§7-3 波的能量,惠更斯原理
波面和波线 惠更斯原理
大小： J dP wu
u
dS
S
方向：波的传播方向
矢量表示式：
J
wu
J
波的强度：一个周期内能流密度大小的平均值.
I J 1 T Jdt u T wdt uw 1 A2 2u A2
T0
T0
2
❖ 球面波的振幅 （介质不吸收能量）
由
1 2
A12 2uS1
1 2
A22 2uS2
得
A12 4π r12 A22 4πr22
r2 122 52 m 13m
P
两列波到达 P 点的相位差为
Δ
(2
1)
2π
r2
r1
2π
2π
8 0.2
78π
相位差为的偶数倍，故P点两波干涉相长.
例:A、B 为两相干波源, 距离为 30 m,振幅相同, 相同,初相差为 , u = 400 m/s , f =100 Hz,求A、
B 连线上因干涉而静止的各点位置。
质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质 点的振动相位相反; 即驻波中不存在相位的传播.
(3) 没有能量的定向传播.能量只是在波节和波腹之间，进行 动能和势能的转化.
t0
势能
t T 4
动能
t T 2
势能
波面
波线
y
波线
x
球面波
柱面波
➢ 说明: 在各向同性均匀介质中，波线⊥波面．
13.5.2 惠更斯原理
惠更斯原理：行进中的波面上任意一 点都 可看作是新的子波源；所有子波 源各自向外发出许多子波；各个子波 所形成的包络面，就是原波面在一定 时间内所传播到的新波面．
➢ 应用
S1
惠更斯原理解释衍射现象
惠更斯原理解释衍射现象引言衍射是物理学中一个重要的现象，它描述了当光线通过一个障碍物或者通过一个边缘时，发生的弯曲和扩散。
这个现象可以通过惠更斯原理来解释和理解。
惠更斯原理认为，每个点都可以看作是发射出波的波源，这些波在传播过程中相互干涉，形成新的波前。
在本文中，我们将详细说明惠更斯原理以及如何利用该原理解释衍射现象。
惠更斯原理的基本概念惠更斯原理是由法国物理学家惠更斯在17世纪提出的。
该原理认为，光线传播过程中，每个点都可以看作是发出波的波源。
在传播过程中，波会沿着各个方向传播，而波前则是波传播线上各个点的集合。
惠更斯原理的核心思想是，波会在传播过程中与其他波相互干涉，形成新的波前。
衍射现象的解释衍射现象可以被理解为波在通过障碍物或者经过边缘时产生的干涉现象。
当光线通过一个具有边缘或者孔径的障碍物时，波的传播会受到一定程度的限制和干涉，导致光线的扩散和弯曲。
这种现象就是衍射。
惠更斯原理可以很好地解释衍射现象。
惠更斯原理认为，波将在波前上的每一个点发出次波作为次波源。
这些次波源在传播过程中相互干涉，并产生新的波前。
当波在通过一个边缘时，边缘上的每个点都可以看作是一个次波源。
这些次波源发出的次波将以不同的相位和振幅发生干涉，产生一个新的波前。
这个新的波前将继续传播，并将波的能量扩散到边缘之外的区域，从而形成衍射现象。
衍射的实际应用衍射现象在光学和声学领域有许多实际应用。
以下是一些常见的应用：1.衍射光栅：衍射光栅是一种具有周期性结构的光学元件，它利用衍射现象将光分散成不同的颜色。
衍射光栅广泛应用于光谱仪、激光器和光通信等领域。
2.衍射声纳：衍射现象也存在于声学领域。
声波在通过边缘或孔径时会产生衍射现象，导致声波的传播方向发生变化。
基于衍射原理的声纳技术被广泛应用于水下通信和探测等领域。
3.衍射成像：衍射现象可以用于成像。
例如，透过窄缝或小孔的光线经过衍射后，可以在屏幕上形成干涉条纹。
基于这种原理，人们可以用衍射成像技术观察微小的细节和结构。
波的能量
第4节 波的能量一、 波的能量密度 绳上横波 质量线密度μ )(cos[),(ω-=cx t A t x y x m ∆=∆μ， ])(sin[ϕωω+--=∂∂=cx t A t y V ])([sin 21212222ϕωω+-∆=∆=cx t A m mV E k 伸长量x l ∆-∆=]1)(1[)()(222-∂∂+∆=∆-∆+∆xy x x y x 小振幅条件下，xy ∂∂（波形曲线切线斜率）及其平方很小 +∂∂+=∂∂+22/12)(211])(1[xy x y x l ∆-∆≈21()02y x x∂∆≈∂，则 T T T =≈21 ≈∆-∆=T x l E P )(xT xy ∆∂∂2)(21 ])(sin[ϕωω+-=∂∂cx t A c x y ，2c T μ= ])([sin 2122222ϕωωμ+-∆=c x t A cx c E P =])([sin 21222ϕωω+-∆cx