05、2020版高考数学大二轮培优理科通用版课件：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
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＝sinωx＋π5(ω＞0)，已知 f(x) 在0，2π有且仅有 5 个零点， 下述四个结论：
数学 运算
2018·天津卷，6 2017·山东卷，16
①f(x)在(0,2π)有且仅有 3 个极 大值点；
2017·浙江卷，18 ②f(x)在(0,2π)有且仅有 2 个极
小值点；
(3)ω 的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由 T＝2ωπ(ω>0) 来确定 ω；(4)φ 的确定：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 最开 始与 x 轴的交点的横坐标为－ωφ即令ωx＋φ＝0，x＝－ωφ 确定 φ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于 “五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx0＋φ＝0＋2kπ，其他依此类推即可．
命题 素养 角度 清单
真题示例
典例回顾
2.(2018·全国卷Ⅱ)若函数
三角 函数 的性 质及 应用
2019·全国卷 f(x)＝cos x－sin x 在[－a，a]
逻辑 Ⅱ，9 上是减函数，则 a 的最大值
推理 2018·全国卷 是(A )
数学 运算
201Ⅱ8·北，京10卷，A．π4
B．π2
11
C．34π
D．π
解析 f(x)＝cos x－sin x＝ 2cosx＋π4.由 2kπ≤x＋π4 ≤2kπ＋π，k∈Z，得 2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π，k∈Z，则函 数 f(x)的单调递减区间是2kπ－π4，2kπ＋34π，k∈Z.当 k ＝0 时，函数 f(x)的单调递减区间是－π4，34π.
命题 素养 角度 清单
真题示例
典例回顾
三角 函数 性质 的综 合应 用
2019·全国卷Ⅲ，③f(x)在0，1π0单调递增；
2024届高考二轮复习数学课件(新高考新教材)：三角函数的图象与性质
f(π-x)=sin(π-x)+cos(π-x)sin(π-x)=sin x-cos xsin x≠f(x),因此 f(x)的图象关于直
∴f
4π
3
13π
+
6
=f
π
3
π
2- 6
.
=0,f
7π
-4
=f
π
4
4
13π π
T=3 × 12 - 3
π
=2,∴φ=- +2kπ,k∈Z.
6
=1.
=π, 故 ω=2.
由(f(x)-1)(f(x)-0)>0,得 f(x)<0 或 f(x)>1.
结合题中图象可知,满足 f(x)>1 的 x 离 y 轴最近的正数取值区间为
A.-4
B.4
1
C.3
)
1
D.
3
答案 C
解析 ∵cos
则 tan
π
-
4
π
+
2
=
=2cos(π-α),∴-sin α=-2cos α,即 tan α=2,
1-tan 1
=- .
1+tan 3
规律方法点的坐标与三角函数值的关系
根据三角函数的定义,可以由给定角的终边上一点的坐标,求出该角的各个
三角函数值;反之,当给定
y=sin(ωx-φ).
3.三角函数的周期性
2π
(1)f(x)=Asin(ωx+φ)和 f(x)=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期为||.
