2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广
2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广
（1）已知△ABC 中，∠A =60︒，a ,则
++sin +sin +sin a b c
A B C
=
A ．1
B ．2
C ．
D ．无法求解
（2）已知△ABC 中，∠B =45︒，b =
A ． B
C
D ．无法求解
（3）在ABC △中，若::A B C =1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝
A ．1∶2∶3
B ．3∶2∶1
C ．1 2
D ．2∶1
【参考答案】（1）B ；（2）B ；（3）C ． 【试题解析】（1）根据正弦定理的变形，可得
2sin sin sin sin a b c a
A B C A
++==++．故选B ．
（2）根据正弦定理的推广，可得
2sin sin 45b R B ===︒
，即R =，
故△ABC ，故选B ．
（3）设A ＝k ，B ＝2k ，C ＝3k ，由++180A B C ︒＝，得6k ＝180°
，k ＝30°，
∴A ＝30°，B ＝60° ，C ＝90°，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12．故选C ． 【解题必备】正弦定理的常见变形及推广如下： （
1
）
sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin sin sin sin A a C c B b
a B
b A a C
c A b C c B B b A a C c
======． （
2
）
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c
A B C A B A C B C A B C
+++++======
+++++．
（3）::sin :sin :sin a b c A B C =．
（4）正弦定理的推广：
2sin sin sin a b c
R A B C
===，其中R 为ABC △外接圆的半径． （5）
===2sin sin sin a b c R A B C
的两种变形的应用： ①（边化角）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； ②（角化边）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
=
==． 熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果．
1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒,a =ABC
△的外接圆的面积为 A ．
2
π
B ．
23
π C ．π
D ．4π
2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的外接圆的半径是3，
3a =，则A =
A ．30︒
B ．60︒
C ．60︒或120︒
D ．30︒或150︒
3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos A B C
a b c
==，则ABC △中最长的边是 A ．a B ．b
C ．c
D ．b c 或
4．已知ABC △的外接圆的半径R =cm ，A ＝60°，则BC 边的长为______________ cm ．
1．【答案】C 【解析】由2sin a
R A
=得1R =，所以ABC △的外接圆的面积为π，故选C ． 2．【答案】D
【解析】根据正弦定理，得
2sin a R A =，31sin 262
a A R ===， ∵0180A <<︒︒，∴30A =︒或150A =︒．故选D ． 3．【答案】A
【解析】由正弦定理可知sin cos B B =，sin cos C C =，所以45B C ==︒， 故90A =︒，所以a 为最长的边．故选A ． 4．【答案】9
【解析】根据正弦定理的推广可知
2sin BC
R A
=，所以
2sin BC R A =9==cm ．。
正弦定理公式变式
正弦定理公式变式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正弦定理，又称正弦公式，是三角形中的重要定理之一，它描述了三角形中三个边和三个角之间的关系。
正弦定理公式有多种变式，适用于不同情况的三角形。
本文将介绍正弦定理公式及其变式的详细内容，并展示如何应用这些公式解决三角形的问题。
让我们回顾一下正弦定理的基本形式。
对于任意三角形ABC，其三条边长度分别为a，b，c，对应的角度分别为A，B，C，正弦定理可以表示为：\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]这个公式说明了三角形中每条边与其对应角的正弦值之间的比例关系。
通过这个公式，我们可以计算出三角形中任意一个角的正弦值，或者通过已知的正弦值来求解三角形中的边长。
而在实际问题中，我们经常会遇到一些特殊情况，需要使用不同形式的正弦定理来求解。
以下是一些正弦定理的变式：1. 以角度为基准的正弦定理当我们已知一个角的正弦值以及其他两个角时，可以利用以这个角为基准的正弦定理来求解三角形的边长。
已知三角形中角A的正弦值为sinA，角B和角C的度数已知，则可以利用以下公式计算边长：通过这个公式，我们可以在已知一个角的情况下，求解出其他两个角所对应的边长。
2. 两倍角正弦定理在某些情况下，我们需要计算三角形中角度的两倍角的正弦值，这时可以使用两倍角正弦定理来求解。
该公式表示为：\[2\sin A\cos A = \sin 2A\]通过这个公式，可以将角A的正弦值和余弦值联系起来，进一步求解角A的两倍角的正弦值。
3. 倒数定理有时候我们需要找到一个角的余弦值，但只知道其正弦值，这时可以使用倒数定理来求解。
倒数定理表示为：\[\cos A = \frac{1}{{\sec A}} = \frac{1}{{\frac{1}{{\cos A}}}} =\frac{1}{{\frac{1}{{\sin A\div\sqrt{\sin^{2}A+\cos^{2}A}}}}} =\frac{\sqrt{\sin^{2}A+\cos^{2}A}}{\sin A}\]总结而言，正弦定理及其变式是解决三角形问题的基础工具之一。
正弦定理、余弦定理及其应用-高考数学【解析版】
专题24 正弦定理、余弦定理及其应用近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）正弦、余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C=== a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2. 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边、或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B C a A=3.余弦定理的变式应用：公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角 （二）三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．（三）常用结论 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ． 4．三角形中的大角对大边在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ． 5.海伦公式：()()()()1,2S p p a p b p c p a b c =---=++ 6.向量方法：()()2212S a ba b=⋅-⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==- ()()221cos 2S ab ab C ∴=-cos a b ab C ⋅=∴ ()()2212S a b a b =⋅-⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =- 7.三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）.()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-8.三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设AD 为ABC 的一条中线，则()22222AB AC AD BD +=+ （知三求一）证明：在ABD 中2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅ ① 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅ ②D 为BC 中点 BD CD ∴=ADB ADC π∠+∠= cos cos ADB ADC ∴=-∴ ①+②可得：()22222AB AC AD BD +=+（2）角平分线定理：如图，设AD 为ABC 中BAC ∠的角平分线，则AB BDAC CD=证明：过D 作DE ∥AC 交AB 于EBD BEDC AE∴= EDA DAC ∠=∠ BBEAD 为BAC ∠的角平分线EAD DAC ∴∠=∠ EDA EAD ∴∠=∠EAD ∴为等腰三角形 EA ED ∴= BD BE BEDC AE ED ∴==而由BED BAC 可得：BE ABED AC=AB BDAC CD ∴=（四）测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i ＝hl＝tan θ135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．【典型考题解析】热点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1 B 2C 5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.【典例2】（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得22sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.