浅谈数值逼近
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值逼近知识点总结
数值逼近知识点总结一、基本概念1.1 逼近误差在数值逼近中，我们通常会用逼近值来代替某个函数的真实值。
这个逼近值和真实值之间的差称为逼近误差，通常表示为ε。
逼近误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指逼近值与真实值之间的差值，表示为|f(x)-Pn(x)|。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，表示为|f(x)-Pn(x)|/|f(x)|。
通常情况下，我们希望逼近误差越小越好。
1.2 逼近多项式在数值逼近中，我们通常会用一个多项式来逼近某个函数。
这个多项式通常称为逼近多项式，记为Pn(x)，其中n表示多项式的次数。
逼近方法的目的就是找到一个逼近多项式，使得它可以尽可能地接近原函数。
1.3 逼近点在进行数值逼近的过程中，逼近点的选择对逼近结果有很大的影响。
通常情况下，我们会选择一些离散的点，然后通过这些点来构造逼近多项式。
这些点通常称为逼近点，记为(xi, yi)。
1.4 逼近方法数值逼近的方法有很多种，常见的包括插值法、最小二乘法、迭代法等。
这些方法各有特点，适用于不同的逼近问题。
在接下来的篇幅中，我将详细介绍这些方法的原理和应用。
二、插值法2.1 基本概念插值法是数值逼近中常用的一种方法，它的基本思想是通过已知的数据点来构造一个插值多项式，然后用这个多项式来逼近原函数。
插值法的优点是可以通过已知的数据点来精确地确定逼近多项式。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种通过拉格朗日基函数来构造插值多项式的方法。
假设给定n+1个互不相同的插值点(xi, yi)，我们要求一个n次多项式Pn(x)，满足条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)。
那么Pn(x)的表达式为：\[Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+...+ynLn(x)\]其中Li(x)为拉格朗日基函数，表达式为：\[Li(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-xi}{xi-xj}\]拉格朗日插值法的优点是简单易懂，容易编程实现。
《数值逼近》教学大纲
《数值逼近》教学大纲第一篇：《数值逼近》教学大纲《数值逼近》教学大纲（课程编号520271）（学分3.5，学时56）一、课程的性质和任务本课程是信息与计算科学专业的专业大类课。
函数逼近论研究函数的各类逼近性质，是计算数学和其它科学工程计算中诸多数值方法的理论基础。
本课程除了介绍几类古典的函数逼近理论和方法之外，还介绍了现代逼近理论中样条函数、曲线与曲面拟合等方面的理论与技巧。
在介绍上述内容的同时，安排学生上机实习，使学生能够更深刻地理解与掌握逼近论的基本理论与方法，达到理论与实践相结合的目的。
二、课程内容、基本要求 Weierstrass 定理与线性算子逼近掌握 Weierstrass 第一定理、第二定理，了解算子逼近理论。
一致逼近掌握函数一致逼近理论中的Borel 存在定理、最佳逼近定理，熟练掌握Tchebyshev 最小零偏差多项式，了解三角多项式逼近理论和代数多项式逼近理论中的 Jackson 型和 Bernstein 型定理。
多项式插值方法熟练掌握 Lagrange 插值公式、Newton 插值公式、Hermite 插值，等距节点插值与差分，插值余项估计等。
平方逼近理论掌握最小二乘法、最佳平方逼近理论，空间中的直交函数系与广义Fourier 级数、直交函数系的构造方法、直交多项式的一般性质，了解直交多项式级数的收敛性、几种特殊的直交多项式。
数值积分掌握Newton-Cotes 公式、Romberg 方法，熟练掌握代数精度法构造求积公式，熟练掌握Gauss 型求积理论，了解Euler-Maclaurin 公式，三角精度与周期函数的求积公式、奇异积分的计算等内容。
样条逼近方法掌握样条函数及其基本性质、B-样条及其性质、三次样条插值。
曲线、曲面的生成和逼近了解微分几何中的曲线、曲面论，掌握数据处理、累加弦长法、参数样条曲线、Bezier 方法、B-样条方法等曲线与曲面设计方法。
三、课程的教学环节课内 56 学时，课外 12 学时（学生自行上机完成数值实习作业）。
王仁宏老师的《数值逼近》6
第七章样条逼近方法教学目的及要求：掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。
借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一点附近的性质足以决定它的整体性质。
然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。
亦即在不同区域中，它们的性状可以完全不相关。
另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有n 个插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式，它可能有n-3个拐点。
这对于比较平滑的函数来说就不是那么理想了。
本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某中连接性质。
因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了相对独立的局部性质。
数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。
§1. 样条函数及其基本性质设给定一组结点∞=<<<<=∞-+110N N x x x x （1.1） 又设分段函数S(x)满足条件： 1．于每个区间[]),,0(,1N j x x j j =+上，S(x)是一个次数不超过n 的实系数代数多项式；2．S(x)于),(∞-∞上具有一直到n-1阶的连续导数。
则称)(x S y =为n 次样条函数。
常把以（1.1）为结点的n 次样条函数的总体记为N N n x x x x x S ,,.),,(121 称为样条结点。
一个（奇次）2n-1次样条函数)(x S y =，如果起在区间),[],(1∞-∞N x x 与上的表达式都是n-1次多项式（并不要求该两个n-1次多项式相同），则特别称之为2n-1次的自然样条函数。
以（1.1）为结点的2n-1次自然样条函数的总体记为.),,(2112N n x x x N -显然.),,(),,(21122112N n N n x x x S x x x N --⊂ （1.2） 下面来给出样条函数类),,(2112N n x x x S -中任一样条函数的一般表达式。
数值逼近
第一章 Weierstrass 定理与线性算子逼近教学目的及要求：要求掌握基本Weierstrass 第一定理、Weierstrass 第二定理、线性正算子与Korovkin 定理如所知，逼近的目的，是用简单的函数来逼近复杂的函数.本章讲述用多项式序列逼近有界闭区间上连续函数的可行性.§１．Weierstrass 第一定理在实变函数的数学分析中，最重要的函数类实连续函数类[]b a C ,与连续的周期函数类π2C .[]b a C ,是定义在某一闭区间[]b a ,上的一切连续函数所成的集合；π2C 是定义在整个实轴()∞∞-,上的以π2为周期的连续函数全体所成的整体.定理1（Weierstrass ） 设()∈x f []b a C ,，那么对于任意给定的0>ε，都存在这样的多项式()x P ,使得()()ε<-≤≤x f x P bx a m ax关于这个著名的定理，现在已有好多个不同的证法，下面介绍Bernstein 的构造证法.Bernstein 证法：不妨假定函数的定义区间是[]b a ,[]1,0≡.事实上,通过如下的线性代换:()a x a b t +-=,就能将x 的区间10≤≤x 变换成t 的区间b t a ≤≤.同时,显而易见,x 的多项式将变成t 的多项式, x 的连续函数将变成t 的连续函数. 因此只须就连读函数类[]b a C ,来证明Weiersrtass 定理就行了,对于给定的()∈x f []1,0C ,作如下的一串多项式()⋅⋅⋅=,3,2,1n ：()()kn k nk x x k nn k f x B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑10ｆｎ， （1.1） 显然()x B ｆｎ是一个n 次多项式.下面我们要证明极限关系式()()x f x B n =∞→ｆｎlim 换句话说, Weierstrass 定理中提及的()x P ,只要取()x B ｆｎ(其中N n ≥)就可以了.为了证明上述命题, 需要用到一个初等恒等式:()()()x nx x k n k nx kn k nk x -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑112（1.1） 这个恒等式式容易验证的. 