备战高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题66 含有条件概率的随机变量问题

专题66 含有条件概率的随机变量问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，离散型随机变量的分布列及其数字特征是高考命题的热点.往往以实际问题为背景考查离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用，其中不乏含有条件概率的问题．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.此类问题，概率统计问题一同考查.难度控制在中等．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：()()()|P AB P B A P A =（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率： 按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415P AB A ==，()45P A =，所以()()()1|4P AB P B A P A == 按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖.那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决.【经典例题】例1.【2018届江西省新余市高三第二次模】中不放回地依次取）【答案】AA ．例2.【2018届青海省西宁市一模】先后掷一枚质地均匀骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数，且x y ≠”，则概率(|)P B A =（ ） A.13 B. 14 C. 15 D. 16【答案】A例3.【2018届江西省南昌市三模】质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的（1个零件中随机抽取测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2【答案】（12）见解析【解析】分析：（1件全合格”；事件.故所求概率为.（2）可能取值为分布列为例4.【2018届安徽省合肥市第一中学冲刺】深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：（1的值，据此能否有（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：则：1）当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；2）当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；3）如果你是教练员，应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员？附表及公式：【答案】（1）2）1）0.32, 2）0.32, 3）多让乙球员担当守门员，场次.详解：（1,的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.（2）1表示“乙球员担当后卫”；3次. {例5.【2018届四川省成都市第七中学三诊】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（10.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45.【答案】(1)见解析；（2）见解析.详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．（2）①设“抽到1人是45岁以下”为事件A，“抽到的另一人是45岁以上”为事件B，的分布列为：例6.【2018届河北省石家庄二中三模】某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图.同时用茎叶图表示甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：且均为整数），由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，.（1）内的运动人数（2）在甲，乙两队所有成绩在绩均“优秀”的概率；（3.【答案】（123）见解析【解析】分析：由频率分布直方图可知，成绩在2，频率为（3，分别求三个概率，由此求出的分布列和数学期望详解：（1，中运动员的频率为，人数为名，∴；（2以上运动员总数为：人成绩优秀”，事件点睛：随机变量分布列及数学期望问题要善于灵活运用三个性质：一是p i ≥0(i ＝1,2，…)；三是p 1＋p 2＋…＋p n ＝1检验分布列的正误例7.【2018届广东省佛山市检测二】单位计划组织55名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测．已知随机一人血检呈阳性的概率为 1% ,且每个人血检是否呈阳性相互独立. (Ⅰ) 根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验． 现有两个分组方案：方案一: 将 55 人分成 11 组,每组 5 人； 方案二：将 55 人分成5组,每组 11 人； 试分析哪一个方案工作量更少？(Ⅱ) 若该疾病的患病率为 0.4% ,且患该疾病者血检呈阳性的概率为99% ,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率.(参考数据: 5110990.9510.990.895.==，)【答案】（1）方案二工作量更少.（2）39.6%. 【解析】分析：(Ⅰ)方案一中化验次数为1或者6，方案二中化验次数为1或13，分别求出两种方案化验次数的分布列，求出期望，通过比较期望大小可得结论；(Ⅱ) 设事件A ：血检呈阳性；事件B :患疾病．则题意有()()P A 0.01,P B)0.004,p A|B 0.99===（,利用条件概率公式可得，注意要求的概率是P(B|A). 详解：(Ⅰ)方法1：设方案一中每组的化验次数为X ，则X 的取值为1，6. 所以()()5510.990.951,610.990.049P X P X =====-=，所以X 的分布列为所以10.95160.049 1.245EX =⨯+⨯=.故方案一的化验总次数的期望为: 11EX 110.24513.695⨯=⨯=次. 设方案二中每组的化验次数为Y ，则Y 的取值为1，12， 所以()()1111P Y 10.990.895,1210.990.105P Y =====-=，所以Y 的分布列为所以EY 10.895120.105 2.155=⨯+⨯=.(Ⅱ)设事件A ：血检呈阳性；事件B :患疾病．则由题意有()()P A 0.01P B)0.004p A|B 0.99===，（，, 由条件概率公式()()()P A|B P AB P B =，得()()()|0.0040.99P AB P B P AB ==⨯,故()()()0.0040.99|0.3960.01P AB P B A P A ⨯===, 所以血检呈阳性的人确实患病的概率为 39.6%.例8.