根的判别式
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
根的判别式
根的判别式根的判别式是指用某种方法来判断一个多项式是否有实根或者复根，以及有几个实根或者复根。
在初中或高中数学中，我们通常会学到求解一元二次方程的根的公式，即$ax^2+bx+c=0$的根为$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
其中，判别式$\\Delta=b^2-4ac$可以用来判断方程的根的情况：1.当$\\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；2.当$\\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；3.当$\\Delta<0$时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
在高中数学中，我们还会学到求解一元三次方程和一元四次方程的根的公式。
不过，这些公式较为复杂，不适合用判别式来判断方程的根。
除了一元多次方程外，根的判别式还可用于判断代数方程组的解的情况。
即，给定一个代数方程组，我们可以使用根的判别式来判断其解的情况。
例如，对于二元一次方程组：$$\\begin{cases}ax+by=c\\\\dx+ey=f\\end{cases}$$可以联立方程得：$$\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{vmatrix}x=\\begin{vmatrix} c & b \\\\ f & e \\end{vmatrix},\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e\\end{vmatrix}y=\\begin{vmatrix} a & c \\\\ d & f \\end{vmatrix} $$其中，$\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{vmatrix}=ae-bd$称为方程组的系数行列式，$\\begin{vmatrix} c & b \\\\ f & e \\end{vmatrix}$和$\\begin{vmatrix} a & c \\\\ d & f \\end{vmatrix}$分别称为方程组的常数行列式。
根的判别式
10、若一元二次方程x2-ax-2a=0的两根之和为 、若一元二次方程 的两根之和为4a-3，则 的两根之和为 ， 两根之积是（ 两根之积是（B ） A. 2 B. -2 C.-6或2 或 D.6或-2 或
例一（ 中考题 中考题） 分别是满足什么条件时 分别是满足什么条件时， 例一（98中考题）m分别是满足什么条件时，方程 有两个相等实根；（ 2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,(1)有两个相等实根；（ ）有 有两个相等实根；（2） 两个不相实根；（ ；（3）无实根。 两个不相实根；（ ）无实根。 解：△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9 （ ） × × ） （1）当△=8m+9=0，即m= ） ， 等的实根； 等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m＞ ） ＞ ， ＞ 等的实根； 等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m＜ ） ＜ ， ＜ 时，方程有两个相 时，方程有两个不 时，方程没有实根。 方程没有实根。
64 解方程得 m1=4 , m2= 7
64 不是整数， ∵ m= 不是整数，应舍去 7
使方程两个实数根的平方和等于Rt△ ∴存在整数m=4 ，使方程两个实数根的平方和等于 △斜边的 存在整数 平方。 平方。
a
特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0 , x1+ x2= -p, x1 x2=q （2） 以x1, x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是 x2 –(x1+ x2)x+ x1 x2=0
判别式与韦达道理课堂练习 一、基础练习 1、一元二次方程2x2+3x-4=0的根的判别式△= 、一元二次方程 的根的判别式△ 的根的判别式 2、不解方程，判断 2-6y+5=0的根的情况是 、不解方程，判断2y 的根的情况是
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式Ting Bao was revised on January 6, 20021一元二次方程的根的判别式学习指导一、基本知识点：1.根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2=因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。
上述性质反过来也成立。
2.判别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。
二、重点与难点一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。
正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。
三、例题解析例1不解方程，判断下列方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－8x+3=0(3)(－)x2－x+=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数)(5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数)(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数)解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根(2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根(3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根(4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根(5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴方程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－80=－12(n－)2－＜0∴方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。
根的判别式
根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
第11讲 根的判别式及其应用(教师版)