【典例3】（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． (1)由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． (2)由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．【总结提升】1.解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 2.解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C ． (3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C ．(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．热点二 三角形面积问题【典例4】（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】5(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及45a c =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积． (1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =， 由正弦定理知4sin 5A C ，则55sin A C ==(2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=． 【典例5】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin A C =，求b ．【答案】2 (2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由1233S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.(1)由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则2221233333S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 13B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭132cos ac B ==12sin 2ABCS ac B ==(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则223294sin sin sin sin sin 42b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 【规律方法】 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 热点三 三角形的周长问题【典例6】（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为3ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)663 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长. (1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =， 可得3cos C =，因此，6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCSab C a ===3a = 由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴= 所以，ABC 的周长为36a b c ++=.【典例7】（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. (1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=. 【规律方法】求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用已知条件列方程求解．【典例7】反映的“整体代换”思想，具有一定的技巧性. 热点四 判断三角形的形状【典例8】（2020·海南·高考真题）在①3ac ①sin 3c A =，①3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由sin 3sin AB 可得：3ab=()3,0a m b m m ==>， 则：22222232cos 323c a b ab C m m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2333ac m m m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：213sin 12A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3sin 3c A m ==，则：23c m ==若选择条件③： 可得1c mb m==，c b =，与条件3=c b 矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-． 由sin 3sin A B ，得5sin 36B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即13cos 32B B B =， 得3tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==．若选择条件①：由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得3a c =． 解得1,3c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 若选择条件②： 由sin 3c A =，得2sin33c π=，解得3c =23b c == 由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得36a c ==． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c =．若选择条件③：由于3c b 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A ，可求出角B ，从而可得2,,36b c A B C ππ====，再根据选择条件即可解出．【典例9】（2020·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将3b c -=代入可找到,,a b c 关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①， 又3b c -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =， 所以3a c =， 故222b a c =+， 即ABC 是直角三角形． 【总结提升】1.判定三角形形状的两种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3.确定三角形要素的条件： （1）唯一确定的三角形：① 已知三边（SSS ）：可利用余弦定理求出剩余的三个角② 已知两边及夹角（SAS ）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS 或ASA ）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边 （2）不唯一确定的三角形① 已知三个角（AAA ）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：::sin :sin :sin a b c A B C =② 已知两边及一边的对角（SSA ）：比如已知,,a b A ，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求B 时，sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒=，而0,,22B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，一个sin B 可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点）热点五 正弦定理、余弦定理实际应用【典例10】（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【解析】 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】 如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A.【典例11】（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案． 【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=， 所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【典例12】（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²） 【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 【解析】 【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD ==，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值. (1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD == 则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等 所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDS EF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251225122533tan 23tan 4tan 4tan 2θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan θ=时取得等号，此时315tan 15538.7AE θ===≈ 即当3tan θ=时，梯形AEFD 2253则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.14⨯≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 热点五 平面几何中的解三角形问题【典例13】（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =AC =___________，cos MAC ∠=___________. 