2019九年级数学上册 2.3 一元二次方程根的判别式教案2 (新版)湘教版.doc
【湘教版】九年级数学上册：2.3《一元二次方程根的判别式》教案新部编本(含答案)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.3一元二次方程根的判别式教学目标【知识与技能】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【过程与方法】经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.【情感态度】积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.【教学重点】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【教学难点】从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系.教学过程一、情景导入，初步认知同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.二、思考探究，获取新知1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？2.观察求根公式2b x a±=－回答下列问题： （1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有几个根？（2）当b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有几个根？（3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有几个根？3.综上所知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况是由b 2-4ac 来判断的.【归纳结论】我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b 2-4ac⑴当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等实数根即12b x a =－，22b x a=－. ⑵当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根.⑶当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根.4.不解方程判定下列方程的根的情况.(1)3x 2+4x-3=0(2)4x 2=12x-9(3)7y=5(y 2+1)解：(1)因为Δ=b 2-4ac=42-4×3×（-3）=52>0所以，原方程有两个不相等的实数根.（2）将原方程化为一般形式，得4x 2-12x+9=0因为Δ=b 2-4ac=(-12)2-4×4×9=0所以，原方程有两个相等的实数根.（3）将原方程化为一般形式，得5y 2-7y+5=0因为Δ=b 2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0所以，原方程没有实数根.【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.三、运用新知，深化理解1.已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实根，则p 与q 的关系是．【答案】 p 2-4q=02.若方程x 2+px+q=0的两个根是-2和3，则p ，q 的值分别为.【答案】 -1，-63.判断下列方程是否有解：（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0解析：演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根解：（1）有（2）没有4.不解方程，判定方程根的情况.（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a∴所求不等式的解集为x<-3/a6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根．分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b2－4ac的值的符号即可判断：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根.（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.解：（1）∵当m=3时，Δ=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，∴原方程无实数根.（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0.∴x1=1，x2=-3.7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．(1)求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；（2）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．解：（1）∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5；（2）证明：令x2+px+q=0．则Δ=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+4＞0，即Δ＞0，所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.教学反思本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教学效果很好！。
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》教学设计1
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（(= b^2 - 4ac)），并能运用判别式判断方程的根的情况。
教材通过引入判别式，让学生体会数学的逻辑推理和几何直观，培养学生的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本概念，对解一元二次方程有一定的了解。
但在求解方程的根的过程中，对判别式的理解和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，探究判别式的含义和运用方法。
三. 教学目标1.理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握判别式的计算方法。
2.能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
3.培养学生的数学逻辑思维和几何直观能力。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程根的判别式的概念和计算方法。
2.难点：如何引导学生从已有知识出发，理解和掌握判别式的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出判别式的概念。
2.运用几何直观，帮助学生理解判别式的意义。
3.通过例题和练习，巩固判别式的计算和运用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备判别式的几何直观教具。
3.准备一些练习题，用于课堂巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何判断一元二次方程的根的情况。
例如，提问：“已知一元二次方程(x^2 - 5x + 6 = 0)，求该方程的根的情况。
”2.呈现（10分钟）通过PPT展示判别式的定义和计算方法，同时结合几何直观教具，帮助学生理解判别式的意义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用判别式判断一些一元二次方程的根的情况。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些判断题，检验学生对判别式的理解和掌握程度。
教师及时批改，给予反馈。
2019年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式素材新版湘教版
