广东省13大市2013届高三上学期期末数学(文)试题分类汇编--坐标系与参数方程(选修4-4)
广东省13大市2013届高三数学上学期期末试题分类汇编11 立体几何 理 新人教A版
广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编立体几何一、填空、选择题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若m β⊂，n β⊂，//m α，//n α，则//αβ 答案：C2、（东莞市2013届高三上学期期末）设m 、n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则m a ⊥的—个充分条件是A ．m//n,n //β, αβ⊥B ．,n //β,α//βmC ．m//n ，n β⊥, α//βD ．m n ⊥,n β⊥,αβ⊥ 答案：B 3、（佛山市2013届高三上学期期末）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．9B ．10C ．11D ．232答案：C 4、（广州市2013届高三上学期期末）已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A ．3 B．C ．6 D ．8 答案：C分析：三棱锥如图所示，，，，俯视图侧视图正视图433图15、（江门市2013届高三上学期期末）已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=V A ．π12 B ．π16 C ．π18D ．π64答案：B 6、（茂名市2013届高三上学期期末）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案：C 7、（汕头市2013届高三上学期期末）如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD 的底面边长为6cm ，侧棱长为5cm ，则它的侧视图的周长等于( )．A.17cmB.cm 5119+C.16cmD.14cm 答案：D 8、（增城市2013届高三上学期期末）给出三个命题：（1）若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行． （2）若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行． （3）若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行．其中正确命题的个数是A ．0B ． 1C ． 2D ． 3答案：B 9、（湛江市2013届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x ＝＿＿＿＿ 答案：3 10、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），则这个几何体的体积是( ). A. 38cm B. 312cm C. 324cm D. 372cm答案：B解析：三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，所以，这个几何体的体积116431232V =⨯⨯⨯⨯= 11、（中山市2013届高三上学期期末）如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值.其中所有正确的命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①③ C ．②④ D ．①③④答案：D 12、（珠海市2013届高三上学期期末）已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥αC1BAB ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mC ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥αD ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m 答案：D 13、（潮州市2013届高三上学期期末）若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为_______．答案：由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a =故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh ===． 二、解答题1、（潮州市2013届高三上学期期末）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，x AE =．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的 中点，以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ． （1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ； （2）求()f x 的最大值；（3）当()f x 取得最大值时，求异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥，∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠= ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H = ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角．在Rt BEH ∆中BH ===，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥在Rt BDH ∆中BD ===，∴cosDH BDH BD ∠===∴异面直线AE 与BD ． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==．∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =- ，(2,2,0)EG =，∴440BD EG ⋅=-+=．∴BD EG ⊥，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>或其补角．又(0,0,2)AE =- ，故cos ,||||AE BD AE BD AE BD <>===⋅⋅∴cos θ=，故异面直线AE 与BD．2、（东莞市2013届高三上学期期末）如图,几何体SABC 的底面是由以AC 为直径的半圆O 与△ABC 组成的平面图形，SO ⊥平面ABC,AB BC ⊥,SA =SB=SC=A C=4,BC=2. (l)求直线SB 与平面SAC 所威角的正弦值； (2)求几何体SABC 的正视图中111S A B ∆的面积；(3)试探究在圆弧AC 上是否存在一点P ，使得AP SB ⊥，若存在，说明点P 的位置并 证明；若不存在，说明理由．解：（1）过点B 作BH AC ⊥于点H ，连接SH . …………1分 因为SO ABC ⊥平面，BH ABC ⊂平面， 所以B ⊥. …………2分又因为BH AC ⊥，SO AC O = ，所以BH SAC ⊥平面，即BSH ∠就是直线SB 与平面SAC 所成角. …………3分 在ABC ∆中，因为AB BC ⊥，4AC =，2BC =，所以60ACB ∠=︒，2sin 60BH =︒=…………4分 在Rt BSH ∆中，因为4SB =，所以sin BH BSH SB ∠== 即直线SB 与平面SAC所成角的正弦值为4. …………5分 （2）由（1）知，几何体SABC 的正视图中，111B A S ∆的边HC AC AH B A -==11，而160cos 2==oHC ，所以311=B A . …………6分又111B A S ∆的边11A B 上的高等于几何体SABC 中SO 的长，而4===AC SC SA ，所以=SO …………7分所以111132S A B S ∆=⨯⨯…………8分 （3）存在. …………9分证明如下：如图，连接BO 并延长交弧AC 于点M ，在底面内，过点A 作AP BM ⊥交弧AC 于点P . ………10分所以SO ABC ⊥平面.而AP ABC ⊂平面，所以AP SO ⊥. …………11分 又因为AP BM ⊥，SO BM O = ，所以AP SOB ⊥平面，从而AP SB ⊥. …………12分又因为2AO OC BC ===，所以有60AOM BOC ACB ∠=∠=∠=︒，所以60AOM POM ∠=∠=︒，120AOP ∠=︒， …………13分即点P 位于弧AC 的三等分的位置，且120AOP ∠=︒. …………14分3、（佛山市2013届高三上学期期末）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点， 且13AD DB =，点C 为圆O上一点，且BC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB，∴PA CD ⊥． -----------------6分 （注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆中设1AD =，由3A D D B=BC =得，3DB =，4AB =，BC =第18题图∴2BD BCBC AB==，则BDC BCA∆∆∽，∴BCA BDC∠=∠，即C⊥． -----------------3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D=得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，∴PA CD⊥． -----------------6分法3：∵AB为圆O的直径，∴AC CB⊥，在Rt ABC∆BC=得，30ABC∠= ，设1AD=，由3AD DB=得，3DB=，BC=由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC=+-⋅=，∴222CD DB BC+=，即C⊥． -----------------3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D=得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，∴PA CD⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D作DE PB⊥，垂足为E，连接CE． -----------------7分由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴CD