正弦定理的变形与三角形面积公式.doc
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理解析
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形。
正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形。
知识点清单一.正弦定理:1。
正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2。
变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin caC A = 5）化角为边: RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CAc a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4。
△ABC 中，已知锐角A ，边b,则①A b a sin <时，B 无解；②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解； ③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
三角形面积sin公式
三角形面积sin公式
S三角形面积=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。
三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三
角形，符号为△。
正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写
得来），即sinA=∠A的对边/斜边。
正弦定理：
正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。
早在公元2世纪，正弦定理已为古希腊天文学家托勒密(C．Ptolemy)所知．中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼(al—Birunj，973一1048)也知道该定理。
但是，最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家
和天文学家纳绥尔丁。
高中数学 第二章 解三角形 2_1_1_2 正弦定理的变形及三角形面积公式课件 北师大版必修5
课堂探究 互动讲练 类型一 正弦定理的变形应用 [例 1] 在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求 b 及△ABC 外接圆的半径 R.
【解析】 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1，
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R， 所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
a2＋b2－2abcosπ3＝7， 所以a2＋b2－ab＝7，即(a＋b)2－3ab＝7， 所以(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.
方法归纳
(1)本题采用了整体代换的思想，把a＋b，ab作为整体，求解
过程既方便又灵活．
(2)三角形面积公式有多种形式，根据题中的条件选择最合适
的面积公式．在解三角形中通常选用S＝
＝
40 6＋
2＝10(
6－
2) (km)．
即 C 到灯塔 A 的距离为 10( 6－ 2) km.
方法归纳
解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个 以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然 后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程，解方程得出所要求的解．
(2)若 c＝ 7，且△ABC 的面积为323，求 a＋b 的值．
【解析】
(1)因为
3a＝2csinA，所以sianA＝
2c 3.
由正弦定理知sianA＝sincC，
所以sincC＝ 2c3，所以sinC＝
3 2.
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.
(2)因为c＝ 7，C＝π3，
5.9 正弦定理 余弦定理
