答案】2个；2和-2；3和-1 【解析】可利用画数轴得到答案．【总结】考察对绝对值几何意义的理解及运用，注意两解的讨论．【例18】 到原点距离不大于1的数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个【难度】★★ 【答案】D【解析】数轴上-1到1之间的实数有无数个． 【总结】考察实数比较大小．【例19】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【难度】★★★ 【答案】12．【解析】设A 点表示的有理数为x ，B 点表示的有理数为y ．因为A 点与原点O 的距离为3，则3=x ，∴3=x 或-3 又因为A 、B 两点之间的距离为1，则1=-x y ，即1±=-x y ，因为3=x 或-3，所以B 点表示的有理数有四种情况：4-=y 或-2或2或4. 所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和为124224=+-++- 【总结】考察数轴上有理数的表示和有理数的加法．【例20】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--，求它们的大小关系．（用“>”连接） 【难度】★★★【答案】M N H G >>>． 【解析】由数轴可得：0<<a b ，则0>--=b a G ，0<+=b a M ，0<+-=b a N ，0>-=b a H 【总结】考察数轴上有理数的大小比较．ABCD【例21】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？ 【难度】★★★【答案】2018个或2017个【解析】当A 、B 为整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2018个； 当A 、B 分别不是整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2017个． 【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论．【例22】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？【难度】★★★ 【答案】B【解析】若原点为A ，则07a d ==，，此时72=-a d ，和已知不符，排除； 若原点为B ，则34a d =-=，，此时102=-a d ，和已知相符，正确． 【总结】考察数轴上有理数的表示．1、 绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 2、 绝对值的数学表达用符号a 表示数a 的绝对值． ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3、 有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．模块三：绝对值基础知识精讲【例23】 5的绝对值是______，记作_______；3-的绝对值是______，记作______． 【难度】★【答案】5；5；3；3-．【解析】考察绝对值的求法和记法．【例24】 5.3=______，213=______，0=______， 2.6-=_______． 【难度】★【答案】5.3；321；0；2.6．【解析】考察绝对值的求法．【例25】 3-的倒数的绝对值是______． 【难度】★【答案】31．【解析】-3的倒数是31-，则其绝对值是31．【总结】考察绝对值和倒数的求法．【例26】 判断题：（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．（ ） （2）如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．（ ） （3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．（ ） 【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）×．【解析】（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或正数．（3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数或0． 【总结】考察绝对值的求法．例题解析【例27】 绝对值等于12的数是______，绝对值小于3的整数是______，绝对值不大于4的非负整数有______个． 【难度】★★【答案】12±；210±±，，；5【解析】绝对值不大于4的非负整数有0、1、2、3、4，共5个． 【总结】考察绝对值的求法，注意对非负整数的理解．【例28】 当3x =时，7x -一定等于4-吗？ 【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】由题意可得：x 为3或-3．当x =3时，47-=-x ；当3-=x 时，107-=-x ． 【总结】考察绝对值的求法．【例29】 若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等 B ．异号 C ．互为倒数 D ．0a b ==【难度】★★★ 【答案】D【解析】两个非负数相加等于0，则这两个数都需为0． 【总结】考察绝对值的非负性．【例30】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对值用“<”联结起来． 【难度】★★★【答案】aa a a 11-<-<<．