t A m =E k E +P E =])([sin 222ϕωω+-∆cx t A m 结论：（1）k E 、P E 都是时间的周期函数，且k E =P E（2）E 是时间的周期函数平衡位置→最大位移处，能量↓最大位移处→平衡位置，能量↑（3）能量的传播速度也是c无限大各向同性均匀媒质也成立V m ∆=∆ρ ∆ =E k E +P E =])([sin 222ϕωωρ+-∆cx t A V 能量密度：V E w ∆==])([sin 222ϕωρω+-cx t A平均能量密度220211A wdt T w T ρω==⎰ 二、 能流密度（波的强度）：单位时间内通过与波的传播方向c相垂直的单位面积的平均能量c A c w I 2221ρω==c A c wI 2221ρω==，2A I ∝ 三、 平面和球面谐波的振幅1、 平面谐波 S I S I 21=cS A cS A 2222122121ρωρω= 21A A = ])(c o s [),(ϕω+-=cx t A t x y ， 2、 球面谐波2211S I S I =2222221212421421r c A r c A πρωπρω=2211r A r A =，2112r r A A =，r A 1∝，I ∝])(cos[)(),(ϕωξ+-=cr t r A t r m r 10=，0A ，r r A r A )(00=，rA r A 0)(= ])(cos[),(0ϕωξ+-=cr t r A t r第5节 惠更斯原理一、 惠更斯原理（1690年）“媒质中波动传到的各点都可以看作发射子波的波源，在其后任意时刻这些子波的包络面（公切面）就是新的波阵面”例t 1r t t ∆+ t c ∆t c r r ∆+=12二、 波的绕射（衍射）当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向会发生变化，并且能够绕过障碍物的边缘继续向前传播：波的绕射波的传播方向第6节 波的干涉一、 波的独立传播原理和迭加原理当几列波在媒质中相遇时，每一列波的振幅、频率、波长、 振动方向及传播方向不因其它波的存在而受影响，或者说 每一列波都保持其独立的传播特性——波的独立传播原理 当几列波在媒质中相遇时，媒质质点的振动位移等于每列波 单独引起位移的矢量和——波的迭加原理二、 波的干涉1、 波的干涉现象，p146如果两列波在相遇区域迭加的结果使得某些点上振动始终加强 某些点上振动始终减弱，形成稳定的干涉花样：波的干涉现象2、 相干条件同振向、同频率、位相差恒定——相干条件相干波，相干波源3、 定量分析)c o s (11010ϕω+=t A y )c o s (22020ϕω+=t A y 1S])(c o s[1111ϕω+-=cr t A y ])(c o s [2222ϕω+-=cr t A y 2S 21y y y +==])(cos[111ϕω+-c r t A +])(cos[222ϕω+-c r t A ϕ∆++=c o s 2212221A A A A Aϕ∆++=c o s 22121I I I I I ，（2A I ∝） -+-=∆])([22ϕωϕc r t ])([11ϕω+-cr t =)(1212r r c ---ωϕϕ=)(21212r r ---λπϕϕ =∆ϕ)(21212r r ---λπϕϕ：两列波在P 点的相位差 δ=-12r r ：波程差=∆ϕπk 2±， 2,1,0=k ，21A A A +=最大，21212I I I I I ++=，干涉加强=∆ϕπ)12(+±k ， 2,1,0=k ，21A A A -=最小，21212I I I I I -+=，干涉相消如果21ϕϕ=，=∆ϕ)(212r r --λπ 干涉加强条件=∆ϕπλπk r r 2)(212±=-- λδk r r ±=-=12， 2,1,0=k干涉相消条件=∆ϕπλπ)12()(212+±=--k r r λλδ)21(2)12(12+±=+±=-=k k r r , 2,1,0=k 4、 （1）干涉加强或相消是指合振幅或波的强度最大或最小 而不是合位移最大或最小（2）位相差恒定要求两个波源在观察时间内持续振动（3）ϕ∆由两部分组成（4）干涉后，波的能量重新分布例：A ，B 两个相干波源，等振幅 x P 20-x同频率=ν100Hz ，初相差π相距20m,波速s m c /200= A 20m B 求：A ，B 连线上因干涉而静止的点解：=∆ϕ)(21212r r ---λπϕϕ =2(20)()x x c πνπλν---=)220(x --ππ=π)12(+k k x +=10 , 10,2,1,0±±±= k20,,1,0 =x m例：声波干涉仪 EC 每移动8cm ，声音减弱一次 x 求：声波的频率（空气中声速s m c /340=）解：21ϕϕ=λλ)21(2)12(12+=+=-k k r r （1） λ)211(212++=-+k r x r （2） νλc x ==2，Hz x c 212508.023402=⨯==ν。
