C-正则预解族的左乘积扰动
关于(C,α)-预解族
的 Ｃ 适定性之间具有等价的关 系， － 最后我们再说 明该预解族在一定的条件下就是 Ｖ ｌ ｒ 方程的 ｍ ｌ ｏｅ ａ ｔｒ ｉ ｄ解并给 出相应的具
体表达式。
关键词 ： ｃ， － （ ） 预解族 ； ｏ ｅｒ Ｖｈｒ ａ方程； ； ｉ 核 ｍｌ ｄ解
中图分类号： １７ Ｏ ７ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： ０ － ６ （ ００ ０ －０ ８０ １ ４ １ ９ ２ １ ） １ ０ －３ ０ ０ ０
ｌ， ｅｓｏ ｅ ｅ（（ ， ） ｒ ｏ ｅｔｓ ｈ ｉ ｌｔｎｏ ｔ ｏｅｒ ｅｕｔｎｕｄ ｒ ｏ ｅｐｏｅ ｏｄ ｏｓａｄｇｔｈ Ｏ ｅ ｙ ｗ ｈｗ ｄｔ ｈ ｃ ａ 一 ｓｌ ｎ ｉ ｔｅｍｌ ｓ ｕ ｏ ｈ Ｖ ｌｒ ｑａ ｏ ｎ ｅ ｍ ｒｐｒ ｎ ｉ ｎ ｅＣ１ － ｅ ｖ ｄｏ ｉ ｆ ｅ ｔ ａ ｉ ｓ ｃ ｔ ｎ ｏｔ ｉ Ｔ
核 口ｔ （ ）∈Ｌ （ Ｌ 尺 ）的算子 Ａ的预解族， 如果
一
１ 主要结论 ：
设 Ｘ是 一个 复 Ｂ ｎｃ 问 ， ａ ａｈ空 Ａ是 一个 稠定 的
尺 ｔ Ａ （） （Ａ ） Ｒ ￡ 且预解方程 尺 ｔ ＝ ＋Ｊ （ — （） 口ｔ
Ｊｕ
ｓＲ（）ｘｓ 立 。Ｄ ｒｔ ） ｓＡ ｄ 成 ａＰａ ｏ和 Ｉｎｅｌ 在 １８ ａｎｌ ｉ Ｅ ９０
０ 引言 ：
的算子的一般推广 ， Ｃ 正则算子族…， ． 如： 一 Ｃ 余弦
算子族 。接下来我们再说明该预解族和与它相 设 ｘ是一个 Ｂｎｃ ａａｈ空间， Ａ是一个具有定义 应的 Ｖ ｌｒ 方程 的 ｃ 适定性之间的关系。最后 ｏｅ ａ ｔｒ 一 域为 Ｄ Ａ 的稠闭无界线性算子。一个在 ｘ上 的 （） 我们再说明该预解族在一定 的条件下就是 Ｖ ｌｒ ｏｅ ａ ｔｒ 有界强连续线性算子族 ｛ （） Ｒ ｔ｝ ， 被定义为具有 方程 的 ｍｌ ｉ ｄ解并 给 出相应 的具体 表达式 。
自适应学习字典的信号稀疏表示方法及其在轴承故障诊断中的应用
自适应学习字典的信号稀疏表示方法及其在轴承故障诊断中的应用作者：张成黄伟国马玉强阙红波江星星朱忠奎来源：《振动工程学报》2022年第05期摘要：信号稀疏表示的过完备字典根据构造方式分为解析字典和学习字典两大类。
解析字典结构固定，自适应性差。
构建解析字典需要充分分析振动信号的振荡特性，获取充足的先验知识。
学习字典摆脱了先验知识的桎梏，可以直接从信号中自适应地训练学习出来，自适应性强。
结合信号保真能力较好的广义极小极大凹罚函数，提出了基于自适应学习字典的信号稀疏表示方法，改进了 K⁃SVD 算法中样本训练矩阵的构造方式，减少了运算时间，并且利用软阈值算法弥补了学习字典对噪声抵抗性较差的缺点。
最后在缺乏先验知识的条件下，分别在轴承的仿真信号和实验信号的分析过程中，运用所提出方法实现故障诊断。
关键词：故障诊断；轴承；稀疏表示；K ⁃SVD 算法；字典学习；GMC 罚函数中图分类号： TH165+.3；TH133.3 文献标志码： A 文章编号：1004-4523（2022）05-1278-11DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.026引言轴承作为旋转机械中的关键零部件，被广泛应用于发动机、电动机、高铁齿轮箱等部位。
实践表明，轴承是最容易发生故障的部件之一。
因此，对轴承状态进行检测意义重大[1]。
当轴承表面发生局部故障时，表面缺陷会与其他接触面直接产生瞬态冲击[2]。
一方面由于轴承早期故障的特征不明显，另一方面受限于实验设备如传感器灵敏度等因素，故障成分往往夹杂在背景噪声中，不能及时准确地识别出来。
轴承故障在运转时产生的瞬态冲击成分具有稀疏性，而背景噪声往往是随机分布的，不具有稀疏属性，因此稀疏表示方法近些年被广泛应用于轴承故障诊断。
Wang 等[3]提出了一种新的稀疏优化求解方法——平均随机正交匹配追踪（AROMP）算法。
Li 等[4]将稀疏表示和阶数跟踪技术结合，成功地从非平稳振动信号中提取出故障特征。
AI面试必备深度学习100问1-50题答案解析
AI⾯试必备深度学习100问1-50题答案解析1、梯度下降算法的正确步骤，（正确步骤dcaeb）（梯度下降法其实是根据函数的梯度来确定函数的极⼩值），这⾥的问题与其说是梯度下降算法的步骤不如说类似图图像分类训练的整个流程：⽹络初始化-输⼊to输出-期望输出与实际差值-根据误差计算更新权值-迭代进⾏。
a.计算预测值和真实值之间的误差；b.重复迭代，直⾄得到⽹络权重的最佳值；c.把输⼊传⼊⽹络，得到输出值；d.⽤随机值初始化权重和偏差；e.对每⼀个产⽣误差的神经元，调整相应的（权重）值以减⼩误差。
2、已知：⼤脑是有很多个叫做神经元的东西构成，神经⽹络是对⼤脑的简单的数学表达。
每⼀个神经元都有输⼊、处理函数和输出。
神经元组合起来形成了⽹络，可以拟合任何函数。
为了得到最佳的神经⽹络，我们⽤梯度下降⽅法不断更新模型。
给定上述关于神经⽹络的描述，什么情况下神经⽹络模型被称为深度学习模型？（正确是A）A.加⼊更多层，使神经⽹络的深度增加；B.有维度更⾼的数据；C.当这是⼀个图形识别的问题时；D.以上都不正确神经⽹络理论上说是仿照⽣物神经学⼀层层迭代处理结构（⽣物学认为视觉系统是层级结构），层层抽象与迭代，多少层算深层结构没有硬性的规定，⼀般要超过2层。
3、训练CNN时，可以对输⼊进⾏旋转、平移、缩放等预处理提⾼模型泛化能⼒。
这么说是对，还是不对？（正确答案：对）扩充数据是提⾼泛化能⼒常⽤的⽅式，对数据的平移、旋转等是对CNN训练数据的扩充的操作⽅式。
4、下⾯哪项操作能实现跟神经⽹络中Dropout的类似效果？A.BoostingB.BaggingC.StackingD.Mapping（正确：B）典型的神经⽹络其训练流程是将输⼊通过⽹络进⾏正向传导，然后将误差进⾏反向传播，Dropout就是针对这⼀过程之中，随机地删除隐藏层的部分单元，进⾏上述过程。
步骤为：1）随机删除⽹络中的⼀些隐藏神经元，保持输⼊输出神经元不变；2）将输⼊通过修改后的⽹络进⾏前向传播，然后将误差通过修改后的⽹络进⾏反向传播；3）对于另外⼀批的训练样本，重复上述操作。
C-正则预解算子族的扰动与逼近的开题报告
C-正则预解算子族的扰动与逼近的开题报告一、选题背景现代数学中一个基本的研究方向就是算子理论及其在各领域中的应用。
算子理论研究的核心问题是如何找到一些能够描述算子本质的数学工具，例如算子的特征值、特征向量、谱等等。
其中，正则预解算子族是一类比较重要的算子类，它广泛应用于PDE、微分几何、调和分析等领域中。
本课题主要是探讨正则预解算子族的扰动与逼近，以及它们在实际问题中的应用。
二、研究目的本课题的研究目的是，探讨正则预解算子族的扰动对其性质的影响，以及如何利用扰动方法来构造逼近正则预解算子族的算子类。
通过深入研究这些问题，可以为解决实际问题提供更加精确的算子分析工具和方法，同时也可以推进算子理论和应用领域的发展。
三、研究内容与方法本课题的主要研究内容包括以下三个方面：1. 正则预解算子族的性质与应用。
主要介绍正则预解算子族的定义、性质、谱分析等基本内容，以及其在PDE、微分几何、调和分析等领域中的应用。
2. 正则预解算子族的扰动分析。
主要探讨对正则预解算子族进行扰动所引起的谱变化、熵增加等性质的变化规律，以及怎样构造稳定的扰动。
3. 正则预解算子族的逼近与应用。
主要介绍如何利用扰动方法构造逼近正则预解算子族的算子类，并应用于实际问题，例如对复杂几何对象的处理等。
研究方法主要是运用数学分析、几何分析、泛函分析等方法，通过构造合适的数学模型来分析研究中所涉及的问题。
在研究过程中，还需要运用大量的数学工具和技巧，例如运用正则化方法、建立广义逆变换等来解决问题。
四、预期效果通过对正则预解算子族的扰动与逼近的深入研究，我们可以更加充分地发挥正则预解算子族在实际问题中的作用，为解决更多复杂的实际问题提供更加高效、精确的算子分析工具和方法。
同时，我们还可以为推进算子理论和应用领域的发展做出贡献，为数学研究提供新的思路和方向。
数学专业术语
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
万有模型
稳定性
递归结构
非标准分析
直觉主义逻辑
抽象化
数词可表示性
