第2节换元积分法
解 xe x2 dx 1 ex2dx2 1 e x2 C
2
2
例4 求不定积分 tan xdx
解
tan xdx
sin x cos x
dx
d cos x cos x
lncosxC
同理 co tx d xlnsinxC
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例5
求不定积分
dx
a2 x2
dx
dcos x
1cos2 x
1ln1cosx C 2 1cosx
ln 1cosx C lncscxcotxC sinx
同理 s e c x d x ln s e c x ta n x C
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
另一种解题技巧
解 sec xdx secsxe(cse xc xt an tax nx)dx
n
(3)
f (xn) 1dx 1 xn
f(xn)x1ndxn
万 能 凑 幂 法
(4)f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx
(5)f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosx
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第5章 不定积分
(6 )f(ta nx)sec2x dxf(tanx)dtanx
第5章 不定积分
例8
求不定积分
dx x 3 x2
解 令 t 6 x , 则 xt6,dx6t5dt
dx
6 t 5dt
t2
x 3 x2
t3 t4
6
dt 1 t
t2 11
6 1t dt
6(t1)dt61 1tdt
3 t2 6 t6 lnt 1 C
33x66x6 ln6x 1C
6/2/2020 8:43 AM
f(u)duF (u)C
因为 {F[(x)]}
则 f[(x ) ](x ) d x F [(x ) ] Cf[(x)](x)
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第5章 不定积分
例1
求不定积分
2
dx x
1
解 令 u2x1, 则 d x 1 d u
2
2
d x
x
1
1 2
du u
1 ln u C 1ln2x1C
第5章 不定积分
例9
求不定积分
dx 1 ex
解 令 t 1ex , 则 xln(t21),dxt22t dt1
dx 1 ex
t
2
2
1
dt
t11dtt11dt
ln t 1 C ln
1ex 1 C
t 1
1ex 1
2ln (1ex1)xC
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第5章 不定积分
例10 求不定积分 a2x2dx (a0)
2
2
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例2 求不定积分 x x2 3dx
解 令 u x2 3, 则 xdx 1 du
2
x x2 3dx 1
1
u 2du
2
1
3
u2
C
1(x2
3
3)2
C
3
3
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
当运算熟练时，可以不必将 u 写出来。
例3 求不定积分 xe x2dx
(a0)
解
dx
a2 x2
21a(a 1xa 1x)dx
2 1 a(a 1xdxa 1xdx)
1(lnaxlnax)C 2a
1 ln a x C 2a ax
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例6 求不定积分 csc xdx
解
csc xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
解 令 xasint(t[,]),则 d x a c o std t
22
a2 x2dx a2 cost•costdt
a
x
tHale Waihona Puke a2 x2a2 cos2tdt a2 1cos2tdt 2 a2 1 (t sin2t)C
22
a2arcsinxxa2x2C 2 a2
6/2/2020 8:43 AM
§5.2 换元积分法
1. 第一类换元法（凑微分、配元法） 2. 第二类换元法（置换法）
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
1. 第一类换元法 若所求积分具有以下特征
f[(x)](x)dx 或 f[(x)]d(x) 此时设 u(x) ，上式变为 f (u)du
若 f(u),(x)及 ( x )均为连续函数，且
(7) f(ex)exdx f(ex)dex
(8)
f(lnx)1dx x
f(lnx)dlnx
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
第一类换元积分常用简化技巧
(1) 分项积分：利用积化和差；分式分项；
第5章 不定积分
a2 x2
t
a
例11
求不定积分
dx a2 x2
(a0)
解 令 xatant(t(,)),则dxasec2tdt
22
dx
sectdt
a2 x2
x lnsecttantC 1
CC1lna
ln x a
a2 x2 a
C1 lnx
a2x2 C
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第5章 不定积分
sec2xsecx•tanx
secxtanx dx d(sseeccxxttaannxx)
lnsecxtanxC
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第5章 不定积分
2. 第二类换元法
若所求积分 f (u)du , 此时设 u(x) ， 上式变为 f[(x)](x)dx
如果 f[(x )](x )d x F (x ) C
则 f(u )d u F [ 1 (u )] C
(x)的
反函数
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例7
求不定积分
xdx x3
解 令 t x3 , 则 xt23,dx2tdt
xdx x3
2
(t2
t
3)t
dt
2(t23)dt
2(1t3 3t)C 3
2(x3) x36x3C 3
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例12
求不定积分
dx x2 a2
(a0)
解 令 xasect(t (0 ,)U (,)),
则 d x a s e c tt a n t d t
22 x
x2 a2
t
dx
x2 a2
sectdt lnsecttantC 1 a
CC1lna
ln x a
x2 a2 a
C1 lnx
x2a2 C
6/2/2020 8:43 AM
内容小结
第5章 不定积分
两类积分之间的关系
第一类换元积分
u(x)
f[(x)](x)dx
f (u)du
第二类换元积分
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
第一类换元积分常用的几种配元形式
(1) f(axb)dxa 1f(axb)d(axb)
(2) f(xn)xn1dx 1 f(xn)dxn
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高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
不定积分的第二类换元积分法
F (t) C F[j -1(x)] C.