事实上, 由于()()[]1101≡-+≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-=-n nk k n k x x k n x x ,可知 左端 =()()x x kx n kn k nk k n nkx -∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+102222=x n 22+()()x x x xk k n n k kkn knk k n k nx k n +∑-∑-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛110022=x n22+()()x x kn knk k n k k -∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101+()()∑-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+nk kn kx xk n k nx 0121=xn 22+()()()nx nx k n n n k x xk n k nk 212211222-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----∑--==x n22+()x n n 21-+()nx nx 21- =右端.对于[]1,0中的每一固定的x 及任一固定的正整数n , 令()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k f x f x n max ε,上式右端代表当k 取所有合乎条件⎪⎭⎫ ⎝⎛<-n x n k 141 的正整数式所得的最大差数. 根据()x f 在[]1,0上的一致连续性, 可见必存在一串0>εn , 使得()x n ε<εn 0↓ ()∞→n记()()()()()()x n k f x f x n k f x f x x f k n k n B λλ,'','⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑ｆｎ, 其中∑'与∑"分别表示对满足如下条件的一切k 所取的和：n nx k 43<- ，n nx k 43≥-；而()()x x k n k k n k nx --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,λ． 令()x f M max =,则显然有()()()()()x M x M x x x f k n n k n k n n B λελλε,",",'22∑∑∑+<+<-ｆｎ，而且利用已经验证过的恒等式()2.1可知()()()()4,02,"23nx nx x x kn nk k n nx k n ≤=≤∑-∑=λλ． 因此，()21,"141⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑n x kn λ，()()x x f Bｆｎ-＜εn ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛n M．注意上列不等式的右端与x 无关, 而且随着x 的无限增大而趋向0.这就证明了多项式序列()x B ｆｎ对于()x f 的一致连续性.W eierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数来表示连续函数的问题.因此任意取定一个单调下降于0的数列δn , 则对每个δn 都可以找到一个多项式()x P n 使得#()()δnn x f x P <-. 于是令()()x x P Q 11=，()()(),1x x x P P Q n n n --= 1>n ，可知级数()x n n Q ∑∞=1的前n 项之和恰好与()x P n 相合, 因而该级数也就一致的收敛于()x f .在Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列()x P n 的存在性, 而且还给出了构造()x P n 的一个具体方法. 事实上,()x B ｆｎ()⋅⋅⋅=,3,2,1n 便构成了连续函数()()10≤≤x x f 的一个近似多项式序列.这样的证法通常称之为构造性的证明方法, 它要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更有价值.§２．Weierstrass 第二定理周期连续函数(不妨假定周期为#)的最简单逼近工具式如下三角多项式()()∑=++=nk k k kx kx A x T b a 1sin cos ．如果其中的系数a k 和b k 不全为0,则称()x T 为n 阶三角多项式. 相应Weierstrass 第一定理, 有如下的定理1 (Weierstrass 第二定理) 设()C x f π2∈, 则对任意给定的0>ε,都有三角多项式()x T 存在, 使得()()εππ<-≤≤-x T x f x ma x （2.1）这个定理可以从Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接才用Vallee-Poussin 算子[]()()()dt x t t f n n x f V n n 2!!12!!221;cos 2--=⎰-πππ来证明, 其中()()()()()()133212!!1224222!!2⋅⋅⋅⋅--=-⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n ，． 作平移,显然有⎰⎰-=-=πππ0222cos 22cosdt t dt x t n nn I再做变换#,可算得上述积分为()()()⎰⎰---=--=10212110121112dv v v dv v v v n nn I＝()121212+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γn n ＝()()!!2!!122n n -π．从而()[]()()[]dt x t t f x f x f V x f n nn I 21;cos 2--=-⎰-ππ因为()C x f π2∈,所以()x f 一致连续.即对任意给定的0>ε,有0>δ存在,使得当δ<''-'x x 时,()()2ε<''-'x f x f ．今将()[]x f V x f n ;-分成两部分()[]()()[]dt x t t f x f x f V x f n x t n n I 21;cos 2--=-⎰<-δ+()()[]dt x t t f x f n x t n I 21cos 2--⎰≥-δ21C C += （2.2）以下估计1C 和2C≤1C ()()21221cos2εεδ=<--⎰≥-dt x tt f x f n x t n I ． （2.3）记()x f M x maxππ≤≤-=，12cos<=δq ，则≤1C ()()dt x tt f x f n x t n I 21cos 2--⎰≥-δ≤ πδ2212cos2⋅⋅⋅n nI M()()qn n n M 2!!12!!22-⋅= q nn M 24⋅⋅<．因此存在自然数N 使得当时N n >22ε<C（2.4）综合（2.2），（2.3）和（2.4），即可知Weierstrass 第二定理成立．§３．线性正算子与Korovkin 定理设()t x ,ϕ对集E 中每一个x , 在区间b t a ≤≤#上关于t 都连续, 则积分()()()()()()x g dt t f t x x x f L x f L ba ===⎰,;;ϕ （3.1） 对于每一在区间[]b a ,上连续的函数()x f 都确定了一个函数()()x f L x g ;=. 定义 1 设已知函数集F, 如果对于集F 中的每一函数()t f , 均有一个函数()()x f H x ;=ϕ与之对应,则说在函数集F 上定义了算子()()()x t f H x f H ;;=.定义2 称算子()x f H ;是线性的,如果随着()t f .与()t g .属于它的存在域,()()t bf t af +.(其中a 与b 为任意的实数)也属于它的存在域且成立如下等式:()()()x bH x f aH x b af H ;;;ϕϕ+=+.例1 由(3.1)式定义的算子()x f L ;.是线性的.事实上,由下列等式即可以推出算子()x f L ;.的线性性质:()()()()()dt t f t f t x x f f L ba 2121,;βαϕβα+=+⎰=()()()()dt t f t x dt t f t x ba b a 21,,⎰⎰+ϕβϕα=()()x f L x f L ;;21βα+.例2 设()x u 1，()x u 2，．．．()x u n 为定义于集E 上的函数.令()()()x t f x f H u k nk k ∑==1;，其中()t f .为在实数集1t ，2t ，．．．，n t 上有定义的函数.可以证明算子()x f H ;.是线性的. 