第11讲 根的判别式及其应用【学习目标】根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的个数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．【基础知识】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根； 当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= 的两个根,由解方程中的公式法得, 2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=．那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=． 这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】考点一：判别式的值与根的关系例1．选择：（1）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）（B ）0122=++x x（C ）0322=++x x（D ）0322=-+x x（2）不解方程，判别方程25750x x -+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x --=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +-=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【难度】★【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=-=-<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=-=-<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =-，24160b ac ∆=-=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =-，5c =，24510b ac ∆=-=-<，方程无实根，故选D ；（3）1a =，5b =-，，24290b ac ∆=-=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，，24130b ac ∆=-=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例2．不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x --=； （2）22430x x ++=； （3）22326x x +=；（4）22340x x +-=．【难度】★【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【解析】（1）4a =，5b =-，3c =-，24730b ac ∆=-=>，方程有两不等实根；（2）2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=-=-<，方程无实数根； （3）2a =，26b =-，3c =，240b ac ∆=-=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =-，24410b ac ∆=-=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例3．关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗？为什么？【难度】★ 【答案】一定有．【解析】∵1a =，1b m =-，c m =-，∴()()()22241410b ac m m m ∆=-=--⨯-=+≥恒成立，可知方程一定有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，只需要对最终的∆值进行化简分析即可确定∆的值与0的大小关系，进而确定方程根的情况．例4．已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx -++=根的判别式的值为4，求m 的值．【难度】★ 【答案】0．【解析】∵1a m =-，2b m =，1c =，∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=-=-⨯-=-+=，整理即得20m m -=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =-≠，故1m ≠， 由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0．例5．已知方程组的解是，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【难度】★★【答案】方程无实数根．【解析】方程组的解是，代入即得：，可解得：，此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=-=-<，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．例6．当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +-+-=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【难度】★★【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >． 【解析】对此方程，1a =，2b m =-，2114c m =-，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=-=---=-+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=-+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=-+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=-+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例7．当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k -+-=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）． 【难度】★★ 【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为241x k k =±-． 【解析】对此方程，1a =，4b k =-，()221c k =-，则()()22244421164b ac k k k ∆=-=---=-，因为方程有实数根，则有，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大考点二：根的判别式的应用例1．证明：方程有两个不相等的实数根．