【答案】 13239【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC ∠. 【详解】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以13AC =在AMC 中，由余弦定理得222239cos 2223213AC AM MC MAC AM AC +-∠=⋅⨯⨯. 故答案为：213239【典例14】（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin C （2）2tan 11DAC ∠=.【解析】 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）方法一：根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b = 由正弦定理得sin 5sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. [方法二]【最优解】：几何法过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由2,45c B，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．在Rt ACE 中，225AC AE EC =+5sin 5C ==（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =- 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2EC EAC AE ∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠．[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC === 在Rt ADE △中，45,cos sin 3AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，所以23CD CE DE =-=． 在ACD △中，由正弦定理可得25sin sin CD DAC C AD ∠=⋅=， 由此可得2tan 11DAC ∠=． [方法四]：构造直角三角形法如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC ===由4cos 5ADC ∠=-，可得243cos ,sin 1cos 55ADE ADE ADE ∠=∠=-∠．在Rt ADE △中，22542,,sin 333AE AD DE AD AE CD CE DE ADE ==-==-=∠．由（1）知5sin C =Rt CDG △中，222545sin DG CD C CG CD DG =⋅==-=，从而115AG AC CG =-=在Rt ADG 中，2tan 11DG DAG AG ∠==． 所以211DAC ∠=． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得5b =sin C ；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC ∠的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC ∠的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC ∠的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 【典例15】（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+ 条件③：ABC 33【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 23sin 2sin 3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin33c R R π=， 则周长23423a b c R R ++==+ 解得2R =，则2,23a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===，解得3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 3322342a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭【总结提升】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．【精选精练】一、单选题1．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D 在同一水平面上的A ，B 两点，在A 点和B 点测得C 点的仰角分别为45°和30°，测得257AB =150ADB ∠=︒，则云楼的高度CD 为（ ）A ．20米B ．25米C ．7D ．257【答案】B【分析】设CD x =，由锐角三角函数得到AD x =，3BD x =，再在ABD △中利用余弦定理求出x ，即可得解.【详解】解：依题意45CAD ︒∠=，30CBD ︒∠=， 设CD x =，在Rt ACD △、Rt BCD 中，tan 1CD CAD AD∠==，3tan 3CD CBD BD ∠==，所以AD x =，3BD x =，在ABD △中由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即()()22232573232x x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，解得25x =或25x =-（舍去）， 所以云楼的高度CD 为25米； 故选：B2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos ,,cos 22B C n b p c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭共线，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是6π的直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得cos cos 22B Aa b =，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得sinsin 22A B=，结合角的范围求得A B =，同理可得B C =，则答案可求． 【详解】向量(,cos )2A m a =，(,cos )2B n b =共线，cos cos 22B A a b ∴=，由正弦定理得：sin cos sin cos 22B A A B =， 2sincos cos 2sin cos cos 222222A A B B B A ∴=，则sin sin 22A B=， 022A π<<，022B π<<，∴22A B =，即A B =．同理可得B C =．ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．3．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）约为33.65，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）约为80.51.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD 的长）为7米，则表高（即AC 的长）约为（ ）（已知229tan33.65,tan80.5135≈≈）A ．4.36米B ．4.83米C ．5.27米D ．5.41米【答案】C【分析】由题意可求出35,229BC AC CD AC ==，再由BD 的长为7米，求出AC ，即可得出答案. 【详解】由图可知229tan33.65,tan80.5135AC AC BC CD =≈=≈， 所以35,229BC AC CD AC ==， 得3577587 5.272295811BD AC AC AC ⎛⎫=-==⇒=≈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 二、多选题4．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（ ） A ．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >C ．在ABC 的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个D ．当2220b c a +->时，ABC 为锐角三角形；当2220b c a +-=时，ABC 为直角三角形；当2220b c a +-<时，ABC 为钝角三角形 【答案】ACD【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，利用正弦定理结果合三角形的性质判断.【详解】对于A ，等腰直角三角形的三边比为1:1:2，而三个内角的比为1:1:2，所以A 错误， 对于B ，在ABC 中，当sin sin A B >时，由正弦定理可得a b >，因为在三角形中大边对大角，所以A B >，所以B 正确，对于C ，在ABC 中，若三个角,,A B C 确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C 错误，对于D ，在ABC 中，2220b c a +->时，由余弦定理可知角A 为锐角，而角,B C 的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D 错误， 故选：ACD5．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）在ABC 中，已知2,3,AB AC AD ==是角A 的平分线，则AD 的长度可能为（ ） A ．