事实上()()()()()x u t b t af x b af H k nk k k ∑=+=+1;ϕϕ.＝()()()()x u t b x u t f a k nk k k n k k ∑∑==+11ϕ＝()()x bH x f aH ;;ϕ+．定义 3 如果对于每一个正函数()t f .及E x ∈.,线性算子()x f L ;.满足条件:()0;≥x f L , 则称()x f L ;.为集E 上的线性正算子.显然,对于每一固定的值x ,线性算子()x f L ;.成为线性泛函数.因此,如果对于集E 中每一固定的值x ,线性泛函数均是正的,则线性算子()x f L ;.在集E 上是正的.例如,当()x u k ()n k ,...2,1=.在E 上为函数时,算子()()()∑==nk k k x u t f x f L 1;为集E 上的线性正算子.又如,若()t x ;ϕ.对集E 中每一固定的x 在区间[]b a ,上关于t 为连续的正函数,则算子()()()⎰=ba dt t f t x x f L ,;ϕ在集E 上是正的.还须指出的是,在线性算子()x f L ;中,变元f 的变元与x 不同,()()()x t f L x f L ;;=,在计算算子()x f L ;的值时,我们将x 当作常数(但为集E 中任意的),因此等式()()()()x L x f x x f L ;1;=成立,这是由于()x f 为常数(与t 无关).现在我们来研究线性正算子序列()x f L n ;.在区间[]b a ,上的一致收敛于函数()x f .的条件.这里的()x f 是[]b a ,上的连续函数,并且在整个实轴上有界.如在泛函数情形一样,我们将证明,序列()x f L k n ;在[]b a ,.上一致收敛于()k k x x f =()2,1,0=k 蕴含序列()x f L n ;.一致收敛于()x f .(如果()x f .满足上面指出的条件).下面将引进这一论断的一种证法,它是以闭区间上的连续函数必一致连续这个事实为基础的.先证明一个引理.引理 1 若函数()x f 在区间[]b a ,上连续,在点b 为右连续,在点a 为左连续,则对0>ε,有0>δ,使得当b x a x y ≤≤<-,δ时,恒成立不等式()()ε<-x f y f证明 令02'>=εε.根据函数()x f 在区间[]b a ,上的一致连续性可以求出这样的01>δ.,使得当b x a x y ≤≤<-,1δ时,有不等式()()'ε<-x f y f （3.2）由于函数()x f 在点a 连续(左连续是假定的,而右连续则是依函数在闭区间[]b a ,上的连续性得知),所以对0'>ε有02>δ,使得当2δ<-x y 时()()'ε<-a f y f （3.3）同理有03>δ,使得当3δ<-x y 时()()'ε<-b f y f （3.4）令取()321,,min δδδδ=.并证明,当b x a x y ≤≤<-,δ时,有()()εε=<-'2x f y f事实上,若x 与y 均属于区间[]b a ,,则后面的不等式由(3.2)推得.若a y <(当然x 必须属于区间[]b a ,),则a x a y x y -+-=-.,且由于δ<-x y ,所以δ<-a y ,δ<-a x 现在得到()()()()()()()()()()a f x f a f y f x f a f a f y f x f y f -+-≤-+-=-. 依(3.3)式不等式右边第一项小于'ε;而依(3.2)式第二项也小于'ε.从而()()εε=<-'2x f y f如此已证明当a y <.时引理为真,对于b y >得情况可以同样证明. 现在我们给出线性正算子序列的收敛性定理.定理 3(korovkin ) 设线性正算子序列()x f L n ;满足条件:(1) ()()x a x L n n +=1;1. (2) ()()x x x t L n n β+=;(3)()()x x x t L n n γ+=22;其中()x a n ,()x n β,()x n γ在区间[]b a ,上一致收敛于零;又设函数()t f 有界且在区间[]b a ,上连续,于点b 为右连续,于点a 为左连续.则在区间[]b a ,上序列()x f L n ;一致收敛于函数()t f . 证明 由于函数()t f 有界()()M t f M <<-#.,所以对一切x 与t 均成立不等式()()M x f t f M 22<-<- (3.5)其次,依引理1,对于0>ε有0>ε使得,当b x a ≤≤,δ<-x t 时,成立不等式()()εε<-<-x f t f (3.6)假定()()2x t t -=ψ(x 为区间[]b a ,上的任意一点,且一经取好就固定了),由(3.5)、(3.6)式不难得到()()()()t Mx f t f t Mψδεψδε2222+<-<--.由此再依算子()x f L n ;的线性性质与单调性(其中x 为固定的,因而()x f #.为常数)()()()()()x x f L x f L x L Mx L n n n n ;;;2;12-≤--ψδε. (3.7)=()()()()()x L Mx L x L x f x f L n n n n ;2;1;1;2ψδε+≤- (3.8)现在我们可以断定, ()x L n ;ψ在区间[]b a ,一致收敛于零.事实上,由定理的条件与算子()x f L n ;的线性性质推出()()x x tx t L x L n n ;2;22+-=ψ=()()()x L x x t xL x t L n n n ;1;2;22+-=()()()()()x a x x x x x x n n n +++-+1222βγ =()()()x a x x x x n n n 22+-βγ =()x n δ;其中()x n δ在区间[]b a ,上一致收敛于零.考虑到这一点及定理中第一个条件,便可断言不等式(3.8)右边在区间[]b a ,上一致收敛于ε,而左边一致收敛于ε-据此可以求出这样的序标N ε,使得当N n >,b x a ≤≤时,成立不等式()()()εε<-<-x L x f x f L n n ;1;最后,依ε的任意性,序列()()()x L x f x f L n n ;1;-在区间[]b a ,上一致收敛于零,从而再依定理中第一各条件便可断言序列()x f L n ;在区间[]b a ,上一致收敛于零()x f .定理4(Korovkin) 设线性正算子序列()x f L n ;满足条件: (1) ()()x a x L n n +=1;1. (2) ()()x x x t L n n β+=cos ;cos (3) ()()x x x t L n n γ+=sin ;sin其中()x a n ,()x n β,()x n γ在区间[]b a ,.上一致收敛与零;又设函数()t f .有界且具有周期π2,在区间[]b a ,上连续,于点b 右连续,于点a 左连续.在上述条件下,序列()x f L n ;在[]b a ,上一致收敛于()x f证明 对于对于函数()x f ,定理3的条件满足,由此不等式(3.5)与(3.6)成立,其中第一个适于一切x 与t 的值,而第二个为一下条件所约束:b x a ≤≤,δ<-x t .对固定的x (b x a ≤≤),依这些不等式,类似定理3中(3.7)式的证明,可得()()()()t M x f t f t M ψδεψδε2sin 22sin 222+<-<-- (3.9)其中 ()2s i n2xt t -=ψ,b x a ≤≤,∞≤≤∞-x 由不等式(3.9)得到()()()()()x L x f x f L x L M x L n n n n ;1;;2sin2;1-≤--ψδε ()()x L M x L n n ;2s i n2;12ψδε+≤. (3.10)但是()()t x t x t sin sin cos cos 121--=ψ. 于是 ()(){()()}x t L x x t xL x L x L n n n n ;sin sin ;cos cos ;121;--=ψ.(){()()}x x x x x x x nn n 322sin sin cos cos 121γβα----+= (){()()}x x x x x nn n sin cos 212γβα--==()x n δ 其中()x n δ于区间[]b a ,上一致收敛于零.依上述等式及定理条件可推出,不等式(3.10)右边在区间[]b a ,上一致收敛于ε,而左边一致收敛于ε-.因此有εN ,使得当N n >,b x a ≤≤时,有不等式()()()εε2;1;2<-<-x L x f x f L n n由此可以推出.()()()()x x L x f x f L n n n λ=-;1;,其中()x n λ在区间[]b a ,上一致收敛于零.从而依据定理条件得到()()()()(){}1;1;-+=-x L x f x x f x f L n n n λ=()()()()x v x x f x n n n =+αλ其中()x v n 在区间[]b a ,上一致收敛于零,于是序列()x L n ;ψ在这个区间上一致收敛于函数()x f .