【解析】∵01<<-a ， ∴10<-<a ，11-<a，11>-a∴aa a a 11-<-<< 【总结】考察实数比较大小．【习题1】 任意写出5个正数与5个负数，分别把它们填入相应的大括号里．正数：{ } 负数：{}【难度】★【答案】正数：1、3.5、4.2、6、7.8等，负数：5 3.26110.8-----、、、、等． 【解析】考察有理数的分类．【习题2】 关于数字0，下面说法中，错误的是（ ） A ．是整数，也是有理数 B ．既不是正整数，也不是负整数 C ．是整数，也是自然数D ．既不是自然数，也不是有理数 【难度】★ 【答案】D【解析】0属于有理数，也属于整数，也属于自然数． 【总结】考察有理数的分类．【习题3】 写出小于5的所有非负整数______________________________；写出大于162-的所有负数________________________________．【难度】★【答案】0、1、2、3、4； -6、-5、-4、-3、-2、-1【解析】考察有理数比较大小，注意准确理解题目中的要求．【习题4】 填空：223+=______， 4.3-=______，6--=______． 【难度】★【答案】322；4.3；-6．【解析】考察绝对值的求法．随堂检测A BC D 0 【习题5】 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a b +=______． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意可得：1=a ，0=b ，则1=+b a 【总结】考察有理数比较大小．【习题6】 比较大小：（1）37-和25-；（2）311-和0.273-． 【难度】★★ 【答案】（1）5273-<-；（2）273.0113->-． 【解析】（1）因为5273>，所以5273-<-； （2）因为273.0113<，所以273.0113->-． 【总结】考察有理数比较大小．【习题7】 如图，数轴上A 、B 、C 、D 四个点分别表示数a 、b 、c 、d ，用“<”连接：1a 、1b 、1c 、1d ：_____________________． 【难度】★★【答案】ab dc 1111<<<．【解析】因为b a c d <<<<0， 所以011<<d c ，011>>ba ， 所以ab dc 1111<<<． 【总结】考察有理数的比较大小．【习题8】 计算：111111201720162016201520172015-+---． 【难度】★★★【答案】0．【解析】111111201720162016201520172015-+---0201712015120161201512017120161201712015120161201512017120161=+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-= 【总结】考察有理数的大小比较及有理数的绝对值的求法．【习题9】 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，求a b c d m +++的值． 【难度】★★★ 【答案】3或-1．【解析】由题意可得：0=+b a ，1=cd ，2±=m 所以()13210-=±++=+++或m cd b a【总结】考察相反数、倒数、绝对值的定义，注意分类讨论．【习题10】 已知4x =，5y =，且x > y ，则x + y =______． 【难度】★★★ 【答案】-1或-9．【解析】由题意可得：45x y ==-，或45x y =-=-，， 所以91--=+或y x ．【总结】考察绝对值的求法和有理数比较大小．【作业1】 关于 2.2-，下面说法正确的是（ ）A ．是负数，不是有理数B ．不是分数，是有理数C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数【难度】★ 【答案】C【解析】有限小数属于分数，也属于有理数 【总结】考察有理数分类．【作业2】 把下列各数分别填到相应的横线上：1-，0.3505-，0，2，56-，33.33%．正数：____________________________； 负数：____________________________； 非负数：____________________________； 非正有理数数：____________________________． 【难度】★【答案】正数：2，33.33%；负数：1-，0.3505-，56-；非负数：0，2，33.33%；非正有理数数：1-，0.3505-，0，56-．【解析】考察有理数的分类．【作业3】 3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______． 【难度】★【答案】π-31；3-π；3-π．【解析】考察倒数、相反数、绝对值的求法．课后作业【作业4】 若x < 0，则23x x x-=______．【难度】★★ 【答案】-1．【解析】因为0<x ，所以223313333x x x x x xxxxx -----====-．【总结】考察绝对值的求法．【作业5】 比较大小，用“<”连接：89-、1112-、1415-．【难度】★★【答案】1411815129-<-<-．【解析】因为•=8.098，•=691.01211，•=39.01514， 所以1514121198<<， 所以1411815129-<-<-．【总结】考察负数的比较大小，绝对值大的反而小．【作业6】 绝对值大于10且不大于15的负整数的和是_______． 【难度】★★ 【答案】-65．