相对相容性
元逻辑
可判定性
集合论
策梅洛-弗兰克尔集合论
确定性
选择函数
广义连续统假设
对称多项式
结式
一元一次方程
一般方程
三项方程
待定系数法
有理根
虚根
二重根
线性代数
矩阵的元
单位矩阵
矩阵的对角线
矩阵的秩
矩阵的迹
初等矩阵
分块对角矩阵
转置伴随矩阵
梯矩阵
酉矩阵
埃尔米特矩阵
正半定矩阵
实矩阵
极式分解
相似矩阵
顶点
邻顶点
重图
图同构
顶点子图
通道
圈秩
全不连通图
顶点次数
补图
团
完全二部图
无圈图
回路
拟图
边连通度
哈密顿圈
递归边图
彼得松图
边覆盖
独立顶点集
临界边
平面嵌入
对偶地图
最大亏格
舍弃运算
四色问题
色剖分
邻接矩阵
顶点传递图
齐次图
标号图
树
顶点的权
出次数
出树
弱连通的
超图
平凡序的
保序映射
武汉大学资环学院gis地图学与地理信息系统考研(真题+答案+笔记)
现在大家可能也在面临着选择，比如是否考研，考哪个学校，考哪个专业，跟哪个导师， 怎样平衡专业课与公共课的时间等等。作为过来人，当初的我们和大家一样，也在思考着类 似的问题；也正因为是过来人，我们才有了给大家提供建议的底气。借此机会，把我们一些 个人看法与大家交流，虽个人经历不同，经验不足以证明什么，但仅供参考之用足矣！ 1、为什么要考研？
II
学长学姐们对大家网上购买资料的几点忠告
1、考研不易，资料的作用显而易见，只要经济允许，大家还是要找个信得过的 提供者。
2、买资料注意，首先，一定要和对方聊聊，看对方是什么出身，如果一个人连 地域分异规律、新仙女木事件、中心地理论、空间分析、遥感影像分辨率都不知 道是什么，那他是无法保证质量的。有时候，对方会狡辩说是找人编写的，那大 家扪心自问下，如果有人出钱让你编资料，但对方对这块也不懂，也就是说质量 上是没人把关的，你会十二分的用心吗？其次，要让对方截图，任意指定版块进 行截图，很多资料描述的都很美，但实际拿到后会大失所望。随机性的截图可以 避免这一点。
3、资料更新说明
新的年份，考研范围、考试重点和大纲都会有新的变化，针对这种变化，本中心每年都会进行一次较大内 容更新，所以本套资料仅适用于 2015 年，请大家多加关注我们！谢谢。
4、资料接受说明
收到资料后，在不拆开前提下，可自由浏览资料内容，如不满意，2 小时之内，联系我们，然后无偿退货。 但对于那些擅自拆开书钉，进行复印，而后再退货的资料贩子，我们也会坚决维护我们的权益，与之奉陪 到底！联系方式：咨询 QQ：2593665687，TEL：18012981114
近世代数第四章-环与域题解讲解
近世代数第四章- 环与域题解讲解第四章环与域§ 1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n 阶全阵环和线性变换环，以及集M 的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S 作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R 是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为（R，十，·）（或者就直接说“ R 对十，·作成一个环”）．但不能记为R，· ，十）．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为，⊕，又R 对作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R 对二代数运算十，·作成一个环．那么，R 对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“· ”作成一个半群，这个乍群记为（R，·）．再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十．·）．2．三、习题 4．1 解答1．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§ 4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环（无零因子的交换环）的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素10 00就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子． 例如，设置为由 一切方阵 对方阵普通加法与乘法作成的环． 则易知 10 00 是R 的一个右零因子，但它却不是 R 的左零因子．2. 关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异， 关键在于是否把环中的零元也算作零因子． 本教 材不把零元算作零因子， 而有的书也把零元算作 零因子． 但把非牢的零因子称做真零因子． 这种 不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异． 大致有 以下 4 种定义方法：定义 1 无零因子的交换环称为整环 （这是本 教材的定义方法 ）．定义 2 阶大于 l 且无零因子的交换环，称为 整环．定义 3 有单位元且无零因子的交换环， 称为 整环． 定义 4 阶大于 1、有单位元且无零因子的交 换环，称为整环．以上 4 种定义中， 要求整环无零因子、 交换是 xy00 ( x,y Q)共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1 的方法也有很多原因，现举一例。
(n，d)-（Ext）-phantom_态射与(n，d)-环
第 63 卷第 1 期2024 年 1 月Vol.63 No.1Jan.2024中山大学学报（自然科学版）（中英文）ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM UNIVERSITATIS SUNYATSENI(n，d)-（Ext）-phantom态射与(n，d)-环*余君丽，张春霞重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331摘要：引入了(n，d)-phantom 态射与(n，d)-Ext-phantom 态射的概念. 利用它们，给出了(n，d)-环、n-遗传环以及n-正则环的一系列新刻画.关键词：(n，d)-phantom态射；(n，d)-Ext-phantom态射；n-凝聚环；(n，d)-环；n-遗传环中图分类号：O153.3 文献标志码：A 文章编号：2097 - 0137（2024）01 - 0154 - 12On (n，d)-（Ext）-phantom morphisms and (n，d)-ringsYU Junli， ZHANG ChunxiaSchool of Mathematical Sciences， Chongqing Normal University， Chongqing 401331， China Abstract：The concepts of (n，d)-phantom and (n，d)-Ext-phantom morphisms are introduced， and are used to characterize (n，d)-rings，n-hereditary rings and n-regular rings in various ways.Key words：(n，d)-phantom morphism；(n，d)-Ext-phantom morphism；n-coherent ring；(n，d)-ring；n-hereditary ring贯穿全文，R是含单位元的结合环，模均指酉模. 我们用R-Mod与Mod-R分别表示左，右R-模范畴. Hom(M，N)与M⊗N分别指Hom R(M，N)与M⊗R N，类似的解释对导出函子Ext i(M，N)与Tor i(M，N)亦适用. 记模M的示性模Hom Z(M，Q/Z)为M+. id M、pd M与fd M分别表示M的内射、投射与平坦维数. wD(R)表示环R的弱整体维数.设n，d是非负整数. 称右R-模F是有限n-表示的（Costa，1994），如果存在右R-模的正合序列Pn→P n-1→⋯→P1→P0→F→0，使得每个P i是有限生成自由模或有限生成投射模（i=0，1，⋯，n）. 