2.1 B ．2.2 C ．2.3 D ．2.4【答案】ABC【分析】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，由题设可得3AC EC ==且ADB EDC ，进而有23AD ED =，令2AD x =并在ACE 中应用余弦定理求x 范围，即可得AD 范围. 【详解】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，又AD 是角A 的平分线，得CAE BAE E ∠=∠=∠，故3AC EC ==， 而ADB EDC ，则23AD AB ED EC ==， 令2AD x =，则5AE x =，在ACE 中，22221825cos (1,1)218AC EC AE x ACE AC EC +--∠==∈-⋅， 可得605x <<，则122(0,)5AD x =∈，故A 、B 、C 满足要求.故选：ABC6．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）．现有ABC 满足::2:7a b c =ABC 的面积63ABC S =△列结论正确的是（ ） A ．ABC 的最短边长是2 B ．ABC 的三个内角满足2A B C +=C ．ABC 221D ．ABC 的中线CD 的长为32【答案】BC【分析】依题意设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），利用面积公式求出t ，即可求出边长，从而判断A ，再由余弦定理求出C ，即可判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C ，最后由数量积的运算律求出中线CD ，即可判断D.【详解】解：由::2:3:7a b c =，设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），因为63ABC S =△，所以2222221749637442t t t t t ⎡⎤⎛⎫+-=+-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2t =，则4a =，6b =，27c =，故A 错误；因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==，故B 正确； 因为π3C =，所以3sin 2C =，由正弦定理得4212sin 3c R C ==，2213R =，故C 正确； ()12CD CA CB =+，所以()22111361624619442CD CA CB ⎛⎫=+=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故19CD =，故D 错误．故选：BC ． 三、填空题7．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且42c =B =4π，若ABC 的面积S =2，则b =___________. 【答案】5【分析】先由面积公式计算1a =，再利用余弦定理计算5b =. 【详解】由三角形面积公式，1sin 22S ac B ==， 所以，1a =.由余弦定理，2222cos 25b a c ac B =+-=.所以，5b =. 故答案为：5.8．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________. 【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A bbc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=， ∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 四、解答题9．（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin cos 0a B b A -=.(1)求A ； (2)若3c =3a =ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=(2)338【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A ； （2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）因为3sin cos 0a B b A -=所以由正弦定理得3sin sin sin cos A B B A =， 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠， 所以3sin cos A A =，即3tan 3A =， 又因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）。
2020年高考数学答题模板
高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用）题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan = 8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。
正弦定理变形9种公式
正弦定理变形9种公式摘要：一、正弦定理简介二、正弦定理的九种变形公式1.公式一2.公式二3.公式三4.公式四5.公式五6.公式六7.公式七8.公式八9.公式九三、总结正文：一、正弦定理简介正弦定理是三角学中的一个重要定理，它揭示了三角形中各边与对应角的正弦值之间的比例关系。
根据正弦定理，我们可以通过已知的边长和角度来计算其他边长或角度。
正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示对应的三個角。
二、正弦定理的九种变形公式1.公式一：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA2.公式二：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB3.公式三：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC4.公式四：a^2 = b^2 + c^2 + 2bc*cosA5.公式五：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosC6.公式六：c^2 = a^2 + b^2 + 2ab*cosB7.公式七：a^2 = b^2 - c^2 + 2bc*cosC8.公式八：b^2 = a^2 + c^2 + 2ac*cosA9.公式九：c^2 = a^2 - b^2 + 2ab*cosB三、总结正弦定理是三角学中非常基础且重要的定理，掌握其各种变形公式有助于我们更好地理解和应用正弦定理。
在解决实际问题时，我们可以根据问题的具体需求选择合适的公式进行计算。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
2020年高考数学答题步骤模板
6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
sin( A B) sin C
cos( A B) cos C
利用以上关系和诱导公式可得公式： sin( A C) sin B 和 cos( A C) cos B
sin(B C) sin A
cos(B C) cos A
奇： 的奇数倍 2
高考数学解答题常考公式及答题模板
（文理通用）
题型一：解三角形
1、正弦定理： a b c 2R （ R 是 ABC 外接圆的半径） sin A sin B sin C
a 2R sin A 变式①： b 2R sin B
c 2R sin C
sin
A
a 2R
变式②：
sin
B
b 2R
sin C
Sn
a1 2, a2 a4 8
an a1 (n 1)d
a2 a4 (a1 d ) (a1 3d ) 2a1 4d 8
a1 2d 4 d 1
an a1 (n 1)d n 1
a3 am
a1 3d 4 a1 (m 1)d
m
1
a1, a3 , am
9、基本不等式：① ab a b (a,b R ) 2
② ab a b 2 (a,b R ) 2
③ ab a2 b2 (a, b R) 2
注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求 ABC 面积的最大值时。
说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！
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②若已知
an 1 an
q 和 a1
a ，则用等比数列通项公式 an
a1q n1
（2） an 与 Sn 的关系： an
S1 Sn
2020年新高考数学复习实际问题中的解三角形问题专题解析
无解
一解
两解
一解
一解
无解
7.三角形常用的面积公式
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例: 类型一、测量高度问题
【例 1】如图，一山顶有一信号塔 CD （ CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处，测得 C 的仰角为 .
3 海里.
(1)求 两点间的距离；(精确到 0.01)
(2)某一时刻，我国一渔船在 点处因故障抛锚发出求教信号.一艘 国舰艇正从点 正东 10 海里的点 处以
18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为
(直线行进)，而我东海某渔政船正位于点 南偏西 方向
20 海里的点 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点 处，再折向点 直线航行，航
实战演练:
1．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东150 BAC 150 方向上，匀速向北航
行 20 分钟到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 600 方向上，此时测得山顶 P 的仰角 600 ，若山高为 2 3 千米，
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
2024高考数学基础知识综合复习第17讲正弦定理余弦定理课件
3
AD=___________,sin
3 57
B=___________.