PB⊥，又DE CD D=，∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，∴CE PB⊥，-----------------9分∴DEC∠为二面角C PB A--的平面角． -----------------10分由（Ⅰ）可知CD=，3PD DB==，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴PB =，则PD DB DE PB ⋅=== ∴在Rt CDE ∆中，tan 3CD DEC DE ∠===，∴cos DEC ∠=，即二面角C P B --的余弦值为-----------------14分 法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =BC =得，3PD DB ==，CD =， ∴(0,0,0)D，C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ，∴3)PC =- ，(0,3,3)PB =-，(CD =，由CD ⊥平面PAB，知平面PAB的一个法向量为(CD =． -----------------10分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，即30330y y z -=-=⎪⎩，令1y =，则x =，1z =，∴=n ，-----------------12分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，则cos 5||CD CD θ⋅===-⋅ n |n |，-----------------13∴二面角C PB A -------------------14分4、（广州市2013届高三上学期期末）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD ，求二面角N AM B --的余弦值.（1）证法1：取的中点，连接，∵点是的中点,∴. …………… 1分∵点是的中点，底面是正方形，∴. …………… 2分 ∴.∴四边形是平行四边形.∴. …………… 3分∵平面，平面，∴面. …………… 4分证法2：连接并延长交的延长线于点，连接，∵点是的中点，图4M NBCDAP∴, …………… 1分∴点是的中点. …………… 2分∵点是的中点,∴. …………… 3分∵面，平面，∴面. …………… 4分证法3：取的中点，连接，∵点是的中点，点是的中点,∴，.∵面，平面，∴面. …………… 1分∵面，平面，∴面. …………… 2分∵，平面，平面，∴平面面. …………… 3分∵平面，∴面. …………… 4分（2）解法1：∵，面，∴面. …………… 5分∵面，∴. …………… 6分过作，垂足为，连接，∵，面，面，∴面. …………… 7分∵面，∴. …………… 8分∴是二面角的平面角. (9)分在Rt△中，,，得，…………… 10分在Rt△中，，得，. …………… 11分在Rt△中，，…………… 12分. …………… 13分∴二面角的余弦值为. …………… 14分解法2：∵，面，∴面.在Rt△中，,，得，…………… 5分以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，…………… 6分则.∴，，. …………… 8分设平面的法向量为，由，，得令，得，.∴是平面的一个法向量. …………… 11分又是平面的一个法向量，…………… 12分. …………… 13分∴二面角的余弦值为. …………… 14分5、（惠州市2013届高三上学期期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 点为AB 的中点时，求点E 到平面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π？（1）证明：如图，连接1D B ，依题意有：在长方形11A ADD 中，11AD AA ==，1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E D E AD B AD AB A ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭四边形平面又平面平面．……… 4分（2）解：AC ==/21AE AB ==，EC ==cos 2AEC ∠==-，sin 2AEC ⇒∠=．∴111222AEC S ∆=⨯=，…………… 6分 111113D AEC V -=⨯⨯=．1AD==1D C ==1sin D AC ⇒∠==．∴11322A DCS ∆==． 设点E 到平面1ACD 的距离为d ，∴11131326D AEC E AD C V V d --==⨯=13d ⇒=．DCA B ABCDF 045EDCABA 1B 1C 1D 1P MD CBAN图6 图4 ∴点E 到平面1ACD 的距离为13． ………………………………………………… 8分 （3）解：过D 作DF EC ⊥交EC 于F ，连接1D F ．由三垂线定理可知，1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角．∴14DFD π∠=，12D DF π∠=，111D D DF =⇒=． ……………………… 10分1sin 26DF DCF DCF DC π∠==⇒∠=，∴3BCF π∠=．…………………… 12分∴tan3BE BE BCπ=⇒=2AE AB BE =-=故2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为4π．…………………………… 14分6、（江门市2013届高三上学期期末）如图4，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，E 为BC 的中点，090=∠=∠ADC BAD ，3=AB ，1=CD ，2==AD PA ．⑴求证：⊥DE 平面PAC ；⑵求PA 与平面PDE 所成角的正弦值．证明与求解：⑴因为⊥PA ABCD ，⊂DE ABCD ，所以⊥PA DE ……1分，取AD 的中点F ，连接EF ，则EF 是梯形ABCD 的中位线，所以AB EF //且22=+=CDAB EF ……3分，在ADC Rt ∆和DEF Rt ∆中，090=∠=∠ADC EFD ，2==DCADDF EF ，所以EFD ∆∽ADC ∆……5分，DAC FED ∠=∠，所以DE AC ⊥ ……6分，因为A AC PA = ，所以⊥DE 平面PAC ……7分．⑵（方法一）由⑴知平面⊥PDE 平面PAC ……8分，设G AC DE = ，连接PG ，在PAG Rt ∆中作PG AH ⊥，垂足为H ，则⊥AH 平面PDE ……10分，所以APH ∠是PA 与平面PDE 所成的角……11分，由⑴知，在ADG Rt ∆中，2=AD ，21tan ==∠AD CD CAD ，所以54c o s =∠⨯=C A D AD AG ……12分，因为⊥PA ABCD ，所以56=PG ……13分，32sin sin ==∠=∠PG AG APG APH ，即为PA 与平面PDE 所成角的正弦值……14分． （方法二）依题意，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系……8分，则直线PA 的方向向量为)1 , 0 , 0(=……9分，依题意，)2 , 0 , 0(P 、)0 , 0 , 2(D 、)0 , 3 , 0(B 、)0 , 1 , 2(C 、)0 , 2 , 1(E ……10分，从而)2 , 0 , 2(-=，)0 , 2 , 1(-=……11分，设平面PDE 的一个法向量为) , , (c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅02 022b a DE n c a n ……12分，所以b c a 2==，可选取平面PDE 的一个法向量为)2 , 1 , 2(=n ……13分，所以PA 与平面PDE所成角的正弦值为32,==……14分．7、（茂名市2013届高三上学期期末）如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ^平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，1,2AB AD CD a PD ====.（1）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （2）求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小． （1）证明：连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ∴//MN AC (2)分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE ………………4分（2）解法一：设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a(,,),(,,0)PB a a BC a a ==- (6)分设平面PAD 的单位法向量为1n ，则可设1(0,1,0)n = (7)分设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a n BC x y a a ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即：00ax ay ax ay ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以222n = …………………………………………12分∴12121cos 2n n n n θ⋅===⋅……………………………………………………13分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°………………………………14分 解法二：延长CB 、DA 相交于G ，连接PG ，过点D 作DH ⊥PG ，垂足为H ，连结HC ……………………6分 ∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ，而AD ⊥DC ，PD ∩AD =D ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PG ，又CD ∩DH =D ∴PG ⊥平面CDH ，从而PG ⊥HC ………………8分 ∴∠DHC 为平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………10分 在Rt =△PDG 中，22DG AD a ==，PD = 可以计算DH=…12分在Rt △CDH中，2tan 2CD aDHC DH ∠===……………………13分 所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角为60°……………………………14分 8、（汕头市2013届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 丄平面PAD,PD=AD, E 为PB 的中点，向量，点H 在AD上，且(I)：EF//平面PAD.