【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校1月联合模拟】为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查(满分100分)，被抽取的观众的评分结果如图所示 （Ⅰ）计算：①甲地被抽取的观众评分的中位数； ②乙地被抽取的观众评分的极差；（Ⅱ）用频率估计概率,若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查,记抽取的4人评分不低于90分的人数为X ，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.【答案】(1)83，21(2)见解析（3）37（Ⅲ）设事件A 为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于90分”，事件B 为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，则()716P A =()316P AB=根据条件概率公式，可求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众评分的中位数是83，乙地被抽取的观众评分的极差是977621-=（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90分”为事件M，则()21 84P M==随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，，且14,4 X B⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以()4411144k k kP x k C-⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4 k=所以X的分布列为∴()1414E x=⨯=所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，乙地被抽取的观众评分低于90分的概率为37.例9.一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）15；（2）期望2. 【解析】（1）思路：本题可用古典概型解决，事件Ω为“8张卡片中取出2张卡片”，所以()28n C Ω=事件A 为“所得新数为奇数”，可知需要一奇一偶相加即可，则()1135n A C C =⋅，从而可计算出()P A解：设A 为“所得新数为奇数”()1135281528C C P A C ⋅∴==解：ξ可取的值为1,2,3,4()518P ξ∴== ()351528756P ξ==⋅=()3255387656P ξ==⋅⋅=()3211487656P ξ==⋅⋅= ξ∴的分布列为：123485656562E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=例10.有,,A B C 三个盒子，每个盒子中放有红，黄，蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别（1）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球“，事件T 为”取得颜色互不相同的三个球“，求()(),P S P T（2）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望【答案】（1）12,;279（2）期望1.思路二：本题也可用概率的乘法进行计算.S 表示每个盒均取出红球（取出红球的概率为13），因为每盒之间互不影响，所以()111333P S =⨯⨯；T 要求每盒颜色不同，所以前一个盒取出球的颜色会影响到下一个盒取球的选择.第一个盒取出一个颜色，则第二个盒只能取另外两个颜色的球（概率为23），而第三个盒只能取出剩下颜色的那个球（概率为13），所以()21133P T =⨯⨯解：（1）()111133327P S =⨯⨯=()2121339P T =⨯⨯=（2）思路：分析可知整个过程对于A 而言是取出一个球，再进入一个球，所以ξ可取的值为0,1,2，情况较为简单的为0ξ=和2ξ=的情况，当0ξ=时，意味着从A 盒中取出了红球到B （概率为13），此时B 盒中为2红2非红，C 盒中的情况取决于B 盒中取出球的颜色，可进行分类讨论：若取出的是红球（概率为12），则C 盒中为2红2非红，然后从C 中取出非红球即可（概率为12）；若取出的不是红球（概率为12），则C 盒中为1红3非红，再从C 中取出非红球即可（概率为34），综上可得：()11113503222424P ξ⎡⎤==⨯⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦；当2ξ=时，意味着从A 盒中取出了非红球到B （概率为23），此时B 盒中为1红3非红，C 盒中的情况取决于B 盒中取出球的颜色，可进行分类讨论：若取出的是红球（概率为14），则C 盒中为2红2非红，然后()21131523424424P ξ⎡⎤==⨯⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦ ()()()7110212P P P ξξξ==-=-==ξ∴的分布列为：0121241224E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【精选精练】1．【2018届河南省安阳35）B.C.【答案】A【解析】分析：本题考查条件概率.为了方便表示，设“某天的空气质量为优良”为事件A ，“后一天的空气质量为优良”为事件B.详解：设“某天的空气质量为优良”为事件A，“后一天的空气质量为优良”为事件B，故选A.2．【2018的概率为（）C. D.【答案】A本题选择A选项.3．【2018届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）一模】从标有1、2、3、4、5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）【答案】B【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B故选B.4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ） A. 110 B. 15 C. 25 D. 12【答案】C【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，由题意得()()11,25P A P AB ==．由条件概率的定义可得()()125(|)152P AB P B A P A ===．选C ．5. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1个小时走出迷宫；若是2号，3号通道，则分别需要2小时，3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止，令ξ表示走出迷宫所需的时间，求ξ的分布列和数学期望 【答案】期望2.()113P ξ== ()1113326P ξ==⨯=()1114326P ξ==⨯= ()11111632323P ξ==⨯+⨯=ξ∴的分布列为：11117134636632E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=6.