注记 请注意,在定理3与定理4的证明过程中我们已经指明,如果序列()x L n ;1在区间[]b a ,上一致收敛于1,而序列()x L n ;ψ (在定理3中, ()()2x t t -=ψ;在定理4中, ()2sin 2xt t -=ψ)在这区间上一致收敛于零,那么这些定理是正确的. 验证在所述诸定理中指出的这两个条件,而非三个条件,在多数情形下是较易实现的.下面研究特殊的算子序列的一致收敛性. 引理2 设函数()x ϕ满足条件:(1) ()x ϕ在区间[]c c ,-,0>c 上连续,(1) ()1=x ϕ;当0≠x , []c c x ,-∈时, ()10<≤x ϕ.若令c <≤δ0固定,()dx x I cc n n ⎰-=ϕ及()()dx x I n n ⎰-=δδϕδ则()1lim =∞→nn n I I δ 证明 我们有()()()()dx x dx x dx x dx x I cn n c n cc n n ⎰⎰⎰⎰++==----δδδδϕϕϕϕ＝()()()δϕϕδδn cn c n I dx x dx x ++⎰⎰-- (3.11) 由于函数()x ϕ在区间[]δ--,c 上连续,可设()x q cx c ϕmax 1≤≤-=#..由引理条件(2)推出101<<q ,同理()1max 2<=≤≤x q cx ϕδ．令(){}21,max q q q q ==δ,则在集[]δ--,c 和[]c ,δ上函数()x ϕ满足不等式()()10<=≤≤δϕq q x据此有()()()()n n n cn c n cq c q c q dx x dx x 20<-+-<+≤⎰⎰--δδϕϕδδ． (3.12)现在来估计()δn I 依()x ϕ在点0=x #.处的连续性及()1=o ϕ.,对于021>-=qε有01>δ（δδ<1）.使得,当1δ<x 时,有 ()q q q x >=+=->~211εϕ 由此再依函数()x ϕ.的正性,得到()()n n n n qdx x dx x I ~2111⎰⎰-->≥=δδδδδϕϕ (3.13) 由(3.11)与(3.12)推出()()n n n n cq I I I 2+<≤δδ把这些不等式各部分除以()δn I .并注意到不等式(3.13),得到()()nn n n n n nq q q c q c cq I cq I I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+<+<≤~1~2212111δδ (3.14) 由于q q>~,所以上面的不等式的右边趋于1,由此便证明了引理. 定理5 设函数()x ϕ满足引理2的条件且()dx x I cc n n ⎰-=ϕ又设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则算子序列()()()dt x t t f I x f L nba nn -=⎰ϕ1;（c a b ≤-≤0） 在区间[]δδ-+b a ,（0>δ）上一致收敛于函数()x f证明：依定理4的注记，要证明定理只需验证，在区间[]δδ-+b a ,上序列()x L n ;1一致收敛于1,且序列()x L n ;ψ一致收敛于零,此处()()2x t t -=ψ. 我们有 ()()dt x t I x L n bann -=⎰ϕ1;1.令x t z -=,则得()()dz z I x L xb x a nnn ⎰--=ϕ1;1 我们指出, δδ-≤≤+b x a .,故()()c c a b b a x a ->-≥--=--≥-δδδ ()δδ-=+-≤-a a x a ()δδ=--≥-b b x b()()c c a b a b x b <-≤--=+-≤-δδδ 由此再依函数()x ϕ的正性有()()()()n cc n xb x a n n n I dz z dz z dz z I =≤≤=⎰⎰⎰----ϕϕϕδδδ.()()()1;1≤=≤⎰--x L dz z I I n x b x a nnn ϕδ 又依引理2,上述最后的不等式的左边趋于1,因此若εN n >,0>ε,δδ-≤≤+b x a ,则有不等式()1;11≤<-x L n ε，()01;1≤-<-x L n ε这就验明了序列()x L n ;1在区间[]δδ-+b a ,上一致收敛于零.剩下的是要验证序列()x L n ;ψ在这一区间上一致收敛于零，其中()()2x t t -=ψ,我们有()()()dt x t x t I x L nba nn --=<⎰ϕψ21;0 ()dz z z I x b xa nn⎰--=ϕ21由于c x a -≥-,而c x b ≤-.且函数()x ϕ#.在区间#[]c c ,-上是正的,所以()()dt x t zI x L n cc nn -≤<⎰-ϕψ21;0=(){()dz z z dz z z I n c a n a c n ϕϕ⎰⎰+--221()dz z zI n aa nϕ⎰-+21在第一与第二积分号下22c z ≤,而在第三积分号下22a z ≤.因而()(){()}()⎰⎰⎰---++<<aa nnca na cn nn dz z I a dz z dz z I c x I ϕϕϕψ22;0依不等式(3.12)得到()()a I I a I cq c x L n n nn n n +⋅<<2;02ψ (3.14)现在设0>ε及22ε=a ..依引理2,不等式(3.15)右边第二项有极限数22ε=a 而依不等式(3.14),第一项趋于零.因而成立不等式()εψ<<x L n ;0如果εN n >,b x a ≤≤.从而推得,序列()x L n ;ψ在区间b x a ≤≤上一致收敛于零,定理得证.采用Korovkin 定理和上述定理,可证明许多算子的收敛性质.例如Bernstein 算子,Landau 算子,Weierstrass 算子,Jackson 算子,以及Kontrovitch 算子等的相应收敛性均可由它们验证.第二章 一致逼近教学目的及要求：要求掌握一致逼近定理、收敛速度估计、函数的构造性理论、代数多项式逼近理论中的有关结果。
函数的数值逼近
即Rn (x) 0 右端,定理成立。
(2) 若 x [a,b], 且 x xi (i 0, 1, ..., n),
Rn (xi) 0 (i 0,1,..., n),
可设 Rn(x) k(x)(x x0 )(x x1)......(x xn )
d dx
[l0 ( x) y0
l1( x) y1
l2 (x) y2 ]
0
l0 (x)
2x (x1 (x0 x1)(x0
x2 ) x2
)
,
l1( x)
2x (x0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2
)
,
l2 (x)
2x (x0 (x2 x0 )(x2
a0 a1xn
an x0n y0 an x1n y1
an xnn yn
(2)
8
其系数行列式 ：
1 x0 | A | 1 x1
1 xn
x0n x1n (xi x j ) 0
ni j0
xnn
点是互异的
为范德蒙行列式。只要插值节点互不相同，则系数矩阵非 奇异。故方程组解存在且唯一。
x1 ) x1)
极值点近似计算公式
x* 1 (x22 x12 ) y0 (x22 x02 ) y1 (x12 x02 ) y2 2 (x2 x1) y0 (x2 x0 ) y1 (x1 x0 ) y2
16
二、Lagrange 多项式插值(n次)
求通过n & 0,1, , n
(1)
成立，则称
P( x )为 f (x) 的插值函数 点 x0 , x1, ⋯, xn 为插值节点 (1)式为插值条件 f ( x ) 为被插函数 [a , b] 为插值区间
函数的数值逼近
函数的数值逼近用比较简单的函数代替复杂的函数,是函数逼近。
函数最佳逼近,即不满足插值条件而整体具有好的逼近效果的函数拟合方法。
下面先讨论函数的数值逼近的基本理论与方法，例如最佳平方逼近函数的存在性、惟一性以及最佳平方逼近函数的求法。
最后讨论曲线拟合的最小二乘解问题。