显然，当n'>n时，任意有限n'-表示R-模是有限n-表示的. 称R是右n-凝聚环，如果每个有限n-表示右R-模是有限(n+1)-表示的. 特别地，1-凝聚环即凝聚环，0-凝聚环为诺特环.称右R-模M为(n，d)-内射模，如果对任意有限n-表示右R-模F，有Ext d+1(F，M)=0（Zhou，2004）. 显然(0，0)-内射，(1，0)-内射，(n，0)-内射，(0，d)-内射模分别是大家熟知的内射，FP-内射（Stenstr o m，1970），FP n-内射（Bravo et al.，2017），内射维数不大于d的模. 称左R-模N 是(n，d)-平坦的，如果对任意有限n-表示右R-模F，有Tor d+1(F，N)=0（Zhou，2004）.众所周知，R是右诺特环当且仅当任意右R-模存在内射（预）覆盖（Enochs et al.，2000，定理 5.4.1）. Pinzon（2008）证明了在右凝聚环上，任意右R-模存在(1，0)-内射（预）覆盖. 近来，Li et al.（2014）证明了在右n-凝聚环上，任意右R-模存在(n，d)-内射（预）覆盖. 另一方面，Mao et al.（2006）证明了在任意环上，DOI：10.13471/ki.acta.snus.2022A030*收稿日期：2022 − 03 − 18 录用日期：2022 − 12 − 16 网络首发日期：2023 − 11 − 16基金项目：国家自然科学基金（11871125）；重庆市自然科学基金（cstc2021jcyj-msxmX0048）作者简介：余君丽（1998年生），女；研究方向：同调代数理论；E-mail：****************通信作者：张春霞（1979年生），女；研究方向：同调代数理论；E-mail：****************.cn第 1 期余君丽，等：(n，d)-（Ext）-phantom 态射与(n，d)-环(n，d)-内射模类是（预）包络类.理想逼近理论是近年来由Fu et al.（2013）创建起来的理论. 称双函子Hom R(⋅，⋅) ：R-Mod op×R- Mod→Ab的加法子双函子为R-Mod的一个理想（ideal）I. 理想逼近理论是对经典逼近理论（覆盖与包络理论）的推广. 作为理想的一个重要例子即所谓的 phantom 态射理想，它是平坦模的态射版本. 任意结合环R上的 phantom 态射是由 Herzog（2007）引入的. 称R-Mod中的态射f：M→N是 phantom 态射，如果对每个（有限表示）右R-模A，诱导态射Tor1(A，f)：Tor1(A，M)→Tor1(A，N)是0. 类似地，称Mod-R中的态射g：M→N为Ext-phantom 态射（Herzog，2008），如果对每个有限表示右R-模B，诱导态射Ext1(B，g)：Ext1(B，M)→Ext1(B，N)是0. Herzog（2007）与 Mao （2013）分别证明了任意模存在 phantom 覆盖与Ext-phantom 预包络. Mao（2016）证明了在凝聚环上，任意模存在 phantom 预包络与Ext-phantom 覆盖.受以上思想启发，本文第一部分引入(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射的概念，它们分别是(n，d)-平坦模与(n，d)-内射模的态射版本. 自然要问：(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射在什么条件下是（预）覆盖类与（预）包络类？为此我们得到以下结论：（i）R-Mod中任意模存在(n，d)-phantom 覆盖；（ii）当d+1≥n且R是右n-凝聚环，或者当d+1<n时，R-Mod中任意模存在(n，d)-phantom（预）包络；（iii）当d+1≥n且R是右n-凝聚环，或者当d+1<n时，Mod-R中任意模存在(n，d)-Ext-phantom 覆盖与(n，d)-Ext-phantom 预包络.作为应用，本文第二部分利用(n，d)-phantom 与(n，d)-Ext-phantom 态射给出了右(n，d)-环，右n-遗传环与右n-正则环的一系列新刻画，这些刻画推广了已有文献中的相关结论.1 (n，d)-phantom 覆盖（包络）与(n，d)-Ext-phantom 包络（覆盖）对非负整数n，Costa（1994）在任意环上引入了以下概念.定义 1称右R-模F是有限n-表示的，若存在Mod-R中的正合序列Pn→P n-1→⋯→P1→P0→F→0，使得每个Pi是有限生成投射模（i=0，1，⋯，n）.用FPn 表示有限n-表示右R-模类. 则FP为有限生成右R-模类，FP1为有限表示右R-模类. 并且由定义可得以下模类之间的包含降链FP0⊇FP1⊇⋯⊇FP n⊇FP n+1⊇⋯⊇FP∞.众所周知，R是右诺特环当且仅当任意有限生成右R-模是有限表示的，即FP0⊆FP1. 对凝聚环也有类似刻画：R是右凝聚环当且仅当FP1⊆FP2（Bravo et al.， 2017，命题 2.1）. 自然地就有以下n-凝聚环的概念.定义 2 称环R是右n-凝聚环，如果FP n⊆FP n+1.由此看出右0-凝聚环即右诺特环，右1-凝聚环即右凝聚环. Bravo et al.（2019）的注 3.10指出，若R是右n-凝聚环，则对任意k≥n，它也是右k-凝聚环. 如果用n-Coh表示所有右n-凝聚环的类，则可得以下升链：0-Coh⊂1-Coh⊂2-Coh⊂⋯⊂n-Coh⊂⋯⊂∞-Coh.以下结论引用自Bravo et al.（2017）的定理 3.4与Zhou（2004）的命题 3.1，并将在文中频繁用到.引理 1 (i)设M是右R-模，N是(R，R)-双模. 若I是内射右R-模，则对所有i≥0，存在同构Hom(Tor i(M，N)，I)≅Ext i(M，Hom(N，I)).特别地，有Tor i(M，N)+≅Ext i(M，N+).155第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）(ii ) 设右 R -模 F ∈FP n，N 是(R ，R )-双模. 若 I 是内射左 R -模，则对所有 i ≥1，同构式Tor i(F ，Hom (N ，I ))≅Hom (Ext i(F ，N )，I )在以下条件之一时成立.a) 当 i ≥n 时，R 是右 n -凝聚环.b) 当 i <n 时，R 是任意环.注意到如果 F 是有限 n -表示模，那么引理 1（ii ）中的同构式对 1≤i ≤n -1 在任意环上都成立. 由此提供了在任意环上只需考虑有限 n -表示模（n >1）的依据.定义 3 设 n ，d 是非负整数且 n ≥1.(i ) 称 R -Mod 中的态射 f ：M →N 是(n ，d )-phantom 态射，如果对任意有限 n -表示右 R -模 F ，其诱导的 Abel 群的态射 Tor d +1(F ，f )：Tor d +1(F ，M )→Tor d +1(F ，N ) 是 0.（ii ） 称 Mod -R 中的态射 g ：M →N 是(n ，d )-Ext -phantom 态射，如果对任意有限 n -表示右 R -模 F ，其诱导的 Abel 群的态射 Ext d +1(F ，g )：Ext d +1(F ，M )→Ext d +1(F ，N ) 是 0.以下均假设 n ，d 是非负整数且 n ≥1.注 1 (i )显然，(1，0)-phantom 态射即 Herzog （2007）定义的 phantom 态射；(1，0)-Ext -phantom 态射即 Herzog （2008）定义的 Ext -phantom 态射.(ii ) 若 d +1=n ，则(1，d )-phantom 态射与(1，d )-Ext -phantom 态射分别为 n -phantom 态射与 n -Ext -phantom 态射，参见文献（Mao ，2018，2019；Lan et al.，2021）.(iii ) 易证(n ，d )-phantom 与(n ，d )-Ext -phantom 态射分别是 R -Mod 与 Mod -R 的理想.命题 1 设 R 是右 n -凝聚环.