10-1对弧长的曲线积分
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对弧长的曲线积分教案
第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。
在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。
记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。
如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。
由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。
对弧长的曲线积分
都有 f (x, y) K.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
高等数学下册10.1 对弧长的曲线积分
L
(2)若曲线 L 的方程为 x (y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L (3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？ 提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb) (2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (i ,i )si
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
i 1
n
L f (x, y)ds
即
lim f (i ,i )si L f (x, y)ds 0 i 1
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) •任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
L
f (x, y)ds f [x, (x)] 1 2 (x)dx
a d
b
L
f (x, y)ds f [ ( y), y] 2 ( y) 1dy
c
(3) f (x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt
(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ) 3
(2)若曲线 L 的方程为 x (y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L (3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？ 提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb) (2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (i ,i )si
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
i 1
n
L f (x, y)ds
即
lim f (i ,i )si L f (x, y)ds 0 i 1
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) •任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
L
f (x, y)ds f [x, (x)] 1 2 (x)dx
a d
b
L
f (x, y)ds f [ ( y), y] 2 ( y) 1dy
c
(3) f (x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt
(x y z )ds (a2 k 2t 2) a2 k 2 dt
2 2 2
0
2
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 ) 3
对弧长的曲线积分
在曲线L上连续.因此，以后总假定f(x,y)在曲线L上是连续的，
在此条件下，第一类曲线积分
总是存在的.
根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量 当线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线 积分，即
一、第一类曲线积分的概念
曲线L的质心的坐标为
转动惯量为 上述定义可类似地推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形， 即函数f(x,y,z)在空间曲线Γ上的第一类曲线积分为
图 10-3
二、第一类曲线积分的性质
解
二、第一类曲线积分的性质
【例4】
求
其中L为双纽线
（见图10-4）的弧.
图 10-4
二、第一类曲线积分的性质
解 双纽线的极坐标方程为
用隐函数求导得
即
，因此
结合对称性，所以
二、第一类曲线积分的性质
【例5】
设L为椭圆
，其周长为a，求
解 因为L关于y轴对称，且2xy是关于x的奇函数，所以
对弧长的曲 线积分
一、第一类曲线积分的概念
引例1
设有一曲线形物体所占的位置 是xOy面内的一段曲线L，它的端点 是A，B，它的质量分布不均匀，其 线密度为ρ(x,y)，试求该物体的质量 M（见图10-1）.
图 10-1
一、第一类曲线积分的概念
分析
如果该物体的线密度为常量，那么它的质量可用公式 质量=线密度×长度
这种和的极限在研究其他问题时经常用到，于是将其抽 象出来，得到第一类曲线积分的定义.
一、第一类曲线积分的概念
定义
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,y在L上有界.
在L上任意插入一点列M1,M2,…,Mn-1把L分成n个小段.设第i
曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(一)
2 [ a cos t ( a sin t ) b sin t ( b cos t )] dt 0
- 12 -
a b
2
2
2
习 题 课（一）
三 格林公式及其应用 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
第 十 章
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P x y d xd y D
y dx
L
2
2
2
-8-
习 题 课（一）
（3） L ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y ) dz , 其中
2 2 2 2 2 2
L
为球面的一部分
x y z 1, x 0 , y 0 , z 0
2 2 2
第 的围线，其方向从 z 正向看去是逆时针的。 十 y2 z2 1 章 z 解 L L1 L 2 L 3 x 0 曲 L2 x2 z2 1 x cos t 线 积 L y 0 L3 t :0 1 y sin t 分 2 o 与 z 0 L1 曲 x x2 y2 1 面 积 z 0 分 y cos t z cos t t :0 L 3 x sin t L 2 z sin t t :0 2 2 x 0 y 0
Pd x Qd y
L
曲 在D 内具有一 线 设D 是单连通域 , 函数 积 分 阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 与 P Q . 曲 (1) 在 D 内每一点都有 y x 面 积 Pd x Qd y 0 . 分 (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L
高等数学(第五版)10-1对弧长的曲线积分
1 ( x ) 2 dx 1 xdx,
a
b
1 2
所求弧长为
s 1ds L
b
a
2 1 x dx [(1 b) (1 a ) ]. 3
3 2 3 2
例2.
y
解： 先写出积分弧段的方程,
L : y 9 x 2 (0 x 3)
3
L : x2 y2 9
L
f ( x , y , z )ds
2 2 2
f [ x(t ), y(t ), z( t )] x (t ) y (t ) z (t )dt
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从a 到 b 的一 3
段弧的长度.
ds 1 y 2 dx 解: x
OA : y 0, 0 x 1, ds dx
y
L
B(1,1)
OA
( x y )ds 0
1
1 xdx 2
o
AB : x 1, 0 y 1, ds dy
3 AB ( x y )ds 0 (1 y)dy 2
1
A(1,0)
x
BO : y x, 0 x 1, ds 2dx
第十章曲线积分与曲面积分
一元积分: 一元函数在区间上的积分 二重积分: 二元函数在平面区域上的积分 三重积分: 三元函数在空间区域上的积分 本章： 曲线段 —— 曲线积分
积分范围：
曲面块 —— 曲面积分
第十章
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
一、问题的提出
2
a
b
1 2
所求弧长为
s 1ds L
b
a
2 1 x dx [(1 b) (1 a ) ]. 3
3 2 3 2
例2.