【难度】★【解析】证明：对原方程进行整理，即为：其中1a =，3b =-，， 则()()22224342410b ac kk∆=-=---=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．例2．当k 为何值时，方程，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【难度】★★ 【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >． 【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：，此时，1a k =-，，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =-≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=-=---+=-+，由此可知，（1）当16200k ∆=-+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=-+=，即54k =时，方程有两相等实根； （3）当16200k ∆=-+<，即54k >时，方程无实根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例3．已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++-=有实数根，求m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】32m ≥-且1m ≠-． 【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠-；对此方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =-，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=-=-+-=+≥，可解得32m ≥-；即m 的取值范围为32m ≥-且1m ≠-． 【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．例4．如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m -++=的根的情况如何?【难度】★★ 【答案】方程无实根．【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知，即，对一元二次方程21(1)04mx m x m -++=而言，其中a m =，，14c m =，则()221414214b ac m m m m ∆=-=+-⋅=+，时，0∆<恒成立， 由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．例5．已知关于x 的方程()21230m x mx m +++-=总有实数根，求m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】32m ≥-． 【解析】（1）当10m +=，即1m =-时，方程为一元一次方程240x --=，方程有实根； （2）当10m +≠，即1m ≠-时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =-，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=-=-+-=+≥，可解得32m ≥-且1m ≠-；综上所述，m 的取值范围为32m ≥-． 【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 考点三：韦达定理例1．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积（1）2310x x -+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x --=，12x x += ________；12x x =________． 【难度】★【答案】（1）3，1；（2）23，23-． 【解析】（1）1a =，3b =-，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=-=，121cx x a==； （2）3a =，2b =-，2c =-，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=-=，1223c x x a ==-； 【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．例2．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一根及k 值．【难度】★【答案】方程另一根为35x =-，7k =-．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125k x x +=-，1265x x =-， 令12x =，则可求得235x =-，代入可得，可得7k =-． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．例3．已知：关于x 的方程23190x x m -+=的一个根是1，求另一根及m 值．【难度】★【答案】方程另一根为163x =，16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123m x x =， 令11x =，则可求得2163x =，代入可得，可得16m =． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．例4．如果是方程25100x bx +-=的一个根，求另一个根及b 值．【难度】★【答案】方程另一根为25x =，23b =． 【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=-，121025x x -==-， 令15x =-，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=-=-，可得23b =． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．例5．已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出的值． （1）127,7x x ==-； （2）1223,23x x =-+=--．【难度】★【答案】（1）0p =，；（2）12p =，3q =．【解析】（1）根据韦达定理，可得1203p x x +=-=，1273qx x ==-，可得0p =，； （2）根据韦达定理，可得1243p x x +=-=-，1213qx x ==，可得12p =，3q =． 【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．例6．设12,x x 是方程22430x x +-=的两个根，求的值．【难度】★★ 【答案】52-．