38
解析 在△ADC 中,由余弦定理,知
π
7,CD=2,∠CDA=3 ,则
1
2 + 2 - 2
cos∠CDA= 2· ,即2
=
2 +4-7
,解
4
得 AD=3(负值舍去).在△ADB 中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos
定理
内容
变形
正弦定理
a
A
=
b B=来自c=2R C
2.余弦定理
定理 余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
内容 2 2 2
c =a +b -2abcos C
推论
3.三角形面积公式
1
(1)S△ABC=2ah(h
表示边 a 上的高).
1
(2)S△ABC=2absin
(1)求角A的值;
解 因为 bcos A+acos B=2ccos A,
由正弦定理得 sin Bcos A+sin Acos B=2sin Ccos A,
所以 sin(A+B)=2sin Ccos A.
因为 A+B+C=π,所以 sin(A+B)=sin C.
故 sin C=2sin Ccos A.
线、三角形的面积、周长、三角形的外接圆和内切圆、三角形边上的定比
分点等多个量,需要综合运用解三角形的知识、向量工具以及几何性质求解,
特别是外接圆半径用正弦定理
1
考点17 正、余弦定理及解三角形-备战2020年高考数学(理)考点一遍过
考点17 正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用 1．三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S .（1）12S ah = (h 为BC 边上的高)； （2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ． 3．测量中的术语 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． （3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.典例1 在ABC △中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若bsin2A +√3asinB =0，b =√3c ，则ca的值为A ．1 BC ．5D ．7【答案】D【解析】由bsin2A +√3asinB =0，结合正弦定理，可得sinBsin2A +√3sinAsinB =0， 即2sinBsinAcosA +√3sinAsinB =0， 由于sinBsinA ≠0，所以cosA =−√32， 因为0＜A ＜π，所以A =5π6．又b =√3c ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =3c 2+c 2+3c 2=7c 2， 即a 2=7c 2，所以ca =√77. 故选D ．典例2 已知ABC △的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且asinA +bsinB +√2bsinA =csinC . （1）求C ；（2）若a =2,b =2√2,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.【解析】（1）因为asinA +bsinB +√2bsin A =csinC ,所以a 2+b 2+√2ab =c 2. 由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =−√22， 又0<C <π，所以C =3π4.（2）由（1）知C =3π4,根据余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =22+(2√2)2−2×2×2√2×(−√22)=20，所以c =2√5.由正弦定理得csinC =bsinB ，即sin 2B =，解得sinB =√55.从而cos B =. 设BC 的中垂线交BC 于点E , 因为在Rt BDE △中，cosB =BEBD ，所以cosBEBDB===，因为DE为线段BC的中垂线，所以CD=BD=√52.1．已知△ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c,且()2cos cos cosC a B b A c+=，1,3a b==，则c= A．3B．CD2．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC∠，sin2sinC B=.（1）求BDCD；（2）若1AD AC==，求BC的长．考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例 3 在ABC△中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c，满足3cos cos sin sin cos2A C A C B++=，且,,a b c成等比数列.（1）求角B的大小；（2）若2,2tan tan tana c baA C B+==,试判断三角形的形状.【解析】（1∵()cos cosB A C=-+，32sin sin2A C∴=,又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 为锐角，所以60B =︒.（2）由2tan tan tan a c bA C B+=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．考向三 与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4 在ABC △中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC +csinB ． （1）求角B ；（2）若b =2√2，求ABC △面积的最大值．【解析】（1）由已知和正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ， ∵sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ， ∴sinB =cosB ，解得B =450．（2）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(2√2)2=a 2+c 2−2accos450， 整理得：a 2+c 2=8+√2ac ．∵a 2+c 2≥2ac （当且仅当a =c 取等号），∴8+√2ac ≥2ac ，即ac ≤4(2+√2)， ∴S ΔABC =12acsinB ≤12×4(2+√2)×√22=2√2+2，故ABC △面积的最大值为2√2+2．【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5 在ABC △中，AC =2√3，D 是BC 边上的一点. （1）若AD =1,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3，求CD 的长； （2）若∠B =120°，求ABC △周长的取值范围. 【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，AC =2√3， 所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos ∠DAC ＝1×2√3×cos ∠DAC ＝3, 所以cos ∠DAC ＝√32.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2√3×1×√32＝7， 所以CD ＝√7.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，∴AB +BC =4(sinA +sinC)=4[sinA +sin(π3−A)]=4sin(A +π3)，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.∴AB +BC ∈(2√3,4]，故ABC △周长的取值范围为(4√3,4+2√3] .4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22()13a b cab--=-．（1）求角C ； （2）若c b ==，求B 及ABC △的面积．5．已知,,a b c 分别是ABC △三个内角,,A B C 所对的边，且1cos 2a C cb +=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC △的周长L 的取值范围.考向四 三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =，求角A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin BDC ∠==所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =.（2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得3BD =，由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB6．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c .