微观推导
微观经济学计算公式(最全)
欢迎阅读微观经济学计算公式第二章 需求曲线和供给曲线（1）需求函数 线性需求函数 供给函数 线性供给函数（2（3（4（1（2（3）（1（2（3（4（5（6（1K （2（3Q =(4) 等产量线：(5) 边际技术替代率（MRTS ） (6) 等成本线(7) 最优的生产要素组合1、既定成本条件下的产量最大化2、给定产量的成本最小化3、利润最大化可以得到的生产要素组合 利润最大化一阶条件 根据上两式，可得：P Q s γδ+-=()P f Q d =P Q d βα-=()P f Q =s r wMP MP MRTS K L ==r w MP MP MRTS K L ==（8）特例—柯布－道格拉斯（C-D ）生产函数规模报酬递增 1>+βα 规模报酬不变 1=+βα 规模报酬递减 1<+βα第五章 成本论（1） ⒈由短期总产量推导短期总成本函数由短期生产函数:（2（3） 由 得 由（4）（1总收益（TR ）:厂商按一定价格出售一定量产品时所获得的全部收入。
TR=P?Q 平均收益（AR ）：厂商在平均每一单位产品上销售所获得的收入。
AR=TR/Q边际收益（MR ）：厂商增加一单位产品上销售所获得的收入。
MR=ΔTR/ ΔQ ＝dTR/dQ（2）企业目标：利润最大化利润函数： 利润最大化的一阶条件为：? 均衡的必要条件： （3） 生产者剩余（如图） βαK AL Q =()KL f Q ,=()()()Q TC Q TR Q -=π()()Q MC Q MR =另外，由于TFC 不变，即MFC=0总边际成本等于总可变成本，所以 PS=TR-TVC=P0Q0-0G·Q0(4)（5 （6（7成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线 PQ 0MG PP e A B()dQQ f Q P PS Q ⎰-=0000（8）成本递减行业：行业产量增加所引起的生产要素需求的增加，反而使生产要素价格的下降。
电流的微观表达式推导
电流的微观表达式推导
电流是物理学家研究物体电流运行的重要参数，有关电流的宏观表达式已有清楚的定义。
而电流的微观表达式推导，物理学家却尚未提出有效的解释。
本文就从电子角度对电流的微观表达式进行推导。
首先，要理解电流的微观表达式，就必须先了解一下电荷的概念。
电荷可以被定义为一个具有电荷性质的能量团簇。
这些电荷性质的能量团簇有正电子和负电子，也可以被称作电子。
这些电子在空气中受电场的影响，会以特定的速度方向运动，产生一种电流。
其次，要对电流的微观表达式进行推导，就需要用到maxwell方程，即电磁学基本方程。
maxwell方程明确了电磁场中电荷运动及其相互影响的关系：
∮Ed=σ
∮Bd=μ
其中E、B为电场和磁场，σ为电荷密度，μ为磁通量，表示曲线的路程。
三是，用以上方程对电流的微观表达式进行推导，首先要考虑空间上的平行四边形，将其边长记为L，宽度记为w，由maxwell方程可以得到：
∫σEd=σEL
∫Bd=μw
由此，可以得到电流的微观表达式：
I=σEL/μw
最后，用此表达式可以简单地推导出电流的大小，即电荷密度、电场和磁通量之间的关系。
以上就是电流的微观表达式推导的全部内容。
由此可见，只要理解maxwell方程就可以对电流的微观表达式进行推导，进而了解电荷密度、电场和磁通量的相互关系。
微观经济学课件：生产函数含推导
d ( Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱL / MPK )
( MPL / MPK )
d (ln( MPL )) MPK
K d (ln( L ))
K
d (ln( ) ln( L ))
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❖ 在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随研究对 象变化？是否合理？为什么？ 劳动密集型与资 本密集型
❖ 所谓广义技术进步，除了要素质量的提高外，还
包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的
因素，这些因素是独立于要素之外的。在生产函
数模型中需要特别处理广义技术进步。
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⑵ 中性技术进步 ❖ 假设在生产活动中除了技术以外，只有资本