2020高考数学(文理通用)大二轮课件：专题二函数与导数第1讲
“一府两院”改称“一府一委两院”展开全文2016年11月7日，中央办公厅印发《关于在北京市、山西省、浙江省开展国家监察体制改革试点方案》，方案明确，党的纪律检查委员会、监察委员会合署办公。
《方案》强调，要建立党统一领导下的国家反腐败工作机构。
整合反腐败资源力量，扩大监察范围，实现对行使公权力的公职人员监察全面覆盖。
紧接着，2016年12月25日，十二届全国人大常委会第二十五次会议表决通过《全国人民代表大会常务委员会关于在北京市、山西省、浙江省开展国家监察体制改革试点工作的决定》。
根据《决定》：在北京市、山西省、浙江省及所辖县、市、市辖区设立监察委员会，行使监察职权。
将试点地区人民政府的监察厅（局）、预防腐败局及人民检察院查处贪污贿赂、失职渎职以及预防职务犯罪等部门的相关职能整合至监察委员会。
目前的反腐败资源力量有哪些？政府内部的监察机关、审计机关、预防腐败部门；政府外部的人民检察院的反腐败、反渎职部门，以及检察院内部的预防腐败局。
各种重要反腐职能分布在这些行政机关、司法机关中，多头负责，资源分散，而且还有重复重叠之处。
为了建立起一个“集中统一、权威高效的监察体系”，就要把这些反腐败资源力量整合在一起。
单靠协调肯定不行，要通过一个平台重新分工整合。
新设立的国家监察委员会就是这样一个平台。
试点地区监察委员会由本级人民代表大会产生。
监察委员会主任由本级人民代表大会选举产生；监察委员会副主任、委员，由监察委员会主任提请本级人民代表大会常务委员会任免。
监察委员会对本级人民代表大会及其常务委员会和上一级监察委员会负责，并接受监督。
一、“实现对行使公权力的公职人员监察全面覆盖”具体包括哪些人群？依据现在的行政监察法，监察部门的覆盖范围只包括国家行政机关及其公务员，以及国家行政机关任命的其他人员。
这个范围窄于公务员法。
我国的公务员法调整对象不仅仅是行政机关工作人员，也包含了立法机关、司法机关、各党派和主要人民团体的公职人员等。
2020版高三数学新课标大二轮增分攻略数学(理) 专题一三角函数与解三角形第一讲 三角函数的图象与性质
第三篇 重点热点、突破篇第一讲 三角函数的图象与性质[高考导航]1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题．2．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质．考点一 同角三角关系式及诱导公式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．1．(2019·广东惠州二调)已知sin x ＋cos x ＝15，x ∈[0，π]，则tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C ．±43D ．－34或－43[解析] ∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝125，即1＋2sin x cos x ＝125.∴2sin x cos x ＝－2425<0.∵x ∈[0，π]，∴sin x >0，cos x <0. ∴sin x －cos x >0.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，∴sin x －cos x ＝75. 又知sin x ＋cos x ＝15，∴sin x ＝45，cos x ＝－35，则tan x ＝sin x cos x ＝－43，故选B. [答案] B2．(2019·福州质检)已知P (sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°[解析] ∵P (sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tan α＝－cos140°sin40°＝－cos (90°＋50°)sin (90°－50°)＝sin50°cos50°＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B.[答案] B3．(2019·唐山五校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－15 B.15 C.25 D ．－25 [解析] cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝－15.[答案] A4．(2019·河北六校第三次联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.54[解析] ∵方程5x 2－7x －6＝0的两根分别为x 1＝2和x 2＝－35，∴sin α＝－35.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α＝53，故选B. [答案] B5．(2019·云南师大附中月考)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( )A.195B.165C.2310D.1710[解析] 解法一：sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan 2θtan 2θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝2310，故选C.解法二：tan θ＝2＝21，在平面直角坐标系xOy 中，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上取点P (1,2)，则|OP |＝5，由三角函数的定义，得sin θ＝25，cos θ＝15，所以sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝25＋1525＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝2310，故选C.[答案] C6．(2019·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，设∠xOP ＝α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，则x 0的值为________．[解析] ∵点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，且∠xOP ＝α，∴cos α＝x 0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴x 0＝cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210. [答案] －210(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．考点二 三角函数的图象及变换1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．两种图象变换【例1】 (1)(2019·南昌调研)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度得到 B ．向右平移π2个单位长度得到 C ．向左平移π4个单位长度得到 D ．向右平移π4个单位长度得到(2)(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图象如图所示，则φ＝________.[解题指导] (1)化f (x )为正弦形式→转化为x 上的变化量→确定结果(2)由对称中心及对称轴得周期T→由T ＝2πω得ω→利用f ⎝⎛⎭⎪⎫1112π＝－2及φ的范围得φ值[解析] (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝ sin ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π4，∴只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可得到f (x )的图象．故选C.(2)由T 4＝1112π－23π＝π4，得T ＝π，又知T ＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝－1.∴116π＋φ＝2k π＋32π(k ∈Z )． ∴φ＝2k π－π3(k ∈Z )，又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3. [答案] (1)C (2)－π3解决三角函数图象问题的策略(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．1．(2019·广东揭阳一模)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标先伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z [解析] 解法一：将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ＋φ，再向左平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ＋ωπ6＋φ＝sin x ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12ω＝1，ωπ6＋φ＝2k π，k ∈Z ，又－π2≤φ<π2，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故选C.