（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BD ，且AB ⊥BD ，求BC 的长．考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP △中，tan 2PCPBC BC ∠=⇒=， 在ABC △中，由正弦定理得所以)21AB =，故船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：90ACD ∠=︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==百米．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离的平方．考向六 三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8 在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =ABC △的面积． 【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-， 所以06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =，得||3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以|在ABD △1x =， 所以3AB BC ==，典例9 ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知()()3sin ,cos ,cos ,cos ,x x x x x ==∈R m n ，设()f x =⋅m n ．（1）求()f x 的解析式并求出它的最小正周期T ；（2）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．1．设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c ，且b =3，c =1，A =2B ，则a 的值为 A ．2√5 B ．4 C ．2√3D ．2√22．在ABC △中，AB =1，BC =2，则角C 的取值范围是 A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭3．已知ABC △的面积为S ，三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若4S =a 2−(b −c)2，bc =4，则ABC △是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定4．ABC △中，2AB =，10BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于 A 315B ．34C ．2D ．35．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为A ．B ．kmC ．D ．6．已知ABC △的面积为4，∠A =900，则2AB +AC 的最小值为 A ．8 B ．4 C ．8√2D ．4√27．设ABC △的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，且a =√3，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．√2D ．18． △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC 的面积为 A ．2 B ．3C ．4D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)a c a b =+-p ，(,)b a c =-q ，且∥p q ，则角C = A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π210．若ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin (C −A )=12sinB ，且b =4，则c 2−a 2=A ．10B ．8C ．7D ．411．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C D 12．平面四边形ABCD 中，∠ABC =150°，√3AB =2BC ，AC =√13，BD ⊥AB ，CD =3，则四边形ABCD 的面积为A ．7√3B ．2C ．√3+1D ．√3+213．已知△ABC ，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为____________．14．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为 .15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,6,143C a b ==≤≤，则sin A 的取值范围为__________.17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =−√1010，b =√2，c =√5．（1）求a ；（2）求cos(B −A)的值．18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π2A ≠，sin 26cos sin b A A B =. （1）求a 的值； （2）若π3A =，求△ABC 周长的取值范围.19．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上，此时到达C 处． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．21．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．22．已知函数f(x)=2cosx(cosx +√3sinx).（1）当x ∈[π24,7π12]时，求f(x)的值域；（2）在ABC △中，若f (B )=−1,BC =√3,sinB =√3sinA,求ABC △的面积.23．如图所示，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,AB BC AC CD ===，AC CD ⊥，记ABC θ∠=．（1）若45θ=︒，求对角线BD 的长度（2）当θ变化时，求对角线BD 长度的最大值．1．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π64．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．5．（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．6．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．7．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．8．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．10．（2019年高考北京卷理数）在ABC △中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．11．（2019年高考天津卷理数）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．12．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．13．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .14．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.15．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．16．（2018北京理科）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．1．【答案】C【解析】由题知()2cos cos cosC a B b A c+=，由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sinC A B B A C+=，所以()2cos sin sinC A B C+=，即2cos sin sinC C C=，所以在△ABC中，1cos2C=，又因为2221cos,1,322a b cC a bab+-====，所以c=故选C.2．【解析】（1）由正弦定理可得在△ABD中，sin sinAD BDB BAD=∠，在△ACD中，sin sinAD CDC CAD=∠，又因为BAD CAD∠=∠，则sin2sinBD CCD B==.（2）sin2sinC B=，由正弦定理得22AB AC==，设DC x=，则2BD x=，由余弦定理得222254cos cos24AB AD BD xBAD CADAB AD+--∠==∠⋅，2222222AC AD CD xAC AD+--==⋅.