与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之 比为相对资本密集度，用ω表示。即:
•与CES有什么联系与区别？
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6.多要素生产函数模型
⑴ 多要素线性生产函数模型
Y 0 1K 2 L 3 E
⑵ 多要素投入产出生产函数模型
K LE Y min( , , )
abc
⑶ 多要素C-D生产函数模型
Y AK L E
⑷ 多要素一级CES生产函数模型
Y
A(1K
❖ 要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率与 边际替代率的变化率之比。
❖ 表明资本对劳动的边际替代率变化了1%时，资本 对劳动的投入比例将变动百分之几。
d(K / L)
d ( MPL / MPK )
(K / L) ( MPL / MPK )
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生产函数
EL / EK
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补充：要素产出弹性（Elasticity of Output）
微观可逆原理; 斯托克斯
微观可逆原理; 斯托克斯1.引言1.1 概述概述微观可逆原理是一个在物理学和工程学领域中被广泛研究和应用的重要概念。
它提供了一种理论框架，用于描述和预测物质在微观尺度上的行为。
微观可逆原理的核心思想是，对于任何一个微观过程，存在着与之相反的过程，使得系统可以返回到初始状态。
微观可逆原理的提出源于对自然界中物质运动的观察和研究，研究者们发现许多物质运动的过程在微观尺度上是可逆的。
这意味着，无论是化学反应、热传导、流体运动还是粒子运动，都存在一种对应的反向过程，使得系统可以回到原始状态。
这个原理不仅适用于自然界中的物质运动，也适用于任何具有微观粒子构成的系统。
微观可逆原理的应用非常广泛。
在物理学中，它为我们解释了许多现象，比如热力学平衡、熵的增长和减少，以及能量守恒等。
在工程学中，微观可逆原理为我们设计和优化各种系统提供了理论依据。
例如，在热力学工程领域，微观可逆原理被应用于热机和制冷循环的分析和改进中。
本文将首先介绍微观可逆原理的基本概念，包括微观过程、可逆过程和不可逆过程的定义。
然后，将探讨微观可逆原理在不同领域中的应用，包括热力学、流体力学和材料科学等。
最后，将总结微观可逆原理的重要性，并展望其在未来的研究方向。
微观可逆原理作为一个重要的物理学原理，不仅帮助我们理解和解释自然界中的现象，还为工程技术的发展提供了指导。
通过深入研究和应用微观可逆原理，我们可以更好地理解和控制微观世界的运动行为，进而为我们解决各种科学和工程问题提供新思路和方法。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分。
首先，在引言部分将概述微观可逆原理以及斯托克斯。
接着，在正文部分，将详细介绍微观可逆原理的概念和应用。
最后，在结论部分将总结微观可逆原理的重要性，并展望未来的研究方向。
正文的第一部分（2.1节）将对微观可逆原理的概念进行阐述。
我们将介绍可逆过程的定义，并解释微观可逆原理是如何在物理学中起作用的。
此外，我们还将讨论微观可逆原理与宏观不可逆过程之间的关系，并探讨其在不同领域中的重要性。
推导电流的微观表达式
推导电流的微观表达式
好的，咱们通俗点来说电流的微观故事。
想象一下，电线里面有一群小家伙，就是自由电子，它们喜欢到处乱窜。
现在，如果我们在一头加点能量，这些电子就会更兴奋，开始有组织地朝一个方向跑起来，这就形成了电流。
电流强不强，取决于三个主要因素：
电子数量：电线里头电子越多，就像是路上人越多，能过的电量自然就大了。
每个电子的能量包：每个电子都带着一份小小的电量，所有电子的电量加起来就是总量。
就像每个人手里提的小包裹，包裹越多，总货物量就越大。
电子跑的速度：电子跑得快，单位时间里通过某个点的电子就多，电流自然就强了，就像赛跑一样，速度快的队伍先到达终点。
把这些因素放在一起，就可以理解为：电线里电子的数量乘以每个电子带的电量，再乘以它们跑的速度，这就是电流的大小了。
公式简化一下，就是“电子数量×单个电子电量×电子速度=电流强度”。
这样一来，电流就像是电子们集体搬家的速度和效率的体现，电子多、带的电量足、跑得快，电流自然就强了。
热力学统计物理中计算微观状态数的算法
简并度 棕1袁棕2袁噎棕i袁噎
粒子数 a1袁a2袁噎ai袁噎.