解法二：将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C.[答案] C2．(2019·太原3月联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1B.12C.22D.32[解析] 由题图知A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又因为点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象的上升段上，所以－π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，可知在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上，函数f (x )的图象关于x ＝π12对称，因为x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.[答案] D考点三 三角函数的性质1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 角度1：研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性【例2】 (2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 [解题指导]由奇函数确定φ→由伸缩变换确定g (x )的解析式→由g (x )的周期确定ω→由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2确定A[解析] ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π，∴φ＝0，∴f (x )＝A sin ωx ，则g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x .由g (x )的最小正周期T ＝2π，得ω2＝2πT ＝1，∴ω＝2.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝2，故选C.[答案] C角度2：求三角函数的单调区间及最值【例3】 (2019·石家庄二中月考)已知函数f (x )＝(23cos ωx ＋sin ωx )sin ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2＋ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．[解题指导] (1)化简函数解析式→利用周期性和对称性求ω值→写出f (x )解析式→求f (x )单调递增区间(2)由x 范围求出角整体范围→利用f (x )单调性和图象求出值域[解] (1)f (x )＝23cos ωx ·sin ωx ＋sin 2ωx －cos 2ωx ＝3sin2ωx －cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由f (x )图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为π4，知14·2π2ω＝π4，即ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 即函数f (x )的值域为[－1,2]．三角函数性质问题的解题策略(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．(2)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A >0，ω<0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝－A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在某一区间的最值时，将ωx ＋φ视为整体，借助正弦函数的图象和性质求解．1．(2019·太原一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称[解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6， ∴A 、C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． [答案] B2．(2019·豫南九校4月联考)已知函数f (x )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值． [解] (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x － 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |[解析] 对于选项A ，作出y ＝|cos2x |的部分图象，如图1所示，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，且最小正周期T ＝π2，故A 正确．对于选项B ，作出f (x )＝|sin2x |的部分图象，如图2所示，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，且最小正周期T ＝π2，故B 不正确． 对于选项C ，∵f (x )＝cos|x |＝cos x ，∴最小正周期T ＝2π，故C 不正确．对于选项D ，作出f (x )＝sin|x |的部分图象，如图3所示．显然f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.[答案] A2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π[解析] f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. [答案] A3．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③[解析] f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，故f (x )是偶函数，①正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 单调递减，②不正确； 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，f (x )＝2sin x 有两个零点，当x ∈[－π，0)时，f (x )＝－2sin x 仅有一个零点，故③不正确；当x ≥0时，f (x )＝sin x ＋|sin x |，其最大值为2，又f (x )是R 上的偶函数，故f (x )在R 上的最大值为2，④正确．综上，①④正确，②③不正确．故选C. [答案] C4．(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．[解] (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在6～12或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．专题强化训练(十一)一、选择题1．(2019·菏泽一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A ．－255B ．－55 C.55 D.255[解析] 由题意知cos α＝25＝255，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.[答案] A2．(2019·桂林一模)已知sin(5π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＋2cos α＝( )A.225 B.－25 C ．－2 2 D ．－2[解析] 由sin(5π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得sin α＝－3cos α，所以tan α＝－3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＋2cos α＝22(cos α－sin α)sin α＋2cos α＝22(1－tan α)tan α＋2＝22×4－1＝－2 2.故选C.[答案] C3．(2019·湖南湘中高三联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) [解析] 因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sin φ<0，所以φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故选C.[答案] C4．(2019·廊坊省级示范性高中联合体联考(一))已知函数f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝－π12对称B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝－π12对称C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝－π6对称D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝－π6对称[解析] f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，3x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，可得函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，又由3x ＋π4＝0，解得x ＝－π12，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称．