实对称矩阵的标准形
合同与相似概念区别
代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C AC =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理：因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。
这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。
“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。
《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。
对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C AC =。
而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容：双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。
§6实对称矩阵的标准形
矩阵的运算
加法
相同位置的元素相加 。
减法
相同位置的元素相减 。
数乘
所有元素乘以一个数 。
乘法
两个矩阵相乘，仅当 第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数 时，才能进行乘法运 算。
转置
将矩阵的行转换为列 ，或者将列转换为行 。
02
实对称矩阵
实对称矩阵的定义
实对称矩阵的定义
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置矩阵A^T等于A， 则称A为实对称矩阵。
矩阵的初等变换
总结词
详细描述
1. 行交换
2. 行倍法
3. 行消法
矩阵的初等变换是线性 代数中常用的方法，通 过行变换和列变换，可 以将一个矩阵转化为另 一个矩阵。
矩阵的初等变换包括以 下三种
将矩阵的两行互换位置 。
将矩阵的某一行乘以非 零常数。
用某一非零常数乘以矩 阵的某一行中的所有元 素，并将此常数加到另 一行对应位置的元素上 。
退化矩阵：至少有一个特征值为零的实对称矩阵。
正常矩阵：所有特征值都是正数的实对称矩阵。
半正定矩阵：所有特征值都是非负数的实对称矩阵，且 至少有一个特征值为零。
03
实对称矩阵的标准形
实对称矩阵标准形的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置等于它本身， 即$A^T=A$，那么我们称A为实对称矩阵。
矩阵的逆运算
要点一
总结词
矩阵的逆运算是线性代数中一个重要的概念，对于一 个可逆矩阵，存在一个逆矩阵，使得两矩阵相乘等于 单位矩阵。
要点二
详细描述
设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（E为单位矩阵），则称A是可逆矩阵，并将 B称为A的逆矩阵。在实数域上，一个n阶方阵A是可逆 的充分必要条件是|A|≠0。
欧几里德空间知识点总结
1, 0,
i j, i j,
3、 运算性质 ①正交矩阵之积/幂为正交矩阵 ②正交矩阵的转置/逆为正交矩阵 ③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵
例1、 P193-194习题1、2、3、4、11
例2、证明上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且 对角线上元素为1或－1。
(利用A1 AT 及AT A I )
4、设 为欧氏空间V上的一个对称变换，则在V 中必存在一组标准正交基使得 在这组基下的矩
阵的对角矩阵。
例1、P199习题1、2、3、
例2、设 AT A R33 , A的特征值为1，－1, 0 对应1，－1的特征向量依次为
1 1,2,2 , 2 2,1,2
求A。 (类似P198例3、P199习题4)
例3、（1）设A为一个 n阶实矩阵且 A 0 ，证明 A可以分解成 A QR，其中 Q 是正交阵，
t11 t12 L t1n
R
0 M
t22 M
L O
t2n M
（R称为正线上三角）
0 0 L tnn
为上三角阵，且 tii 0,i 1,2,L , n ，并证明这个分 解是唯一的。 （P188习题7）
PT AP P1AP diag(1,2,L ,n ). 4) 1,2 ,L ,正n为定A的的全充部要特条征件值是.A的特征根全大于
AT A Rnn 0.
•求解步骤 (i) 求出A的所有不同的特征r 值：1,2 ,L ,r R,
其重数 n1, n2 ,L , nr必满足 ni n ;
i 1
2,
则 是第二类正交交换(称之为镜面反射) （P194习题6）
例1、P194习题5、6、8、
例2、证明第二类正交变换必有特征值－1。
（利用正交变换与正交矩阵的对应关系）
9.6 对称矩阵的标准形
T/AT = B , 即 A 在任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵.
3) => 1)
设在标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn下的矩阵A是实对称矩阵，
即A / = A ，对任意的αβ∈V， α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)X, β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)Y, 则 A α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AX , A β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AY → (A α, β) = (AX)/ Y = X/A/Y =X/AY；(α, A β) = X/(AY) = X/AY, 即 (A α, β) = (α, A β) → 是对称变换. □
补充命题2 1)
2)
单位变换是对称变换；
A ，B 是对称变换，则kA ，AB 仍是对称变换 (对任意的k∈R
).