中国民航大学 大学物理学 第7章 波动
B
x1
A
u
x
P
x 1 y ( x, t ) A cos[ 4π (t )] u 8
x1 1 (2) B 点振动方程为：yB (t ) A cos[ 4π (t )] u 8 x x1 1 y ( x, t ) A cos[ 4π (t )] 波函数为: u 8 x 1 (3) 以 A 为原点： y ( x, t ) A cos[ 4π (t )] u 8 x x1 1 )] 以 B 为原点： y ( x, t ) A cos[ 4π (t u 8
2
y (cm)
2
u
2 4
6 t (s)
2
O
（2）令 t = 3 s
y t 3 2 10 cos x 10 x 2 2 10 cos 2 20
2
t = 3 s 时的波形曲线：
y (cm)
2
u
10 20
2
O
30 x (m)
体变
定义：一块物质受到的压强改变时，其体积也会发生改变，称 为体应变。 实验表明：在弹性限度内，压 强增量 p正比于体应变V V，即
p p
V V V
p K (V V )
其中 K——体变模量
1 单位体积弹性势能： p K (V V ) 2 2
E,G,和K决定于材料的特性
例 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为
y 0.04 cos (50t 0.10 x) m
求 (1) 波的振幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度。 解 (1)
比较法(与标准形式比较）
惠更斯原理
光既具有波动性，又具有粒子性
一、光源： 1、我们把能自身发光的物体叫做光源。
下列哪些是光源：
太阳、月亮、火把、电灯、燃烧的蜡烛、激光、 霓虹灯、手电、猫头鹰的眼睛、光彩夺目的钻石 2、点光源：在研究光学问题时，如果光源的大小比 起光源到我们的距离时可以忽略不计，那我们就把 这样的光源叫做点光源。 思考：是不是大的光源一定不是点光源，小的 光源就是点光源？
vf
sin i v1 c sin r v2 v介质
f不变
c 真空 v 介质
在光波中光的频率决定着光的颜色
c 真空 n v 介质
3、对折射率的几点说明
①因为v<c，所以n>1，即任何介质的折射率都大于1
②c、v单位相同，所以n无单位
③n 越大，折射光线越靠近法线，越偏离光原来的传 播方向
r
CB AB AD AB
D小 结：Fra bibliotek｛波 的 反 射 波 的 折 射
定义：波遇障碍物返回继续传播叫波的反射。
规律 ：
｛
1．入射波波线反射波波线和法线在 同一平面内．
２．反射角等于入射角． 定义：波从一种介质射入另一种介质时，传播 方向会发生改变，这种现象叫波的折射。
｛
规律：
｛
１．入射波波线折射波波线和法线在同
波面
波线
波面 平面波 球面波
1.根据波面和波线的概念，说出它们的 特点
波线
波面
波线
平面波 1. 波面上的点振动一直相同 2.波线与波面垂直，表示波的传播方向 3. 振动由一个波面传播到另 一个波面时间相同
2.了解惠更斯原理的内容
二、惠更斯原理
阅读课本，找出原理
介质中任一波面上的 各点， 都可以看做发 射子波的波源。其后 任意时刻，这些子波 在波前进方向的包络 面就是新的波面。这 就是惠更斯原理。
大学物理 波的能量 惠更斯原理
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
惠更斯原理
媒质中任意波面上的各点，都可看作是
发射子波（次级波）的波源（点源）， 其后
的任一时刻，这些子波面的包络面（包迹） 就是波在该时刻的新的波面。
2. 原理的应用 已知 t 时刻的波面 t+t 时刻的波面，
从而可进一步给出波的传播方向。
2
例如，均匀各向同性媒质内波的传播：
平面波
t 时刻波面 t+t时刻波面
障碍物
相对障碍物（包括孔、缝）的线度而言， 波长大衍射现象明显， 4 波长小衍射现象不明显。
水波通过窄缝时的衍射
5
障 碍 物
广播和电 视哪个更 容易收到?
