第九章 5柱坐标系和球坐标系下的计算法综述
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
球坐标系下梯度计算
z
• M ( x, y, z )
0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
x
o
θ
r
P (r ,θ )
•
y
− ∞ < z < +∞ .
z
圆柱面
θ 为常数
z 为常数
z
rdθ
半平面 平 面
z
•
M ( x, y , z )
如图， 如图，柱面坐标系中的体积元
o
θ
r•
P (r ,θ )
y
dv = rdrdθdz ,
Ω : r ≤ z ≤ a,
2 Ω 2
D: x + y ≤ a ,
2 2 2
0 ≤ r ≤ a,
0
0 ≤ θ ≤ 2π ,
2π a a 2 0 r
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r dz
a4 a5 π 5 3 = 2π r (a − r )dr = 2π[a ⋅ − ] = a . 0 4 5 10
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
规定
A
z
ϕ
x
r
• M ( x , y, z )
z
•
o
θ
y
0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π.
r 为常数
x
y
P
球 面 圆锥面 半平面
ϕ 为常数 θ 为常数
z
如图， 如图，球面坐标系中的体积元素为dθ
Ω
面得D 将Ω 投到xoy 面得
在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式
F ( x, y , z ) 1 r sin F F F ex ey ez x y z
F F F 2 sin cos cos sin r sin cos sin cos er cos cos e sin e r
由（1‐12）可以得到：
F 1 F F cos sin x F F F 1 sin cos （1‐13） y F F z z
接下来我们将求在球坐标系下，空间某点 F ( x, y, z ) 分别对 r , , 求偏导数：
F F x F y F z r x r y r z r F F x F y F z （2‐13） x y z F F x F y F z x y z
因为这个矢量为单位矢量，且指向 方向，其向量一定为 e ，即：
e sin ex cos ey 0 ez （2‐10）
因为， 我们得到： e e er ， e cos sin ex cos sin ey sin ez （2‐11） 联立式（2‐6） 、 （2‐10）和（2‐11）我们可以得到：
ex sin cos er cos cos e sin e e y sin sin er cos sin e cos e （2‐12） ez cos er sin e
圆柱坐标系与球坐标系之间的转化
圆柱坐标系与球坐标系之间的转化1. 圆柱坐标系简介圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，它由三个坐标轴组成：$\\rho$代表从原点到点P的距离，$\\phi$表示从x轴正半轴旋转到点P的角度，z表示点P在z轴上的高度。
坐标点P可以用$(\\rho, \\phi, z)$来表示。
2. 球坐标系简介球坐标系也是一种常用的三维坐标系，它由三个坐标轴组成：r代表从原点到点P的距离，$\\theta$表示从z轴正半轴旋转到点P的角度，$\\varphi$表示从x轴正半轴旋转到点P在x−y平面上的投影的角度。
坐标点P可以用$(r, \\theta,\\varphi)$来表示。
3. 圆柱坐标系到球坐标系的转化将圆柱坐标系的点$(\\rho, \\phi, z)$转化为球坐标系的点$(r, \\theta,\\varphi)$，可以通过以下公式进行计算：$$ \\begin{align*} r &= \\sqrt{\\rho^2 + z^2} \\\\ \\theta &=\\arctan\\left(\\frac{\\rho}{z}\\right) \\\\ \\varphi &= \\phi \\end{align*} $$ 其中，$\\arctan$函数是反正切函数，$\\phi$和$\\varphi$的取值范围都是$[0, 2\\pi)$。
4. 球坐标系到圆柱坐标系的转化将球坐标系的点$(r, \\theta, \\varphi)$转化为圆柱坐标系的点$(\\rho, \\phi, z)$，可以通过以下公式进行计算：$$ \\begin{align*} \\rho &= r\\sin\\theta \\\\ \\phi &= \\varphi \\\\ z &=r\\cos\\theta \\end{align*} $$其中，$\\sin$和$\\cos$分别是正弦和余弦函数。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是数学中的重要概念，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
一、直角坐标系下的三重积分在直角坐标系下，三重积分的计算方法可以通过迭代法实现。
首先，我们需要确定被积函数的积分区域。
假设被积函数为f(x, y, z)，积分区域为V。
我们可以将V分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV。
将V分割成小立方体后，我们需要选择一个小立方体，并在其中选择一个点(x,y,z)作为积分点。
然后，我们将小立方体的体积ΔV乘以被积函数在积分点的值f(x,y,z)，得到积分项f(x,y,z)ΔV。
最后，将所有积分项相加并取极限，即可求得三重积分的值。
这个计算过程可以表达为以下公式：∭V f(x,y,z) dV = lim ΔV→0 ∑ ∑ ∑ f(x,y,z)ΔV其中，ΔV表示小立方体的体积，Σ表示对整个区域V内的小立方体进行求和。
举例来说，如果我们要计算函数f(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2在立方体V: 0≤x≤1，0≤y≤2，0≤z≤3上的三重积分，那么我们可以将V分割成许多小立方体，并选择一个小立方体上的点(x,y,z)作为积分点。
然后，将小立方体体积ΔV乘以函数值f(x,y,z)，并对所有小立方体进行求和，最后取极限即可得到结果。
二、柱坐标系和球坐标系下的三重积分在某些情况下，采用直角坐标系计算三重积分可能会比较复杂。
此时，我们可以选择转换到柱坐标系或球坐标系下进行计算，以简化问题。
在柱坐标系下，我们将积分区域V进行柱坐标变换，得到新的积分区域。
具体的变换公式可以参考相关数学教材。
然后，按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