1、 预备知识1.1正交多项式的概念及几个重要性质定义1.1 设有C [a,b]中的函数组,),(,),(),(10 x x x n ΦΦΦ若满足{)1.1()()()(),(,0,⎰≠=>=ΦΦ=ΦΦbak j k j A k j k j k dx x x x ρ其中)(x ρ为权函数,则称此函数组为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交函数组,其中k A 为常数,若k A =1,称该函数组是标准正交的.定理1.1 设函数组{}∞=Φ0)(k k x 正交,则它们一定线性无关.证 设),,2,1()(n i x i =Φ为{}∞=Φ0)(k k x 中任意n 个函数,令,0)()()(2211=Φ++Φ+Φx C x C x C n n 上式两边与)(x k Φ作内积,由内积的性质和正交性有 ).,,2,1(0),(n k C k k k ==ΦΦ因为,0),(≠ΦΦk k 故有),,2,1(0n k C k==.得证.定理1.2 设{}],,[)(0b a C x nk k ∈Φ=它们线性无关的充分必要条件是其Gram 行列式,0≠n G 其中)2.1(),(),(),(),(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n n G ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ=证 我们主要在实内积空间讨论问题.由内积的定义可知),,(),(k j j k ΦΦ=ΦΦ故n G 对应的矩阵是对称矩阵.考虑以n a a a ,,,10 为未知元的线性方程组∑===ΦΦnk k j kn j a)3.1().,,1,0(0),(其系数行列式为n G .由线性代数知识知道：式（1.3）仅有零解),,1,0(0n k a k ==的充要条件是,0≠n G充分性 设,0≠n G 要证明{}n k k x 0)(=Φ线性无关. 作线性组合∑==Φnk kk a 0,0显然有∑∑∑=====ΦΦ=ΦΦ=ΦΦnk nk nk k j k j k k j k k n j a a a 0).,,1,0(0),(),(),(这表明),,1,0(n k a k =满足式(1.3).又因,0≠n G 故有),,1,0(0n k a k ==,按线性无关的定义知{}nk k x 0)(=Φ线性无关.必要性 设{}nk k x 0)(=Φ线性无关.要证明.0≠n G设),,1,0(n k a k =满足式(1.3).即 ∑===ΦΦnk k j kn j a).,,1,0(0),(则有 ∑∑====ΦΦ=ΦΦnk j k k nk j k kn j a a),,,1,0(0),(),(从而有 .0),(0∑∑===ΦΦnk nk kkkka a由上式可知.00∑==Φnk kk a由于{}nk k x 0)(=Φ线性无关,则有),,1,0(0n k a k ==,即齐次线性方程组(1.3)仅有零解,故.0≠n G定义1.2 给定区间[a,b]和对应的权函数)(x ρ及多项式序列∑===kj jjk k x ax g 0),,2,1,0()(其中首项系数,0≠k a 若满足{)9.1()()()(),(,0,⎰≠=>==ba k j k j A k j k j k dx x g x g x g g ρ则称之为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交多项式序列, )(x g k 称为k 次正交多项式. 没说明时,认为权函数)(x ρ≡1.2、最佳平方逼近2.1 最佳平方逼近函数的概念定义2.1 设],[)(b a C x f ∈及],[b a C 中的子集},,,,{10n span ΦΦΦ=Γ 其中n ΦΦΦ,,,10 线性无关. 若存在Γ∈*)(x S 使得)1.2()]()()[(min ||)()(||min ||)()(||22222⎰-=-=-Γ∈Γ∈*ba S S dxx S x f x x S x f x S x f ρ 成立,则称)(x S *为f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数.特别地,当},,,,1{nx x span =Γ满足式(2.1)的Γ∈*)(x S n 称为f(x)的n 次最佳平方逼近多项式,简称n 次最佳平方逼近.2.2 最佳平方逼近函数的求法定理 2.1 对于任意的函数],[)(b a C x f ∈,其在Γ中的最佳平方逼近函数)(x S *是存在且唯一的.证 Γ中的函数形如∑=Φ=nj jj x a x S 0),()(由式(2.1)可知,求f(x)的最佳平方逼近函数等价于求多元函数∑⎰=Φ-=nj j j ban dxx a x f x a a a I 0210)2.2()]()()[(),,,(ρ的最小值问题.由极值存在的必要条件有)3.2(),,,1,0(0n k a Ik==∂∂积分与求导交换次序有: ∑⎰==Φ-Φ-nj k j j badx x x a x f x 0.0))()](()()[(2ρ故∑⎰===ΦΦ-nj k j j ban k dx x x a x f x 0)4.2(),,,1,0(0)()]()()[( ρ∑⎰⎰=Φ=ΦΦnj babak j k j dx x x f x dx x x x a 0.)()()()()()(ρρ所以∑==Φ=ΦΦnj k j j kn k f a 0)5.2().,,1,0(),(),(这是以n a a a ,,10为未知元的线性方程组,因为n ΦΦΦ,,,10 线性无关,其系数行列式,0≠n G 故式(2.5)有唯一解.设其解为),,,1,0(n i a i =*则∑=**Φ=ni iia x S 0)6.2(.)(下面证明)(x S *满足式(2.1).即需证明,)(Γ∈∀x S⎰⎰-≤-*babadx x S x f x dx x S x f x 22)]()()[()]()()[(ρρ成立.为此只需证明 ⎰⎰≥---=*babax S x f x dx x S x f x D .0)]()()[()]()()[(22ρρ由于⎰⎰*-=b abadxx S x dx x S x D 22)]()[()]()[(ρρdx x S x f x dx x S x f x bab a⎰⎰*+-)()()(2)()()(2ρρ⎰*-=badx x S x S x 2)]()()[(ρ⎰**--+badx x S x f x S x S x ,)]()()][()()[(2ρ由于,)()(Γ∈-*x S x S 由(2.4)知上式第二项为零. 故 .0)]()()[(2⎰≥-=*badx x S x S x D ρ这表明)(x S *为f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数.由于式(2.5)的解),,,1,0(n i a i =*存在且唯一,所以f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数)(x S *存在且唯一. 最佳平方逼近函数的误差由式(2.4)知 22||)()(||x S x f *-),(),(),(),(f S f S S f f S f S f S f ******-=---=--= ),(||||),(),(022∑=**-=-=nk k k f a f f S f f φ)7.2(.),(||||022∑=*-=k k k f af φ例 2.1 求函数x e x f =)(在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式)(1x S *,并计算22||)()(||x S x f *-.解 设,)(101x a a x S +=*1,1)(,,1},,1{10===Φ=Φ=Γn x x x span ρ，由式（2.5）知⎩⎨⎧Φ=ΦΦ+ΦΦΦ=ΦΦ+ΦΦ),(),(),(),(),(),(11110010110000f a a f a a ⎰==ΦΦ1000,11),(dx⎰==ΦΦ=ΦΦ10110,21),(),(xdx ⎰⎰-==Φ==ΦΦ10010211,1),(,31),(e dx e f dx x x ⎰==Φ11,1),(dx xe f x所以 ,11312121110⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡e a a⎩⎨⎧-=-=.618,10410e a e a 故.)618(104)(1x e e x S -+-=*由式(2.7)知22||)()(||x S x f *-=∑=-=122),(||||k k k f a f φ.1094.3)618()1)(104(132⎰-⨯=-----=e e e dx e x 3、用正交多项式作函数的最佳平方逼近设},,,,{10n span ϕϕϕ =Γ{}ni i 0=ϕ在[a,b]上带权)(x ρ正交。
计算数学中的数值逼近方法
计算数学中的数值逼近方法数学是一门严谨而又深奥的学科，其中的数值逼近方法在科学计算和工程应用中发挥着重要的作用。
本文将探讨计算数学中的数值逼近方法，并介绍其中几种常见的方法。
一、插值法插值法是数值逼近方法中最常用的一种方法。
它的基本思想是通过已知数据点之间的连线来估计未知数据点的值。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法通过一个多项式来逼近已知数据点的函数关系。
牛顿插值法则通过使用差商来构造一个多项式逼近函数。
这两种方法都能够较好地逼近已知数据点的函数曲线，但也存在一定的局限性。
二、数值微分法数值微分法是通过有限差分逼近导数的方法。
常见的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分法。
前向差分法是通过对函数在某一点之前的两个点进行差商计算来逼近导数的值。
后向差分法则是通过对函数在某一点之后的两个点进行差商计算。
中心差分法是综合前两种方法，通过对函数在某一点两侧的点进行差商计算。
三、数值积分法数值积分法是通过数值逼近求解定积分的方法。
常见的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法是通过将定积分区间划分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和来逼近定积分的值。
梯形法则是通过将定积分区间划分为若干个小梯形，然后计算这些小梯形的面积之和来逼近定积分的值。