故选A.[答案] A5．(2019·湖南省四校联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．1，3π4B ．2，π4 C ．π，3π4D ．2π，π4[解析] 由题图知最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以ω＝2πT ＝π，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)，把⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，即π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝3π4，故选C.[答案] C6．(2019·福州质量检测)若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0 [解析] 将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故选A. [答案] A 二、填空题7．(2019·河北沧州模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________.[解析] 设点P (a,2a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝yx ＝2，再根据诱导公式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.[答案] 28．(2019·安徽六安一中3月月考)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0<ω<1)在区间(π，2π)内有最值，则ω的取值范围为________．[解析] 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0<ω<1)取最值时，ωx ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π，2π)内有最值，所以1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3∈(π，2π)时，k 有解，所以1<1ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋13<2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<k ＋13，k 2＋16<ω⇒k 2＋16<ω<k ＋13.由k 2＋16<k ＋13得k >－13.当k ＝0时，16<ω<13，当k ＝1时，结合0<ω<1，得23<ω<1，所以ω的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 9．(2019·江西南昌重点中学段考测试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<ω<3，|φ|<π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，则f (π)＝________. [解析]解法一：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－πω12＋φ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5πω12＋φ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－π12ω＋φ＝k 1π，5π12ω＋φ＝k 2π(k 1，k 2∈Z )，两式相减得，12ω＝k 2－k 1(k 1，k 2∈Z )．因为0<ω<3，且k 2－k 1是整数，所以ω＝2.将点⎝⎛⎭⎪⎫－π12，0看作“五点”中的第一点，则－π6＋φ＝0，所以φ＝π6，满足|φ|<π2.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (π)＝12. 解法二：设f (x )的最小正周期为T ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝0可得x＝－π12和x ＝5π12是函数f (x )的两个零点，所以k 1·T 2＝512π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π2(k 1∈N )，即T ＝πk 1(k 1∈N )，又知T ＝2π|ω|(ω>0)，所以2πω＝πk 1(k 1∈N )，所以ω＝2k 1(k 1∈N )，又0<ω<3，所以当k 1＝1时，ω＝2.所以f (x )＝sin(2x＋φ)．由f ⎝⎛⎭⎪⎫－π12＝0，得－π6＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，所以φ＝k 2π＋π6(k 2∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (π)＝12.[答案] 12 三、解答题10．(2019·北京西城二模)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值． [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z . (2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4. 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12.因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4； 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，即β＋π4＝π3，即β＝π12.所以β＝π12或β＝3π4.11．(2019·云南曲靖一中模拟)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若f (x )－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根，求m 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＋3sin 2x＋sin x cos x＝2cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＋3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x －3cos 2x ＋3sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 故函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象如下．∵f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝0，∴当方程f (x )－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根时，m 的取值范围为[－3，0)∪{2}．12．(2019·山东济南一模)已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值．[解] (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋3＝12sin2x －32cos2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )， 故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6.由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 即0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32≤2＋32.故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.。
2020版高考数学大二轮培优文科通用版课件：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
2,故选 C.
答案:C
8.(2019 全国Ⅰ,文 15)函数 f(x)=sin
2������ + 3π
2
-3cos x 的最小值
为
.
解析:f(x)=sin
2������ + 3π
2
-3cos x
=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1
=-2
cos������ + 3
4
2 + 187.∵-1≤cos x≤1,∴当 cos x=1 时,f(x)min=-4.故函
其中 tan φ=������
������
.