(II)若PHAD=2, AB=2, CD=2AB,(1)求直线AF 与平面PAB 所成角的正弦值. （2）求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的平面角的余弦值.（Ⅰ） 取PA 的中点Q ，连结EQ 、DQ ，则 E 是PB 的中点，∴1//,2EQ AB AB 且EQ=12DF AB = 又1//,2DF AB AB ∴且DF=∴DF EQ DF EQ =且,//,∴四边形EQDF 为平行四边形， ∴//EF QD ，,EF PAD PAD ⊄⊂ 又平面且DQ 平面，//EF PAD 平面………………………………(3分)（Ⅱ）⑴解法一：证明: 0PH AD ∙= ,∴PH AD ⊥∴PH ⊥AD,又 AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD,∴AB ⊥PH,又 PH ⋂AD=H,∴PH ⊥平面ABCD; ---------------------------------(4分)连结AE ,PD AD Q PA = 为的中点DQ PA ∴⊥ 又AB PAD ⊥ 平面且DQ PAD ⊂平面AB DQ ∴⊥AB PA A = DQ PAB ∴⊥平面………………………………(5分)由（Ⅰ）知 //EF DQ EF PAB ∴⊥平面AE AF PAB ∴为在平面上的射影FAE AF PAB ∴∠为直线与平面所成的角………………………………(7分)2PD AD == PH =Rt PHD ∆在中 1HD ===H ∴为AD 中点, 又PH AD ⊥ 2PA PD AD ∴=== EF DQ PH ∴=== AB PAD ⊥ 平面 AB AD ∴⊥ //DF AB DF AD ∴⊥在Rt ADF ∆中 AF === 又EF PAB ⊥ 平面 EF AE ∴⊥Rt AEF ∴∆在中 sin EF FAE AF ∠===155AF PAB ∴直线与平面所成的角的正弦值为515………………………………(9分)(2)延长DA ，CB 交于点M ，连接PM ，则PM 为平面PAD 与平面PBC 所成二面角的交线。
广东省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编 平面向量 文 新人教A版
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、（潮州市2013届高三上学期期末）平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形答案：B2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知平面向量(2,4)a =，32(4,8)a b +=，则a b ⋅=A ．-10B ．10C ．-20D ．20答案：A3、（佛山市2013届高三上学期期末）已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =A ．2B ． 2-C ．8D ．8-答案：C4、（广州市2013届高三上学期期末）已知向量a ，b 都是单位向量，且a b 12=，则2-a b 的值为 .5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为（ ）A B ．5 D ．13 答案：B6、（江门市2013届高三上学期期末）如图2，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE的中点，若a AB =，b AD =，则= AFA ．41 21b a + B ． 21 41b a + C ．4121b a - D ．2141b a - 答案：A7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．x =0答案：D8、（汕头市2013届高三上学期期末）若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是( )．A ．1=⋅b a B.||||a = C ．⊥-)( D ．b a //答案：C9、（增城市2013届高三上学期期末）设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则=+++A ．B ． 2C ． 3D ． 4 答案：D10、（湛江市2013届高三上学期期末）已知向量m ＝（x ，1），n ＝（1,2），且m ∥n ，则x ＝＿＿＿ 答案：1211、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知平面向量()1,2=-a , ()2,y =b , 且//a b , 则32+=a b ( )A ．()1,7-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2-答案：D解析：//a b 4y ⇒=-，∴32+=a b (3,6)(4,8)(1,2)-+-=-12、（中山市2013届高三上学期期末）已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则⋅的值是（ ）A ．12- B ．12 C ．34- D ．0答案：A 13、（珠海市2013届高三上学期期末）已知a 、均为单位向量,)2()2(b a b a -⋅+=233-，a 与的夹角为A ．30°B ．45°C ．135°D ．150° 答案：A14、（茂名市2013届高三上学期期末）设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=已知1(,2)2m =，11(,sin )n x x =。
江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编： 统计
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编统计 一、填空、选择题1、（潮州市2013届高三上学期期末）已知回归直线的斜率的估计值是23.1，样本 中心点为(4,5)，若解释变量的值为10，则预报变量的值约为 A ．163. B ．173. C ．1238. D ．203.答案：C 2、（东莞市2013届高三上学期期末）对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则不正确．．．的说法是 A 若求得的回归方程为 y =0.9x-0.3，则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系B.若这组样本擞据分别是(1,1)，(2,1.5)，(4,3)，(5，4.5)则其回归方程 y =bx+a 必过点(3,2.5), C 若同学甲根据这组数据得到的回归模型l 的残差平方和为1E =0.8．同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为2E =2.1，则模型1的拟合效果更好。
D ．若用相关指数22121()2(1)()niii nii y y R R y y ==-=--∑∑来刻画回归效果，回归模型3的相关指数230.32R =，回归模型4的相关指数240.91R =，则模型3的拟合效果更好。
答案：D 3、（佛山市2013届高三上学期期末）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ． 答案：24、（江门市2013届高三上学期期末）在一组样本数据) , (11y x ，) , (22y x ，…，) , (n n y x （2≥n ，1x ，2x ，…，n x 互不相等）的散点图中，若所有样本点) , (i i y x （1=i ，2，…，n ）都在直线121-=x y 上，则这组样本数据的样本相关系数为 A ．1- B ．0 C ．21D ．1答案：D 5、（茂名市2013届高三上学期期末）气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是( )。
广东省13大市高三上学期期末数学(文)试题分类汇编--导数及其应用 Word版含答案.pdf
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题、填空题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）定义域的奇函数，当时 恒成立，若，，，则 A． B． C． D． 答案：A 2、（广州市2013届高三上学期期末）已知e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是 A . B． C． D． 答案：B 3、（增城市2013届高三上学期期末）函数的图像在点处的切线方程是 ． 4、（中山市2013届高三上学期期末）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 。
函数的图象如图所示，则函数的零点所在的区间是（ ） A．B．C．（1，2）D． 满足，且最小值是． （1）求的解析式； （2）实数，函数，若在区间 上单调递减，求实数的取值范围． 解：（1）由二次函数满足．设， 则． 又的最小值是，故．解得． ∴； …… 4分 （2）． ∴． ………… 6分 由，得，或，又，故．………… 7分 当，即时，由，得． ………… 8分 ∴的减区间是，又在区间上单调递减， ∴，解得，故（满足）； ……… 10分 当，即时，由，得． ∴的减区间是，又在区间上单调递减， ∴，解得，故（满足）． ……… 13分 综上所述得，或． ∴实数的取值范围为． ……… 14分 2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数，是常数）在x=e处的切线方程为，既是函数的零点，又是它的极值点． (1)求常数a,b,c的值； (2)若函数在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围； (3)求函数的单调递减区间，并证明： 解：（1）知，的定义域为,, …1分 在处的切线方程为，所以有 ,① …………2分是函数的零点，得,② …………3分是函数的极值点，得，③ …………4分，，. …………5分（2）， 因此，，所以 . …………6分在内不是单调函数，则函数在内一定有极值，而 ，所以函数最多有两个极值. …………7分. （）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即 在内有且仅有一个根，又因为，当 ，即时，在内有且仅有一个根 ，当时，应有，即，解得，所以有. ………8分在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函 数在内有两个不等根，所以 解得. …………9分的取值范围是. …10分（3），得， 令，得，即的单调递减区间为. 