辛普森法通过将定积分区间划分为若干个小曲线梯形，在每个小曲线梯形上使用二次多项式来逼近函数，然后计算曲线梯形的面积之和来逼近定积分的值。
四、数值方程求解方法数值方程求解方法是通过数值逼近求解非线性方程的方法。
常见的数值方程求解方法有二分法和牛顿法。
二分法是通过将非线性方程的解所在的区间不断二分，然后根据函数值的变化确定解的位置。
牛顿法则是通过使用切线来逼近非线性方程的解。
这两种方法在实际应用中具有较高的可靠性和效率。
结语数值逼近方法在计算数学中应用广泛，能够解决许多实际问题。
本文介绍了插值法、数值微分法、数值积分法和数值方程求解方法等常见的数值逼近方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈数值逼近摘要：本文简要的谈论了数值逼近思想中的极限思想，二分逼近思想及逐次逼近思想，同时说明了它在生活中的一些运用.关键词：数值逼近；极限；二分逼近；逐次逼近1引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法 ,它不完全等同于近似，它是一个过程.它遵循着这样一个简朴实用的原则：以简御繁以“已知 ”去研讨“未知” .逼近无论在理论上还是在实践中都有重要的意义.但逼近的思想和方法在某些方面还没达到成熟，一些领域如倒数逼近尚需进一步的探索.在此，我对逼近理论中一些较成熟的方法及其运用做了一个初步的探索.作为一个分析论证方法 ,逼近法是简朴实用原则的具体化 、数量化.他的应用是广泛而多样的.现在来介绍它在数值逼近方面的一些运用. 2数值逼近思想在极限中的运用定义2.1：当n 趋于∞时，若n a 逼近于一个定数a ，则{}n a 的极限等于a . 数列{}n a 以a 为极限 ,其意即为用12,,............n a a a 去逐步逼近常数a . 下面介绍一个典型的由两侧逼近求数列极限的例子.例1：（两边加逼定理）设0lim ()lim ()x x xx f x g x A ==，且在某0'0(;)x d 有()()()f x h x g x ≤≤ (1.1)则0lim ().x x h x A ®=证明：按假设，0,e ">分别$正数1d 和2d ，..s t 当010||x x δ<-<时有(),A f x e -< (1.2)当020||x x δ<-<时有().g x A e <+(1.3)令'12m in{,,},d d d d =则当00||x x d <-<时，不等式（1.1），（1.2），（1.3）同时成立，故有()()()A f x h x g x A e e-<＃<+由此得|()|,h x A e -<所以0lim ().x x h x A ®=例2：求1lim.1nn xdx x+ò解：当01x ≤≤时，0,1nnxx x＃+所以1110.11nnxdxx dx xn ＃=++蝌由夹逼原理可得1lim0.1nx xdx x=+ò3二分逼近法二分逼近法在对定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质P 的实数 ,则可从一个具有相应性质*P 的闭区间出发 ,逐次二等分 ,得到一个始终保持*P 的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列 ,将具有性质P 的实数“夹逼 ”出来 ,而实数的连续性则确保了此数的存在 ,使这种逼近不至于“逼 ”空 .现将二分逼近法典型证明方式说明于下：3.1确定一个闭区间11[,]A B 使其具有某一性质*P （*P 由性质P 而定）. 3.2将11[,]A B 等分成111[,]2A B A +与111[,]2A B B +，则至少有一个区间保持性质*P ，将保持*P 的区间定为22[,]A B .3.3逐次二等分得到闭区间列{[,]}m m A B ,则所有的闭区间都具有性质*P ,且1221..................mmA A AB B B ＃＃＃＃，（亦可写成 （1,12,23,3,[][][]......[]......m m A B A B A B A B 缮缮 ）从而得到左右夹逼数列{}m A 与{}m B 满足111lim ()lim()02m m mm m B A B A-=-=.3.4由实数的连续性得到实数k ,属于所有的闭区间 ,数k 满足 3.4.1具有性质P .这是由于k 属于所有的闭区间 ,被{}m A 与{}m B 左右夹逼,不妨形象地表示为:()m m A kB m.因而, k 的任意小的邻域内(,)k k e e -+都包含[,]m m A B (m 足够大),于是(,)k k e e -+具有性质*P ,故k 具有性质P .3.4.2 k 是唯一的.事实上 ,若k 不唯一 ,设k 'k ¹,且满足()m m A k B m,则对任何,m k <',m m B k A >,得到'mm k k B A -?，而lim ()0m m m B A-=，故'k k =.即唯一 .以下我们通过实例证明一为体会二分逼近法的思想及应用 .例3：设在[,]a b 上连续的单调递增函数()f x 满足()f a a <,()f b b >,则存在(,)c a b ∈,使()f c c =.证明：令1,1a A b B ==，将11[,]A B 二等分，分点112A B +，若f (112A B +)=112A B +,则命题结论成立 .否则，若f (112A B +)>112A B +,则取111[,]2A B B +=22[,]A B ，若f (112A B +)<112A B +，则取111[,]2A B A +=22[,]A B .逐次二等分区间.一般地对[,]m m A B ，若f (2m mA B +)=2m mA B +,则命题结论成立，否则 , 若f (2m mA B +)>2m mA B +,则取[2m mA B +，m B ]=11[,]m m A B ++.若f (2m mA B +)<2m mA B +,则取[m A ,2m mA B +]=11[,]m m A B ++.从而得到两个夹逼数列{}m A 与{}m B 满足： (3.1)1221..................mmA A AB B B ＃＃＃＃且lim ()0m m m B A-=.（3.2）()m m f A A >,()m m f B B <.于是可知 ,存在实数c 使()m m A cB m由于()f x 单增 ,所以()()()m m f A f c f B ≤≤即()()()m m m m A f A f c f B B <≤≤<令m，()f c c =.上述证明中 ,所求的数c 具有的性质P : ()f c c =,而构造的闭区间列{[,]m m A B }的性质*P 则确定为()m m f A A >,()m m f B B <,从而得到夹逼数列{}m A 与{}m B . 将c “逼 出” .在不同问题的论证中性质P 与相应的*P 是具体的 ,不同的 ,必须紧扣实际加以明确 ,这是正确应用二分逼近法的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具 ，是逼近法的最简明的形式之一 ,它在生活中有着非常广泛的运用,下面来看一个简单的实例，以体会二分逼近法给我们的生活带来的诸多便利.中央电视台“幸运52”栏目曾有一项活动：主持人李咏拿出一件物品，让参赛者猜这件物品的价格，若选手猜对，则将这件物品作为奖品奖励给这位选手.若选手想要在规定时间内拿到较多的奖品，应制定怎样的策略，才能实现自己的目标呢？ 实际上,选手根据对某一件物品的了解程度，首先可判断出该物品的价格在某一范围内，然后再进一步猜出该物品的价格.在知道该物品的价格在某一范围内，如在a 元与b 元之（不含a 、b ，且为整数，为便于讨论,假设物品的价格数为整数，单位为元），那么应该怎样猜才能比较快地拿到奖品呢？在整数a 与b 之间，共有1b a N --=个整数，若是对这几个数一个一个地猜，设猜了k 次能猜中的概率为k P , 则1P 1/N =，2111111(1)2/,......,(1)/1k K P P P N P P P k NN N k-=+-⨯==+-⨯=--若要有80% 以上的把握猜对的话，则猜的次数应不少于[80%N ].显然这样要拿到奖品是比较困难的.但运用二分法逼近猜测，则情况大不相同. 二分法逼近猜测的方法如下： 3.1 首先取1[]2a b ξ+=，若1ξ恰好是该物品的价格ξ元，则取1ξ=ξ即为所求.3.2 若1ξξ≠3.2.1 当a 与b 之间的整数个数为21()N n n N +=-∈时，则2b a n =+，取 3.2.1.1当1ξ＜ξ时，令1a =1ξ,1b =b ,则有1a ＜ξ＜1b ，且1a 与1b 之间的整数个数为1N =1b -1a -1=(2)()11a n a n n +-+-=-=1[][]22b a N --=；3.2.1.2当1ξ＞ξ时，令1a =a , 1b =1ξ ,则有1a ＜ξ＜1b 且在1a 与1b 之间的整数个数为1N =1b -1a -1=()11a n a n +--=-=]2[]21[N a b =--.3.2.2 当a 与b 之间的整数个数为2()N n n N +=∈时， 则21b a n =++， 取n a n a b a +=++=+=]21[]2[1ξ，3.2.2.1 当1ξ＜ξ时，令1a =1ξ,1b =b ,则有1a ＜ξ＜ 1b ，且1a 与1b 之间的整数个数为1N =1b -1a -1=(2)()1a n a n n +-+-== ]2[]21[N a b =--；3.2.2.2 当1ξ ＞ξ时,令1a =a , 1b =1ξ,则有1a ＜ξ＜1b 且在1a 与1b 之间的整数个数为1N =1b -1a -1=(a+n)-a-1=n-1< n = ]2[]21[N a b =--.