二、三角函数的图象与解析式
1.“五点法”作图
设z=ωx+φ,令z=0,π2,π,32π ,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、
连线可得. 2.图象变换
三、三角函数的性质及应用
1.三角函数的单调区间 y=sin x 的单调递增区间是 2kπ-π2,2kπ+π2 (k∈Z),单调递减区 间是 2kπ+π2,2kπ+32π (k∈Z);y=cos x 的单调递增区间是 [2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);y=tan x 的单调递增区间是 kπ-π2,kπ+π2 (k∈Z). 2.三角函数的对称性
B.- 2
C. 2
D.2
解析:已知函数为奇函数,且|φ|<π,故 φ=0.
f(x)的最小正周期为 π,∴2������π=π. ∴ω=2.f(x)=Asin 2x.∴g(x)=Asin x.
由g
π 4
=
2,得 Asin
2020届高考数学大二轮复习层级二专题二三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质教学
第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向·高考导航]1．高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．2．主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1 解析：B [∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2 α＋cos 2 α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝23，∴tan 2 α＝15，∴tan α＝±55，当tan α＝55时，a ＝b 2＝55，∴a ＝55，b ＝255，∴|a －b |＝55；当tan α＝－55时，a ＝b 2＝－55，∴a ＝－55，b ＝－255，∴|a －b |＝55.] 2．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 解析：D [当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，4π3，函数在该区间内不单调．本题选择D 选项．] 3．(2019·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0) 两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1 D.12解析：A [由正弦函数图象可知T 2＝x 2－x 1＝3π4－π4＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.]4．(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2 C. 2D ．2解析：C [在x ＝0处有定义的奇函数必有f (0)＝0.f (x )为奇函数，可知f (0)＝A sin φ＝0， 由|φ|＜π可得φ＝0；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g (x )＝A sin 12ωx ，由g (x )的最小正周期为2π可得ω＝2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，可得A ＝2， 所以f (x )＝2sin 2x ，f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.][主干整合]1．三角函数的图象及性质函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增，在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上都是增函数对称中心坐标(kπ，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Z(kπ2，0)k∈Z对称轴方程渐近线x＝kπ＋π2，k∈Z x＝kπ，k∈Z x＝kπ＋π2(k∈Z) 热点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系[题组突破]1．(2020·资阳模拟)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A ．－7B ．－17C.17D ．7解析：A [由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7.]2．(2020·衡水调研卷)已知sin (3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则等于( )A.12 B.13 C.16D ．－16解析：D [∵s in(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.]3．(2020·衡水信息卷)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( )A.85 B ．－45C.43D ．－23解析：A [由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝85.](1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．热点二 三角函数的图象及应用直观 想象 素养 直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题．主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思想.[例1] (1)(2020·东营模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫ωx ＋3(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度[解析] A [由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x ， 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.] (2)(2020·厦门模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.[解析] 由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0，又|φ|＜π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1即θ＝k π＋π3，k ∈Z 或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，故θ＝π3.[答案]π3(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2020·杭州模拟)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－cos 2x ，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：C [f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－cos 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到奇函数y ＝2sin 2x 的图象，故选C.](2)(2019·哈尔滨三模)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：A [∵f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π，∴φ＝π3或2π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω6＋φ＝0，∴πω6＋φ＝k π(k ∈Z )，∴ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3×6π＝6k －2(k ∈Z )，或ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－2π3×6π＝6k －4(k ∈Z )，又ω＞0，且T 4＝2π4ω＝π2ω＞π6，∴ω＜3，∴ω＝2，φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，将其图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )图象的对称轴方程满足2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，故选A.] 热点三 三角函数的性质及应用[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |[解析]A [作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象，如图．由图象可知f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增．同理可得f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，f (x )＝cos|x |的周期为2π.f (x )＝sin|x |不是周期函数，排除B ，C ，D.故选A.](2)(2019·保定三模)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)满足：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π3，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3，14π3内有最大值但没有最小值．给出下列四个命题： p 1：f (x )在区间[0,2π]上单调递减； p 2：f (x )在最小正周期是4π； p 3：f (x )的图象关于直线x ＝π2对称； p 4：f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，0对称．