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=-=-，1232x x =-， 由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=-+-+=- ⎪⎝⎭． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．例7．已知方程22210x ax a +-+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【难度】★★ 【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122a x x +=-，12122a x x -=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x -⎛⎫+-=--⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +-=，解得：111a =-，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】1.（普陀2018期末2）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）A. 2210x x -+=B. 210x x --= C. 220x += D. 220x -=【答案】C【解析】A 、440∆＝－＝，有两个相等实数根；B 、450∆=>＝1+，有两个不相等的实数根；C 、80∆=-<＝0-8，无实数根；D 、80∆=>＝0+8，有两个不相等的实数根.故选C.2.（浦东四署2017期中3）下列一元二次方程没有实数解的是（ ）A. 2320x x --=B. 2320x x -+=C. 2230x x +-=D. 2230x x -+=【答案】D.【解析】A 、00∆>＝12+8＝2，有两个不相等实数根；B 、10∆=>＝9-8，有两个不相等的实数根；C 、412160∆+=>＝，有两个不相等的实数根；D 、41280∆-=-<＝，无实数根. 故选D.3.（崇明2018期中3）下列一元二次方程中，有实数根的是（ ） A. B. 210x x -+= C. 210x x ++= D. 210x x --= 【答案】D【解析】D 、因为1450∆+=>＝，所以有两个不相等的实数根；因此选D. 4.（浦东四署2018期中4）下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x --= B. 2210x x -+= C. 220x x -= D. 225x x -=- 【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=-=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=-=-<，无实数根. 故正确答案选D. 5.（闸北2018期中5）下列方程中，无实数解的是（ ）A ． x 2﹣3x +9=0B ．3x 2﹣5x ﹣2=0C ．y 2﹣2y +9=0D ．（1﹣y 2）=y【答案】C【解析】解：A 、∵△=9﹣9=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；B 、∵△=25+24=49＞0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；C 、∵△=4﹣36=﹣32＜0，∴方程没有实数根，本选项符合题意；D 、∵△=1+24=25＞0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意．故选：C ． 6.（上外附2018期中5）关于x 的方程有实数根，则a 满足（ ） A.1≥a 且5≠a B. 1>a 且5≠a C. 1≥a D.5≠a 【答案】A.【解析】根据题意，有5051 5.164(5)(1)01a a a a a a -≠≠⎧⎧≥≠⎨⎨∆=--⨯-≥≥⎩⎩，解之得：即且故选A. 7. （浦东四署2017期中4）关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 满足（ ）A. 1k >B. 1k ≥C. 1k =D. 1k < 【答案】C.【解析】由440k ∆=-=得，k ＝1.因此选C.8.（崇明2018期中4）如果关于x 的一元二次方程22(1)510m x x m -++-=的常数项为0，那么m 的值等于（ ）A. 1或－1；B. 1；C. －1；D. 0.【解析】依题得：，得m ＝－1，故选C.9.（金山2018期中5）一元二次方程220x x --=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=--⨯⨯-=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 10. （嘉定2017期中3）关于x 的方程22(31)20x m x m m +-+-=的根的情况是（ ） A.有两个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 【答案】A【解析】因为2222(31)4(2)96184m m m m m m m ∆=---=-+-+＝221m m -+＝2(1)0m -≥，所以方程有两个不相等实数根或两个相等实数根，即方程有两个实数根.因此选A. 11.（上外附2018期中4）已知关于x 的一元二次方程的常数项为0，则m 的值为（ ） A.3 B. 0 C. －3 D. 3± 【答案】C【解析】根据题意得，故选C.12.（普陀2018期中5）关于x 的方程210x mx m -+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 有两个不相等的实数根； D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】 因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=--=-+=-≥，故原方程有两个实数根，故选D. 13. （松江2018期末7）已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 . 【答案】314m m >≠且. 【解析】根据题意得1014(1)0m m -≠⎧⎨+->⎩，解之得314m m >≠且.14.（浦东四署2017期中11）关于x 的方程2220x mx +-=的一个根是2，则m ＝ .【解析】将x ＝2代入原方程得：8220m +-=，即m ＝－3.15.（嘉定2017期中14）已知0x =是关于x 222230x m m ++--=的一个实数根， 则m ＝ . 【答案】31m m ==-或.【解析】将0x =代入一元二次方程得，2230m m --=，所以(3)(1)0,31m m m m -+=∴==-或 16.（浦东四署2018期中15）已知关于x 的一元二次方程210mx x ++=有实数根，则m 的取值范围 是 . 【答案】104m m ≤≠且. 【解析】因为关于x 的一元二次方程210mx x ++=有实数根，所以有0140m m ≠⎧⎨∆=-≥⎩，解之得.所以m 的取值范围是104m m ≤≠且. 17.（崇明2018期中12）已知1是关于x 的一元二次方程的一个实数根，那么m ＝ . 