y
解： 先写出积分弧段的方程,
L : y 9 x 2 (0 x 3)
3
L : x2 y2 9
L
f ( x , y , z )ds
2 2 2
f [ x(t ), y(t ), z( t )] x (t ) y (t ) z (t )dt
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从a 到 b 的一 3
段弧的长度.
ds 1 y 2 dx 解: x
OA : y 0, 0 x 1, ds dx
y
L
B(1,1)
OA
( x y )ds 0
1
1 xdx 2
o
AB : x 1, 0 y 1, ds dy
3 AB ( x y )ds 0 (1 y)dy 2
1
A(1,0)
x
BO : y x, 0 x 1, ds 2dx
第十章曲线积分与曲面积分
一元积分: 一元函数在区间上的积分 二重积分: 二元函数在平面区域上的积分 三重积分: 三元函数在空间区域上的积分 本章： 曲线段 —— 曲线积分
积分范围：
曲面块 —— 曲面积分
第十章
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
一、问题的提出
2
大学经典课件之高等数学——10-1第一类曲线积分
∫L f ( x , y, z )ds = ∫L f ( y, x , z )ds
同理，如果空间曲线 L 关于平面 y= z 及 z= x 对称，有类似的性质。
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三、对弧长曲线积分的计算
定理1（平面曲线的情况）
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续 ，L的 ⎧ x = ϕ ( t ), (α ≤ t ≤ β )，其中 ϕ ( t ),ψ ( t ) 参数方程为 ⎨ ⎩ y = ψ ( t ), 在[α , β ]上具有一阶连续导数 , 则
它们对应于一列单调的参数值
α = t 0 < t1 < t 2 < L < t n − 1 < t n = β
记： Δsi = M i −1 M i 的弧长， Δt i = t i − t i −1 ，则由弧 长公式知：
Δ si = ∫
ti
t i −1
[ϕ ′( t )]2 + [ψ ′( t )]2 dt
L1 L2
2、如果两条空间曲线 L1、 L2 关于平面 x = y 对 称，则
∫L
2
f ( x , y , z )ds = ∫ f ( y , x , z )ds
L1
同理，如果L1、 L2 关于平面 y= z 及 z= x 对 称，也有类似的性质。
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3、如果空间曲线 L 关于平面 x = y 对称，那么交 换被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y 的位置， z 的位置不动，积分值不会改变。即
∫L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt
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3
2
1
0
o
1x
的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
例2. 计算半径为 R ,中心角为
y
I y 2 ds
L
x R cos L: y R sin
o
( )
L R x
R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
则
: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s
f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
例1. 计算
2 2 2 2 2 2 a k (3a 4 k ) 3
例4. 计算
x2 y2 其中为球面
z 2 9 与平面 x z 1的交线. 2 1 ( x 1 ) 2 1 y 2 1 解: : 2 2 4 , 化为参数方程 x z 1 x 2 cos 1 2 0 2 : y 2 sin z 1 2 cos 2 则
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) t k ,
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
1.引例: 曲线形构件的质量
假设曲线形细长构件在空间所占
B
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
弧段为AB , 其线密度为
为计算此构件的质量, 采用
n
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
M
A
k 1
2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
（k 为常数)
(3)
f ( x, y, z) ds
(由
1
f ( x, y , z ) d s
组成)
2
f ( x, y , z ) d s
( l 为曲线弧 的长度)
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
n
( k ,k , k )
f ( k ,k , k )sk f ( x, y, z) ds 0
lim
记作
k 1
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds
备用题
1. 设 C 是由极坐标系下曲线 r a, 0 及 4 所围区域的边界, 求
y
yx ra
提示: 分段积分oBiblioteka y0 a x4
Mk sk M k 1
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 分为
n
则定义对弧长的曲线积
L f ( x, y) ds lim0 f ( k ,k )sk k 1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L 2 xy ds 0
x2 y2 原式 = 12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds
L上
2 xy ds
L下
2 xyds
2x
2 x( )
作业 P131 3 (2) , (4) , (6) , (7) 5
3
sin 2 d 2R 4 0 2 R 3 ( sin cos )
3 2 R sin
例3. 计算曲线积分
其中为螺旋
的一段弧.
线
解:
( x 2 y 2 z 2 ) ds
a k
2
2
0
2
[a 2 k 2 t 2 ] d t
第十章
曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第一节
第十章
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
L
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
3. 性质
(1)
f ( x, y, z) g ( x, y, z) ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
思考与练习
x2 y2 1周长为a , 求 1. 已知椭圆 L : 4 3 (2 xy 3x 2 4 y 2 ) ds 2
L
y
3
o
2x
提示: 利用对称性
0 k 1
因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x) 2 (d y ) 2 (t ) (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
y
2
2
o
ds d y dx x x
如果曲线 L 的方程为
L
f ( x, y ) d s
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
n
证: 根据定义
lim f ( k , k )sk
0 k 1
设各分点对应参数为 点 ( k ,k )对应参数为
s k
则
tk
t k 1
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1)
x x 1 4 x 2 dx
0 0 1
1
y
B(1,1)
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12