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
{F[j -1(x)]}
F (t)
dt dx
f
[j(t)]j(t)
1 dx
f
[j(t)]
f
(x)
.
dt
一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式
❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
22
a2 x2 a sect.
•去 根 x2 - a2 (a 0) 式作代换 x asect, t (0, )
2 x2 - a2 a tan t.
dx asect tantdt
y sec x
例1 求 a2 - x2 dx (a 0)
解 令x asin t dx acostdt t - ,
ln | x x2 a2 | C
❖（2）根式代换(去根式)
例4 求
1 dx x (1 3 x )
解 令 x t 6 (t 0), dx 6t5dt
1 dx x (1 3 x )
t
3
6t 5 (1 t
2
)
dt
6t 2 1 t2
dt
6
t
2 1 1 t
-
2
1
dt
6
1
1 1 t2
dt
6[t
-
arctant]
C
6[6 x - arctan 6 x ] C
❖（2）根式代换(去根式)
例5
1
求 1 ex dx
解令 t 1 ex , ex t 2 -1,
x ln(t 2 -1),
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
{F[j -1(x)]}
F (t)
dt dx
f
[j(t)]j(t)
1 dx
f
[j(t)]
f
(x)
.
dt
一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式
❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
22
a2 x2 a sect.
•去 根 x2 - a2 (a 0) 式作代换 x asect, t (0, )
2 x2 - a2 a tan t.
dx asect tantdt
y sec x
例1 求 a2 - x2 dx (a 0)
解 令x asin t dx acostdt t - ,
ln | x x2 a2 | C
❖（2）根式代换(去根式)
例4 求
1 dx x (1 3 x )
解 令 x t 6 (t 0), dx 6t5dt
1 dx x (1 3 x )
t
3
6t 5 (1 t
2
)
dt
6t 2 1 t2
dt
6
t
2 1 1 t
-
2
1
dt
6
1
1 1 t2
dt
6[t
-
arctant]
C
6[6 x - arctan 6 x ] C
❖（2）根式代换(去根式)
例5
1
求 1 ex dx
解令 t 1 ex , ex t 2 -1,
x ln(t 2 -1),
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
换元积分
t 到分子上去，使分母的次数降低.
第二节 换元积分法
基本积分表的扩充
(14) sh x dx ch x C , (15) ch x dx sh x C , (16) tan x dx ln | cos x | C , (17) cot x dx ln | sin x | C , (18) sec x dx ln | sec x tan x | C , (19) csc x dx ln | csc x cot x | C ,
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77
解
求求
ddxx xx((11 22llnn
dx
x(1 2 ln x)
xx)) ..
例10
第 二节d(换ln元x)积解分法1
1 2 ln x 2
求 sin 44 xdx .
sind4(2xdlnxx)
1 cos 2x 2
1 2 ln x 第二节2 换元积
.
ta
x
2
a
t
2
t
1 d(1 a2t 2 )
1
22
x2 a2
第二节 换元积分法
第二换元积分法常用的4种代换
(1) x = asin t 用于被积函数中含有 a2 x2 , (2) x = atan t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (3) x = asec t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (4) x 1 用于将被积函数分母中的高次因子翻
换元公式 f [(x)](x)dx f (u)du . u ( x) 证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何应F用(u换) 元f公(u式) 求或 g(fx()udx)d呢u ？F(u) C .
第二节 换元积分法
基本积分表的扩充
(14) sh x dx ch x C , (15) ch x dx sh x C , (16) tan x dx ln | cos x | C , (17) cot x dx ln | sin x | C , (18) sec x dx ln | sec x tan x | C , (19) csc x dx ln | csc x cot x | C ,
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77
解
求求
ddxx xx((11 22llnn
dx
x(1 2 ln x)
xx)) ..