其中有两个限制条件院移ai=N 袁移ai着i=E .下面我们来计
i
i
算对于这样一个给定的分布袁三大类系统袁它们各自所对应
的微观状态数情况.
2.1 玻耳兹曼系统的微观状态数
就玻耳兹曼系统袁如理想气体袁其组成粒子是可以一个
一个分辨的袁 因此粒子之间的每一次交换都会带来一个新
图1
第二种排列表示袁第一个量子态没有粒子袁第三个量子
态上占据的粒子是第二个袁 第二个量子态上占据的粒子是
第一个曰第三种排列表示袁第一个量子态没有粒子袁第二个
量子态上占据的粒子是第二个袁 第三个量子态上占据的粒
子是第一个.显然第一尧二种排列给出的是相同的微观状态曰
又因为粒子事实上不可分辨袁所以第一尧三种排列给出的也
间是近独立的.假设给定了它的粒子数为 N 尧能量为 E 和体
积为 V . 给定这样的一个系统袁 它的个体量子态 鬃s 是确定 的袁所以可以令粒子的能级为 着i(i=1,2,噎)袁各能级的简并度 为 棕i(i=1,2,噎)袁即粒子在能级 着i 上的可以存在的量子态数 是 棕i 个.如果再给定一个粒子分布{ai}渊表示数列 a1,a2,噎,ai, 噎冤袁即已知了各能级的粒子数 ai(i=1,2,噎袁那么就可以计算 出该系统的微观状态数[5,6].不同系统的微观状态的确定因其
关键词院微观状态数曰玻耳兹曼系统曰玻色系统曰费米系统 中图分类号院O 414.21 文献标识码院A 文章编号院1673-260X渊 2019冤 11-0031-02
1 引言
在热力学统计物理学中袁玻耳兹曼系统尧玻色系统尧费
米系统的微观状态数及其计算方法是教学重点袁 处于非常
宏观量与微观量的联系
宏观量与微观量的联系一、电流强度的微观解释：推导I=nesv1、已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为n ，电子的电荷量为e ，导电电子定向移动的平均速率是v ，请推导出通过半导体横截面积S 的电流I ＝nevS 。
二、霍尔效应：导出霍尔系数R H 的表达式，第2题第（1）问。
2．（10分）1879年美国物理学家霍尔在研究载流导体在磁场中受力情况时，发现了一种新的电磁效应：将导体置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场的方向会产生一个横向电势差，这种现象后来被称为霍尔效应，这个横向的电势差称为霍尔电势差。
（1）如图14甲所示，某长方体导体abcda ′b ′c ′d ′的高度为h 、宽度为l ，其中的载流子为自由电子，其电荷量为e ，处在与ab b ′a ′面垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B0。
在导体中通有垂直于bcc ′b ′面的电流，若测得通过导体的恒定电流为I ，横 向霍尔电势差为UH ，求此导体中单位体积内自由电子的个数。
（2）对于某种确定的导体材料，其单位体积内的载流子数目n 和载流子所带电荷量q 均为定值，人们将H= 定义为该导体材料的霍尔系数。
利用霍尔系数H 已知的材料可以制成测量磁感应强度的探头，有些探头的体积很小，其正对横截面（相当于图14甲中的ab b ′a ′面）的面积可以在0.1cm2以下，因此可以用来较精确的测量空间某一位置的磁感应强度。
如图14乙所示为一种利用霍尔效应测磁感应强度的仪器，其中的探头装在探杆的前端，且使探头的正对横截面与探杆垂直。
这种仪器既可以控制通过探头的恒定电流的大小I ，又可以监测出探头所产生的霍尔电势差UH ，并自动计算出探头所测位置磁场的磁感应强度的大小，且显示在仪器的显示窗内。
①在利用上述仪器测量磁感应强度的过程中，对探杆的放置方位有何要求；②要计算出所测位置磁场的磁感应强度，除了要知道H 、I 、UH 外，还需要知道哪个物理量，并用字母表示。
气体压强微观公式推导
气体压强微观公式推导利用分子动理论可以推导出气体压强与温度、体积、分子个数的关系，从而得出了气体基本方程式PV=nRT。
其中P是气体压强，V是气体体积，n是气体分子个数，R是普适气体常数，T是气体绝对温度。
下面将对其进行详细阐述。
1、分子动理论分子动理论是描述气体分子性质的基本理论，它是指气体分子具有无规则的运动，其运动具有速度和方向，同时存在弹性碰撞，这种碰撞不损失能量，因此总能量不变，且总动量守恒。
2、气体压强的来源根据分子动理论，气体压强是由气体分子在容器内撞击容器壁造成的。
气体分子碰撞壁的速率，视分子的速度和碰击壁面的面积而定。
若一个面积为A的壁面在t秒内被n个分子碰撞，则气体压强为P=nF/A，其中F是气体分子的平均撞击力。
3、气体压强与温度的关系根据分子动理论，气体温度是由气体分子的平均动能决定的。
因此温度升高，气体分子的平均动能增大，速度加快，碰撞次数增加，每个分子的撞击力也相应增大，从而使气体压强增大。
若气体的体积与分子数不变，则P∝T。
4、气体压强与体积的关系根据分子动理论，气体压强是由气体分子撞击容器壁造成的。
气体体积减小，容器壁面积减小，分子撞击壁面的次数增多，每个分子的撞击力也相应增大，从而使气体压强增大。