5.9 正弦定理 余弦定理【基础知识精讲】1.正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：A a sin =B b sin =C csin =2R. 面积公式：S △=21bcsinA=21absinC=21acsinB.2.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)sinA ∶sinB ∶sinC=a ∶b ∶c (3)sinA=R a 2,sinB=R b 2,sinC=Rc 2. 应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况. ①A 为锐角时②A 为直角或钝角时.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a 、b 、c 分别用2RsinA 、2RsinB 、2RsinC 来代替.3.余弦定理在△ABC 中，有a 2=b 2+c 2-2bccosA; b 2=c 2+a 2-2accosB ； c 2=a 2+b 2-2abcosC ； 变形公式：cosA=bc a c b 2222-+,cosB=ac b a c 2222-+,cosC=abc b a 2222-+在三角形中，我们把三条边(a 、b 、c)和三个内角(A 、B 、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π 0＜A ，B ，C ＜πsin2B A +=sin 2C -π=cos 2Csin(A+B)=sinC特别地，在锐角三角形中，sinA ＜cosB,sinB ＜cosC,sinC ＜cosA.【重点难点解析】掌握正、余弦定理，并学会用其余弦定理解三角形.例1 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C ，且A=2C,b=4,a+c=8，求a 、c 的长.解：由正弦定理A a sin =C c sin 及A=2C 得C a 2sin =C c sin ,即C C a cos sin 2=Ccsin , ∴cosC=ca 2. 由已知a+c=8=2b 及余弦定理，得cosC=abc b a 2222-+=)()2(222c a a c c a a +-++ =)(4))(35(c a a c a c a ++-=a ca 435-.∴ca 2=a ca 435-，整理得(2a-3c)(a-c)=0∴a ≠c,∴2a=3c. ∵a+c=8,∴a=524,c=516. 例2 在△ABC 中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状.解：∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2,∴sinB=22 又∵0°＜B ＜90°，∴B=45° 由lga-lgc=-lg 2,得c a = 22.由正弦定理得c A sin sin = 22. 即2sin(135°-C)= 2sinC即2［sin135°cosC-cos135°sinC ］=2sinC.∴cosC=0,得C=90°又∵A=45°,∴B=45°从而△ABC 是等腰直角三角形.例3 如图已知：平行四边形两邻边长为a 和b(a ＜b)，两对角线的一个交角为θ(0°＜θ＜90°)，求该平行四边形的面积.分析：由于已知了平行四边形相邻两边长和对角线的一个交角，再考虑到平行四边形的面积是△AOB 的四倍，因此只要求OA ·OB ·sin θ即可.解：设平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O.AB=a,BC=b,∠AOB=θ，又设OA=x,OB=y.在△AOB 中，应用余弦定理可得： a 2=x 2+y 2-2xycos θ ① 在△BOC 中，应用余弦定理可得： b 2=x 2+y 2-2xycos(180°-θ) ② 由②-①得： b 2-a 2=4xycos θ∵0°＜θ＜90°，∴xy=θcos 422a b - (b ＞a)∴S □=4S △AOB =2xysin θ=222b a -tan θ例4 在△ABC 中，已知4sinBsinC=1,b 2+c 2-a 2=bc,且B ＞C ，求A 、B 、C.分析：由于题设条件b 2+c 2-a 2=bc 十分特殊，将它与余弦定理对照可得A=60°,这样B+C=120°，于是再利用条件4sinBsinC=1，可求得B 与C.解：由余弦定理cosA=bca c a 2222-+=bc bc 2=21.又∵0°＜A ＜180°∴A=60°∴B+C=120°,又由于4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(120°-B)=1∴4sinB(23cosB+21sinB)=1∴3sin2B+2sin 2B=1 ∴3sin2B=cos2B∴tan2B=33,∴2B=30°或2B=210°由于B+C=120°,且B ＞C ，60°＜B ＜120°∴2B=210°,∴B=105°,从而C=15° ∴A=60°,B=105°,C=15°例5 已知△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且a+c=2b ，A-C=3π,求sinB 的值. 解法一：由正弦定理和已知条件a+c=2b ，得sinA+sinC=2sinB ，由和差化积公式得 2sin2C A +·cos 2CA -=2sinB 由A+B+C=π，得 sin2C A +=cos 2B 又A-C=3π,得 23cos 2B =sinB∴23cos 2B =2sin 2B ·cos 2B又∵0＜2B ＜2π,cos 2B≠0 ∴sin2B =43 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴sinB=23·413 =839. 