(i ) 若 R -Mod 中的态射 f ：M →N 是(n ，d )-phantom 态射，则对任意 d '>d ，f 也是(n ，d ')-phantom 态射.(ii ) 若 Mod -R 中的态射 g ：M →N 是(n ，d )-Ext -phantom 态射，则对任意 d '>d ，g 也是(n ，d ')-Ext -phantom 态射.证明 对任意有限 n -表示右 R -模 F ，由于 R 是右 n -凝聚环，由 Zhu （2011）的定理 2.1，存在正合序列0→K →P →F →0，（1）使得 P 是有限生成投射模且 K 是有限 n -表示的. 则（i ） 由正合序列（1）诱导出行正合的交换图由此可得 Tor d +2(F ，f )=0. 由归纳法可知对任意 d '>d ，f 是(n ，d ')-phantom 态射.（ii ） 由正合序列（1）诱导出行正合的交换图156第 1 期余君丽，等： (n ，d )-（Ext ）-phantom 态射与(n ，d )-环由此可得 Ext d +2(F ，g )=0. 由归纳法可知对任意d '>d ，g 是(n ，d ')-Ext -phantom 态射.以下结论揭示了(n ，d )-phantom 态射与(n ，d )-Ext -phantom 态射之间的关系.命题 2 (i ) R -Mod 中的态射 f ：M →N 是(n ，d )-phantom 态射当且仅当 f +：N +→M +是 Mod -R 中的(n ，d )-Ext -phantom 态射.(ii ) Mod -R 中的态射 g ：M →N 是(n ，d )-Ext -phantom 态射当且仅当在以下条件之一下， g +：N +→M +是 R -Mod 中的(n ，d )-phantom 态射：a) 当 d +1≥n 时，R 是右 n -凝聚环.b) 当 d +1<n 时，R 是任意环.证明 （i ） 对任意有限 n -表示右 R -模 A ，考虑以下交换图由引理1（i ）知上图中的 α 与 β 均为同构. 于是 Tor d +1(A ，f )=0 当且仅当 Tor d +1(A ，f )+=0 当且仅当Ext d +1(A ，f +)=0. 所以 f 是(n ，d )-phantom 态射当且仅当 f + 是(n ，d )-Ext -phantom 态射.（ii ） 对任意有限 n -表示右 R -模 B ，考虑以下交换图由引理1（ii ）知上图中的 φ 与 ψ 在以上两条件之一下均为同构. 则 Ext d +1(B ，g )=0 当且仅当 Ext d +1(B ，g)+=0 当且仅当 Tor d +1(B ，g +)=0. 所以 g 是(n ，d )-Ext -phantom 态射当且仅当 g + 是(n ，d )-phan ‐tom 态射.令 R -Mor 是左 R -模态射范畴：此范畴中的对象是左 R -模态射，此范畴中的态射是从左 R -模态射 M 1→fM 2 到左 R -模态射 N 1→gN 2 的左 R -模态射对子 (M 1→s N 1，M 2→tN 2)且使得 tf =gs . 设 C 是一个有直积的局部有限表示加法范畴. 若它的一个全子范畴 D 关于直积，正向极限，纯子对象封闭，则称 D 为可定义子范畴（Crawley-Boevey ， 1994；Crivei et al.， 2010）. 众所周知左 R -模态射范畴 R -Mor 是局部有限表示 Grothendieck 范畴. 以下我们讨论在什么条件下全子范畴(n ，d )-phantom 态射与 (n ，d )-Ext -phantom 态射是可定义子范畴. 为此，先给出(n ，d )-phantom 态射与(n ，d )-Ext -phantom 态射的一些封闭性性质.引理 2 考虑以下纯正合行的交换图（2）(i ) 若 φ 是 R -Mod 中的(n ，d )-phantom 态射，则 ψ 与 γ 亦是.(ii ) 若 φ 是 Mod -R 中的(n ，d )-Ext -phantom 态射，则在以下条件之一下 ψ 与 γ 亦是(n ，d )-Ext -phantom 态射.157第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）a) 当 d +1≥n 时，R 是右 n -凝聚环.b) 当 d +1<n 时，R 是任意环.证明 由交换图（2）可诱导出如下行可裂正合的交换图（i ）首先由命题2（i ）知 φ+ 是 Mod -R 中的(n ，d )-Ext -phantom 态射. 所以对任意有限 n -表示右 R -模 A ，有Ext d +1(A ，ψ+)Ext d +1(A ，α+2)=Ext d +1(A ，α+1)Extd +1(A ，φ+)=0.由于 Ext d +1(A ，α+2)是满态射，所以 Ext d +1(A ，ψ+)=0. 因此 ψ+ 是(n ，d )-Ext -phantom 态射，再次由命题2（i ）知 ψ 是(n ，d )-phantom 态射.另一方面，由以上交换图还可得Ext d +1(A ，β+1)Ext d +1(A ，γ+)=Ext d +1(A ，φ+)Ext d +1(A ，β+2)=0.而 Ext d +1(A ，β+1)是单态射，所以 Ext d +1(A ，γ+)=0. 因此 γ+是(n ，d )-Ext -phantom 态射，则由命题2（i ） 知 γ 是(n ，d )-phantom 态射.（ii ）由命题2（ii ）知 φ+ 是 R -Mod 中的(n ，d )-phantom 态射. 所以对任意有限 n -表示右 R -模 B ，有Tor d +1(B ，ψ+)Tor d +1(B ，α+2)=Tor d +1(B ，α+1)Tor d +1(B ，φ+)=0.由于 Tor d +1(B ，α+2)是满态射，所以Tor d +1(B ，ψ+)=0. 因此 ψ+ 是(n ，d )-phantom 态射，再次由命题 2（ii ）知 ψ 是(n ，d )-Ext -phantom 态射.另外，还可得到Tor d +1(B ，β+1)Tor d +1(B ，γ+)=Tor d +1(B ，φ+)Tor d +1(B ，β+2)=0.又 Tor d +1(B ，β+1)是单态射，所以 Tor d +1(B ，γ+)=0. 于是 γ+ 是(n ，d )-phantom 态射，由命题2（ii ）知 γ 是(n ，d )-Ext -phantom 态射.引理 3 (i ) R -Mor 中(n ，d )-phantom 态射类关于正向极限封闭；Mor -R 中(n ，d )-Ext -phantom 态射类关于直积封闭.(ii ) 当 d +1≥n 且 R 是右 n -凝聚环，或当 d +1<n 时，R -Mor 中(n ，d )-phantom 态射类关于直积封闭且 Mor -R 中(n ，d ) -Ext -phantom 态射类关于正向极限封闭.证明 （i ）设{f ij ：M i →M j }i ≤j ∈I 与 {g ij ：N i →N j }i ≤j ∈I 是 R -Mod 中的两族正向系，(τi ：M i →N i )i ∈I是它们之间的态射，且每个 τi ：M i →N i 是(n ，d )-phantom 态射. 令 lim →τi ：lim →M i →lim →N i 是其诱导的态射. 则对任意有限 n -表示右 R -模 A ，有如下交换图由于lim →Tor d +1(A ，τi )=0，所以Tor d +1(A ，lim →τi )=0. 故lim →τi ：lim →M i →lim →N i 是(n ，d )-phantom 态射.再设 (f i ：M i →N i)i ∈I是 Mor -R 中的一族(n ，d )-Ext -phantom 态射，Πi ∈I f i ：Πi ∈I M i →Πi ∈I N i是其诱导的158第 1 期余君丽，等： (n ，d )-（Ext ）-phantom 态射与(n ，d )-环态射. 则对任意有限 n -表示右 R -模 B ，可得如下交换图由于 Πi ∈I Ext d +1(B ，f i )=0，所以 Ext d +1(B ，Πi ∈I f i )=0. 因此 Πi ∈I f i ：Πi ∈I M i →Πi ∈I N i 是(n ，d )-Ext -phantom 态射.