由函数在上单调时, ，即， …………11分对一切成立对一切成立…12分， ， ， … ， …………13分， 所以. (14) 3、（佛山市2013届高三上学期期末）设函数，． （1）判断函数上的单调性； （2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立． 解析：， -----------2分，则， 当时，，∴是上的增函数， ∴， 故，即函数上的增函数． ------------6分， 当时，令，则， ---8分，∴， 原不等式化为，即，-----------------10分，则， 由得：，解得， 当时，；当时，．时，取最小值，-----------------12分，则．，即．，使原不等式成立．-----------14分是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行. （1）求的解析式； （2）是否存在N，使得方程在区间内有两个不等的实数 根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （1）解法1：∵是二次函数，不等式的解集是， ∴可设，. …………… 1分 ∴. …………… 2分 ∵函数在点处的切线与直线平行， ∴. …………… 3分 ∴，解得. …………… 4分 ∴. …………… 5分 解法2：设， ∵不等式的解集是， ∴方程的两根为. ∴. ① …………… 2分 ∵. 又函数在点处的切线与直线平行， ∴. ∴. ② …………… 3分 由①②,解得,. …………… 4分 ∴. …………… 5分 （2）解：由（1）知，方程等价于方程. …………… 6分 设， 则. …………… 7分 当时，，函数在上单调递减； ……… 8分 当时，，函数在上单调递增. … 9分 ∵， …………… 12分 ∴方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间 内没有实数根. …………… 13分 ∴存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.…………… 14分 5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数 （1）当时，求的极小值； （2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围； （3）设，求的最大值的解析式． 解：（1）…………1分 当时，时，， …………2分 的极小值是 …………………3分 （2）法1：，直线即， 依题意，切线斜率，即无解……………4分 ………………6分 法2：，……………4分 要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， ………………6分 （3）因 故只要求在上的最大值. …………7分 ①当时， …………………9分 ②当时， （）当 在上单调递增，此时 …………………10分 （）当时， 在单调递增； 1°当时， ； 2°当 （）当 （）当……13分 综上 ………………14分 6、（江门市2013届高三上学期期末）已知函数，其中．是的极值点，求的值； ⑵若，恒成立，求的取值范围．……2分， 因为是的极值点，所以……3分， 解得……4分， ⑵（方法一）依题意，， ……5分。
广东省13大市2013届高三数学上学期期末试题分类汇编 立体几何 文 新人教A版
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编立体几何一、选择题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若m β⊂，n β⊂，//m α，//n α，则//αβ 答案：C2、（东莞市2013届高三上学期期末）点M 、N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A B 、11A D 中点，用过A 、M 、N 和D 、N 、1C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如右图，则该几何体的正视图、侧视图(左视图）、俯视图依次为A ．①、②、③B ．②、③、④C ．①、③、④D ．②、④、③ 答案：B 3、（佛山市2013届高三上学期期末）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图可以为A ．B ．C ．D ．答案：B4、（广州市2013届高三上学期期末）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα正视图俯视图第9题图答案：D5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的有（ ）A . m n m n αα若，，则‖‖‖； B . αγβγαβ⊥⊥若，，则‖； C . m m αβαβ若，，则‖‖‖； D . m n m n αα⊥⊥若，，则‖． 答案：D 6、（江门市2013届高三上学期期末）图1，将一个正三棱柱截去一个三棱锥，得到几何体DEF BC -，则该几何体的正视图（或称主视图）是A ．B ．C ．D ． 答案：C 7、（茂名市2013届高三上学期期末）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案：C 8、（汕头市2013届高三上学期期末）如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD 的底面边长为6cm ，侧棱长为5cm ，则它的侧视图的周长等于( )．1195cm +学科网学科网 C.16cm D.14cm答案：D 9、（增城市2013届高三上学期期末）给出三个命题：（1）若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行． （2）若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行． （3）若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行．其中正确命题的个数是A ．0B ． 1C ． 2D ． 3 答案：B10、（湛江市2013届高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图为圆，那么该几何体的表面积为A 、6πB 、4πC 、3πD 、2 π 答案：C 11、（肇庆市2013届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图2所示，该三棱锥的体积是为( )A. 80B. 40C.803 D. 403答案：D解析：从图中可知，三棱锥的底为两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4 体积为11404(23)4323V =⨯⨯⨯+⨯= 12、（中山市2013届高三上学期期末）如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值.其中所有正确的命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①③ C ．②④ D ．①③④答案：D13、（珠海市2013届高三上学期期末）已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α B ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mHG FE D1C1B1A1DCBAC ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥αD ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m 答案：D 二、填空题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为_______． 答案：83由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，则3232a=， 故4a =，底面积1423432S =⨯⨯=，故43283V Sh ==⨯=． 三、解答题1、（潮州市2013届高三上学期期末）已知梯形ABCD 中//AD BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，//EF BC ，x AE =．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点． （1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D BCF -的体积()f x 的函数式．（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， …… ２分 ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ，∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥． …… ４分 ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥． ………… ６分 又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BHDH H =，故⊥EG 平面DBH ．又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥． ………… ８分 （2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE GH ，……１０分 ∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF -的高DH AE x ==． …………１１分又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ………… 1２分 ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+………… 1４分19．解：（1）由1112S a ==，得112a b =+；由21243S a a =+=，得4423a b =+． ∴223a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故21n n S n =+； ………… 4分（2）当2n ≥时，2232212(1)(1)(1)11(1)n n n n n n n n n n a S S n n n n n n----++-=-=-==+++． 