其中的真命题是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4[解析] C [由题意得，当x ＝8π3＋14π32＝11π3时，f (x )取得最大值，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11πω3＋π6＝1，11πω3＋π6＝2k π，ω＝12k －122(k ∈N *)，又易知T ＝2πω≥14π3－8π3＝2π，0＜ω≤1， 所以k ＝1，ω＝12，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6.故f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4π，p 2是真命题，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝0，因此f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，0对称，p 4是真命题．故选C.] (3)(2019·唐山调研)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． [解析] ∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.[答案] π求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程．②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．(1)(2020·长沙模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，f (α)＝－1，f (β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：B [(1)本题考查三角函数的图象和性质．由f (α)＝－1，f (β)＝1可知f (x )的图象关于直线x ＝α对称，关于点(β，1)对称，所以最小正周期T ＝4|α－β|min ＝3π＝2πω，则ω＝23，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×π4＋φ＋1＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又|φ|＜π2，则φ＝－π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋1，由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z ，故选B.] (2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：C [∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |， ∴f (x )是偶函数，①对；f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，②错；f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错； f (x )的最大值为2，④对．故选C.](3)(多选题)关于函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，下列叙述正确的是( )A ．其图象关于直线x ＝π4对称B ．其图象可由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1图象上所有点的横坐标变为原来的12得到C ．其图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称D ．其值域[－1,3]解析：BD [本题考查三角函数性质的综合应用以及三角函数图象的伸缩变换．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＋1＝2＋1，不是函数的最值，因此函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，故A 错误；y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1图象上所有点的横坐标变为原来的12得到f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象，故B 正确；设y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则当x ＝3π8时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋π4＝2sin π＝0，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，1对称，故C 错误；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，函数f (x )取得最大值3，当sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，函数f (x )取得最小值－1，即函数f (x )的值域是[－1,3]，故D 正确，故选BD.]限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·南昌段考)已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M (－3,4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ的值为( )A ．－12175B.12175 C ．－7975D.7975解析：A [设O 为坐标原点，则由已知得|OM |＝5，因而cos θ＝－35，sin θ＝45，tan θ＝－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tan θ＝925－1625－43＝－12175.]2．(2019·青岛三模)如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成，如图②，第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一条直角边为1.将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是( )参考值：tan 55°≈1.428，tan 60°≈1.732，tan 65°≈2.145，2≈1.414A ．120°B ．130°C ．135°D ．140°解析：C [由题意可得，α1，α2，α3，α4都是锐角，且α1＝45°，tan α2＝12＝22，tan α3＝13＝33，所以α3＝30°，tan α4＝14＝12，所以α1＋α3＝75°.又tan(α2＋α4)＝tan α2＋tan α41－tan α2·tan α4＝6＋527≈1.87，接近tan 60°，故α2＋α4接近60°，故与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是135°.]3．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：C [由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2 x ＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x cos 2 x ＋sin 2x cos 2 x ＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故选C.] 4．(2019·成都二诊)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6B.π12C.π4D.π3解析：A [由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ＞0，故φ的最小值为π6，选A.]5．(2020·广州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，83B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，83 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，2 解析：B [通解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，所以ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4ω＋π6，2π3ω＋π6，因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋π6≥2k π－π2，k ∈Z ，2π3ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .又ω＞0，所以0＜ω≤12，选B.优解：取ω＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π6＝－sin π12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝sin π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12，不满足题意，排除A ，C ，D ，选B.]6．(2019·洛阳统考)设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象关于直线x ＝0对称，则y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8的值域为( )A ．[－2，0]B ．[－2,0]C ．(－2，0)D ．(－2,0)解析：A [由题意得函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为其图象关于直线x ＝0对称，所以2×0＋π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π3＝2cos 2x .当π4≤x ≤3π8时，π2≤2x ≤3π4，所以y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8上的值域为[－2，0]．]7．(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 解析：A [由函数图象平移变换的性质可知：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝2sin x . 