（ii ） 设 (f i ：M i →N i)i ∈I是 R -Mor 中的一族(n ，d )-phantom 态射，Πi ∈I f i ：Πi ∈I M i →Πi ∈I N i 是其诱导的态射. 则对任意有限 n -表示右 R -模 A ，根据 Zhou （2004）的 命题 3.1，可得以下交换图由于Πi ∈I Tor d +1(A ，f i )=0，所以 Tor d +1(A ，Πi ∈I f i )=0. 因此 Πi ∈I f i ：Πi ∈I M i →Πi ∈I N i 是(n ，d )-phan ‐tom 态射.最后设 {f ij ：M i →M j }i ≤j ∈I 与 {g ij ：N i →N j }i ≤j ∈I 是 Mod -R 中的两族正向系，(τi ：M i →N i)i ∈I是它们之间的态射，且每个 τi ：M i →N i 是(n ，d )-Ext -phantom 态射. 令 lim →τi ：lim →M i →lim →N i 是其诱导的态射. 则对任意有限 n -表示右 R -模 B ，根据 Zhou （2004）的命题 3.1，可得以下交换图由于lim →Ext d +1(B ，τi )=0，所以 Ext d +1(B ，lim →τi )=0. 因此 lim →τi ：lim →M i →lim →N i 是(n ，d )-Ext -phan ‐tom 态射.结合引理2~3与 Mao （2016）的注 2.3，可得以下结论.命题3 当 d +1≥n 且 R 是右 n -凝聚环， 或当 d +1<n 时，R -Mor 的全子范畴(n ，d )-phantom 态射与 Mor -R 的全子范畴(n ，d )-Ext -phantom 态射均为可定义子范畴.以下结论揭示了态射的(n ，d )-phantom 与(n ，d )-Ext -phantom 态射的预覆盖与预包络的存在性.定理 1 (i )R -Mor 中任意左 R -模态射存在(n ，d )-phantom 覆盖.(ii ) 当 d +1≥n 且 R 是右 n -凝聚环， 或当 d +1<n 时，R -Mor 中任意左 R -模态射存在(n ，d )-phan ‐tom 预包络.(iii ) 当 d +1≥n 且 R 是右 n -凝聚环，或当 d +1<n 时，Mor -R 中任意右 R -模态射存在(n ，d )-Ext -phantom 覆盖与(n ，d )-Ext -phantom 预包络.证明 （i ）一方面由引理3（i ）知 R -Mor 中(n ，d )-phantom 态射类关于正向极限封闭，另一方面由引理 2（i ）与 Mao （2016）的注 2.3知(n ，d )-phantom 态射类关于纯的满同态像封闭. 所以由 Crivei et al.（2010）的定159第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）理 2.6知 R -Mor 中每个左 R -模态射存在(n ，d )-phantom 覆盖.（ii ） 由引理3（ii ）知 R -Mor 中(n ，d )-phantom 态射类关于直积封闭，且由引理2（i ）与Mao （2016）的注2.3知(n ，d )-phantom 态射类关于纯子对象封闭，所以由 Crivei et al.（2010）的定理 4.1，R -Mor 中每个左 R -模态射存在(n ，d )-phantom 预包络.（iii ） 的证明类似于（i ）与（ii ）.在理想逼近理论中，Fu et al.（2013）给出了模的相对于理想的覆盖与包络的概念. 设 I 是 R -Mod 的一个理想. 称 I 中的态射 ϕ：M →N 是 N 的 I -预覆盖，如果对 I 中任意态射 ψ：C →N ，存在态射 θ：C →M 使得 ϕθ=ψ. 一个 I -预覆盖 ϕ：M →N 称为 I -覆盖，如果使得 ϕh =ϕ 的 M 的自态射 h 是同构. 对偶地，可定义 I -预包络与 I -包络的概念. 如果在定理 1 中令 I 分别为(n ，d )-phantom 与(n ，d )-Ext -phantom 态射类，则可得以下结论.推论1 (i ) R -Mod 中任意左 R -模存在(n ，d )-phantom 覆盖.(ii ) 当 d +1≥n 且 R 是右 n -凝聚环，或当 d +1<n 时，R -Mod 中任意左 R -模存在(n ，d )-phantom 预包络.(iii ) 当 d +1≥n 且 R 是右 n -凝聚环，或当 d +1<n 时，Mod -R 中任意右 R -模存在(n ，d )-Ext -phan ‐tom 覆盖与(n ，d )-Ext -phantom 预包络.2(n ，d )-phantom 与(n ，d )-Ext -phantom 态射的应用称右 R -模 M 是(n ，d )-内射模，如果对任意有限 n -表示右 R -模 F ，有 Ext d +1(F ，M )=0. 称左 R -模 N 是(n ，d )-平坦模， 如果对任意有限 n -表示右 R -模 F ，有Tor d +1(F ，N )=0（Zhou ，2004）. 显然，M 是(0，0)-内射模（(1，0)-内射模，(1，0)-平坦模）当且仅当 M 是内射模（FP-内射模， 平坦模）； M 是(n ，0)-内射模（(n ，0)-平坦模）当且仅当 M 是 FP n-内射模（FP n-平坦模） （Bravo ， 2017）；M 是(0，d ) -内射模（(1，d )-平坦模）当且仅当id M ≤d （fd M ≤d ）. 对给定的非负整数 d 及所有n '≥n ，有(n ，d )-内射模（(n ，d )-平坦模）是(n '，d )-内射模（(n '，d )-平坦模）.根据 Zhu （2011；2018），R -模 M 的(n ，0)-内射维数与(n ，0)-平坦维数分别定义为(n ，0)- id ()M R=inf {d |Ext d +1()F ，M =0， ∀ F ∈FP n}，(n ，0)-fd (RM )=inf {d |Tor d +1()F ，M =0，∀ F ∈FP n}.环R 的右(n ，0)-内射整体维数与左(n ，0)-弱维数分别定义为r .(n ，0)-ID ()R =sup {()n ，0-| id ()M M ∈Mod -}R ，l .(n ，0)-wD ()R =sup {()n ，0-| fd ()M M ∈R -}Mod .首先由引理1 可得如下结论.引理 4 当 d +1≥n 且 R 是右 n -凝聚环，或当 d +1<n 时，以下整数相等：(i ) l .(n ，0)-wD (R ).(ii ) r .(n ，0)-ID (R ).(iii ) sup {pd (F R)|F R∈FP n}.称环 R 是右(n ，d )-环，如果任意有限 n -表示右 R -模的投射维数不超过 d ；称环 R 是右弱(n ，d )-环，如果任意有限 n -表示右 R -模的平坦维数不超过 d （Zhou ，2004）. 易证若 n ≤n ' 以及 d ≤d '，则任意右（弱）(n ，d )-环是右（弱）(n '，d ')-环.由Zhou （2004）的命题 2.6知，（i ） R 是右(n ，d )-环当且仅当所有右 R -模是(n ，d )-内射模；（ii ） R 是右弱160第 1 期余君丽，等： (n ，d )-（Ext ）-phantom 态射与(n ，d )-环(n ，d )-环当且仅当所有 左 R -模是(n ，d )-平坦模；（iii ） 若 R 是右(n ，d )-环，则 R 是右弱(n ，d )- 环. 并且当 d +1≤n 时，反之亦成立. 特别地，若 R 是右 n -凝聚环，则 R 是右(n ，d )-环当且仅当 R 是右弱(n ，d )-环.以下结论推广了Mao （2018）的命题 2.7.定理2 设 R 是环. 则(i ) R 是右(n ，d )-环当且仅当 Mod -R 中的任意态射是(n ，d )-Ext -phantom 态射.(ii ) R 是右弱(n ，d )-环当且仅当 R -Mod 中的任意态射是(n ，d )-phantom 态射.从而， 当 d +1≤n 或 R 是右 n -凝聚环时，以上条件等价.证明 （i ） “⇒". 设 f ：M →N 是 Mod -R 中的任意态射. 