由于112a =也适合221n n n a n n +-=+． ……… 8分∴221n n n a n n +-=+； ……… 9分 （3）21111(1)1n n a b n n n n n n ===-+-++． ……… 10分 ∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+ 1111nn n =-=++． ……… 14分2、（东莞市2013届高三上学期期末）在等腰梯形PDCB(见图a ）中，DC//PB ，，DA PB ⊥，垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得PA AB ⊥，得到四棱锥P-ABCD （见图b ）． 在图b 中完成下面问题：(I)证明：平面PAD ⊥平面PCD;(2)点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥P-ABCD 分成两个几何体(如图b ），当这两个几何体的体积之比5:4PM ACD M ABC V V --=时，求PMMB的值； (3)在(2)的条件下，证明：PD ‖平面AMC.证明：(1)因为在图a 的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，所以在四棱锥ABCD P -中,AB DA ⊥, PA DA ⊥. …………1分 又PA AB ⊥，且AB DC //，所以PA DC ⊥，DA DC ⊥， …………2分 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ，所以⊥DC 平面PAD . …………3分 因为⊂DC 平面PCD ，所以平面⊥PAD 平面PCD . …………4分 解：(2)因为PA DA ⊥，且AB PA ⊥ 所以⊥PA 平面ABCD ， 又⊂PA 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面ABCD . 如图，过M 作AB MN ⊥,垂足为N , 则⊥MN 平面ABCD . ……5分 在等腰梯形PDCB 中，PB DC //， 2,33===PD DC PB ,PB DA ⊥，所以1=PA ，2=AB ，122=-=PA PD AD . …………6分设h MN =，则 h h h DA AB h S V ABC ABC M 31122131213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-. …………7分 2111221312)(3131=⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯=⋅=-PA AD AB DC PA S V ABCD ABCDP 梯形. ABDCOPMNh V V V ABC M ABCD P ACD PM 3121-=-=---. …………8分 因为4:5:=--ABC M ACD PM V V ，所以4:531:)3121(=-h h ，解得32=h .………9分在PAB ∆中，32==PA MN BP BM , 所以BP BM 32=,BP MP 31=.所以2:1:=MB PM . …………10分 (3)在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .易知AOB ∆∽DOC ∆，所以21==AB DC OB DO . …………11分 又21=MB PM , 所以MB PMOB DO =， …………12分 所以在平面PBD 中，有MO PD //. …………13分 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，所以PD //平面AMC . …………14分3、（佛山市2013届高三上学期期末）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D 为 线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD BD =．（1）求证：CD ⊥平面PAB ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， ∵在Rt ABC ∆中，4AB =，∴由3AD DB =BC =得，3DB =，4AB =，BC =，∴BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=，∵4AB =，由3AD DB =得，3DB =，BC = 由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=， ∴222CD DB BC +=，即CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，--------7分（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要求出线段的长度，酌情给分．）∴1111133332322P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=．--------10分又PB ==，PC ==BC ==∴PBC ∆为等腰三角形，则12PBC S ∆=⨯=．--------12分 设点D 到平面PBC 的距离为d ，由P BDC D PBC V V --=得，132PBC S d ∆⋅=，解得5d =．--------14分法2：由（Ⅰ）可知CD =3PD DB ==，FE DCBAP侧视D CB AP 图5图4过点D 作DE CB ⊥，垂足为E ，连接PE ，再过点D 作DF PE ⊥，垂足为F ．-----------------8分∵PD ⊥平面ABC ，又CB ⊂平面ABC ， ∴PD CB ⊥，又PD DE D =， ∴CB ⊥平面PDE ，又DF ⊂平面PDE ， ∴CB DF ⊥，又CB PE E =，∴DF ⊥平面PBC ，故DF 为点D 到平面PBC 的距离．--------10分 在Rt DEB ∆中，3sin 302DE DB =⋅=，PE ==，在Rt PDE ∆中，3352PD DE DF PE ⨯⋅===，即点D 到平面PBC 的距离为．-------14分 4、（广州市2013届高三上学期期末）已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. （1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.（1）证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ， 则PE ⊥平面ABCD . …………… 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥. …………… 3分∵AD CD ⊥，CDPE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . …………… 5分∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥. …………… 6分（2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==，在Rt △PED中，PE ==，…………… 7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥. …………… 8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E =， ∴AB ⊥平面PEF . …………… 9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥. …………… 10分 依题意得2EF AD ==. …………… 11分 在Rt △PEF 中， 223PF PE EF =+=， …………… 12分∴△PAB 的面积为162S AB PF ==. ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6. …………… 14分5、（惠州市2013届高三上学期期末）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1CF B E ⊥； （3）求三棱锥1C B FE V -的体积．解：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则∵EF 为中位线…………2分1//EF D B ∴而1D B ⊂面11ABC D ，EF ⊄面11ABC D//EF ∴面11ABC D …………4分（2）等腰直角三角形BCD 中，F 为BD 中点BD CF ⊥∴①…………5分正方体1111ABCD A B C D -ABCD 1面⊥∴DD ，ABCD 面⊂CF CF DD ⊥∴1②…………7分综合①②，且1111,,B BDD BD DD D BD DD 面⊂=⋂11B BDD CF 面⊥∴，而111B E BDD B ⊂面，PD CBANE B CF 1⊥∴…………………………………………………9分（3）由（2）可知11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 即CF 为高，CF BF ==10分112EF BD ==，1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=∴223211=⋅=∆F B EF S EF B …………12分11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=1222331=⋅⋅…………14分 6、（江门市2013届高三上学期期末）如图6，四棱锥ABCD P -的底面是边长是1的正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．⑴求证：//MN 平面PAD ；⑵记x MN =，)(x V 表示四棱锥ABCD P -的体积， 求)(x V 的表达式（不必讨论x 的取值范围）．证明与求解：⑴取CD 的中点E ，连接ME 、NE ，则AD ME //，PD NE //……2分，因为E NE ME = ，所以平面//MNE 平面PAD ……4分，⊂MN 平面MNE ，所以//MN 平面PAD ……6分．⑵PD NE //，PD ⊥平面ABCD ，所以NE ⊥平面ABCD ……8分， ⊂ME 平面ABCD ，ME NE ⊥……9分，222NE ME MN +=，所以1222-=-=x ME MN NE ……10分，由⑴知1222-==x NE PD ……11分， 所以PD S Sh x V ABCD ⨯⨯==3131)(……13分，1322-=x ……14分．7、（茂名市2013届高三上学期期末）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD,1AB CD ==，3AC =，AD=DE=2，G 为AD 的中点。