【解析】绝对值大于10且不大于15的负整数有-11、-12、-13、-14、-15，则其和为-65. 【总结】考察绝对值的运用．【作业7】 填空（填“>”，“<”或“=”）：（1）若1aa=-，则a ______0；（2）若0a >，0b >，a b ->-，则a ______b ． 【难度】★★【答案】（1）<；（2）<．【解析】（1）当0<a 时，1-=-=a aa a ； （2）因为ab ->-，所以0a b <<，所以b a <．【总结】考察有理数比较大小和绝对值运算．【作业8】 如图，数轴上A 、B 、C 四个点分别表示数a 、b 、c ， 化简：b a b c a b c -++---． 【难度】★★ 【答案】b 3-．【解析】由题意可得：0>a ，0<b ，0<c ，0>+b a ，0<-a c ，0>-c b 所以b a b c a b c -++---()()()b a b c a b c =--+----3b a b c a b c b =----+-+=-．【总结】考察绝对值的化简．【作业9】 解方程：931x --=． 【难度】★★★【答案】13=x 或5x =．【解析】49=-x ，则49=-x 或4-， 所以13=x 或5x =． 【总结】考察含绝对值的方程的求法，综合性较强，注意分类．【作业10】 比较大小：（提示：分类讨论）． （1）a 与a -；（2）a 与1a． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当0=a 时，a a -=； 当0<a 时，a a -<； 当0>a 时，a a ->．（2）令a a 1=，则1±=a ，当1-<a 时，a a 1<； 当1-=a 时，a a 1=； 当01<<-a 时，a a 1>； 当10<<a 时，a a 1<； 当1=a 时，a a 1=； 当1>a 时，aa 1>． 【总结】考察有理数比较大小，综合性较强，注意分类讨论．。
中考数学专题训练第1讲有理数(知识点梳理)
有理数知识点梳理考点01 正数和负数1.正数：像1,2,3,4,0.1等这样大于0的数叫作正数。
正数的前面的“+”可以省略不写。
2.负数：像-0.2.-2.-6这样在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫作负数。
3.注意事项：（1）0既不是正数也不是负数.0是正数和负数的分界线；（2）对于正数和负数.不能简单地理解为带“+”号的数就是正数.带负号的数就是负数.要根据正负数的含义.看其是符合正数的定义还是符合负数的定义。
4.正负习惯：习惯上把零上、增加、前进、海平面以上、收入、向南、盈利、上升等记为正.把与它们意义相反的量记为负。
考点02 有理数与数轴1.有理数定义：正整数、0、负整数统称整数.正分数、负分数统称分数.整数和分数统称有理数。
2.有理数的分类3.注意：（1）整数可以看成是分母为1的分数.所以有理数都可以写成分数的形式；有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式.所以有限小数和无限循环小数都是有理数。
（2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数。
4.零的作用（1）表示数的性质.例如0是自然数；（2）表示没有.例如有5个本子.用+5表示.没有本子用0表示；（3）表示正数与负数的分界。
5.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。
数轴的三要素即原点、正方向和单位长度。
6.数轴上的点与有理数有理数都可以用数轴上的点来表示.任何一个有理数都能在数轴上找到与它对应的点.而且是唯一的点.但数轴上的点不一定都是有理数。
考点03 相反数和绝对值1.相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数.把其中一个数叫作另一个数的相反数。
0的相反数是0.2.相反数的几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧且到原点的距离相等；这两点关于原点对称。
3.多重符号的化简：数字前面的“-”号的个数若有偶数个.化简结果为正；有奇数个时.花间结果为负。
4.相反数的性质：如果b a 、互为相反数.那么0=+b a 或b a -=或a b -=；反过来.如果0=+b a .那么b a 、互为相反数。
有理数 第一讲 有理数的定义及其分类 课件(自制)
能力提升
知识点一：整数、分数与正负数之间的联系
例题1．下列说法错误的是（C ） A．负整数和负分数统称负有理数 B．正整数、0、负整数统称为整数 C．正有理数与负有理数组成全体有理数 【D ．方3法. 2点6 拨是】小谨数记，0也的是特殊分性数是解题的关键
【解析】正有理数与负有理数和0组成全体有理数，所以C说法错误； 小数就是分数，所以D说法正确
【答案】正整数集合：15，123…；负整数集合：-5，-80…；
正分数集合：
7 2
，0.1，55％，2.333…；负分数集合：
5 6
，-5.32…
【方法点拨】观察一列数的特点主要是观察其符号特点以及奇偶性等
【解析】1．发现是连续偶数，所以填12． 2．首先发现这一列数特点是一正一负，不看符号的话，相邻两数
人教版七年级数学上
有理数的定义及其分类
初中同步 精品课件
课标引路
学习目标
知识梳理
我们为了表示日常生活中具有相反意义量又引进了负数．
归纳定义
• 正整数、0、负整数统称整数； • 正分数和负分数统称分数； • 整数和分数统称有理数．
1．有理数可分为哪两类？ 2．整数可分为哪几类？ 3．分数可分为哪几类？
2011
（3）与-1和1越来越近，奇数项无限接近-1，偶数项无限接近1．