由于对任意有限 n -表示右 R -模 A ，有 Ext d +1(A ，M )=Ext d +1(A ，N )=0. 所以 f 是(n ，d )-Ext -phantom 态射.“⇐". 设 A 是任意有限 n -表示右 R -模. 对任意右 R -模 M ，由于恒等态射 M →M 是(n ，d )-Ext -phan ‐tom 态射，从而其诱导的恒等态射 Ext d +1(A ，M )→Ext d +1(A ，M )是 0，于是 Ext d +1(A ，M )=0，即 pd A ≤d . 因此 R 是右(n ，d )-环.（ii ）“⇒". 设 g ：M →N 是 R -Mod 中的任意态射. 由于对任意有限n -表示右 R -模 B ，有 Tor d +1(B ，M )=Tor d +1(B ，N )=0. 所以 g 是(n ，d )-phantom 态射.“⇐". 设 B 是任意有限n -表示右 R -模. 对任意左R -模M ，由于恒等态射 Tor d +1(B ，M )→Tor d +1(B ，M )是 0，于是 Tor d +1(B ，M )=0，即 fd B ≤d . 因此 R 是右弱(n ，d )-环.最后的结论由（i ），（ii ）与 Zhou （2004）的命题 2.6得到.众所周知，左 R -模态射范畴 R -Mor 是局部有限表示 Grothendieck 范畴. R -Mor 中的态射 f ：E 1→E 2 是内射的当且仅当 E 1 与 E 2 是内射左 R -模且 f 是可裂满同态. R -Mor 中的态射 g ：P 1→P 2 是投射的当且仅当 P 1 与 P 2 是投射左 R -模且 g 是可裂单同态. R -Mor 中的态射 h ：F 1→F 2 是平坦的当且仅当它是投射态射的正向极限，等价于 F 1 与 F 2 是平坦左 R -模且 h 是纯的单同态（Enochs et al.， 2002）.命题4 设 R 是环且 d >0. 对 R -Mod 中的态射 f ：M →N ，以下条件等价：(i ) f 是(n ，d )-phantom 态射.(ii ) 在 R -Mor 中的任意正合序列 0→k d→f d -1→⋯→f 1→f 0→f →0 中，每个 f i是平坦的且 k d是(n ，0)-phantom 态射.(iii ) 在 R -Mor 中的任意正合序列 0→k d→p d -1→⋯→p 1→p 0→f →0 中，每个 p i是投射的且 k d是(n ，0)-phantom 态射.(iv ) 存在 R -Mor 中的正合序列 0→k d→p d -1→⋯→p 1→p 0→f →0，使得每个 p i是投射的且 k d是(n ，0)-phantom 态射.(v ) 存在 R -Mor 中的正合序列 0→k d→f d -1→⋯→f 1→f 0→f →0，使得每个 f i是平坦的且 k d是 (n ，0)-phantom 态射.证明 (i )⇒(ii ). 考虑 R -Mor 中任意正合序列其中每个 f i ：F i →F 'i 是平坦态射（i =0，1，⋯，d -1），即每个 f i 是纯的单同态且 F i ，F 'i 是平坦左 R -模. 对任意有限 n -表示右 R -模 A ，由（i ）知 Tor d +1(A ，f )=0. 令 k i ：K i →K 'i 是 f i -1→f i -2 的核，其中 i =1，2，⋯，d -1，且 f -1=f .则有如下行正合的交换图：161第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）由此得 Tor d (A ，k 1)=0. 继续此过程可得 k d 是(n ，0)-phantom 态射.(ii )⇒(iii )⇒(iv )⇒(v ) 显然.(v )⇒(i ). 由（v ），存在 R -Mor 中的正合序列其中每个 q i ：Q i →Q 'i 是平坦态射（i =0，1，⋯，d -1），且 k d ：K d →K 'd 是(n ，0)-phantom 态射. 所以对任意有限 n -表示右 R -模 A ，有 Tor 1(A ，k d )=0.令 k i ：K i →K 'i 是 q i -1→q i -2 的核，其中 i =1，2，⋯，d -1，且 q -1=f . 考虑如下行正合的交换图则 Tor 2(A ，k d -1)=0. 继续此过程可得 Tor d +1(A ，f )=0，故 f 是(n ，d )-phantom 态射.命题5 设 R 是环且 d >0. 对 Mod -R 中的态射 g ：M →N ，以下条件等价：(i ) g 是(n ，d )-Ext -phantom 态射.(ii ) 在 Mor -R 中的任意正合序列 0→g →e 0→e 1→⋯→e d -1→l d →0 中，每个 e i 是内射的且 l d 是(n ，0)-Ext -phantom 态射.(iii ) 存在 Mor -R 中的正合序列 0→g →e 0→e 1→⋯→e d -1→l d →0，使得每个 e i 是内射的且 l d 是(n ，0)-Ext -phantom 态射.证明 (i )⇒(ii ). 考虑 Mor -R 中任意正合序列其中每个 e i ：E i →E i 是内射态射（i =0，1，⋯，d -1）. 对任意有限 n -表示右 R -模 B ，由（i ）知 Ext d +1(B ，g )=0. 令 l i ：L i →Li 是 e i -2→e i -1 的余核，其中 i =1，2，⋯，d -1， e -1=g . 则有如下行正合的交换图162第 1 期余君丽，等： (n ，d )-（Ext ）-phantom 态射与(n ，d )-环由此得 Ext d (B ，l 1)=0. 继续此过程可得 l d 是(n ，0)-Ext -phantom 态射.(ii )⇒(iii ) 显然.(iii )⇒(i ). 由（iii ）知，存在 Mor -R 中的正合序列其中每个 ωi 是内射态射且 t d 是(n ，0)-Ext -phantom 态射. 所以对任意有限 n -表示右 R -模 B ， 有 Ext 1(B ，t d )=0.令 t i ：T i →T i 是 ωi -2→ωi -1 的余核，其中i =1，2，⋯，d -1， ω-1=g . 考虑如下行正合的交换图则Ext 2(B ，t d -1)=0.继续此过程可得Ext d +1(B ，g )=0，故g 是(n ，d )-Ext -phantom 态射.由Li et al.（2014）的定理 4.1知，R 是右(n ，d )-环当且仅当R 是右n -凝聚环，R R 是(n ，d )-内射模，且右(n ，d )-内射R -模的商模是(n ，d )-内射的.这里我们有如下结论：定理3 设 R 是环.(i ) R 是右(n ，d +1)-环当且仅当Mor -R 中(n ，d )-Ext -phantom 态射的商态射是(n ，d )-Ext -phantom 态射.(ii ) R 是右弱(n ，d +1)-环当且仅当R -Mor 中(n ，d )-phantom 态射的子态射是(n ，d )-phantom 态射.证明 （i ）“⇒".设f 是Mor -R 中(n ，d )-Ext -phantom 态射e 的商.则存在Mor -R 中的正合序列 0→h →e →f →0. 由于 R 是右(n ，d +1)-环，由定理2知 h 是(n ，d +1)-Ext -phantom 态射. 所以对任意有限 n -表示右 R -模 A ，由长正合序列可得 Ext d +1(A ，f )≅Ext d +2(A ，h )=0. 故 f 是(n ，d )-Ext -phantom 态射.“⇐". 对 Mor -R 中的任意态射 f ，存在正合序列 0→f →e →c →0 使得 e 是内射态射. 由此可得 c是(n ，d )-Ext -phantom 态射. 由命题 5知 f 是(n ，d +1)-Ext -phantom 态射.因此由定理2知 R 是右(n ，d +1)-环.（ii ） “⇒". 设 g 是 R -Mor 中(n ，d )-phantom 态射 p 的子态射. 则存在 R -Mor 中的正合序列 0→g →p →l →0. 由于 R 是右弱(n ，d +1)-环， 由定理 2知 l 是(n ，d +1)-phantom 态射. 