证明： 略. 定理7 对任意的实对称矩阵A , 存在n阶正交矩阵T, 使得 T/AT = T－1AT 是对角矩阵.
证明分析：
在Rn中, 设A在给定的标准正交基ε1, ε2, ···, εn
因为A εi = a1iε1 + a 2iε2 + a niεn (i=1,2,· · · ,n)，故
a ji = (A εi , εj ) = (εi , A εj ) = aij .
2) => 3) 设A 在任一标准正交基Ⅰ下的矩阵是B，则n维欧氏空
间由标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn到标准正交基Ⅰ的过渡矩阵T是正交 矩阵，即 T/ = T－1，且 B = T －1 AT = T/AT → B/ = (T/AT)/ =
不同的特征值，α,β是A 的分属于λ,μ的特征向量 → Aα=λα, A β=μβ → 因A 是对称变换， (Aα,β) = (α,A β) → (λα,β) = (α,μβ) , 即λ(α,β) =
第九章-第六节-实对称矩阵的标准型
即 ( ) W , ( )W . 故 W 也为 的不变子空间．
§9.6 对称矩阵的标准形
三、实对称矩阵的正交相似对角化
1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的．
证：设实对称矩阵A为 Rn上对称变换 的在标准 正交基下的矩阵， , 是A的两个不同特征值 ， , 分别是属于, 的特征向量．
TAT T 1AT diag(1,2, ,n ).
§9.6 对称矩阵的标准形
证：设A为 Rn上对称变换 在标准正交基下的矩阵．
由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证
有n个特征向量作成的标准正交基即可．
对 Rn 的维数n用归纳法． n=1时，结论是显然的．
假设n－1时结论成立，对 Rn ,设其上的对称变换 有一单位特征向量 1 ，其相应的特征值为 1 ，即
(1 ) 11, | 1 | 1
§9.6 对称矩阵的标准形
设子空间 L(1) W , 显然W是 子空间， 则 W 也是 子空间，且
W W Rn, dimW n 1
又对 , W , 有
W ( ), ( ), , ( ) , W ( )
所以
是
W
k 1
aij ( i , i ) aij
由 是对称变换，有 (i ), j i , ( j )
即 ij ji , i, j 1,2, n,
所以A为对称矩阵．
§9.6 对称矩阵的标准形
2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间．
证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 对 W , 要证 ( )W , 即证 ( ) W . 任取 W , 由W是 子空间，有 ( )W ,
对角化与Jordan标准形
第五讲对角化与Jordan标准形一、正规矩阵1.实对称矩阵与厄M特vHermite）矩阵实对称矩阵：实矩阵占，。
实反对称矩阵：实矩阵吕，s 。
厄M特vHermite）矩阵：复矩阵列，。
反厄M特vHermite）矩阵：复矩阵占，=* .2.正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵----- 11v ）。
酉矩阵：复矩阵口，亠」V耳）.3.正交相似变换和酉相似变换设为正交矩阵，」为实矩阵，称一1为对」的正交相似变换;设耳为酉矩阵，占为复矩阵，称S 为对占的酉相似变换。
4.正规矩阵实矩阵因，若满足，则凶称为实正规矩阵；复矩阵占，若满足GO ，则占称为复正规矩阵。
注1 :实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵；注2:厄M特矩阵、反厄M特矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。
5.相似矩阵的性质相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值、迹、行列式。
【证】二、酉对角化1. Schur 定理:<1）设匸丑的特征值为矩阵吕，使LKI <2）设—的特征值为—LHJ【证】只证V1）结论，V2）的证明类似.对矩阵」的阶数施行数学归纳法•当二|时，结论显然成立•，则存在酉，则存在正交矩阵，使假定对凹阶矩阵结论成立•下面证明对上阶矩阵结论也成立.设丨是」的属于特征值.的特征向量，即|冋，将丨扩充为-的一组标准正交基令 _____________ I ，贝yEKJ即为酉矩阵.对」进行酉相似变换：其第I列元素:LEJ相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于I阶矩阵因，其特征值为m ，根据归纳法假设，存在I阶酉矩阵I，使得[KI 记K H则二'，即凶是酉矩阵，且LHJ［证毕］☆什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2.定理：<1）设I口，则」酉相似于对角矩阵的充要条件是：」为正规矩阵;＜2）设H ，且」的特征值都是实数，则」正交相似于对角矩阵的充要条件是：」为正规矩阵。