谢谢观看
知识点二：有理数的分类
例题2．把下 5列各7 数填入它所属于的集合的 圈内：
62
15，0，-5， ， ，0.1，-5.32，-80，55％，123，
…
…
2.333．
…
…
正整数集合
负整数集合
正分数集合
负分数集合
【方法点拨】（1）考虑0的特殊性；（2）小数就是分数；（3）分类时不漏不重复．
专题一：有理数六大概念(1)
一、有理数六大基本概念Ⅰ：正数、负数及有理数概念正数：像、、等的数，叫做正数.在小学学过的数，除外都是正数.正数都大于.负数：像、、等在正数前加“”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于. 既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“”，“”号叫做它的符号.正数前面的“”可以省略.用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:整数与分数统称有理数.注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.⑷正有理数和零统称为非负有理数.⑷负有理数和零统称为非正有理数.Ⅱ：数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.310.33+001- 3.12-175--00+-+()ììüïýïíþïïïíîïìïíïîî正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()ììíïîïïíïìïïíïïîî正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数ìüïýíþïî有限小数可化成分数形式,是有理数小数无限循环小数无限不限循环小数---不可化成分数形式,不是有理数第一讲有理数之六大必考概念注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.Ⅲ：相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意不一定是负数．当时，；当时，；当时，.π-a a -a a -0a >0a -<0a =0a -=0a <0a ->⑷互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则，反之，若，则与互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）. Ⅳ：绝对值绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.求字母的绝对值：① ② ③ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，，Ⅴ：倒数、负倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数. ，互为倒数，则；反之亦然.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是；0没有倒数； 负倒数：乘积为的两个数互为负倒数.，互为负倒数，则.反之亦然.二、有理数大小的比较数轴上的数，右边的数总大于左边的数．正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 两数比较大小，可按符号情况分类： 注☆“0”的9种说法：（1）既不是正数也不是负数的数． （2）最大的非正数． （3）最小的非负数． （4）与其相反数相等的数． （5） 最小的非负整数． （6） 最大的非正整数． （7） 最小的自然数． （8） 绝对值最小的有理数． （9） 没有倒数的数．a b 0a b +=0a b +=a b +-----a a a a 005-5a (0)0(0)(0)a a a a a a >ìï==íï-<î(0)(0)a a a a a ì=í-<î≥(0)(0)a a a a a >ì=í-î≤0a b c ++=0a =0b =0c =a b 1a b ×=11-a b 1a b ×=-0ììïíîïïíïìïíïîî同正：绝对值大的数大两数同号同负：绝对值大的反而小比较大小两数异号(一正一负)：正数大于负数正数与0：正数大于0其中有时负数与0：负数小于0补充练习【例1】 （北京师范大学附属中学初一期中考试第1题3分）如果零上记作，那么零下记作（ ）A. B . C. D.【例2】 （铁路第二中学初一第二次月考第1题2分）关于零,下列几种说法不正确．．．的是 （ ） A ．零既不是正数,也不是负数 B ．零的相反数是它本身C ．零是绝对值最小的有理数D ．零是最小的有理数【例3】 （京源学校初一期中考试第1题3分）1是（ ）A ．最小的整数B ．最小的正整数C ．最小的自然数D ．最小的有理数【例4】 （人大附中初一期中考试第2题3分）在15，，0.15，，，中，负分数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 （一六一中学初一期中考试第14题2分）和的大小关系是____ 【例6】 （北京四中初一期中考试第13题2分）数轴上与原点距离是3个单位长度的点所表示的数是__________．【例7】 （北京市中考题第1题4分）7的相反数（ ）A ．B ．7C ．D ． 【例8】 （一六一中学初一期中考试第13题2分）数的相反数是________【例9】 （北京市中考题第1题4分）的绝对值等于（ ）A ．6B ．C ．D ． 【例10】 （上地实验初一期中考试第17题3分）绝对值大于2而小于5的负整数是 ．