解法二：由正弦定理和已知条件a+c=2b ，得sinA+sinC=2sinB ∵A-C=3π,A+B+C=π两式相减可得B=32π-2C ∴sin(3π+C)+sinC=2sinB 得sin 3πcosC+cos 3πsinC+sinC=2sinB∴23cosC+23sinC=2sinB即3cos(3π-C)=2sinB ∴3cos 2B =4sin 2B ·cos 2B∵0＜B ＜π,∴cos 2B≠0∴sin2B =43 cos2B =2sin 12B -=413 ∴sinB=23·cosB=839【难题巧解点拔】例1 △ABC 中，若a=5,b=4,cos(A-B)=3231，求AB. 分析：很明显，只要求cosC 的值，应用余弦定理即可求出AB. 解法一：由已知条件a=5,b=4b a b a -+=B A B A sin sin sin sin -+=2sin2cos 2cos2sinB A B A BA B A -+-+=9，①由已知cos(A-B)= 3231,根据半角公式有sin2B A +=2)cos(1B A --=81,cos 2B A -=2)cos(1B A -+=863代入①式得tg2B A +=639∵tg 2B A +=ctg 2C , ∴tg2C = 963,根据万能公式cosC=81∴c 2=a 2+b 2-2abcosC=36,AB=c=6解法二：∵A ＞B ，如图，作∠BAD=∠B,∴AD=BD∠CAD=∠A-∠B 令AD=BD=y,CD=x,由余弦定理cos(A-B)=boyx y b 2222-+= 3231,x=a-y,∴yy 8910-= 3231,y=4,x=1 △CAD 中再由余弦定理cosC=81,∴c=6 评析：上述解法反映边向角的转化，也可由角向边转化直接求出边.例2 半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，且OA=2，B 为半圆周上任意一点以AB 为边向形外作等边三角形ABC(如图)，问B 点在什么位置时，边形OACB 的面积最大，并求出这个最大面积.解：设∠AOB=x ，则 S △AOB =21·2·1·sinx=sinx, AB 2=OA 2+OB 2-2·OA ·OB ·cosx=5-4cosx. S △ABC =43AB 2=43 (5-4cosx)= 45-3cosx ∴S OACB =S △AOB +S △ABC=sinx-3cosx+435 =2sin(x-3π)+435 ∵0＜x ＜π,-3π＜x-3π＜32π ∴x-3π=2π时，∴即x=65π时,S OACB 有最大值2+435(平方单位)例3 已知△ABC 中，AB=AC=a,∠BAC=φ，等边三角形PQR 的三边分别通过A ，B ，C 三点.试求△PQR 的面积的最大值.分析：先依题意画出图形(如图).因为变动三角形PQR 为正三角形，它的面积S=43PQ 2，问题可转化为求边长PQ 的最大值.为此需要建立PQ 的函数式，这又必须选取适当的量作为自变量.观察图形可以发现，PQ 的位置是随着∠PAB 的大小变化而变化的.不妨就以∠PAB 为自变量.以下的程序就是应用三角形的边角关系，求出以∠PAB 的三角函数表示PQ 的解析式，最后求它的最大值.解：设∠PAB=x,那么∠PBA=120°-x,∠QAC=180°-x-φ，∠QCA=x+φ-60°.在△PAB 中，∵)120sin(x PA-︒=︒60sin AB ，∴PA=32a sin(120°-x),在△AQC 中，)60sin(︒-Φ+x AQ=︒60sin AC∴AQ=32a sin(x+φ-60°)∴PQ=PA+AQ=32a ［sin(120°-x)+sin(x+φ-60°)=34a sin(2Φ+30°)cos(90°-2Φ-x). 因为其中a,2Φ+30°都是常量，所以当90°-2Φ-x=0即x=90°-2Φ时，取得 (PQ)max =34a sin(2Φ+30°) 同时也就取得了 (S △)max =43 (PQ)2max=334a 2sin 2(2Φ+30°)例4 在△ABC 中，已知A=2C ，求证：3b ＜c-a ＜2b.证明：在△ABC 中，由A=2C ，得C=2A ，∴B=π-3A,∴0＜A ＜3πb ac - =B A C sin sin sin -=)sin(sin sin C A A C +-=2cos2sin 2sin2cos 2C A C A A C A C ++-+ =23sin 2sin A =2sin 2cos 2sin 42sin2A A A A -=12cos 412-A =1cos 21+A .∵0＜A ＜3π，∴21＜cosA ＜1，即2＜2cosA+1＜3∴31＜b a c -＜21,故3b ＜c-a ＜2b.评析：解本题的关键是利用正弦定理及三角公式将b a c -转化为1cos 21+A ，结合角A的取值范围推得结论.【课本难题解答】课本第132页，习题5.9第8题： ｜F ｜≈132N ，β≈38° 第9题两条对角线的长分别是415cm 和43cm,面积是48cm 2.【命题趋势分析】本节主要考查：1.根据已知条件，求三角形的末知元素，或判断三角形的形状. 2.运用正、余弦定理及关系式A+B+C=π解决三角形中的计算和证明问题. 3.利用所学的三角知识解决与三角形有关的三角函数问题和简单的实际问题. 根据考试的方向，可以预见，利用正、余弦定理解斜三角形问题将会与三角函数、数列、方程、向量等知识相结合，尤其是与生活、生产、科学实验实际相结合，考查综合运用数学知识的能力.