【答案】2±【解析】将x ＝1代入原方程得：21230m +-=－，24,2m m =∴=±. 18.（金山2018期末10）已知3=x 是方程022=+-m x x 的一个根，那么=m ． 【答案】－3.【解析】x=3代入得960,3m m -+=∴=-19.（普陀2018期中12）如果关于x 的一元二次方程2320x x a --=根的判别式的值是6，那么a ＝ . 【答案】16. 【解析】依题得：443()6a ∆=-⨯⨯-=，所以16a =. 20.（浦东四署2017期中13）当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax -+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=-=得，1a =±.21.（崇明2018期中14）已知关于x 的方程220x x m +-=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是. 【答案】1m >-.【解析】依题得44()0,1m m ∆=-->∴>-.22.（金山2018期中12）关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a 的取值范围 是 . 【答案】908a a >-≠且.【解析】根据题意，有094(2)0a a ≠⎧⎨∆=-⨯->⎩，解之得，故a 的取值范围是908a a >-≠且23.（金山2018期中18）在等腰ABC ∆中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是 . 【答案】25或16.【解析】解：（1）当AB ＝8时，64800,16m m +=∴=－，此时方程210160x x -+=的两根为2或8，所以AB ＝8，AC ＝2，故等腰ABC ∆的三边分别为8、8、2，所以16m =； （2）当AC ＝8时，同（1）得16m =；（3）当AB ＝AC 时，10040,25m m ∆=-=∴=.24.（上外附2018期中17）已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=有两个整数根，则整数m 的值为_________ 【答案】1m =±.【解析】依题知0m ≠，由方程2(31)30mx m x +++=得1(1)(3)0,3mx x x x m++=∴=-=-或，又由于方程有两个整数根，所以1m =±.25.（上外附2018期中16）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程213400x x -+=的根，则该三角形的周长为__________ 【答案】12.【解析】解方程213400x x -+=得58x x ==或，因为3、4、8不能构成一个三角形三边，所以舍去，因此三角形三边长分别为3、4、5，故该三角形周长为12. 26. （浦东四署2018期中25）已知：关于x 的方程.（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求22122018kx k ++的值. 【答案】（1）证明如下；（2）2002. 【解析】 （1）2222(2)41(1)44440k k k k ∆=-⨯⨯-=-+=>，∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以22961068k k k k ++-=+即＝-，所以22122018k k ++22(6)20181620182002k k =++=-+=27.（浦东四署2017期中21）当m 取何值时，关于x 的方程2330mx x -+=.（1）有实数根？ （2）没有实数根？ 【答案】（1）34m ≤；（2）34m >. 【解析】（1）当m ＝0时，方程为330x -+=，此时原方程只有一个实数根为x ＝1； 当0m ≠时，方程为一元二次方程，39430,04m m m ∆=-⨯≥∴≤≠且. 综上所述：当34m ≤时，原方程有实数根. （2）当9430m ∆=-⨯<时，即34m >时，原方程没有实数根.28.（嘉定2017期中24）已知关于x 的一元二次方程2(1)230m x mx m -+++=，求：当方程有两个不相等的实数根时m 的取值范围. 【答案】312m m <≠且. 【解析】依题得21044(1)(3)0m m m m -≠⎧⎨∆=--+>⎩，解之得，故m 的取值范围是312m m <≠且. 29.（闸北2018期中24）关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx +k +3=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【答案】k 且k ≠1．【解析】解：∵关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx +k +3=0有两个不相等的实数根，∴有，即，解得：k 且k ≠1． 答：k 的取值范围为k 且k ≠1．30.（金山2018期末21）已知关于x 的方程24(2)1x k x k -++=有两个相等的实数根，求k 的值及这时方程的根． 【答案】当k=2时, 1212x x ==;当k=10时，方程为1232x x ==. 【解析】原方程可化为24(2)10x k x k -++-=，22(2)16(1)1220k k k k ∆=+--=-+，因为方程有两个相等的实数根，所以212200k k ∆=-+=，解之得k ＝2或k=10. 当k=2时，方程为21214410,2x x x x -+=∴==；当k=10时，方程为212341290,2x x x x -+=∴==. 31．（2020·全国八年级课时练习）一元二次方程x 2﹣3x=1的两个实数根为α，β，则α+β值为（ ） A ．3 B ．﹣1C ．﹣3D ．1【答案】A【分析】根据根与系数的关系即可得出α+β的值．【详解】∵一元二次方程x 2﹣3x=1，即x 2﹣3x ﹣1=0的两个实数根为α，β， ∴α+β=3． 故选A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x 1+x 2=﹣ba，x 1•x 2=c a． 32．（2020·全国八年级课时练习）若方程x 2﹣8x+7=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（ ） A ．8 B ．﹣8C ．7D ．﹣7【答案】C【分析】由韦达定理直接计算即可. 【详解】由韦达定理可得：x 1·x 2=7. 故选C.【点睛】本题主要考查韦达定理，需熟记公式. 33．（2020·全国八年级课时练习）阅读材料：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2，则 x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=ca，我们把这个命题叫做韦达定理，根据上述材料，解决下面问题：（1）一元二次方程 2x 2﹣3x+1=0 的两根为 x 1，x 2，则 x 1+x 2=( )，x 1•x 2=( ) ； （2）已 知 实 数 m 、n 满足 m 2﹣m ﹣1=0，n 2﹣n ﹣1=0 且 m≠n ，求1m +1n的值； （3）若 x 1，x 2总是方程 2x 2+4x+m=0 的两个根，求 x 12+x 22 的最小值．