因为BAD CAD∠=∠，所以2254242x x--=，解得2x=.则3BC x==3．【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=，sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =， 则△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，∵△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos 2B ∴=-由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+4．【解析】（1）由已知条件化简可得22()3a b c ab --=-，即222a b c ab +-=-，由余弦定理的推论，可得2221cos 22a b c C ab +-==-，2π(0,π),3C C ∈∴=．（2）2π3,3c b C ===，∴又π,,4b c B C B <∴<∴=，在ABC △中，1sin sin()sin cos cos sin ()22224A B C B C B C =+=+=-+=．113sin 2244ABC S bc A ∴===△．5．【解析】（1）1cos 2a C cb +=，∴由正弦定理得1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=， sin 0C ≠，1cos 2A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=. （2）由正弦定理得sinsin a B b c A ===， ]1sin )1sin sin()L a b c B C B A B ∴=++=+=+++1π12cos 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， π2πππ5π,0,,,33666A B B ⎛⎫⎛⎫=∴∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(2,3]L ∈.故ABC △的周长L 的取值范围是(2,3].6．【解析】（1）由2cos 2a B b c +=，及正弦定理可得：2sin cos sin 2sin A B B C +=， 则2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+， 整理得sin 2cos sin B A B =， 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >， 所以1cos 2A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）在Rt △ABD中，2sin sin 3BD AD A ===，则1AB ==， 因为D 为AC 的中点，所以24AC AD ==，在△ABC 中，由余弦定理可得222π41241cos133BC =+-⨯⨯⨯=，所以BC =．7．【解析】（1）在△CDE 中，3609015105150DCE ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∴1111sin150112224△CDE S CD CE =⋅⋅︒=⨯⨯⨯=（平方百米）. （2）如图，连接AB ，根据题意知，在Rt △ACD中，tan 1tan60AC DC ADC =⋅∠=⨯︒=（百米）， 在△BCE 中，180CBE BCE CEB ∠=︒-∠-∠1801054530=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠，得1sin 21sin 2CE CEBBC CBE⨯⋅∠===∠（百米），()cos15cos 6045cos60cos45sin60sin45︒=︒-︒=︒︒+︒︒4=，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，则2322AB =+-=-8．【解析】（1）由,cos ),(cos ,cos ),x x x x x ==∈R m n ， 则()f x =⋅m n211π1cos cos 2cos 2sin(2)22262x x x x x x +=++=++， 故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故π1()sin(2)62f x x =++，最小正周期为π． （2）因为()1f A =，所以π1sin(2)162A ++=， 所以π1sin(2)62A +=， 又ππ13π2(,)666A +∈， 所以π5π266A +=， 所以π3A =， 又1,2a b c =+=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：221b c bc =+-， 所以2()31b c bc +-=， 所以1bc =，则1sin 2△ABC S bc A ==.1．【答案】C【解析】在△ABC 中，∵A ＝2B ，sin sin a b A B=，b ＝3，c ＝1，∴32sin cos sin a B B B=，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可得21962a a a+-=⨯，∴a =故选C ． 2．【答案】A 【解析】因为sin sin AB BC C A=，所以sinC =12sinA ，所以0<sinC ≤12， 又AB <BC ，则C 必为锐角，故C ∈(0,π6]. 3．【答案】A【解析】∵4S =a 2−(b −c)2，bc =4，∴4×12bcsinA =2bc −(b 2+c 2−a 2)， 可得2sinA =2−2cosA ，则sinA +cosA =1，可得sin (A +π4)=√22， ∵0<A <π，∴π4<A +π4<5π4，∴A +π4=3π4，解得A =π2.即ABC △是直角三角形. 故选A ． 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得h =. 故选A. 5．【答案】B【解析】作出示意图如图所示，()15460km AC =⨯=，906030BAC ∠=︒-︒=︒，9015105ACB ∠=︒+︒=︒，则︒=∠45ABC .由正弦定理，可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，则)60sin 30km sin 45BC ︒==︒.所以这时船与灯塔的距离为. 故选B. 6．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为4，且∠A =900，所以S =12AB ⋅AC =4，即AB ⋅AC =8，所以2AB +AC ≥2√2AB ⋅AC =2√2×8=8，当且仅当AB =2,AC =4时取得等号， 所以2AB +AC 的最小值为8. 故选A ． 7．【答案】D【解析】因为(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，所以(b +c)2−a 2=3bc ， 即b 2+c 2−a 2=bc ，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=12,A ∈(0,π)，所以A =π3，因为a =√3，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==. 故选D ． 8．【答案】A【解析】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-，解得：a =，222cos 22b c a A bc +-∴===，sin 2A ∴==，11sin 42222△ABC S bc A ∴==⨯=.故选A. 9．【答案】C【解析】222()()()∥a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-p q ，由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅， 所以1πcos ,(0,π)23C C C =∈⇒=. 故选C ． 10．【答案】B【解析】由题意知sin (C −A )=12sinB =12sin (A +C ),即2sinCcosA −2cosCsinA =sinAcosC +cosAsinC ，即sinCcosA =3sinAcosC ， 由正弦定理和余弦定理得：c ⋅b 2+c 2−a 22bc=3a ⋅a 2+b 2−c 22ab，即b 2+c 2−a 2=3a 2+3b 2−3c 2，即4c 2−4a 2=2b 2=2×16=32， 则c 2−a 2=8. 故选B ． 11．【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224+⨯=， 故选D ． 12．【答案】B【解析】如图，因为√3AB =2BC ，所以设AB =2x,BC =√3x ， 又∠ABC =150°，AC =√13，所以由AC 2=AB 2+BC 2−2AB •BC •cos∠ABC ， 得13=4x 2+3x 2−4√3x 2cos150∘=13x 2，所以x =1， 所以AB =2,BC =√3， 又BD ⊥AB ，所以∠DBC =60°，由余弦定理可得，CD 2=BD 2+BC 2−2BD •BC •cos∠DBC ， 可得9=BD 2+3−√3BD ，解得BD =2√3， 故11sin6022△△四边形ABD CBD ABCD S S S AB BD BC BD =+=⋅+⋅︒11222=⨯⨯=故选B.13．