【例11】 （101中学初一期中考试第6题4分）已知、为有理数，且，，，则、、、的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【例12】 （人大附中初一期中考试第4题3分） 下列说法正确的是（ ）A ．符号相反的数互为相反数B ．任何有理数均有倒数C ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右D ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远【例13】 （101中学初一期中考试第1题4分）下列说法错误的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．1是绝对值最小的数C ．一个有理数不是整数就是分数D ．0的绝对值就是0 【例14】 （101中学初一期中考试第5题4分） 下列各数中互为相反数的是（ ）A ．和B ．和 5℃5+℃5℃5-10-5-℃10-℃38-30-12.8-22545-0.9-45-0.9-1717-7-a 6-1616-6-a b 0a <0b >||||b a <a b a -b -b a b a -<<<-b b a a -<<-<a b b a <-<<-a b b a -<<-<()a --||a --(2)-+(2)+-C ．和D ．和 【例15】 （京源学校初一期中考试选择第8题3分）若为有理数，则表示的数是（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数【例16】 （2007北京市中考题第一题4分）的倒数（ ）A ．B ．C ．D ．3 【例17】 （西城外国语初一期中第6题3分）下列说法正确的是（ ）. A ．符号相反的数互为相反数 B ．任何有理数都有倒数C ．最小的自然数是1D ．一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远【例18】 （北大附中初一期中考试试卷第14题2分）的绝对值为_______，的相反数为_______，的倒数是________．【例19】 （北京师范大学附属中学初一期中考试第2题3分，14题2分）⑴ 在0，，，这四个数中，最小的数是 （ ） A. B. C. 0 D. ⑵ 大于而小于2的所有整数是 . ⑶（北京四中初一期中考试第15题2分）比较大小： ； _______． 【例20】 若是非负有理数，则下列说法中正确的有 ．① 是负有理数；② 是正有理数或0；③ 是正有理数或0；④ 可以是正有理数，也可以是负有理数；⑤ 也是有理数；⑥ 是正有理数或0或负有理数．【例21】 （北京四中初一期中考试第30题4分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续走了1.5千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼.⑴ 以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置；⑵ 小明家与小刚家相距多远？⑶ 若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？(5)--|5|-132- 3.5x ||x x -3-13-133-3.5- 3.5-3.5-211-3-3-1-21313-31-52-()1--1--a -()a -+()a ---éùëû()a +--éùëû()a --a ()a -+百货大楼-。
第1讲：有理数的乘方及科学记数法-教案
概述适用学科初中数学适用年级初一适用区域 北师版区域课时时长（分钟）120知识点1.乘方的意义与运算 2.用有理数的乘方解决实际问题 3.科学记数法 4.把科学记数法表示的数转化成原数 5.比较科学记数法表示的数的大小教学目标 1.正确理解有理数乘方、幂、指数、底数等概念会进行有理数乘方运算.2.能用科学记数法表示大于 10 的有理数，能将科学记数法表示的数写回原来的数.3.培养学生的观察能力.教学重点 1.正确理解乘方的意义，掌握有理数乘方的符号规律.2.能用科学记数法表示大于 10 的数.教学难点 1.正确理解乘方，底数，指数的概念，并合理运算.2.能反着用科学记数法.【教学建议】【知识导图】有理数的乘方及科学记数法有理数的乘方 科学记数法乘方的意义 用有理数的乘方解决实际问题科学记数法 把科学记数法表示的数化成原数 比较科学记数法表示的数的大小教学过程1一、导入【教学建议】 师：有些时候，我们会遇到几个相同因数相乘的式子，比如五个 4 相乘，我们要写很长，这样的式子有 更简单的表示方式吗？（板书课题：乘方） 小学时我们学过正方形的面积公式和体积公式，谁还记得是什么？ 生：边长为ａ的正方形面积公式是 a2，边长为ａ的正方形体积公式 a3。
师：对了，我们一起看一下 a·a 简记作 a2，读作 a 的平方（或二次方）； a·a·a 简记作 a3,读作 a 的立方（或三次方）。
二、知识讲解 考点 1 有理数的乘方强调：（１）ａ的范围，对于 an 中的ａ，不仅可以取正数，还可以取０和负数，也就是说，ａ可以取任何有理数。
（２）乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。
练习：2（４）５，底数是＿＿＿＿，指数是＿＿＿＿＿＿＿＿。
注 1：（２）、（３）小题的区别是表示底数是－２，指数是４的幂；而 表示底数是２，指数是４的幂的相反数。