更容易听到男 的还是女的说 话的声音？
6
三. 波的反射和折射（reflection & refraction） △1.波的反射（书 P 74）
浴室中的声反射
7
用惠更斯作图法导出折射定律 2.波的折射：
入射波 u 媒质1、 折射率n1 法线
1
BC u1t AC sini
u1t C
B
i
AD u2t AC sinr
sini u1 n2 const. sinr u2 n1
c c 光波 u1 ，u2 n1 n2
16
全体获奖者与嘉宾
17
物理
化学
生理、
医学
文 学
经济
18
全体获奖者与嘉宾
瑞典国王与物理奖得主高锟
19
瑞 典 国 王 为 高 锟 颁 奖
20
21
医学、生理 学奖得主
文 学 奖 得 主
经济学奖得主
22
和平奖得主
23
盛大晚宴
24
3波的能量
2
u
S S
1
2
A A
1
2
球面波振幅： 设球面波在均匀介质中传播，设波源在O点，在 距波源分别为 r1 和 r2处取两个球面，面积分别为S1和 S2，设介质不吸收能量
PP
1
S1 S2
2
所以，球面波波幅A与传播距离 r成反比。即球面 波波幅既使在介质不吸收能量时，也要随距离变小。
一.现象
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变， 具有 弹性势能
形变最小 振速 最小 时刻波形 未起振的体积元
上 下
抖 动
形变最大 振速 最大
各体积元以变化的振动速率 v 上下振动，具有振动动能
二、 波的能量
1．介质质元△m的动能
设波速为 u 的简谐波沿x 轴正向传播，波函数为
x y A cos ( t ) u
衍射：受限的尺度与波长相比
障 碍 物
广播和电视 哪个更容易 收到?
更容易听到男 的还是女的说 话的声音？
2.用惠更斯作图法导出了光的折射定律
历史上说明光是波动 • 作图步骤：
入射波 u 法线 1 B 媒质1 u1Dt 折射率n1 i· · E · C · A · 媒质2 F u 折射率n2 2Dt r D u2
2 2
注意：
（1）波的强度与振幅的平方成正比，这一结论不仅 适用于简谐波，而且具有普遍意义。 （2）根据上式和能量守恒概念，可以研究波传播时 振幅的变化。
平面波振幅 如果介质不吸收能量，既单位时间内通过两个截 面的能量相等时，则波在这两个平面处的振幅也相等。
P P
1
2 2 1 1
2
1 1 rA us rA us 2 2
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2
1
2π
r2
r1
干涉的相位差条件
当 2kπ时k 0,1,2,3...
合振幅最大 Amax A1 A2 I I1 I2 2 I1 I2
当 2k 1π
合振幅最小 Amin A1 A2 I I1 I2 2 I1 I2
若介质无吸收，则通过不包含波源的 任一闭合面的平均能流为0。
即 P进 P出
若介质吸收波动能量，则平面波在介质 中传播时，波的强度按指数规律衰减。
例1 证明波在无吸收介质中传播时， （1）平面波振幅不变； （2）球面波振幅与半径成反比。
证明：（1）取如图闭合面,
则对S1和S2面有
S1
O x1
P1 P2
解：（1） P E / t 2.7 103 (J / s)
（2） I P / S 9 102 (Js1m2 )
（3） I wu
w I / u 2.06 104 J m3
§7-4 惠更斯原理 应用几何作图的方法解决波的传播方向问题。 一 惠更斯原理
介质中波动传到的各点， 都可以看作发射子波的波 源，在其后任一时刻，这 些子波的包络面就是新的 波阵面。
惠更斯原理适用于任何波动过程。 (机械波、电磁波；各种不同介质）
二 惠更斯原理的应用 各向同性无限大介质中的传播
ut
平
球
面
面
R1
O
R2
波
波
各向同性介质中，波阵面形状、传播方向不变。
§7-5 波的干涉
干涉的波程差条件
当 r2 r1 k 时（半波长偶数倍）
S2 r2
A1r1 A2r2 A0
离波源1m处波的振幅
Ar A0 A A0
r
y A0 cos[(t r ) ]
r
u
例2：一平面简谐波，频率为300Hz，波速为 340m/s,在截面面积为0.03m2管内空气中传播， 若在10s内通过截面的能量为0.027J.求： （1）通过截面的平均能流； （2）波的平均能流密度； （3）波的平均能量密度。
形变最大， 速度最大
x
能量密度 w：单位体积中波的能量.