2013届江苏高三数学试题分类汇编：坐标系与参数方程 (选修4-4)
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 坐标系与参数方程1、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，圆以C 的参数方程是3cos 1sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 则 圆心C 的极坐标是 ． 答案：)6,2(π2、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ． 答案：2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos 3sin 1ρθρθ+=） 3、（广州市2013届高三上学期期末）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 . 答案：24、（惠州市2013届高三上学期期末）直线2cos 1ρθ=与圆2cosρθ=相交的弦长为 ．【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=- 5、（江门市2013届高三上学期期末）以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系) , (θρ（πθ20<≤），曲线C 的极坐标方程是2=ρ，正六边形ABCDEF 的顶点都在C 上，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列。
若点A 的极坐标为)3, 2(π，则点B 的直角坐标为 ． 答案：)3 , 1(-6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数)，则曲线C 上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 。
答案：37、（汕头市2013届高三上学期期末）已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）答案：相交8、（增城市2013届高三上学期期末）曲线⎩⎨⎧+==1t y t x （t 为参数且0>t ）与曲线⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）的交点坐标是 ． 答案：（1,2）11、（珠海市2013届高三上学期期末）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .答案：4。
2013广东高考数学(文科)真题及详细答案
2013广东高考数学（文科）真题及详细答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}{}22|20,,|20,S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S T = （ ）A. {}0B. {}0,2C. {}2,0-D. {}2,0,2-【答案】A ；【解析】由题意知{}0,2S =-，{}0,2T =，故{}0S T = ；2. 函数()lg 11x y x +=-的定义域是（ ）A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. ()()1,11,-+∞D. [)()1,11,-+∞【答案】C ；【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为()()1,11,-+∞ ；3. 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D ；【解析】因为()34i x yi i +=+，所以34xi y i -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，x yi +的模224(3)5=+-=；4. 已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α=（ ） A. 25- B. 15- C.15D.25【答案】C ； 【解析】51sin sin ()co s ()co s()co s 22225ππππααααα⎛⎫⎡⎤+=+=-+=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； 5. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 7【答案】D ；【解析】1i =时，1(11)1s =+-=；2i =时，1(21)2s =+-=；3i =时，2(31)4s =+-=；4i =时，4(41)7s =+-=；图1 图26. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）A.16B. 13C. 23D. 1【答案】B ；【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积111112323V =⋅⋅⋅⋅=； 7. 垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第Ⅰ象限的直线方程是（ ）A. 20x y +-= B. 10x y ++= C. 10x y +-= D. 20x y ++=【答案】A ；【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离12b -==，所以2b =±，又因为相切与第一象限，所以0b >，故2b =，所以l 的方程为20x y +-=；8. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若//,//l l αβ，则//αβB. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则αβ//D. 若,l αβα⊥//，则l β⊥【答案】B ； 【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，故C 错；,l αβα⊥//，若l 平行交线，则//l β，故D 错；9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（ ）A.22134xy+= B.22143xy+= C.22142xy+= D.22143xy+=【答案】D ；【解析】由焦点可知()1,0F 可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知11,2c c a==，所以222,213a b ==-=，故椭圆标准方程为22143xy+=；10. 设a 是已知的平面向量且0a ≠ ，关于向量a的分解，有如下四个命题：① 给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；② 给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③ 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+.上述命题中的向量b ，c 和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D ；【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D 均正确；二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题）11. 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++=____________； 【答案】15；【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++124815=+++=；12. 若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，则a =_____________；【答案】12；【解析】因为2ln y ax x =-，所以12y a x x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是_____________；【答案】5；【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)--，代入可知z 的最大值为145z =+=；（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为___________________； 【答案】22(1)1x y -+=；【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos 2x ρθθθ===+① ，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos 21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；15. （几何证明选讲选做题）如图3，在矩形A B C D 中，3A B =，3B C =，B E A C ⊥，垂足为E ，则E D =___________； 【答案】212；【解析】因为在矩形A B C D 中，3A B =，3B C =，B E AC ⊥，所以030B C A ∠=，所以03co s 3032C E C B =⋅=；在CDE 中，因为60E C D ∠=，由余弦定理得：()22222033331212co s 603232224D EC E CD CE C D ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，所以212C D =；三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()2co s ,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1） 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2） 若3co s 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案与解析】 （1）22co s 2co s21331242f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为3co s 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以234sin 155θ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭；2co s 2co s 2co s co s sin sin 6612333f ππππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭314332462525210⎛⎫-=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；17. （本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） [)80,85[)85,90[)90,95[)95,100频数（个）5102015（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在[)90,95的频率；（2） 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在[)80,85的有几个？