在球坐标系下的计算方法与柱坐标系类似，先进行球坐标变换，然后按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
三、应用举例现在，让我们通过一个应用举例来更好地理解三重积分的计算方法。
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。
相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。
目前,很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。
在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。
一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。
其算子形式的通用表达式[1](1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之则增大。
其算子形式的通用表达式[1](2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析哈尔滨工业大学市政学院摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题关键词：柱坐标 球坐标 导热微分方程1.柱坐标系下导热微分方程假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c 和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源。
用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3)表示内热源的强度。
基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体，如图。
根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在d τ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能 的增加（Ⅲ）下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三项：在 d τ时间内，沿 r 轴方向：τϕλτϕλdzd rd rt d dzd rd q r rt r ∂∂-=Φ∴-=∂∂ τϕdzd rd q r r =Φτϕλdzd drd rt r r d d r dr d d dr r r r r dr r )(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ ○1 在 d τ时间内，沿 ϕ轴方向：τϕλϕλτϕϕϕϕdrdzd t r t r q drdzd q ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ11 τϕϕλϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕdzd drd t r d d d )1(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ ○2 在 d τ时间内，沿 z 轴方向：τϕλλτϕdrd rd z t ztq drd rd q z z z z ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ τϕλdzd drd zt r z z dz dz z z z z dz z )(∂∂∂∂=ΦΦ∴∂Φ∂=Φ-Φ+-+ ○3 将 r 、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :I=○1+○2+○3在 d τ时间内，微元体中内热源的发热量为Ⅱ=dzdr rdrd q v ϕ在 d τ时间内，微元体中热力学能的增量为Ⅲ=τϕτρdzd rdrd t c ∂∂ 联立I ，III ，II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：)()(1)(12zt z t r r t r r r r q t cv ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂λϕλϕλτρ2.球坐标系下导热微分方程在球坐标系中，从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。
柱坐标系和球坐标系 课件
知识点一 柱坐标系
思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.
梳理 柱坐标系的概念
(1)定义：建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ空间直角坐标系Oxyz，设P是空间
任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)
(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这
由 rcos φ＝z＝－2 2，
－2 得 cos φ＝ r
2 ＝－
22，φ＝34π.
又 tan θ＝yx＝1，θ＝54π， 从而知 M 点的球坐标为4，34π，54π.
类型三 求点的坐标
例3 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高A6A1 为 ，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱 坐标及球坐标.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
x = _ρ_c_o_s_θ_， y = __ρ_si_n_θ_ ，
z = _z__.
知识点二 球坐标系
思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表 示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角 和一个距离来表示. 答案 可以.
θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ) ，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π .
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
x =rs_in__φ_c_o_s_θ__ ， y =rs_in__φ_s_in__θ__ ，
z = r_c_o_s_φ_.
类型一 柱坐标与直角坐标的互化