3-2 换元积分法

2
( t + 1) − 1 = 2∫ dt
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1 dt = 2∫ 1 − 2 1+ t = 2( t − arctan t ) + C ,
回代变量 t =
x − 1, 得
∫
x −1 dx = 2( t − arctan t ) + C x
= 2( x − 1 − arctan x − 1 ) + C .
sec xdx = ln sec x + tan x + C. ∫
类似可得
注意： 注意： 求同一不定积分， 求同一不定积分，因使用的方法不 同，其结果可能具有不同的形式，但实质 其结果可能具有不同的形式， 是相同的． 是相同的．
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二、第二类换元积分法
单调可微
连续， 定理2 定理2 设函数 f ( x ) 连续，函数 x = ψ (t )
−1 ( x )， ′( t ) = f [ψ ( t ) ]ψ ′( t )，则 F t =ψ
(ψ ′( t ) ≠ 0 )
令x =ψ ( t )
，其反函数为
∫ f ( x ) dx
= F (t ) + C
−1 ( x ) 回代 t =ψ
∫
f [ψ ( t ) ]ψ ′( t ) dt
F [ψ ( x )] + C .
3 6 6
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1 1+ x 例6 求 ∫ dx . x x
为了去掉被积函数中的根号， 解 为了去掉被积函数中的根号，令
1+ x 1 = t, x = 2 , x t −1
则
2t dx = − 2 dt , 2 ( t − 1)
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于是有
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1 1+ x t dx = −2∫ 2 dt ∫x x t −1 2 ( t − 1) + 1 1 dt = −2 ∫ 1 + 2 = −2 ∫ dt 2 t −1 t − 1 1 t −1 dt = −2t − ln = −2 t − 2 ∫ 2 +C t +1 t −1 1+ x −1 1+ x x + C. = −2 − ln 1+ x x +1 x
2
均为常数, 其中 a, b 均为常数 且a≠0.
．
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计算下列不定积分： 例1 计算下列不定积分：
lnx (1) ∫ dx ; x
1 令 u = ln x ， du = dx ，从而有 ( 2) ∫ tan x dx . x lnx ∫ tan x dx 1 2 1 2 即 dx =tan x dx = − ln cos= + C x + C ∫ x ∫ ∫ udu = 2 u + C x2 ln sin x 1 类似可得 dx d x) = u =∫ 当运算熟练后， = − ∫ 当运算熟练后，变量代换 ϕ ((cos x ) cos x cos x cot = ln ∫− ln xdxx + Csin x + C 和回代这两个步骤可省略不写． 和回代这两个步骤可省略不写． cos . =
1 1 ′ cos 3 x 3 求∫ sindxx. = cos 3 x , 即 sin 3 x 3 3
∫
∫
关键： 关键：
下列变形，然后进行计算． 下列变形，然后进行计算 + 利用 cos udu = sin u ． C ∫ 的可微函数） （ u 是 x 的可微函数）
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常用的凑微分公式 1 dx = d (ax + b ) ; a
e dx = de ;
x x
1 1 dx = − d ; 2 x x x 2 dx = − d 1 − x ; cos xdx = d sin x ; 1 − x2 x dx = d 1 + x 2 ; sin xdx = −d cos x ; 1 + x2
∫ ( 1 + cos 2 t ) dt
a 1 = t + sin 2 t + C 2 2 2 a = ( t + sin t cos t ) + C , 2
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2
回代， 为简便起见， 回代，把变量 t 换为 x. 为简便起见，根据
∫
f [ ϕ( x∵] ϕ′[ϕ ()xdx = f [ϕ ((x )]ϕ ′( x )dxF(u) + C ) dF ( x )] = ∫ f u) du = = F[ ϕ= F [ + C ∴ ∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx ( x) ]ϕ ( x )] .+ C
上述积分法称为第一类换元积分法(或凑微分法). 上述积分法称为第一类换元积分法(或凑微分法). 由此可得定理1. 由此可得定理 第一类换元积分法 关键: 关键 将∫ g( x)dx化为 f [ϕ( x)]ϕ′( x)dx. ∫
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方法三： 方法三：
1 ∫ cscx d x = ∫ sin x dx 1 1 dx = ∫ dx =∫ x x x 2sin cos 2 sin 2 2 2 ⋅ cos 2 x x 2 cos 2 1 x x d tan = ln tan + C . =∫ x 2 2 tan 2
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1 dx . 例5 求 ∫ 3 x+ x 为了去掉根号， 解 被积函数含根式 x , 3 x , 为了去掉根号， 6 则 dx = 6 t 5 dt , 于是有 6 令 x = t, x = t , 5 1 6t ∫ x + 3 x dx = ∫ t 3 + t 2 dt 3 3 t ( t + 1) − 1 = 6∫ dt = 6 ∫ dt t +1 t +1 1 2 = 6∫ t − t + 1 − dt t + 1
2
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2. 三角代换
例7 求
∫
a − x dx , ( a > 0 ).