（3） 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个的概率；【答案与解析】（1）重量在[)90,95的频率200.450==；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在[)80,85的个数541 515=⨯=+；（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c6种情况，其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A，则事件A的概率31()62P A==；18.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形A B C中，,D E分别是,A B A C上的点，A D A E=，F是B C的中点，A F与D E交于点G. 将A B F∆沿A F折起，得到如图5所示的三棱锥A B C F-，其中22B C=.（1）证明：D E B C F//平面；（2）证明：C F A B F⊥平面；（3）当23A D=时，求三棱锥F D E G-的体积F D E GV-.图4 图5（1）证明：在图4中，因为A B C是等边三角形，且A D A E=，所以A D A EA B A C=，//D E B C；在图5中，因为//D G B F，//G E F C，所以平面D G E//平面B C F，所以D E B C F//平面；（2）证明：在图4中，因为因为A B C是等边三角形，且F是B C的中点，所以A F B C⊥；在图5中，因为在B F C 中，12,22B F FC B C ===，所以222B F FC B C +=，B FC F ⊥，又因为A F C F ⊥，所以C F A B F ⊥平面；（3）因为,A F C F A F B F ⊥⊥，所以A F ⊥平面B C F ，又因为平面D G E //平面B C F ，所以A F ⊥平面D G E ；所以11111113333232336324F D EG D G E V S F G D G G E F G -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ； 19. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1441,n n S a n n N +=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列；（1） 证明：2145a a =+；（2） 求数列{}n a 的通项公式； （3） 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.（1）证明：因为2*1441,n n S a n n N +=--∈，令1n =，则212441S a =--，即22145a a =+，所以2145a a =+；（2）当2n ≥时，()()221144441411n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--，所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；因为2514,,a a a 构成等比数列，所以22145a a a ⋅=，即2222(24)(6)a a a +=+，解得23a =，因为2145a a =+，所以11a =， 212a a =+ ，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-⋅=-；（3）因为111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==-+--+，所以12231111111111111()()()21323522121n n a a a a a a n n ++++=-+-+⋅⋅⋅+--+111111111112133521212121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； 所以对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.20. （本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,P A P B ，其中,A B 为切点.（1） 求抛物线C 的方程；（2） 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线A B 的方程； （3） 当点P 在直线l 上移动时，求A F B F ⋅的最小值. 【答案与解析】（1）因为抛物线焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322所以23222c d --==，又因为0c >，所以解得1c =，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C 的方程为24x y =；（2）因为抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设过()00,P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21(,)4m m ，所以直线l '的斜率2001142y mk m x m-==-，解得210004m x x y =+-或220004m x x y =--；不妨设A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ，因为2004x y -2200004(2)48x x x x =--=-+ 20(2)40x =-+>，所以12m m ≠；221212012111144()42A B m m k m m x m m -==+=-；所以直线A B 的方程为210111()42y m x x m -=-，代入整理得：012y x =；（3）A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ，F 点坐标为()0,1，因为0020x y --=；所以221000004(2)4m x x y x x =+-=+-+，222000004(2)4m x x y x x =--=--+，1202m m x +=，12048m m x =-；因此A FB F ⋅=2222222222112212111*********m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅+-=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222212121212121211111111()1()2144164164m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=+++=++-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()22220000001139(48)22(48)12692()16422x x x x x x ⎡⎤=-+--+=-+=-+⎣⎦，所以当032x =时，A F B F ⋅取最小值92；21. 设函数()()32f x x kx x k R =-+∈.（1） 当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2） 当0k <时，求函数在[,]k k -上的最小值m 和最大值M . 【答案与解析】（1） 因为()32f x x kx x =-+，所以2()321f x x k x '=-+；当1k =时，2212()3213()033f x x x x =-+=-+>，所以()fx 在R 上单调递增；（2） 因为2()321f x x kx '=-+，22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-；① 当0∆≤时，即30k -≤<时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；② 当0∆>时，即3k <-时，令()0f x '=，解得22223363k k k k x +-+-==或22223363k k k k x ----==；令()0f x '>，解得233k k x --<或233k k x +->；令()0f x '<，解得223333k k k k x --+-<<；因为223033k k k kk +-+<=<-，2232333k k k kk k --->=>作()f x 的最值表如下：xk 23,3k k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭233k k --2233,33k k k k ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭233k k +-23,3k k k ⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭k -()f x '+-+()f xk极大值极小值32k k--。
广东省13大市高三上学期期末数学(理)试题分类汇编6：概率 Word版含答案.pdf