1【解析】由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C====2sin 60a∴=，解得：3a =，由余弦定理可得：22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得：1c =+1，1c ∴=.14．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 24S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为 15．【答案】6100【解析】依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC △中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ， 得45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m.在Rt BCD △中，因为30=∠CBD ，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.16．【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】∵π,6,143C a b ==≤≤， ∴由余弦定理可得：()22222366327=+-=+-=-+c a b ab b b b ， ∴()[]2232727,31=-+∈c b ，∴⎡∈⎣c ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得6·sin 2sin a C A cc ⨯⎤===⎥⎣⎦．故答案为31⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 17．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =2+5−2×√2×√5×(−√1010)=9，解得a =3．（2）在ABC △中，由cosA =−√1010得A ∈(π2,π)，∴sinA =2A =√1010=3√1010， 在ABC △中，由正弦定理得asinA=bsinB，即sin B =， ∴sinB =√55， 又A ∈(π2,π)，故B ∈(0,π2)， ∴cosB =√1−sin 2B =√1−(√55)2=2√55， ∴cos(B −A)=cosBcosA +sinBsinA =2√55×(−√1010)+√55×3√1010=√210．18．【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =. （2）由正弦定理得sin sin aB b B A ==，sin sin a Cc C A==，则△ABC的周长为：2π33sin()3a b c B C B B ++=++=++-3π3sin cos36sin226B B B⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，又因为2π(0,)3B∈，所以ππ5π(,)666B+∈，则π1sin(,1]62B⎛⎫+∈⎪⎝⎭.从而π36sin(6,9]6B⎛⎫++∈⎪⎝⎭.因此△ABC周长的取值范围是(]6,9.19．【解析】（1）∵∥m n，∴sin cosb A B=，由正弦定理，得sin sin cosB A A B=，∵sin0A>，∴sin B B=，即tan B=∵0πB<<，∴（212ac=，解得4ac=，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得221422a c ac=+-⨯2()3a c ac=+-2()12a c=+-，故4a c+=．20．【解析】（1）依题意得，120BAC∠=︒，18AB=，15230AC=⨯=，BCAα∠=．在ABC△中由余弦定理可得2222cos1764BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠=，所以42BC=，所以渔船甲的速度为212BC=海里/小时．（2）在ABC△中，18AB=，120BAC∠=︒，BC=42，BCAα∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BCα=︒，所以18sin1202sin4214ABBCα⨯⋅︒===．21．【解析】（1）由题意得，由正弦定理得，即BCA2sin)sin(=+，所以BB2sinsin=．又在ABC △中，则B B 2=或2πB B +=，因为0πB <<，所以π3B =. （2）因为π3B =， 所以2π3AC +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-π1)3A =-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤，所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-+ ⎝． 22．【解析】（1）f(x)=2[√32sin2x +12(cos2x +1)] =2sin(2x +π6)+1. ∵x ∈[π24,7π12]，∴2x +π6∈[π4,4π3].当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值3； 当2x +π6=4π3，即x =7π12时，f(x)取得最小值1−√3，故f(x)的值域为[1-√3，3].（2）设ABC △中A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c. ∵f(B)=−1,∴sin(2B +π6)=−1 . ∵0<B <π,即π6<2B +π6<2π+π6. ∴2B +π6=32π,得B =23π.又∵BC =√3，即a =√3,sinB =√3sinA,即b =√3a,∴b =3. 易得sinA =12.∵0<A <π3，∴A =π6，∴C =π6. ∴S ΔABC =12absinC =12×√3×3×12=3√34.23．【解析】（1）在ABC △中，∵1,45AB BC ABC ==∠=︒，∴由余弦定理可得:2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴1AC =，则ABC △为等腰直角三角形， ∴135BCD ∠=°， 在△BCD中，1,135BC CD AC BCD ===∠=︒ ，由余弦定理可得:2222cos 5BD BC CD CD BC BCD =+-⋅⋅∠=，∴BD =（2）在ABC △中，∵1,AB BC ABC θ==∠=，∴由余弦定理可得:2222cos 3AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-， 又由正弦定理可得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，即1sin ACB =∠∴sin ACB ∠=∴π()cos cos sin 2BCD ACB ACB ∠=+∠=-∠=在△BCD中，BC CD AC ===由余弦定理可得2222cos 5sin cos )BD BC CD CD BC BCD θθ=+-⋅⋅∠=+-=(π54in )s 4θ+-，∴当3π4θ=时，()2max 9BD =，则max 3BD =．1．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则， 故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 3．【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =， 因为()0,πC ∈，所以π4C =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.4．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .7【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 44DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD cos BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． （2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =， 因此B =60°．（2）由题设及（1）知ABC △的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°， 由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 10．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. （2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=.所以5BC =.。