所以对任意有限 n -表示右 R -模 B ， 由长正合序列可得 Tor d +1(B ，g )≅Tor d +2(B ，l )=0. 故 g 是(n ，d )-phantom 态射.“⇐". 对 R -Mor 中的任意态射 g ，存在正合序列 0→k →p →g →0 使得 p 是投射态射. 由此可得 k是(n ，d )-phantom 态射. 由命题 4知 g 是(n ，d +1)-phantom 态射. 因此根据定理2，R 是右弱(n ，d +1)-环.最后，我们用(n ，d )-phantom 与(n ，d )-Ext -phantom 态射的覆盖与包络给出右(n ，d +1)-环的新刻画.定理4 设 R 是右 n -凝聚环且 d +1≥n 或 R 是任意环且 d +1<n . 则以下条件等价：(i ) R 是右(n ，d +1)-环.(ii ) 任意左 R -模存在满的(n ，d )-phantom 包络.(iii ) 任意右 R -模存在单的(n ，d )-Ext -phantom 覆盖.证明 (i )⇒(ii ). 由推论 1知，任意左 R - 模 M 存在(n ，d )-phantom 预包络 f ：M →N . 则存在满态射 α：M →Im (f ) 与嵌入态射 λ：Im (f )→N 使得 f =λα. 对任意有限 n -表示右 R -模 A ，由（i ）与引理 4，正163第 63 卷中山大学学报（自然科学版）（中英文）合序列 0→Im (f )→λN →L →0 诱导出以下正合序列0=Tor d +2(A ，L )→Tor d +1(A ，Im (f))→Tor d +1()A ，λTor d +1(A ，N ).则 Tor d +1(A ，λ)是单态射. 注意到 Tor d +1(A ，λ)Tor d +1(A ，α)=Tor d +1(A ，f )=0，所以Tor d +1 (A ，α)=0， 即 α是(n ，d )-phantom 态射. 易证 α 是满的(n ，d )-phantom 包络.(ii )⇒(i ). 对任意左 R -模 M ， 存在正合序列 0→K →ιP →M →0 使得 P 是投射模. 由（ii ），K 存在满的(n ，d )-phantom 包络 φ：K →G . 由于 ι 是(n ，d )-phantom 态射，所以 φ 是单态射，从而 φ 是同构. 于是对任意有限 n -表示右 R -模 A ，有 Tor d +1(A ，φ)=0，故 Tor d +1(A ，K )=0. 即(n ，0)-fd (K )≤d ，因此(n ，0)-fd (M )≤d +1. 由引理 4知 R 是右(n ，d +1)-环.(i )⇒(iii ). 由推论 1知，任意右 R -模 M 存在(n ，d )-Ext -phantom 覆盖 g ：N →M . 于是存在满态射 β：N →Im (g )与嵌入态射 γ：Im (g )→M 使得 g =γβ. 对任意有限 n -表示右 R -模 B ，由（i ）与引理 4知，正合序列 0→K →N →βIm (g )→0 诱导出以下正合序列Ext d +1(B ，N )→Ext d +1()B ，βExt d +1(B ，Im (g ))→Ext d +2(B ，K )=0.所以 Ext d +1(B ，β)是满态射. 注意到 Ext d +1(B ，γ)Ext d +1(B ，β)=Ext d +1(B ，g )=0，因此 Ext d +1(B ，γ)=0，即 γ 是(n ，d )-Ext -phantom 态射. 易证 γ 是单的 (n ，d )-Ext -phantom 覆盖.(iii )⇒(i ). 对任意右 R -模 N ，存在正合序列 0→N →E →ρL →0 使得 E 是内射模. 由（iii ），L 存在单的(n ，d )-Ext -phantom 覆盖 ψ：D →L . 由于 ρ 是(n ，d )-Ext -phantom 态射，所以 ψ 是满态射，从而 ψ 是同构. 于是对任意有限 n -表示右 R -模 B ，有 Ext d +1(B ，ψ)=0，故 Ext d +1(B ，L )=0. 即(n ，0)-id (L )≤d ，因此(n ，0)-id (N )≤d +1. 由引理 4知 R 是右(n ，d +1)-环.由注 1，当 d +1=n 时，R -Mod 中的(1，d )-phantom 态射与 Mod -R 中的(1，d )-Ext -phantom 态射分别是 n -phantom 态射与 n -Ext -phantom 态射（Mao ， 2018； Mao ， 2019；Lan et al.， 2021）. 于是可得如下结论.推论2（Mao ，2018） 对右凝聚环 R 及 n >1，以下条件等价：(i ) wD (R )≤n .(ii ) 任意左 R -模存在满的 n -phantom 包络.(iii ) 任意右 R -模存在单的 n -Ext -phantom 覆盖.称环 R 是右 n -遗传环，如果投射右 R - 模的有限 (n -1)-表示子模是投射的（Zhu ，2011）. 由 Zhu （2011）的定理 3.2知，R 是右 n -遗传环当且仅当 R 是右(n ，1)-环. 基于以上结论，可得如下推论.推论3 对任意环 R ，以下条件等价：(i ) R 是右 n -遗传环.(ii ) R -Mod 中的任意态射是(n ，1)-phantom 态射.(iii ) Mod -R 中的任意态射是(n ，1)-Ext -phantom 态射.(iv ) R -Mor 中(n ，0)-phantom 态射的子态射是(n ，0)-phantom 态射.(v ) Mor -R 中(n ，0)-Ext -phantom 态射的商态射是(n ，0)-Ext -phantom 态射.(vi ) 任意左 R -模存在满的(n ，0)-phantom 包络.(vii ) 任意右 R -模存在单的(n ，0)-Ext -phantom 覆盖.称环 R 是右半遗传环（Lam ，1999），如果任意有限生成右理想是投射的，等价于 R 是右凝聚环且wD (R )≤1. 由注1，R -Mod 中的(1，0)-phantom 态射是Herzog （2007）定义的 phantom 态射；Mod -R 中的(1，0)-Ext -phantom 态射是文献 Herzog （2008）定义的 Ext -phantom 态射. 于是可得如下结论.推论4 对右凝聚环 R ，以下条件等价：(i ) R 是右半遗传环.(ii ) 任意左 R -模存在满的 phantom 包络.164165第 1 期余君丽，等：(n，d)-（Ext）-phantom 态射与(n，d)-环(iii)任意右R-模存在单的Ext-phantom 覆盖.(iv)R-Mor中 phantom 态射的子态射是 phantom 态射.(v)Mor-R中Ext-phantom 态射的商态射是Ext-phantom 态射.(vi)R-Mod中的任意态射是 phantom 态射.(vii)Mod-R中的任意态射是Ext-phantom 态射.称环R是右n-正则环（Zhu，2011），如果它是右(n，0)-环. 则有如下推论.推论5 对任意环R，以下条件等价：(i)R是右n-正则环.(ii)R-Mod中的任意态射是(n，0)-phantom 态射.(iii)Mod-R中的任意态射是(n，0)-Ext-phantom 态射.显然，R是右正则环当且仅当它是右1-正则环. 于是可得如下结论.推论6 对任意环R，以下条件等价：(i)R是右正则环.(ii)R-Mod中的任意态射是 phantom 态射.(iii)Mod-R中的任意态射是Ext-phantom 态射.