例10
第 二节d(换ln元x)积解分法1
1 2 ln x 2
求 sin 44 xdx .
sind4(2xdlnxx)
1 cos 2x 2
1 2 ln x 第二节2 换元积
.
ta
x
2
a
t
2
t
1 d(1 a2t 2 )
1
22
x2 a2
第二节 换元积分法
第二换元积分法常用的4种代换
(1) x = asin t 用于被积函数中含有 a2 x2 , (2) x = atan t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (3) x = asec t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (4) x 1 用于将被积函数分母中的高次因子翻
换元公式 f [(x)](x)dx f (u)du . u ( x) 证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何应F用(u换) 元f公(u式) 求或 g(fx()udx)d呢u ？F(u) C .
《微积分》第二节 不定积分的第二类换元积分法
dx a sec t tan t d t
∴ 原式
a sect tan t a tan t
dt
sect d t
ln sec t tan t C1
t
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
(C C1 ln a)
当x a 时 , 令 x u , 则 u a , 于是
du u 2 a2 ln u
2
,
2
sec tdt ln| sect tan t | C1
ln
x a
ln( x
x2 a
a2
C1
x2 a2 ) C.
x2 a2
x
t a
(C C1 ln a)
例4. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sec t
,
t
(0,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
x5 dx
1 x2
t2 1 2
t tdt
t 4 2t 2 1 dt
1 t5 2 t3 t C 1 (8 4x2 3x4 ) 1 x2 C.
53
15
例6 求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1,
x lnt2 1,
dx
t
2t 2
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1( x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t) , 令 F ( x) [ 1( x) ] (t) f [ (t)] (t)
则
第2节换元积分法
或
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数， 且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时， 可以不必将 u 写出来。 例3 求不定积分 解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数， 且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时， 可以不必将 u 写出来。 例3 求不定积分 解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x
2第二节换元积分法
2 sin 2
x 2
1 cos x
csc x cot x.
2 cos x sin x
sin x
2
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解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
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例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
1 2
1du u
1 ln u 2
C
1 2
ln(3
2x)
C.
一般地
f
(ax b)dx
例5 求
1 dx a 0.
a2 x2
解
1 dx 1
a2 x2
a
1 dx
1
x a
2
1
1
x a
2
d
x a
arcsin x C a
目录 上一页 下一页 退 出
例6 求 tan xdx.
解
tan xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d
cos
x
ln cos x C.
x4
高等数学 4-2换元积分法
说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分 说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
第二节 不定积分的换元积分法
例22 求
∫
1
2
1 x 4 − x arcsin 2
2
dx .
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1
dx = ∫
1
2
x 1− arcsin 2 2
x d x 2
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
例23. 求
(x +1)e 1 1 dx = ∫( x − )d(xex ) 解: 原式= ∫ x x xe (1+ xex ) xe 1+ xe
x
= ln xex −ln 1+ xex +C = x +ln x −ln 1+ xex +C
1 1+ xex − xex 分析: 分析 x x = xe (1+ xe ) xex (1+ xex )
(x +1 exdx = xexdx +exdx )
例24. 求
f (x) f ′′(x) f (x) 1− dx 解: 原式 = ∫ 2 f ′(x) f ′ (x)
d(x + a) 1 d(x −a) −∫ = ∫ x +a 2a x −a
1 x −a 1 +C = [ ln x−a −ln x+ a ] +C = ln 2a x +a 2a
常用的几种配元形式:
1 1 ∫ f (ax +b)dx = ) a 1 n n− 1 2) ∫ f (x ) x dx = n 1 n 1 3) ∫ f (x ) d x = n x
1 1 2 = ( 2 x + 3) − ( 2 x − 1) 2 + C . 12 12
不定积分求解方法换元法
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C
a
a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
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例3. （P223） 求
dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
d (ax)
a2 x2 a 1 (ax)2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u )f(u ),u(x)可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)d x
f[(x) ](x)d x F[(x) ]CF(u)Cu(x) f(u)duu (x)
f[(x) ](x)dx 第一类换元法 f (u)du 第二类换元法
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a f(axb) d(axb)
(2 ) f(xn)xn 1d x1 f (xn) d x n n
万 能
(3) f(xn)1dx1 xn
f
du u2 a2
lnuu2a2C 1
lnxx2a2C 1
ln a2 x x2a2
C1
lnx x2a2 C(C C 1 2 la n )
x a 时，
dx x2 a2
lnx x2a2C
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