综上所述，当1ξ ≠ξ时，可得到1a ＜ξ＜1b 且1a 与1b 之间的整数的个数为1N ≤[N/2].3.2.3对整数1a 与1b 重复上述做法，当ξ= 2ξ时，则ξ即为该物品的价格；若ξ≠2ξ=]2[11b a +，同样可求得2a 和2b ，使得2a ＜ξ＜2b 且2a 与2b 之间的整数的个数为2N =2b －2a －1≤]2[1N =]2/]2[[N.……，由此可得，当k N =k b -k a -1=1（即k a 与k b 之间只有一个整数）时，取ξ=]2[1kk k b a +=+ξ，即为该物品的价格，此时有k N +1=[k N /2]=0.那么当k 为多少时，[k N /2]=0 呢? 我们先解决如下问题：引理1 任意一个正整数N ，存在整数0......210≥>>>>p k k k k , 使得p kk kk N 2 (2)22210++++=,其中10022+<≤k k N .证明：对任意一个正整数N ，显然存在一个正整数0k ，使得122+<≤kk N .又因为正整数N 可以表示成一个二进制的数，在这个二进制的表示形式中的第i k +1 位（从右到左）的数字为1，其对应的十进制的数字为2ik （i=0,1,2,……,p ），而二进制中的数字0，对应的十进制的数字也为0 ，所以pk k k k N 2 (2222)1++++=.引理2若整数12......0k i i i >>>>，则12111[ (222)i i i+++= 0 . 证明：∵ 0 <12111[......]222k i i i +++ ≤12111......222i +++=1 － 112i < 1∴ 12111[ (222)iii+++=0.有了上述两个引理，现在我们来证明如下定理：定理：对任意的一个正整数N ，记1N =[N/2]，212[/2][[]/2]NN N ==，322[/2][[[]/2]/2]NN N ==，……， 则1[/2][]2n n nN N N -== （n 为正整数）.证明：由引理1可得，对任意正整数n ，存在整数012......0p k k k k >>>>≥， 使得p kk kk N 2 (2)22210++++=,其中10022+<≤k k N .1.1若p k =0，显然1N = [N / 2 ] 成立；若1p k ≥， 因为0112(22...21)pppp pk kk k k k k N ----=++++即011(22...2)2ppp ppk k k k k k k N ----=+++是整数.因此2/2,/2,......,/2pkN N N 都是整数，所以n N = [N /2n ]（其中1p n k ≤≤）.即，当p k = 0或者p k ≥1 ，n N = [N /2n ]（ 1p n k ≤≤） 成立.1.2若p k ＞ 0 ，且1≤n ≤0k 时，由Ⅰ、可知，当n =p k 时，有n N =[N /2n ] .设当n m = (1i k +＜m ＜i k ,i=0,1,2,……, p -1)时，原式成立.即m N = [N / 2m ] ， 此时m N = 01111[22 (2)...]22i pi k mk mk mm k m k +-----++++++=01111[22 (2)][...]22i pi k mk mk mm k m k +-----++++++=0122 (2)i kmk mk m---+++当1n m =+时，因为11i i i k m k k +-<≤<，所以110i k m ---≥，此时1[/2][[]/2]2m m mN N N +===0111111[22 (22)]i i k m k m k m k m ---------++++=011111122 (2)[2]i i km k m k m k m ---------++++;而1[]2m N +=0111111111[22 (2)22 (2)]p i i i k m k m k m k m k m k m -+------------+++++++= 0111111111[22......2][22......2]p i i i k m km k m k m k m k m -+------------+++++++;1.1当i k >m ，即i k -m -1 ≥ 0 时，由条件得11......i p m k k ++>>>，此时1111111111[22 (2)][2][......][2]22p i i i i ipk m k m k m k m k m m k m k +----------+-+-+++=+++=；1.2当i k =m ，即i k - m - 1 ＜ 0 时，而m +1>1i k +>…>p k ， 此时11111111111[22 (2)][ 0][2]222p i i i ipik m k m k m k m m k m k m k +--------+-+-+-+++=++===即11111[22 (2)][2]p i i i k m k m k m k m +--------+++=由上可知，当[/2]m m N N =时，可推出11[/2]m m N N ++=所以当p k <n ≤0k 时，n N =[N /2n ]成立.1.3当n >0k 时，因为02k ≤n < 012k+，有1≤ N / 02k < 2 ，所以0[]2k k N N ==1，从而有0012[[]/2]0k Nk N +==，……, n N = 0 ；又由于0122k k N N +≤<1，所以[N /2n ]=0；即n N =[N /2n ].由1.1,1.2,1.3，可得对一切正整数n ,n N =[N /2n ]成立.现在我们可以解决前面的问题了，根据定理，当1k N += [N /12k +] = 0 , 即[N /12k +] = 0 时，有1012k N +≤<,因此当k +1>2[log ]N ,即k 2[log ]N ≥时，1k N +0=，所以用二分法最多2[log ]N 次就能猜中.这种二分法逼近猜数的效果如何？我们设猜了k 次能猜中的概率为k p ，则：1p = 1/N；2111111111(1)(1)[]2p p p N N N N =+-⋅=+-⋅3/N≥;……111121(1)kk k k k p p p N N----=+-⋅≥;且当k ³[2log N ]时，k p =1. 由此可见，当k =1 时，11p P =； 当1<k ≤[2log N ]时，有k k p P >； 当k >[2log N ]时，k k p P >.可见用二分逼近法的猜数比在a 与b 之间随意地猜的方法的效果更好，能更快地猜出其物品的价格.因此，选手可用这种二分法逼近的方法来猜测物品的价格，可在规定的时间内获得更多的奖品.同样，对于一些连续性的问题，我们可以根据闭区间上连续函数的介值定理，运用二分法逼近的方法求解.如用二分法逼近求方程3x 10x --=在区间（1 ，2 ）内的近似根，使误差不超0.01.则用这种方法7 次就可求得符合条件要求的方程的近似根为77a b ξ≈==1.32. 通过以上面的分析说明，利用二分法逼近解题的思想方法，可把原来较大范围内不易求解的问题，逐步缩小范围，从而最终求出符合条件的解，这种思想方法对一些问题的解决能起到积极的作用.4 数值逼近中的逐次逼近在积分方程的求解中，逐次逼近法是一种极其有效的方法.而皮卡序列在逐次逼近中也发挥了十分重要的作用.在此，对皮卡序列的证明及应用做了一定的研究，并对皮卡逐次逼近法给出了一些论述，且将这种方法运用到了其他一些学科的研究中，如数值分析.本部分主要是通过利用皮卡逐次逼近法证明存在唯一性定理，求解积分方程，对积分方程求近似解.4.1主要定理定义 4.1 设函数(,)f x y 在区域D 内满足不等式 1212(,)(,)||f x y f x y L y y -≤-|其中常数L>0，称函数(,)f x y 在区域D 内对y 满足李氏条件. 定理 4.1（存在唯一性定理）给定积分方程0(,)xx y y f x y d x =+ò(4.1)(,)f x y 在矩形区域S :00||,||x x a y y b-≤-≤内连续，且对y 满足李氏条件，则积分方程(4.1)在区间00[,]x h x h -+上有且只有一个解，其中m in{,}b h a M=,max |(,)|M f x y =, (,)x y S ∈.在定理4.1的基础上我们加一些限制条件把定理4.1推广如下:定理 4.2 给定积分方程()()(,,())b ax f x k x d ϕλξϕξξ=+⎰(4.2)其中()f x 在[,]a b 上为已知函数，可(,,())k x ξϕξ在[,;,]Q a b c d =上为已知连续函数，且满足1212|(,,(,,())(,,())||()()|k x x k x L ξξϕξξϕξϕξϕξ-≤-，则当||λ足够小时，方程(4.2)在区间0||x x h -≤上有且只有一个解，其中m in{,}d c h b a M-=-,(,)max |(,,())|x y QM k x ξϕξ∈=.