通过第（４）小题指出一个数可以看作这个数本身的一次方，如５就是５１，指数１通常省略不写。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——练习题一、第1讲有理数的巧算(练习题部分)1.2.3.4. 3.825 ×−1.825+0.25×3.825+3.825×5.−7.2×0.125+0.375×1.1+3.6×−3.5×0.3756.7.8.9.10. 9+99+999+9999+99999+99999911.12.13.14.15.16.17.答案解析部分一、第1讲有理数的巧算(练习题部分)1.【答案】解：原式=（31+4）+（-22+11）=36-1125.【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.2.【答案】解：原式=（5-3-2）+（8-3.125）+（6-7-3），=0+5-5，=0.【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.3.【答案】解：原式=-××（-）×（-）××（-），=.【解析】【分析】根据有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，化成乘法之后，再根据乘法法则计算即可得出答案.4.【答案】解：原式=3.825×0.25-1.825+0.25×3.825+3.825×0.5，=3.825×（0.25+0.25+0.5）-1.825，=3.825×1-1.825，=3.825-1.825，=2.【解析】【分析】根据乘法分配律先计算再根据有理数减法法则计算即可得出答案.5.【答案】解：原式=3.6×（-2）×0.125+0.375×1.1+3.6×-3.5×0.375，=3.6×（-2×0.125+0.5）+0.375×（1.1-3.5），=3.6×（-0.25+0.5）+0.375×（-2.4），=3.6×0.25+0.375×（-2.4），=0.9-0.9，=0.【解析】【分析】根据乘法分配律先计算，再根据有理数乘法和减法法则计算即可得出答案.6.【答案】解：原式=，=，=.【解析】【分析】由里往外，逐层计算，根据分数除法和减法的法则计算即可.7.【答案】解：原式=1++3++5++7++9+，=（1+3+5+7+9）+（++++），=25+，=25.【解析】【分析】先将带分数化成整数+分数的形式，再利用加法交换律和结合律计算即可得出得出答案.8.【答案】解：原式=，=，=999.【解析】【分析】先根据分数加法法则：同分母的分数相加，分母不变，分子相加，再由高斯定理计算即可.9.【答案】解：原式=（7-5）+（9-7）+（11-9）+……+（101-99），=2+2+2 (2)=2×48，=96.【解析】【分析】利用加法交换和结合律得出有48个2，计算即可得出答案.10.【答案】解：原式=（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）+（1000000-1），=（10+100+1000+10000+100000+1000000）-（1+1+1+1+1+1），=1111110-6，=1111104.【解析】【分析】先将各数分拆，再利用加法交换、结合律计算即可得出答案.11.【答案】解：原式=3×31999-5×31999+2×31999，=31999×（3-5+2），=31999×0，=0.【解析】【分析】根据幂的运算性质拆分，再利用乘法分配律计算即可得出答案.12.【答案】解：原式=1-1+1-1，=0.【解析】【分析】根据负数的偶次幂为正，奇次幂为负，计算即可得出答案.13.【答案】解：原式=×（-）+×（-）+×（-）+……+×（-），=×（-+-+-+……+-），=×（-），=×，=.【解析】【分析】先把每一项裂项，之后抵消，计算即可得出答案.14.【答案】解：原式=2002+-2001-+2000+-1999-+……+2+-1-，=（2002-2001）+（-）+（2000-1999）+（-）+……+（2-1）+（-），=1++1++……+1+，=1×1001+×1001，=1001×（1+），=.【解析】【分析】先将带分数拆成整数+分数形式，再利用加法交换、结合律计算，之后利用乘法分配律计算即可.15.【答案】解：原式=，=，=.【解析】【分析】分子分母先提起公因式，再约分，即可得出答案.16.【答案】解：原式=1+2++3++4++5++6++7+，=（1+2+3+4+5+6+7）+（+++++），=28+（-+-+-+-+-+-），=28+（-），=28+，=28.【解析】【分析】先将带分数拆成整数+分数形式，再利用加法交换、结合律，利用裂项相消计算即可.17.【答案】解：∵，∴原式=2×（1-）+2×（-）+2×（-）+……+2×（-），=2×（1-+-+-+……+-），=2×（1-），=2×，=.【解析】【分析】由展开计算即可得出答案.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲有理数
例1 设a＜0，在代数式|a|，-a，a 2009，a 2010，|-a|，(a 2
a +a)，(a2
a
−a)中，
负数的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
例2 已知a和b是有理数，若a+b=0，a2+b2≠0，则在a和b之间一定()
A.存在负整数
B.存在正整数
C.存在负分数
D.不存在正分数。
例3 计算：2012+2011-2010-2009+2008+2007-2006-2005+…+4+3-2-1=（）
A.2011
B.2012
C.0
D.1
例4 计算1
2+1
3
+⋯+1
1997
1+1
2
+⋯+1
1996
−1+1
2
+⋯+1
1997
1 2+1
3
+⋯+1
1996
=_________.