【证】只证＜1）结论，＜2）的证明类似.必要性：设存在酉矩阵」，使得——1＜对角矩阵），则有即」为正规矩阵•充分性：设」为正规矩阵，即Schur定理，存在酉矩阵1，使得其中•亠J 是的特征值要证.旦.因为,=] , 9」，所以又丨丨=I L^Jr^i 由对角元素相等可得—.,所以LEJ［证毕］推论：实对称矩阵正交相似于对角矩阵.说明：不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将其对角化，例如冋，_)——«，」不是正规矩阵；但二「，两个特征值互异，可以相似变换对角化。
实对称矩阵的标准型
即 ( ) W , ( )W . 故 W 也为 的不变子空间．
§9.6 对称矩阵的标准形
三、实对称矩阵的正交相似对角化
1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的．
证：设实对称矩阵A为 Rn上对称变换 的在标准 正交基下的矩阵， , 是A的两个不同特征值 ， , 分别是属于, 的特征向量．
(1,... n ) (1,... n ) A 则 即为V的对称变换．
§9.6 对称矩阵的标准形
② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．
事实上，设 为n维欧氏空间V上的对称变换， 1, 2 , , n 为V的一组标准正交基， A (aij ) Rnn
为 在这组基下的矩阵，即
( ), , ( ), , V ,
则称 为对称变换．
§9.6 对称矩阵的标准形
2．基本性质
1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的：
① 实对称矩阵可确定一个对称变换．
事实上，设 A Rnn , A A, 1, 2 ,..., n 为V的 一组标准正交基． 定义V的线性变换 ：
则 ( ) A , ( ) A ,
由 ( ), , ( )
§9.6 对称矩阵的标准形
有 ( , ) ( , ), 即 ( , ) ( , ). 又 , ( , ) 0 即 , 正交．
n
aki ( k , j )
k1
k1
a ji ( j , j ) a ji
n
n
§6实对称矩阵的标准形
2023-11-11CATALOGUE 目录•实对称矩阵的定义与性质•实对称矩阵的对角化•实对称矩阵的正交变换与标准形•实对称矩阵标准形的求解方法•实对称矩阵标准形的应用01实对称矩阵的定义与性质实对称矩阵的定义性质1实对称矩阵的特征值都是实数。
这是因为实对称矩阵的特征多项式系数都是实数，因此其根（即特征值）也必须是实数。
性质2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交。
这是由实对称矩阵的定义和特征向量的性质共同决定的。
性质3实对称矩阵一定可以相似对角化，即存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。
这是因为实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，且可以单位化，因此这些单位化的特征向量构成的矩阵 $P$ 就是所求的可逆矩阵。
例子1二维单位矩阵 $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个实对称矩阵，因为$I_2^T=I_2$。
它的特征值是1，对应的特征向量是 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
要点一要点二例子2二维矩阵 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 也是一个实对称矩阵，因为 $A^T=A$。
它的特征值是1和-1，对应的特征向量分别是 $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}$。
这些特征向量正交，且可以单位化，验证了实对称矩阵的性质2和性质3。
02实对称矩阵的对角化定义性质对角化的定义与性质方法一方法二实对称矩阵对角化的方法性质实对称矩阵对角化后得到的对角矩阵D中，对角线上的元素即为原矩阵的特征值，且这些特征值都是实数。
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•又由A实对称，有
5
•考察等式， •由于 是非零复向量，必有
•故
6
•引理2 设A是实对称矩阵，在 n维欧氏空间 上
•定义一个线性变换 如下：
•则对任意
有
•或
7
•证：取 的一组标准正交基，
•则 在基
下的矩阵为A，即
•任取
8
•即
•于是
•又
是标准正交基，
9
•又注意到在 中 •即有
•二、对称变换
•1．定义
8
•事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T
•取正交矩阵 •则 是正交矩阵且 •同时有
9
•② 如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与
•实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的． •③ 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可
•用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：
•设
为实对称矩阵A的所有特征值
•2．任意n元实二次型的正交线性替换化标准形
•1）正交线性替换
•如果线性替换
X=CY
•的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.