某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的9选3考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为12，第二次参加考试合格的概率为23，第三次参加考试合格的概率为45，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过 （1）求小李第一次考试即通过的概率P x ￥kw （2）求小李参加考核的次数ξ分布列 【答案】（1）5；（2）【解析】（1）思路：由题意可知，小李能够通过考试的概率取决于是否能够抽到“引体向上”这个项目，如果没有抽到，则必能通过；若抽到“引体向上”则通过的概率为12.后面通过测试的概率受到前面抽签的（2）思路：依题目要求可知ξ可取的值为1,2,3,4，在参加下一次考核时，意味着前几次考核失败，所以当ξ取2,3,4时，要考虑前面考核失败的情况与该次考核成功两个方面同时成立.解：ξ可取的值为1,2,3,4()516P ξ== ()3288339912426327C C P C C ξ⎛⎫==⨯+⋅=⎪⎝⎭()23288833399911473635405C C C P C C C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2288339911114635810C C P C C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ξ∴的分布列为：7.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为2，则把该球编号记下再把编号数改为1后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用X 表示“所有被取球的编号之和” （1）求X的分布列（2）求X 的数学期望及方差【答案】（1）（2）81解：（1）X 可取的值为1,3,5()113P X ∴==()112533339P X ==+⋅=()1115339P X ==⋅=X ∴的分布列为：（2）1353999EX =⨯+⨯+⨯=222123523123176135********DX ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 8.深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． 【答案】（1）期望1； （2）3875.()2326125C P C ξ===ξ∴的分布列为：0121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（2）思路：本题要注意一个常识，即新球训练过后就变成了旧球，所以要计算第二次恰好取到一个新球的概率，需要了解经过第一次训练后，所剩的球有几个新球，几个旧球.所以要对第一次取球的情况进行分类讨论：若第一次取2个新球，则第二次训练时有5旧1新；若第一次取到1个新球，则第二次训练时有4旧2新；若第一次取到2个旧球，则第二次训练依然为3旧3新，分别计算概率再相加即可解：设事件i A 为“第一次训练取出了i 个新球”，则()23326i i i C C P A C -= 设事件B 为“从六个球取出两个球，其中恰好有一个新球” 事件C 为“第二次恰好取出一个新球”9.若盒中装有同一型号的灯泡共10个，其中有8个合格品，2个次品（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望 【答案】（1）12；（2） 期望9.【解析】（1）思路：每次有放回的取灯泡，相当于做了3次独立重复试验，每次试验中取到合格品的概率为45，取到次品的概率为15，在3次试验中2次取到次品，1次取得合格品，所以考虑利用公式求解取到次品的概率解：X 可取的值为1,2,3()415P X ∴==()18825945P X ==⋅= ()11135945P X ==⋅= X ∴的分布列为：123545459EX ∴=⨯+⨯+⨯=10．【2018届吉林省长春市质量监测（三）】树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.123 4 5到的频率分布直方图如图所示(1)(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取求在第13组被抽到（3）若从所有参与调查的人中任意选出.【答案】3【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求出（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为3组抽到2（30，1，2，3，求出相应.（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为的可能取值为0，1，2，3.所以的分布列为11．【2018届百校联盟TOP20一月联考】质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.（1）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率； （2）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（3）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）5584P =（2）1753（3）分布列见解析()23E X =试题解析：（1）由题意得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格的零件数为2，故所求概率为22422284551184C C P C C ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为5584． （2）设事件A 表示“2件合格，2件不合格”；事件B 表示“3件合格，1件不合格”；事件C 表示“4件全合格”； 事件D 表示“检测通过”；事件E 表示“检测良好”．则()()()()2231444444444888361615370707070C C C C C PD P A P B P C C C C =++=++=++=， ∴()()()()()11617|535353P C P B P E D P D P D =+=+=．∴随机变量X的分布列为∴()141612 0123333113E X=⨯+⨯+⨯=．点睛：（1）在求某事件的概率时，若事件较为复杂时，可通过求它的对立事件的概率来求解．对于含有“至多”、“至少”等词语的概率问题，一般用对立事件的概率来解较为简单．（2）求概率时，当题目中含有“在……发生的条件下，求……发生的概率”的字样时，一般用条件概率求解，解题时要分清楚谁是条件，然后再利用公式求解．12．为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地大量观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示.（1）从甲地抽取的8名观众和乙地抽取的8名观众中分别各选取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被选取的观众评分低于90分的概率.（2）从甲地抽取出来的8名观众中选取1人，从乙地抽取出来的8名观众中选取2人去参加代表大会，记选取的3人中评分不低于90.【答案】（1（2）见解析（2）E（X）=34.。