则函数的单调递增区间满足：2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z ) ，令k ＝1可得一个单调递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.函数的单调递减区间满足：2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z ) ，令k ＝1可得一个单调递减区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.本题选择A 选项．]8．(2020·贵阳监测)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，若要得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只要将f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π12个单位D ．向右平移π12个单位解析：D [正弦函数图象与x 轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即d ＝T 2＝πω，又因为d ＝π2，所以ω＝2，则f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以只要将函数f (x )的图象向右平移π12个单位就能得到g (x )＝sin ωx 的图象．]9.(2019·德州三模)如图是函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，|φ|≤π2图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝2，则( )A ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－38π，π8内单调递增B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－38π，π8内单调递减C ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，π12内单调递增D ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，π12内单调递减解析：A [根据图象得出：A ＝2，对称轴方程为x ＝x 1＋x 22，所以2sin(x 1＋x 2＋φ)＝2⇒x 1＋x 2＋φ＝π2， 所以x 1＋x 2＝π2－φ，因为f (x 1＋x 2)＝2，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＋φ＝2，即sin(π－φ)＝22，因为|φ|≤π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即为f (x )的单调递增区间．]10．(2019·辽宁省五校协作体联考)设ω＞0，将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后与函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5的图象重合，则ω的最小值是( )A.12 B.32 C.52D.72解析：C [通解 将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后，得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋π5的图象，由已知得2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5，所以cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5，当ω＝12时，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π10≠sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π5；当ω＝32时，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π10≠sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π5；当ω＝52时，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －π2＋π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52x ＋π5，所以ω的最小值为52.故选C. 优解 将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后，得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＋π5＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5－π5ω的图象，由已知得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5－π5ω＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5－π5ω＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5，所以π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5－π5ω＋2k π＝ωx ＋π5，k ∈Z ，所以ω＝52＋10k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为52.故选C.] 11．(多选题)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD.sin αtan α解析：CD [本题考查三角函数定义的应用及三角函数值符号的判断．由已知得r ＝|OP |＝m 2＋1，则sin α＝m m 2＋1>0，cos α＝－1m 2＋1<0，tan α＝－m <0，∴sin x ＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，sin αtan α＝cos α<0.故选CD.]12．(2019·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增；④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④解析：D [∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω＞0)，在[0,2π]有且仅有5个零点．∴0≤x ≤2π，π5≤ωx ＋π5≤2πω＋π5，5π≤2πω＋π5＜6π，125≤ω＜2910，④正确．如图x 1，x 2，x 3为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个. ②不正确．当0＜x ＜π10时，π5＜ωx ＋π5＜ωπ10＋π5，当ω＝2910时，ωπ10＋π5＝29π100＋20π100＝49π100＜π2.∴③正确，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ，∴f (x )min ＝－4.答案：－414．(2019·吉林三模)将函数f (x )＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是____________． 解析：由题意可知，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a 3－π6和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a －π6，π上均单调递增，根据f (x )＝2cos 2x 的图象可知，a 3－π6≤0且π2≤2a －π6≤π，解得π3≤a ≤π2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 15．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：本题考查三角函数．∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4为f (x )的最大值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝1，∴π4ω－π6＝2k π，解得ω＝8k ＋23，k ∈Z ，又∵ω>0，∴ω的最小值为23. 答案：2316．(2019·烟台三模)函数f (x )＝12－x 的图象与函数g (x )＝2sin π2x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.解析：如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.1答案：2。
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质ppt课件.ppt
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
注 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期 性是: 弦减半、切不变.
课
前 热 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
身
1.给出四个函数:
(A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
要特别注意, 若由 或向右平移应平移 |
y=s| i个n(单x位) 得. 到
y=sin(x+)
的图象,
则向左
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(xR) 是奇函数, 对称中心是 (k, 0)(kZ), 对 对称称轴 中是 心直 是线(kx+=k2,+0)2(k(kZZ),);对余称弦轴函是数直y线=coxs=xk(x(kR)Z是)(偶正函, 数余,
1、 解：（1） m n 2 3sin xcos x 2cos2 x
作函数
y
2
s
in(1
x
3
)
的图象，并说明图象可
由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换得到.