【答案】（1）32，12；（2）﹣1；（3）x 12+x 22的最小值为 2． 【分析】（1）直接利用韦达定理求解；（2）利用已知条件可把 m 、n 看作方程 x 2﹣x ﹣1=0 的两根，利用根与系数的 关系得到 m+n=1，mn=﹣1，而11m n m n mn++=，然后利用整体代入的方法计算； （3）先利用判别式的意义求出 m ≤2，再利用根与系数的关系得到 x 1+x 2=-2，x 1•x 2=2m，由于x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2 x 1•x 2，从而可根据 m 的范围确定x 12+x 22的最小值． 【详解】（1）x 1+x 2=32，x 1•x 2=12；（2）∵实数m 、n 满足m 2-m-1=0，n 2-n-1=0 且m≠n ， ∴m 、n 可看作方程x 2-x-1=0的两根， ∴m+n=1，mn=-1， ∴1m +1n=-1； （3）∵△=42﹣4×2×m≥0， ∴m≤2，根据题意得x 1+x 2=-2，x 1•x 2=2m ， ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=4-m ， ∵m≤2， ∴4-m≥2，∴x 12+x 22的最小值为 2．【点睛】本题考查了根与系数的关系及判别式的意义．。
根的判别式
满分冲关第23页
• 第8题如图，某小区规划在一个长30m、宽 20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通 道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平 行，其余部分种花草。要使每一块花草的 面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多 少m？设通道的宽为 m，由题意列得方 程 •
第2题
D
20
B
C
(30-2X)(20-X)=6×78
2
则原方程为x -3x-4=0
2
x1 1, x2 4
命题3:一元二次方程根的实际运用
• 1、 D • n 原来的值 （ 1 x) 现在的值
表示增长或降低的次数
2、 C
• 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地 上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644 米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽 为x米，则可列方程为( )
第2题
x
80
x
100
第3题
• 两年前,某种化肥的生产成本是2500/吨,随 着生产技术的改进,今年,该化肥的生产成本 下降到1600元/吨. • (1)求前两年该化肥成本的年平均下降率; 设年平均下降率为x 2500（1-x） =1600 1-x= ±0.8 x=0.2或x=1.8(舍去）
2
• (2)如果按此下降率继续下降,再过两年,该化 肥的生产成本是否会降到1000元/吨,请说明 理由. 2 • 1600×（1-0.2） • =1024>1000 所以 不会降到1000元/吨
2
2
为
6
• 第2题：（2013昆明6题3分）一元二次方程
4x 2x 1 0
2
• • • • •
的根的情况是【 】 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
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用公式法求下列方程的根:
用公式法解 一元二次方程 的一般步骤:
1)2 x 2 x 2 0
1 2 2) x x 1 0 4
1)把方程化为一般形式
确定a , b , c 的值
2)计算 b 2 4ac的值
b 2 4ac 0
3)3x2 2 3x 1 0
2
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b
2 2
4ac 0;
如果方程有两个相等的实数根，那么
如果方程没有实数根，那么
2
b 4ac 0;
b 4ac 0.
我们把 b 4ac叫做一元二次方程
2
ax2 bx c 0(a 0)
的根的判别式，用符号“ ”来表示.
2 ax 即一元二次方程 bx c 0 a 0 ，
当 b 2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
b 实数根： x1 x2 ; 2a 2
当 b 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
b 2 4ac
反过来，对于方程 ax bx c 0 a 0 ，
4) x x 1 0
2
3)带入求根公式 b x 计算方程的根
b 2 4ac 2a
温故而知新
2
2 ax bx c 0( a 0 b 一元二次方程 , 4ac 0 )
的求根公式是
b b 4ac x 2a
2
如何把一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 写 成 x h 2 k 的形式？
的值，确定 的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
练习：不解方程，判别关于 x 的方程
x 2 2kx k 0的根的情况.
2 2
分析：a
1 b 22 2k c k 2 解： 2 2k 4 1 k
2
系数含有 字母的方 程
8k 4k 4k
2 2
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根。
反之，同样成立！
练一练
练习：按要求完成下列表格：
方程
2 y2 2 4 y
Δ的值
2( x 2 1) x 0 2 x 2 3x 1 0
0 0
有两个相等 的实数根
ax 2 bx c 0
b c x x 0 a a b c 2 x x a a
2
配方 法
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
2 b b 4ac x 2 2 a 4 a
2
2 b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
2
a 0, 4a 2 0 b 4ac 当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
2
b b2 4ac b b2 4ac 相等的实数根： x1 ; x2 ; 2a 2a
今天的收获：
我 体 会 到 了 …… 我 掌 握 了 …… 我 学 会 了 ……
2
∵ k2
0,4k 0，即 0,
2
方程有两个实数根.
a x ax 1 0 a 0 的根的情况.
2 2
不解方程，判别关于 x的方程
解： (a) 2 4a 2 (1) 5a 2 , 且a 0
5a 2 0,即 0 所以，原方程有两个不相等的实数根。
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
根的情况
让我们一起学习例题
例: 不解方程，判别下列方程根的情况.
Байду номын сангаас
(1)5 x 3 x 2 0
2
( 2) 25 y 4 20 y
2
(3) 2 x
2
3x 1 0
一 般 步 骤 ：
1、化为一般式，确定 2、计算
a、b、c 的值.