【典型热点考题】例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=b ，A-C=3π，求sinB 的值.解：根据正弦定理和已知可得：sinA+sinC=2sinB,A+B+C=π 则2sin2C A +·cos 2CA -=2sinB.又A-C=3π,sin 2C A -=cos 2B∴2cos 2B cos 6π=2sinB=4sin 2B cos 2B又∵0＜2B ＜2π∴sin2B =43 cos2B =2sin 12B -= 413 ∴sinB=2·413·43=839例2 若△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 .解：设三角形三内角从小到大依次为B-d,B,B+d, 则B-d+B+B+d=180°∴B=60° 设最小边为x ，则最大边为2x,从而)60sin(d x -︒=)60sin(2d x +︒⇒tand=33,d=30° 所以三内角分别为A=30°,B=60°,C=90°,得三内角之比为1∶2∶3. ∴应填1∶2∶3.例3 在△ABC 中，A 、B 、C 三顶点所对边分别为a,b,c ，试证明b 2=c 2+a 2-2accosB.证明：因为=+则有：2=·=(+)·(+)=2+2+2·=AB 2+BC 2+2｜AB ｜·｜BC ｜cos(180°-B)=c 2+a 2-2accosB 所以b 2=c 2+a 2-2ac ·cosB例4 求sin 220°+cos 280°+3sin20cos80°的值.解：设△ABC 中的A=10°,B=20°,C=150°对应边分别为a,b,c. △ABC 的外接圆半径为2R ，则由正弦定理得： a=2Rsin10°,b=2Rsin20°,c=2Rsin150° 由余弦定理，得：(2Rsin150°)2=(2Rsin10°)2+(2Rsin20°)2-2(2Rsin10°)(2Rsin20°)cos150°即：sin 2150°=sin 210°+sin 220°+3sin10°sin20°则：cos 280°+sin 220°+3sin20°cos80°=41 说明：本题采用了构造法，题中余弦变正弦之后，注意到3=-2cos(180°-10°-20°).本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.在△ABC 中，已知a=52,c=10,A=30°，则B 等于( ) A.105°B.60°C.15°D.105°或15°2.在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° A.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60° 3.在△ABC 中，若2cos A a =2cos B b =2cosC c，则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.在△ABC 中，若a=2,b=22,c=6+2，则∠A 的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3 B.1＜m ＜3 C.3＜m ＜4 D.4＜m ＜66.在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( )A.75°B.120°C.135°D.150°7.△ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°B.120°C.60°或120°D.45°8.在△ABC 中，若A=60°,b=16,且此三角形的面积S=2203，则a 的值是( ) A. 2400B.25C.55D.499.在△ABC 中，若acosA=bcosB,则△ABC 是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角10.在钝角三角形ABC 中，三边长是连续自然数，则这样的三角形( )A.不存在B.有无数多个C.仅有一个D.仅有两个二、填空题1.在△ABC 中，A=120°,B=30°,a=8,则c= .2.在△ABC 中，已知a=32,cosC=31,S △ABC =43，则b= . 3.已知锐角三角形边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 .4.在△ABC 中，A=60°,b ∶c=8∶5,其内切圆关径r=23,则a= ，b= ,c= .5.在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3，则CB A c b a sin sin sin ++++= . 6.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，且边b=2，则外接圆半径R= .三、解答题1.设三角形三边长分别为15，19，23，现将三边长各缩短x 后，围成一个钝角三角形，求x 的取值范围.2.在△ABC 中，已知它的三边a ，b ，c 成等比数列，试证明：tan2A tan 2C ≥31.3.已知在△ABC 中，c=22,a ＞b,C=4π,tanA ·tanB=6,试求a,b 以及此三角形的面积.【素质优化训练】1.在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.2.