2.3 一元二次方程根的判别式素材一新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣 复习导入 我们学习了用公式法求解一元二次方程，它的一般步骤是什么？ 学生回答后课件展示，并强调每一步的注意事项：(1)把方程化为一般形式，进而确定a ，b ，c 的值．(注意符号)(2)求出b 2－4ac 的值．(先判别方程是否有根)(3)在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入求根公式，求出－b±b2－4ac 2a的值，最后写出方程的根．接下来检验一下同学们的掌握情况：(1)x 2＋2x －2＝0；(2)(x －2)(1－3x)＝6.[说明与建议] 说明：帮助学生回忆一元二次方程及其解法，尤其是公式法解一元二次方程时，必须先检验根的判别式，判断方程是否有实数解，巩固所学知识的同时，感受数学问题的严谨性、规范性．建议：复习公式法求解一元二次方程时，强调必须先判断方程在实数范围内是否有解．素材二教材母题挖掘44页例题不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)3x 2＋4x －3＝0；(2)4x 2＝12x －9；(3)7y ＝5(y 2＋1)．【模型建立】一元二次方程的根的个数和Δ＝b 2－4ac 与0的大小关系有关，所以牢记如下结论是解决此问题的关键．①b 2－4ac >0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根．即：x 1＝－b ＋b2－4ac 2a ，x 2＝－b －b2－4ac 2a； ②当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根．即：x 1＝x 2＝－b 2a ； ③当b 2－4ac <0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实数根．反之亦成立．【变式变形】1．不解方程，判别关于x 的方程x 2－2kx ＋(2k －1)＝0的根的情况．[答案：Δ＝4(k －1)2≥0，故方程一定有实数根]2．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根，则p 与q 的关系是__p 2＝4q __．3.[通州一模] 已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)求证：无论a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根．[答案：(1)根的判别式为：a 2－4a ＋8，变形为：(a －2)2＋4，不论a 取何值，判别式的值总大于0，故方程总有两个不相等的实数根 (2)0]4．[北京中考] 已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．解：(1)证明：∵a＝m ，b ＝－(m ＋2)，c ＝2，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2＋4m ＋4－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)∵x＝－b±b2－4ac 2a ＝m ＋2±（m －2）22m ＝m ＋2±（m －2）2m， ∴x 1＝m ＋2＋m －22m ＝1，x 2＝m ＋2－m ＋22m ＝2m.∵方程的两个实数根都是整数， ∴2m是整数，∴m ＝±1或m ＝±2.又∵m 是正整数，∴m ＝1或m ＝2.素材三考情考向分析[命题角度1] 利用b 2－4ac 判定一元二次方程根的情况利用b 2－4ac 的值的情况可以确定一元二次方程的解的情况，很多时候不用解方程就可以判断方程解的情况：b 2－4ac ＞0，方程有两个不相等的实数解；b 2－4ac ＝0，方程有两个相等的实数解；b 2－4ac ＜0，方程没有实数解．例 [自贡中考] 一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[命题角度2] 根据方程解的情况求解字母系数的值或取值范围利用方程根的情况与b 2－4ac 的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式，从而确定字母系数的值或范围．在实际操作过程中，要特别注意二次项系数不能等于0这一限制条件．例 [中山中考] 关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B )A ．m>94B ．m<94C ．m ＝94D ．m<－94素材四教材习题答案P45练习1．一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根[答案] D2．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：(1)x 2＋3x －1＝0；(2)x 2－6x ＋9＝0；(3)2y 2－3y ＋4＝0；(4)x 2＋5＝25x .。
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》精品教案
3. 情感态度与价值观：过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严
谨的治学态度。
重点
用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。
难点
在具体题目中，能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动 设计意图
①当△
时，方程有两个不等的实根：
②当△
时，方程有两个相等实根：
=－ 结 合 导 入 的 思考和老师
讲授新课 +
例题讲解
③当△
时，所以原方程无实根.
我们看一个具体的例子：
【例 1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-3=0；
（2）4x2=12x-9；
（3）7y=5（y2+1）．
分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确
讲解的时候， 道 本 节 课
∴不论 m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根 自己先思考， 的 学 习 内
【 例 4 】 已 知 ： a 、 b 、 c 是 △ ABC 的 三 边 ， 若 方 程 然 后 再 听 老 容和重点。
ax²+2 △ABC 的形状.
师讲解。 有两个等根，试判断
解：对于原方程Δ ＝0，即
∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，
∴原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，
∴原方程没有实数根.
【例 2】当 k 取什么值时，关于 x 的方程 2x2-（4k+1）
湘教版数学九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》教学设计4
湘教版数学九年级上册《2.3 一元二次方程根的判别式》教学设计4一. 教材分析《2.3 一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册的教学内容。
本节内容是在学生学习了函数、方程、一元二次方程的基础上进行的。
本节主要介绍了一元二次方程根的判别式的概念、公式及其应用。
通过本节的学习，使学生能够掌握一元二次方程根的判别式的计算方法，会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况，为学生进一步学习函数、方程的性质打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了一元二次方程的解法、函数的概念和性质等基础知识。
但学生对一元二次方程根的判别式的概念、公式的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师要注重引导学生通过自主学习、合作交流等方式，理解和掌握一元二次方程根的判别式的概念、公式及其应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程根的判别式的概念、公式，能够运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等环节，培养学生解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程根的判别式的概念、公式的理解和运用。
2.难点：一元二次方程根的判别式在不同情况下的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设问题情境，引导学生自主探究、合作交流。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考、解答。
3.案例教学法：通过典型例题，使学生理解和掌握一元二次方程根的判别式的应用。
六. 教学准备1.教师准备：掌握一元二次方程根的判别式的相关知识，熟悉教学内容。
2.学生准备：预习一元二次方程根的判别式的相关内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设问题情境，引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师给出了一元二次方程根的判别式的概念、公式，并引导学生理解其含义。
湘教版九年级上册说课稿：2.3 一元二次方程根的判别式
湘教版九年级上册说课稿：2.3一元二次方程根的判别式一. 教材分析湘教版九年级上册的“2.3 一元二次方程根的判别式”是数学课程中的重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次三项式的因式分解、一元二次方程的解法等知识的基础上进行讲解的。
通过本节课的学习，使学生能够理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握根的判别式的计算方法，以及能够应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
教材中通过引入故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，掌握根的判别式的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次三项式的因式分解、一元二次方程的解法等知识有一定的了解。