若温度和分子数不变，则P∝1/V。
5、气体压强与分子个数的关系根据分子动理论，气体压强是由所有气体分子共同造成的。
当气体分子数增加，气体体积不变，每个分子的撞击力不变，但总的撞击次数增多，从而使气体压强增大。
若温度和体积不变，则P∝n。
6、理想气体状态方程根据以上三种关系式，我们可以得到气体基本方程式：PV=nRT。
其中R是普适气体常数，P、V、n、T分别表示气体压强、体积、分子个数和绝对温度。
这个方程描述了理想气体的状态，并且该方程也适用于大部分气体。
综上所述，利用分子动理论推导出的气体压强微观公式，为我们深入研究气体的性质和行为提供了理论基础，也对工程、化学、生物等领域的研究有着广泛的应用。
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2014西城二模 24.（20分）
光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面。
前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量。
由狭义相对论可知，一定的质量m 与一定的能量E 相对应：2mc E =，其中c 为真空中光速。
（1）已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量h νE =，其中h 为普朗
克常量。
试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量λ
h
p =。
（2）光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀
的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I 表示。
一台发光功率为P 0的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S 。
当该激光束垂直照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式。
（3）设想利用太阳光的“光压”为探测器提供动力，将太阳系中的探测器送到太阳系以
外，这就需要为探测器制作一个很大的光帆，以使太阳光对光帆的压力超过太阳对探测器的引力，不考虑行星对探测器的引力。
一个质量为m 的探测器，正在朝远离太阳的方向运动。
已知引力常量为G ，太阳的质量为M ，太阳单位时间辐射的总能量为P 。
设帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光一半反射，一半吸收。
试估算该探测器光帆的面积应满足的条件。
2014海淀二模
20．根据量子理论：光子既有能量也有动量；光子的能量E 和动量p 之间的关系是E =pc ，
其中c 为光速。
由于光子有动量，照到物体表面的光子被物体吸收或被反射时都会对物体产生一定的冲量，也就对物体产生了一定的压强，这就是“光压”。
根据动量定理可近似认为：当动量为p 的光子垂直照到物体表面，若被物体反射，则物体受到的冲量大小为2p ；若被物体吸收，则物体受到的冲量大小为p 。
有人设想在宇宙探测中用光作为动力推动探测器加速，探测器上安装有面积极大、反光率为η的薄膜，并让它正对太阳。
已知太阳光照射薄膜时对每平方米面积上的辐射功率为P 0，探测器和薄膜的总质量为m ，薄膜面积为S ，则探测器的加速度大小.(不考虑万有引力等其他的力) A ．
cm P s 0
)1(η+ B ．cm s P 0)1(η+ C ．cm s
P 0)2(η- D ．cm
s P 2
0)2(η+
【参考答案】B
2015朝阳一模
20．第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度。
理论分析表明，逃逸速
燃料耗尽而“死亡”后，强大的引力把其中的物质紧紧地压在一起，它的质量非常大，半径又非常小，以致于任何物质和辐射进入其中都不能逃逸，甚至光也不能逃逸，这种天体被称为黑洞。
已知光在真空中传播的速度为c ，太阳的半径为R ，太阳的逃逸速度为
500
c。
假定太阳能够收缩成半径为r 的黑洞，且认为质量不变，则R
r 应大于 A ．500 B
．
C ．5
2.510⨯ D ．55.010⨯
2015西城一模
24．（20分）
我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其它星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计。
此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。
设想有一质量为M 的宇宙飞船，正以速度v 0在宇宙中飞行。
飞船可视为横截面积为S 的圆柱体（如图1所示）。
某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云。