证明: 我们在区间00x x x h ≤≤+,对于00x h x x -≤≤讨论完全一样. 这里定义区0||x x h -≤,m in{,}d c h b a M-=-.作逐次逼近函数列:010()(),()()(,,()),{0,1,2 (x)n n x x f x x f x k x d n ϕϕλξϕξξ+==+=⎰ (4.3)第一步: 对于所有的n ，(4.2) 式中函数在00x x x h ≤≤+上有意义，连续且满足不等式1|()()|n n x x ϕϕ+-≤d c-.当0n =时，(,,())k x ξϕξ在区间[,;,]Q a b c d =上连续. 由010()()(,,())xx x f x k x d ϕλξϕξξ=+⎰. (4.4)知1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有意义连续且当||λ足够小时有100|()()|(,,())xx x x k x d ϕϕλξϕξξ-=⎰000||(,,())||||||()xx k x d M x x d c d cλξϕξξλλ≤≤-≤-≤-⎰即题当1n =时成立. 依此类推()n x ϕ在00x x x h ≤≤+有意义连续且满足不等式1|()()|n n x x d c ϕϕ+-≤-.第二步: 函数序列{()}n x ϕ 在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.考虑级数011()[()()]k k k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑, (4.5)因此要证明函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛，只需要证明级数(4.5) 在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 下证级数(4.5) 是一致收敛的.先证明不等式101(||)|()()|||(1)!n nn n M L x x x x n ϕϕλ++--≤+1 当0n =时由第一步证明可知，假设成立.2 假设当n k =时成立. 则1n k =+0211|()()||||(,,())(,,())|xk k k k x x x k x k x d ϕϕλξϕξξϕξξ+++-=-⎰£0121001||()(||)|||()()|||||(1)!(2)!k k k k xx k k k x x L M x x M L x x L d L d k L k λλϕξϕξξλξλ++++---≤=++⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对于所有的正整数k , 有如下估计:11()|()()|||(1)!k kk k M Lh x x L k ϕϕλ++-≤+.由等式知级数(4.5) 在00x x x h ≤≤+上一致收敛，因此序列{()}n x ϕ 也在00x x x h ≤≤+上一致收敛.现在设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=则{()}n x ϕ 在00x x x h ≤≤+上连续.第三步: ()x ϕ是积分方程(4.2) 在00x x x h ≤≤+上的连续解.由序列{()}n x ϕ 在00x x x h ≤≤+一致收敛于()x ϕ，对(4.3)式取极限，可得:011lim ()()||lim(,,())()||lim (,,())x xn x x n n n nn x f x k x d f x k x d ϕλξϕξξλξϕξξ+→∞→∞→∞-=+=+⎰⎰即0()()(,,())xx x f x k x d ϕξϕξξ=+⎰,这就是说()x ϕ是积分方程(4.2)在00x x x h ≤≤+上的连续解.第四步: 证明其唯一性.设(,)x y φ是积分方程(3.2) 在00x x x h ≤≤+上的连续解, 则可以用第二步的方法证明(,)(,)x y x y φϕ=, 00x x x h ≤≤+.综合以上四步可以得到积分方程解的存在唯一性. 4.2 近似计算和误差估计我们在数学分析、抽象代数以及数值分析等学科当中已学习过关于近似计算和误差估计的知识. 在本段落中的存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，并且给出了求方程近似解的一种方法picard 逐次逼近法，对方程的第n 次近似解()n x ϕ：00010()()(,()){1,2 (x)n n x x y x y f x x dxn ϕϕϕ-==+=⎰它和正真解()y x ϕ=在00[,]x h x h -+内的误差估计为1|()()|(1)!nn n M Lx x hn ϕϕ+-≤+.上式可用数学归纳法证明.这样，我们在进行近似计算的时候，可以根据误差的要求，先取适当的逐次逼近函数()n x ϕ.例4 讨论初值问题21(0)0{dyy dxy =+=解存在且唯一区间解: 对任意给定的正数,a b , 函数均(,)1f x y =+2y在矩形区域{(,)|0,0}R x y x a y b =≤≤≤≤内连续且对y 的偏导数连续， 计算22(,)m ax |(,)|1,m in{,}1x y Rb M f x y b h a b∈==+=+.由于a 和b 都可以任意取，我们先取b ，使21b b+最大，显然1b =时,21b b+12= 为21b b+的最大值，故可取1,1a b ==，此时依定理得到初值问题解存在唯一的区间是1122x -≤≤例5 利用picard 迭代法求初值问题2(1())(0)0{dyx y x dxy =+=的解.解: 初值问题等价于积分方程0()2(1())x y x x y x =+⎰其迭代序列分别为021042220()0,()2,()2(1),2!x x y x y x xdx x xy x x x dx x ====+=+⎰⎰44622304622()2(1),2!2!3!....................................()......,2!3!!x nn xxxy x x x dx x xxxy x x n =++=++=++++⎰2lim ()1xn n y x e→∞=-.取极限得2lim ()1x n n y x e →∞=-即初值问题为21y e =-.通过以上的定理、推论和例题我们对picard 逐次逼近法做了一定的介绍.这种思想在各门学科中都有一定的体现. 结束语综上所述,数值逼近中的极限逼近、二分逼近和逐次逼近在理论上和实践中都有具体的运用,掌握了这些对在数学上的进一步深造和解决生活中的问题都有很大的作用.参考文献[1]吴宗敏，苏仰峰.数值逼近[M]，科学出版社.[2]周晓农.逼近法的涵义及运用[J].金筑大学学报，2000年第二期，116—119. [3]李刚升，张艳敏.皮卡逐次逼近法的运用[J].教育战线.77—78.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M],高等教育出版社.[5]苏金源.二分逼近解题的数学思想方法[J].科技论坛.[6]虞旦盛，周颂平.有理逼近的一些最新进展[J].数学进展，2005年6月，269—280.[7]钱吉林.数学分析题解精粹[M],崇文书局.About the Process of Gaining the ApproximateMeng Xiao-ying(School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University,Anyang,Henan 455002)Abstract：This article is main about the process of gaining the approximate.It involves analysis on the thought of mathematical limit、the way of gaining the limit through dividing an interval into two parts continuously and the thought of successive approximation . At the same time , this article introduce some application in the life of the means.Key words: process of gaining the approximate;mathematical limit；the way of gaining the limit through dividing an interval into two parts continuously；successive approximation。