例5 设A=48×1
32−4+1
42−4
+⋯+1
1002−4
，则与A相差最小的整数是
（）
A.18
B.20
C.24
D.25
例6 若有4个有理数a，b，c，d，满足1
a−1997=1
b+1998
=1
c−1999
=1
d+2000
，
则a，b，c，d的大小关系是（）
A. a>c>b>d
B. b>d>a>c
C. c>a>b>d
D. d>b>a>c
例7 已知P=−1
12345×12346，Q=−1
12344×12346
，R=−1
12344×12345
，则P，
Q，R的大小顺序是（）
A. P>Q>R
B. Q>P>R
C. P>R>Q
D. R>Q>P
例8 若a=999
2011，b=1000
2012
，c=1000
2013
，则（）
A．a>b>c B．B>c>a C．c>b>a D．a>c>b
例9 −1997
1998，−97
98
，−1998
1999
，−98
99
,这4个数由小到大的排列顺序是
（）
A.−1997
1998<−97
98
<−1998
1999
<−98
99
B.−1998
1999
<−1997
1998
<−98
99
<−97
98
C.−97
98<−98
99
<−1997
1998
<−1998
1999
D.−98
99
<−1998
1999
<−97
98
<−1997
1998
例10 甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里，0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（）
A.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少
B.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多
C.甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同
D.甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定
例11 5个有理数两两的乘积是如下的10个数:
-12，0.168，0.2，80，-12.6，-15，-6000，0.21，84，100.
请确定这5个有理数,并简述理由.
习题
（一）选择题
1.若a是有理数，观察下列式子：
①-a22+1 ②a22+1 ③(a+1)2④-(a+1)2
其中，值可以等于0的是（）
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
2.若abc三个是互不相等，则在a−b
b−c ,b−c
c−a
,c−a
a−b
中，正数一定有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.若a的负倒数的相反数是8，b的相反数的负倒数也是8，则( ) A．a=b B．a<b C．a>b D．ab=1
4.计算：1+−22−−4×−12
4
=（）
A.-2
B.-1
C.6
D.4
5.若M−−12+−1×−13−2
2×−1+1
=2，则M=（）
A.-2
B.-1
C.1
D.2
6.计算：a2+244×395−151
244+395×243−(−a2)
=（）
A.1
B.1.2
C.1.8
D.2
7.若a=19951995
19961996,b=19961996
19971997
,c=19971997
19981998
,则（）
A. a>b>c
B. b>c>a
C. c>b>a
D. a>c>b
（二）填空题
8.小明写出了50个不等于0的有理数，其中至少有一个是负数，而任意两个数中总有一个是正数，则小明写出的这50个数中正数_____
有个，负数有______个．
9.已知mn≠0，且1
m+3与n−3
9
互为相反数，则1
m
−1
n
=________.
10.在十进制计数法中写出41003×52009的得数要用_______个阿拉伯数字
11.初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面．男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示:
(-30)30,−5
−25,a2+0.1,(−1)8
1997
,8
19−97
,−8,−−2,3
−33
,4×−2,5×−1
在盾牌后面的同学中有女同学_______人；男同学________人．12.If a2-a+l and a2+a-3 are opposite numbersto each other,and thein verse number of a is less than the opposite number ofa,then a2009+a2010 =________.
13.已知n是正整数，an=1×2×3×4×…×n，则a1
a3+a2
a4
+⋯+a2010
a2012
+
a2011
a2013
=___________.
14.一条公交线路从起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．则从前6站上车而在终点站下车的乘客有_________人．
15.将五个有理数2
3,−5
8
,15
23
,−10
17
,12
19
每两个的乘积由小到大排列，则最
小的是______；最大的是______.
16.由最小的10个质数作分子和分母,组成5个分数:2
3,5
7
,11
13
,17
19
,23
29
,它们
由小到大的顺序是__________.。