（1）已知在开始进入尘埃云的一段很短的时间Δt 内，飞船的速度减小了Δv ，求这段时间内飞船受到的阻力大小。
（2）已知尘埃云分布均匀，密度为ρ。
a. 假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面。
若不采取任何措施，飞船将不断减速。
通过监测得到飞船速度的倒数“1/v ”与飞行距离“x ”的关系如图2所示。
求飞船的速度由v 0减小1%的过程中发生的位移及所用的时间。
b. 假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用。
为了保证飞船能以速度v 0匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器。
已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的。
若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m ，加速电压为U ，元电荷为e 。
在加速过程中飞行器质量的变化可忽略。
求单位时间内射出的阳离子数。
图1
1//1v 图2
2015北京高考
23.（18 分）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。
物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x 轴运动，与桌面间的动摩擦因数为µ。
以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x 时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx,k 为常量。
（1）请画出F 随x 变化的示意图；并根据F-x 的图像求物块沿x 轴从O 点运动到位置x 的过程中弹力所做的功。
a. 求弹力所做的功.并据此求弹性势能的变化量；
b. 求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
2014北京高考
24.（20分）
导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。
如图所示，固定于水平面的U 型导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在于其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F的方向相同:导线MN始终与导线框形成闭
合电路。
已知导线MN电阻为R，其长度恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B。
忽略摩擦阻力和导线框的电阻。
（1）通过公式推导验证:在时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能,也等于导线MN中产生的焦耳热Q;
（2）若导线MN的质量m=8.0g,长度L=0.10m，感应电流=1.0A，假设一个原子贡献一个自
由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v e(下表中列出一些你可能会用到的数据)；
元电荷
导线MN的摩尔质量
（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞。
展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型；在此基础上，求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式。
2013北京高考
24.（20分）对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。
⑴一段横截面积为S、长为l的直导线，单位体积内有n个自由电子，电子电量为e。
该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v。
(a)求导线中的电流I；
(b)将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B，导线所受安培力大小为F 安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F，推导F安=F。
⑵正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量。
为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。
利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。
（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）。