dE A2 2 sin2 (t x )dV
u
w dE A2 2 sin2 (t x )
dV
u
平均能量密度w ：单位体积一个周期内
的波的能量的平均值.
w 1
T
wdt
1 A2 2
T0
2
二 能量传播 1、平均能流: 单位时间通过面积S的平均能量.
（Y为介质的杨氏模量,S为截面积）
与胡克定律F=kdy对比,有 k YS
dx
势能：dE p
1 2
k(dy)2
1 2
YS dx
(dy)2
1 YdV ( dy )2 2 dx
u Y ,
y A sin[(t x )]
x u
u
dE p
1 2
A2 2dV
sin2[(t
相位差
2
1
2π
r2
r1
如果2 1即相干波源S1、S2同相位
则
2π
r2
r1
2π
r2 r1 称为波程差（波走过的路程之差）
2π
r2
r1
2π
2kπ (2k 1)π
加强 减弱
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉 的波程差条件，则有
§7-3 波的能量 能流密度
一 波的能量的定量表达
O x dx
x
O
y y dy
x
dm dV
v y t
动能：dEk
1 (dm)v2 2
1 2
A2 2dV
sin2[(t
x
u)]
O x dx
x
O
y y dy
x
势能：dE p
1 2
k(dy)2
由于形变而产生的弹性回复力: F YS dy dx
一 波的叠加原理
波传播的独立性：两列波在某区域相遇 后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不 干扰.
波的叠加性：在相遇区，任一质点的振 动为二波单独在该点引起的振动的合成.
二 波的干涉
两列频率相同、振动方向平行、相位 相同或相位差恒定的简谐波的叠加现象。
(1)干涉条件 频率相同，振动方向平行，相位差恒定. 满足干涉条件的波称相干波. (2)干涉现象 某些点振动始终加强，另一些点振动始终 减弱或完全抵消,形成稳定的强弱分布的现象。
A A12 A22 2A1 A2 cos
s1 s2
r1 *P r2
2
1
2π
r2
r1定值位相差 决定了合振幅（或者强度）的大小.
不同的点相位差不同，振幅不同.
A A12 A22 2A1 A2 cos
I I1 I2 2 I1 I2 cos
(3)干涉现象的定量讨论
波源振动 y1 A1 cos(t 1)
y2 A2 cos(t 2 )
点P 的两个分振动
y1P
A1
cos(t
1
2π
r1 )
y2P
A2
cos(t
2
2
π
r2
)
s1 r1 *P s2 r2
同一均匀介质
P的合振动为：
yp y1p y2 p Acos(t )
S2
u
x2
1 2
2 A( x1 )2 uS
1 2
2 A( x2 )2 uS
A( x1 ) A( x2 )
（2）球面波（作同心球面S1, S2）：
如媒质不吸收波的能量，则：P1 P2
1 2
2 A12uS1
1 2
2 A22uS2
S1 4r12 S2 4r22 S1r1
若S面垂直于波的传播方向 S
uS
P wuS 1 A2 2uS
2
2、平均能流密度（波的强度）：I
大小：通过垂直于波传播方向的单位面积的 平均能流.
I
P S
wu
1 A2 2u
2
方向：能量传播的方向，波速u的方向。
I
wu
三 波的吸收（能流连续性） （能量守恒定律在机械波中的形式）
x )] u
体积元的机械能：
dE A22dV sin2[(t x u)]
讨论
dE p
dEk
1 2
A2 2dV
sin2[(t
x
u)]
dE A2 2dV sin2 (t x )
u
任一体积元的动能、势能、总机械能均
随 x,t 作周期性变化，且变化是同相的.
形变最小， 速度最小