•从而
就是 的一组标准正交基，
•又都是 的特征向量．•即结论成立．
•3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
•设 •(i) 求出A的所有不同的特征值：
•其重数
必满足
;
•(ii) 对每个 ，解齐次线性方程组
9
•求出它的一个基础解系：
•它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基．
•把它们按
正交化过程化成 的一组标准
•对 的维数n用归纳法． •n=1时，结论是显然的． •假设n－1时结论成立，对
设其上的对称变换
•有一单位特征向量 ，其相应的特征值为 ，即
7
•设子空间
•显然W是 子空间，
•则 也是 子空间，且
•又对
有
•所以 是 上的对称变换． •由归纳假设知 有n－1 个特征向量 •构成 的一组标准正交基．
8
实对称矩阵的标准形
2
• §9.6 对称矩阵的标准形
•一、实对称矩阵的一些性质 •二、对称变换 •三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 •四、实二次型的主轴问题
3
•一、实对称矩阵的一些性质
•引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．
•证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量
•满足
4
•令
•其中 为 的共轭复数，
•设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足
•则称 为对称变换．
0
•2．基本性质
•1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在
•标准正交基下是相互确定的：
•① 实对称矩阵可确定一个对称变换．
•事实上，设
•为V的
•一组标准正交基．•定义V的线性变换 ：
•则 即为V的对称变换．
1
•② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． •事实上，设 为n维欧氏空间V上的对称变换， •为V的一组标准正交基，
•为 在这组基下的矩阵，即
•或
2
•于是
•由 是对称变换，有 •即 •所以A为对称矩阵．
3
•2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 •它的不变子空间．
•证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间．
•对
•要证
•即证
•任取
•由W是 子空间，有
•因此
•即 •故 也为 的不变子空间．
4
•三、实对称矩阵的正交相似对角化
•(i) A为正定的
•(ii) A为半正定的
•(iii) A为负定（半负定）的
0
•(iv) A为不定的
•且
•④ 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特 •特征值的个数（重根按重数计）．
1
•四、实二次型的主轴问题
•1．解析几何中主轴问题 •将 上有心 二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标
•的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.
•正交基交基．
•就是V的一组
0
•将
•的分量依次作
•矩阵T的第1，2，…，n列， •则T是正交矩阵，且
•使
为对角形．
•例1．设
•求一正交矩阵T使
成对角形．
1
•解：先求A的特征值．
•A的特征值为 （三重）,
2
•其次求属于
的特征向量，即求解方程组
•得其基础解
3
•把它正交化，得
•再单位化，得
4
•这是特征值
(三重)的三个单位正交特征向量，
•也即是特征子空间 的一组标准正交基．
5
•再求属于
的特征向量，即解方程组
•得其基础解
6
•再单位化得
•这样
构成 的一组标准正交基，它们
•都是A的特征向量，正交矩阵
7
•使得
•注：
•① 对于实对称矩阵A，使 •成立的正交矩阵不是唯一的．•而且对于正交矩阵T, •还可进一步要求
•1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
•是正交的． •证：设实对称矩阵A为 上对称变换 的在标准
•正交基下的矩阵， •是A的两个不同特征值 ， • 分别是属于 的特征向量．
•则
•由
5
•有 •即 •又 •即 正交．
•２．
•(定理7)对
总有正交矩阵T，使
6
•证：设A为 上对称变换 在标准正交基下的矩阵． •由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证 • 有n个特征向量作成的标准正交基即可．