广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编 概率 一、选择、填空题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）某校有名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是，则高二的学生人数为______． 高一高二高三女生男生答案：1200 解析：依表知，，于是， 故高二的学生人数为． 2、（东莞市2013届高三上学期期末）．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为，则比赛打完3局且甲取胜的概率为 A． B． C． D． 答案：B 3、（佛山市2013届高三上学期期末）某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得等级相互独立.记为该生取得等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望的值为______________. 答案： 3、（广州市2013届高三上学期期末）在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 A． B． C． D． 答案：B 4、（江门市2013届高三上学期期末）某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格。
质检人员从中随机抽出2听，检出不合格产品的概率 A．．．．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（）A．B．C．D． （1）如果甲、乙来自小区，丙、丁来自小区，求这人中恰有人是低碳族的概率； （2）小区经过大力宣传，每周非低碳族中有的人加入到低碳族的行列．如 果周后随机地从小区中任选个人，记表示个人中低碳族人数，求． 解：（1）设事件表示“这人中恰有人是低碳族”． …… 1分 ． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这人中恰有人是低碳族的概率为； …… 5分 （2）设小区有人，两周后非低碳族的概率． 故低碳族的概率．………… 9分 随机地从小区中任选个人，这个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是，故这个人中低碳族人数服从二项分布，即 ，故． ………… 12分 2、（东莞市2013届高三上学期期末）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培．现知垒市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率； (2)任选3名教师，记为3人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望． 解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件， 由题设知，事件与相互独立，且，． …………1分．…………4分． …………5分服从二项分布， …………6分，， …………8分的分布列是 01230.7290. 2430.0270.001…………10分的期望是． …………12分的期望是．） 3、（广州市2013届高三上学期期末）某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示： 中学 人数 为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问四所中学各抽取多少名学生？ （2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学 的概率； （3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学 生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列. （1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为. ∴应从四所中学抽取的学生人数分别为. …………… 4分 （2）解：设“从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所 中学”为事件， 从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的取法共有C种，… 5分 这两名学生来自同一所中学的取法共有CCCC. …… 6分 ∴. 答：从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学 的概率为. …………… 7分 (3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自两所中学的学生人数分别 为. 依题意得，的可能取值为， …………… 8分 ， ，. ?11分 分 ∴的分布列为： ?12题意知分 4、（惠州市2013届高三上学期期末）某校从高年级学生中随机抽取名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，后得到如下图的频率分布直方图． （1）求图中实数的值； （2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于分的人数； （3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的概率 （1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以．…………………………1分 解得．………………………………………………………………………2分 （2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．……3分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．………………………………………5分 （3）解：成绩在分数段内的人数为人，……………… 6分 成绩在分数段内的人数为人， …………………………7分 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有 ……………… 9分 如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．………………… 10分 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 ……11分 所以所求概率为．………………………………………………………13分 5、（江门市2013届高三上学期期末）如图5所示，有两个独立的转盘（A）、（B），其中三个扇形区域的圆心角分别为、、。
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广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编
坐标系与参数方程
1、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，圆以C 的参数方程是
3cos 1sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 则 圆心C 的极坐标是 ．
答案：)6
,2(π
2、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3
π
θ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ． 答案：2sin()16
π
ρθ+
=（或2cos()13
π
ρθ-
=、cos 3sin 1ρθρθ+=）
3、（广州市2013届高三上学期期末）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,
sin ,
θθ⎧=⎨
=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
1s i n c o s ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 . 答案：2
4、（惠州市2013届高三上学期期末）直线2c o s 1ρθ=与圆2c o s ρθ=相交的弦长
为 ．
【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(122
2
=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为2
1
211=-，所以弦长为
3)21(122
=-
5、（江门市2013届高三上学期期末）以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系) , (θρ（πθ20<≤），曲线C 的极坐标方程是2=ρ，正六边形ABCDEF 的顶点都在C 上，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列。
若点A 的极坐标为)3
, 2(π
，则点B 的直角坐标为 ．
答案：)3 , 1(-
6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩ (θ为参数)，则
曲线C 上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 。
答案：3
7、（汕头市2013届高三上学期期末）已知直线4sin cos :=-θρθρl ，
圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________. （相交或相切或相离？） 答案：相交
8、（增城市2013届高三上学期期末）曲线⎩
⎨⎧+==1t y t
x （t 为参数且0>t ）与曲线
⎩⎨
⎧+==1
2c o s c o s θθ
y x （θ为参数）的交点坐标是 ．
答案：（1,2）
9、（湛江市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线2sin 2
ρθ=与圆2cos ρθ=相
交的弦长为＿＿＿＿ 答案：2
10、（肇庆市2013届高三上学期期末）在极坐标系(),ρθ（0,02
πρθ>≤<
）中，曲线
2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____
解析：2,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
两式相除得tan 12sin
24
4
π
π
θθρ=⇒=
⇒==，交点的极坐标为
2,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
11、（珠海市2013届高三上学期期末）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩
⎨⎧-=+=t y t x 212
,
(为参数）与曲线2C ：⎩
⎨⎧==θθ
sin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的
长为 . 答案：4。