参考文献：BRAVO D， PÉREZ M A， 2017. Finiteness conditions and cotorsion pairs［J］. J Pure Appl Algebra， 221（6）： 1249-1267.BRAVO D， PARRA C E， 2019. Torsion pairs over n-hereditary rings［J］. Commun Algebra， 47（5）： 1892-1907.COSTA D L， 1994. Parameterizing families of non-noetherian rings［J］. Commun Algebra， 22（10）： 3997-4011.CRAWLEY-BOEVEY W， 1994. Locally finitely presented additive categories［J］. Commun Algebra， 22（5）： 1641-1674.CRIVEI S，PREST M，TORRECILLAS B，2010. Covers in finitely accessible categories［J］. Proc Amer Math Soc，138（4）：1213-1221.ENOCHS E E， OYONARTE L， 2002. Covers， envelopes and cotorsion theories［M］. New York： Nova Science Publishers. ENOCHS E E， JENDA O M G， 2000. Relative homological algebra［M］. Berlin： Walter de Gruyter.FU X H， GUIL ASENSIO P A， HERZOG I， et al， 2013. Ideal approximation theory［J］. Adv Math， 244： 750-790.HERZOG I， 2007. The phantom cover of a module［J］. Adv Math， 215（1）： 220-249.HERZOG I， 2008. Contravariant functors on the category of finitely presented modules［J］. 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在 其 中 占有 重要 的地 位． 文献 ［ ］证 明 了某 种条 件 ５ 下 的两 个算 子 的乘 法 扰 动具 有 可 换 性 ； 文献 ［］给 ６ 出了豫解 族 的另外 两 种 乘积 扰 动 定 理 ， 应 用 乘积 并
扰 动定 理得 到几个 加法 扰 动 的结 果． ＿正则 预 解族 Ｃ
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｃ－ｅ ｕ ａ ｉｅ ｅ ｏ ｖ ｎ ａ ｌ ｒ ｇ ｌ ｒｚ ｄ ｒ ｓ ｌ ｅ ｔｆｍｉ ｙ；ｇ ｎ ｒ ｔ ｒ ｅ ｅ ａ ｏ ；ｍｕ ｐ ｉａ ｉ ｅｐ ｒ ｕ ｂ ｔ ｎ ｈｉ ｌ ｔ ｅ ｔ ｒ ａ ｉ ｃ ｖ ｏ
（） ￡ ａ Ｔ（）在 上 强连续 ， Ｔ（ ）： Ｃ； 且 Ｏ
维普资讯
第３ ４卷第 ３ 期
２０ ０ ７年 ５月
浙 江 大 学 学 报 （ 学版 ） 理 ｎｖ ｓ ｙ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｅ ｔ ｅ ｉ Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｈｊ ｏ ｒ ａ ｅ ｉ Ｕ ／ ｒ／ （ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｏ ｝ ｏｚ ￣ ｂｔ：／ Ｔ ．ｏ ｒａ ． ．ｄ ．ｎ ｓｉ ｔ ／ ｗｗ ｊｕｎ ｌ 司ｕｅ ｕｃ ／ｃ ｐ ｗ ｓ
果存 在常 数 Ｍ ， ０ 得 ｌ ￡ Ｉ Ｍｅ‘ Ｖｔ ∞＞ 使 Ｉ ）ｌ≤ Ｔ（ ＂ ， ≥
０ 显然 ， ’ ． Ｃ 正则 预解 族 的概 念 是 预 解 族 ［ 、＿半 群 ５Ｃ ］
和 Ｃ 正则余 弦算 子 函数 的 自然 扩 展 ， 当 Ｃ — Ｉ ’ 即 ，
口￡ （）一 １和 口 ￡ （）一 ｔ 的特殊 情况 ． 时 以下 假设 Ｔ ￡ （）和 ａ≠ ０为指数 有界 的 ， 即存在
定义 １ 设 Ａ是 Ｂ ｎ ｃ 间 Ｘ 中 的闭稠定 线 ａ ａｈ空
性算 子 ， Ｘ）是所 有 有 界 线 性 算 子 构 成 的 空 间 ， Ｌ（ Ｃ
ｔ ｎ ，２ ０ ３ （ ） ２ ８ ２ １ ｉ ） ０ ７， ４ ３ ： ４ ～ ５ ｏ Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｕｔｐ ｉａ ｉ ｅ ｐ ｒ ｕ ｂ ｔ ｎ ｆＣ ｒ ｇ ｌ ｒ ｅ ｅ ｏ ｖ ｎ ａ ｌ ｓ ｄ ｆ ｅ ｎ ａ Ｂ ｎ ｃ ｐ ｃ ａ ｅ ｓ ｕ — ｅ ｍ ｌ ｌ ｔ ｅ ｔ ｒ ａ ｉ ｓｏ － ｅ ｕ ａ ｉ ｄ ｒ ｓ ｌ ｅ ｔｆ ｍｉ ｅ ｅ ｉ ｄ ｉ ａ ａ ｈ ｓ ａ ｅ Ｘ ｒ ｔ ｄ ｉ ｃ ｖ ｏ ｚ ｉ ｎ ｉｄ Ｂ ｓｎ ｈ ｐ ｒ ａ ｈ ｏ ａ ｉ ｐ ｒ ｔ ｒｔ ｅ ｒ ，ａ ｌ ｆ ｌ ｐ ｉａ ｉ ｅ ｐ ｒｕ ｂ ｔ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍ ｆＣ－ ｅ ｕ ａ ｉ ｄ ｒ — ｅ ． ｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ａ ｐ ｏ ｃ ｆｂ ｓｃ ｏ ｅ ａ ｏ ｈ ｏ ｙ ｅ ｔｍｕ ｔ ｌ ｔ ｅ ｔ ｒ ａ ｉ ｈ ｏ ｅ ｏ ｒ ｇ ｌ ｒｚ ｅ ｉ ｃ ｖ ｏ ｅ ｓ ｌｅ ｔｆ ｍｉ ｅ Ｓ ｐ ｏ ｅ ． ｏ ｖ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｒ ｖ ｄ ｉ
的概念 首先 在 文献 ［ ，］中提 出 ， 中 Ｃ是 Ｂ ｎｃ ７８ 其 ａａｈ 空 间中的有 界单射 算子 ．
Ｃ ＿正则预 解族 的定义 如下 ：
Ｍ ≥ １ ∞≥ ０ 得 ｌ ￡ ｌ Ｍｅ 和 Ｉ （）ｌ 和 使 Ｉ ）Ｉ≤ Ｔ（ 口 ￡ ≤ Ｍ 成立 ． Ｔ（ ）和 ａ （）分 别 表 示 Ｔ（）和 口 ￡ ￡ （）的 Ｌ ｐａ ｅ ａ ｌｃ 变换． Ｊ Ａ） 用 Ｄ 表示 Ａ 的预解 集 ，ｃＡ）一 ｛ （ Ｐ（
解 族 的 左 来 积扰 动 定 理 ．
关
键
词 ：－ －｛ 解 族 ；乘积 扰 动 ；生 成 元 Ｃ．Ｊ预 ｆｌ
中圈分类号 ： ７ Ｏ１ ７
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ８ ９９ （０ ７ ０ －２ ８ ０ １０ － ４ ７２ ０ ）３ ４ － ４
Ｌ ａ Ｄｅ ａ ｔ ｅ ｔ ｆ Ｍａｈ ｍａ ｉ ， ｅ ｉｎ ｉｅ ｓ ｙ，Ｈａ ｇ ｈ ｕ ３ ０ ２ ， ｈ ｎ ） Ｉ （ ｐ ｒｍ ｎ ｔ ｅ ｔ ｓ ｊａ ｇＵｎｖ ｒｉ Ｙ ｏ ｃ ｔ ｎ ｚ ｏ １ ０ ７ Ｃ ｉａ Ｏ ｈ ｆ ｍｕｔ ｌ ａ ｌ ｅ ｔｒａ ｉ ｓ ｆ － ｇ ｌｒ ｅ ｓｌ ｎ ｍｉｅ． ｏ ｒ ａ ｏ ｈ ｊ ｎ ｉ ｒ ｉ （ ｃｅ ｃ ｄ— ｎ ｔｅｌ ｔ ｌ ｐｋ ｔ ｅｐ ｒｕ ｂ ｔ ｎ ｒ ｕａ ｉ ｄ ｒ ｏｖ ｔ ａ ｌ ｓ Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｅｉ ｇ Ｕｎｖ ｓ ｙ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉ ｅ ｉ Ｉ ｖ ｏ ｏＣ ｅ ｚ ｅ ｅ ｆ ｉ Ｚ ａ ｅ ｔ
０ 引 言
自从 文献 ［］在 １８ １ ９０年首 先 引入 Ｂ ｎｃ 间 ａａｈ空
中预解族 的概念 以来 ， 由于其在 物理 、 工程 和生 物等 诸 学科 中的应 用 ， 十多 年来 ， 二 预解族 的理 论得 到 了
广 泛 的关 注 和极 大 的发 展［ ， 解 族 的扰 动理 论 ２ 豫 ］
（ ） ￡Ａ ｂ Ｔ（ ） Ｃ ＡＴ（ ） Ｖｔ≥ ０； ｔ，
（ ） — Ｃ－ ＡＣ ； ｃＡ ＋ Ｉ （ — ｓＴ（） ｄ ， ｔ ） ｓＡｘ ｓ ａ
Ｊ０
ｚ ∈ Ｘ， ｔ ０ ≥ ．
又称 ｛ ￡ ） 是 指数 有 界 的 Ｃ Ｔ（） ＿的正 则 预 解族 ， 如
＿
Ｃ 正 则 预 解 族 的左 乘 积扰 动 Ｉ
李 亚
（ 江大学 数学系 ， 江 杭州 ３０２） 浙 浙 １０ ７
摘 要 ： 究 了定 义在 Ｂ ｎｃ 研 ａ ａｈ空 间 Ｘ 上 Ｄ 正 则预 解族 的 乘积 扰 动 问题 ． 用 算 子 理 论 方 法 ， 出 了一 个 Ｃ 正 则 预 应 给 ．