2 2
被积函数含有二次根式， 解 被积函数含有二次根式，若用简单根式 代换， 代换，即令 不能奏效． a − x = t , 不能奏效．但可以
2 2
2 2
利用三角函数恒等式 sin x + cos x = 1, 使其有理化．为此， 使其有理化．为此，
．
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即
1 1 x−a ∫ x2 − a2 dx = 2a ln x + a + C.
类似可得
1 1 a+ x ∫ a2 − x2 dx = 2a ln a − x + C.
．
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（4）方法一： 方法一：
∫ csc xdx
x 2 x cos + sin 1 2 2 dx dx = ∫ =∫ x x sin x 2sin cos 2 2 x x x = ∫ tan + cot d 2 2 2
．
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计算下列不定积分： 例2 计算下列不定积分：
sin( x + 1) x ∫x +41dx x 1 ∫ dx 1 4 d ( x 2 ) sin( ) = ∫ ( 2) ∫ 1 − x dx . 2 1− x x = 2 ∫ sin( x + 1)d x 1 2 = arcsinx + C . 2 = 2 ∫ sin ( x + 1)d ( x + 1) = −2cos ( x + 1) + C .
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1 2 xdx = d ax + b ; 2a 1 dx = d ln x ; x 1 dx = 2d x ; x
(
)
sin 2 xdx = d sin x = −d cos x ;
2 2
sec xdx = d tan x ; 1 dx = d arcsin x = −d arccos x ; 2 1− x 1 dx = d arctan x = − d arc cot x . 2 1+ x 1 一般有: 一般有 ϕ′( x) dx = dϕ( x) = d[ aϕ( x) + b ] . a
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方法四： 方法四：
csc x ( csc x − cot x ) ∫ cscx d x = ∫ csc x − cot x dx
d ( csc x − cot x ) =∫ csc x − cot x = ln csc x − cot x + C .
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即
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C.
．
(1)
∫
x 1 − x4
dx ;
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dx 计算下列不定积分： 例3 计算下列不定积分：
(1)
( 2)
( 3)
( 4)
1 ∫xdx2 ;− a 2 =∫∫cos 2+xdx( x − a ) dx 3 x (x a) cos ∫ 3 1 1∫ cos+x dx x 1 1 dx = ∫ = − cos2 dx 2 2; x 2 ∫ cos xdxa x −=a∫ cos+2a cosx d x ∫a ) xd1( x + a ) dx 1 d ( x − − = 2 ; ∫ = 1 dx ∫ 2 cos2xd 2 x ∫ x 2 − a a x= 2 ∫1 − sinx∫+)d (sinx ) ( +4x a 2 a −∫ 1. 1x cscxdx [ ln x − 1 − ln 1 + a3 ] + C a x x − sin 2 xx + C . = ∫ = sin + sin + C . = 2a 2 43 1 x−a ln = + C. 2a x + a