但是，对于一元二次方程根的判别式的概念和计算方法还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流的方式，理解和掌握根的判别式的知识。
同时，学生对于故事、图片等丰富的教学资源比较感兴趣，因此在教学过程中，可以充分利用这些资源，激发学生的学习兴趣。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握根的判别式的计算方法，能够应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的概念，根的判别式的计算方法。
2.教学难点：根的判别式的应用，判断一元二次方程的根的情况。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，将采用自主探究、合作交流的教学方法。
引导学生通过小组合作、讨论的方式，共同探索一元二次方程根的判别式的知识。
同时，利用多媒体教学手段，展示故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过引入故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣，引导学生进入本节课的学习。
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（()），并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
这一节内容是整个一元二次方程部分的核心，对于学生理解和掌握一元二次方程的解法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对代数运算有一定的掌握。
但是，对于一元二次方程的根的判别式的推导和应用，还需要进一步引导和启发。
此外，学生可能对于抽象的数学概念和证明过程感到困惑，需要通过具体的例子和实际操作来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程根的判别式的定义和意义，掌握判别式的计算方法，并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，对数学产生兴趣和自信心，培养合作和交流的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的定义和意义，判别式的计算方法。
2.教学难点：判别式的推导过程，以及如何应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，主动探索和发现一元二次方程根的判别式的性质和规律。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型等辅助教学手段，生动形象地展示一元二次方程根的判别式的概念和应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出一元二次方程根的判别式的概念，激发学生的兴趣和思考。
2.新课导入：介绍一元二次方程根的判别式的定义和意义，引导学生理解判别式的作用。
3.案例分析：通过具体的例子，讲解判别式的计算方法，让学生通过实际操作来加深理解。
4.性质探索：引导学生观察和分析判别式的性质，让学生通过推理和证明来发现规律。
九年级数学上册 2.3 一元二次方程根的判别式课件 (新版)湘教版(2)
（2∴）bx2-24-xa+c=14(-=10),2a-4=×1,b1=×-114,c==0.14 . ∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根．
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等
的实数பைடு நூலகம்，则k的取值范围是
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
( B)
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则
b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 (2)2 4k 0 ，
k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
问题3：不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ 1 =0; (3) x2-x+1=0.
4
解析：根据求根公式我们可以知道当b2-4ac≥0时，方程才 有实数根，而b2-4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不 解方程就能判断一元二次方程根的情况．
的根的情况.
解： 2 2k 2 41 k 2
8k 2 4k 2 4k 2 k2 0 4k 2 0 0
所以方程有两个实数根．
课堂小结
判别式大于0，方程有两个 不相等的实数根
根的判别式： b2-4ac
判别式等于0，方程有两个 相等的实根
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2019九年级数学上册 2.3 一元二次方程根的判别式教案2 （新版）
湘教版
教学目标：
理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
教学过程：
精典例题：
【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）4
3->m 【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：
△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥2
5- ∴当m ≥2
5-
且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：
【问题一】已知关于x 的方程01)12(2
2=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k
∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。
略解：设CF ＝D E ＝x ，则CD ＝EF ＝x
100 修建总费用为：x x x 10025.45.475.1⨯⨯++＝
x
x 90025.6+条件是：10＜x ≤25 （1）15090025.6=+x
x ⇒x ＝12 ∴能完成 （2）12090025.6=+x
x ⇒090012025.62=+-x x ∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成
跟踪训练：
一、填空题： 1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的
方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
3、如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是 。
4、在一元二次方程02=++c bx x 中)(c b ≠，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。
二、选择题：
1、下列方程中，无实数根的是（ ）
A 、011=-+-x x
B 、 762=+y
y C 、021=++x D 、0232=+-x x 2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）
A 、43<m
B 、m ≤43
C 、43>m 且m ≠2
D 、m ≥4
3且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）
A 、有两个不等实根
B 、有两个相等实根
C 、没有实根
D 、无法确定 问题二图
F E D C B A
三、试证：关于x 的方程1)2(2
-=+-x m mx 必有实根。
四、已知关于x 的方程022=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n 的值。
五、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线
x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。
六、已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在实数m ，使方程的两个实
数根的平方和等于56？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
七、已知n ＞0，关于x 的方程041)2(2=+
--mn x n m x 有两个相等的正实根，求n m 的值。
参考答案
一、填空题： 1、①；2、22±；3、k ≤
32；4、10 二、选择题：CCAA 三、分两种情况讨论：（1）当0=m 时，2
1=
x ；（2）当0≠m 时，042>+=∆m 所以方程必有实根。
四、m ＝2，n ＝3 五、不能。
由0)2(4)12(22>+-+=∆m m ⇒⎩
⎨⎧<+->-074032m m ⇒直线不通过第二象限 六、存在。
2-=m 七、4=n
m。