如图，在60°的∠XAY 内部有一点P ，P 到边AX 的距离是PC=2，P 到边AY 的距离是PB=11，求点P 到顶点A 的距离.3.在△ABC 中，若C=3B ，求bc 的取值范围.4.已知△ABC 是钝角三角形，∠B ＞90°,a=2x-5,b=x+1,c=4,求x 的取值范围.5.在△ABC 中，已知cos 2B+cos 2C=1+cos 2A,且sinA=2sinBcosC,cosC=sinB ，求证：b=c且A=90°.6.在△ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a 2+c 2=2001c 2,求B A C cot cot cot +的值.【生活实际运用】某人在塔的正东方沿南60°西的道路前进40米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.解：如图，由题设条件知：∠CAB=∠1=90°-60°=30°∠ABC=45°-∠1=45°-30°=15°∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-15°=135°又∵AB=40米.在△ABC 中，由正弦定理知：︒15sin AC =︒135sin 40 ∴AC=︒︒135sin 15sin 40=402sin(45°-30°) =402 (sin45°cos30°-cos45°sin30°) =402 (22·23-22·21) =20(3-1)在图中，过C 作AB 的垂线，设垂足为E ，则沿AB 测得塔的最大仰角就是∠CED ，∴∠CED=30°.在Rt △ACE 中，EC=AC ·sinBAC=AC ·sin30°=20·(3-1)·21=10(3-1) 在Rt △DCE 中，塔高CD=CE ·tan ∠CED=10(3-1)·tan30°=3)33(10- (米).【知识验证实验】外国船只除特许者外，不得进入离我国海岸线d 海里以内的海域.设B 和C 是我国的两个设在海边的观测站，B 与C 之间的距离为m 海里，海岸线是过B 、C 的直线.一外国船在A 点处，现测得∠ABC=α、∠ACB=β.试求α、β满足什么关系时，就应向示经特许的外国船只A 发出警告?解：如图所示，作AD ⊥BC ，垂足为D ，在△ABC 中，∠BAC=180°-(α+β)∴sin ∠BAC=sin(α+β).由正弦定理得：βsin AB =)sin(βα+BC ,αsin AC =)sin(βα+BC . ∵BC=m ，故有： AB=)sin(sin βαβ+m ,AC=)sin(sin βαα+m 由于S △ABC =21BC ·AD=21 m ·AD 且S △ABC =21AB ·AC ·sin(α+β). 所以21)sin(sin βαα+m ·)sin(sin βαβ+m ·sin(α+β)= 21mAD. 从而有：AD=)sin(sin sin βαβα+m 因此，当AD ≤d,即)sin(sin sin βαβα+m ≤d 时，就应向外国船只A 发出警发.【知识探究学习】如图，在四边形ABCD 中，BC=m,DC=2m,四个内角A 、B 、C 、D 之比为3∶7∶4∶10,试求△ABD 的面积.解：由于四个内角A 、B 、C 、D 比为3∶7∶4∶10，所以可设它们的大小依次为：3x 、7x 、4x 、10x.由四边形的内角和为360°，所以有：3x+7x+4x+10x=360°，可求得：x=15°.在△BCD 中，由余弦定理得；BD 2 =BC 2+DC 2-2BC ·DC ·cosC.=m 2+(2m)2-2·m ·(2m)cos60°=3m 2∴BD=3m.这时，在△BCD 中，BD 2+BC 2=DC 2,所以△BCD 是直角三角形，DC 是斜边.∴∠CDB=30°,∠ADB=120°.在△ABD 中，由正弦定理得：AB=A ADB BD sin sin ∠∙=︒︒45sin 120sin 3m =223m,另外∠ABD=105°-90°=15°,BD=3m.所以S △ADB =21AB ·BD ·sin15°=21·223m ·3m ·sin15° =8239-m 2.参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C二、1. 338 2.213 3.(5，13) 4.14，10，16 5. 338 6. 332 三、1.3＜x ＜112.提示可证：a+c ≥2b ，再得sinA+sinC ≥2sinB ，和差化积可得结论3.a=5106,b=558,S △=524【素质优化训练】1.a=14,b=10,c=62.143.1＜b c ＜34. 310＜x ＜4 5.可求出B=C=45° 6.1000。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正弦定理三角形面积公式推导过程
正弦定理三角形面积公式推导过程
正弦定理三角形面积公式推导过程
下面我们来推导三角形面积公式：
此处的正弦定理指的是：若在直角三角形中，两条相邻的直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么有：
a=b+c-2bc·cosA
三角形面积的求解：
首先这里使用半周长求图形面积的方法：
假设ABC是一个三角形，其半周长s为：
s=a+b+c / 2
由半周长计算三角形面积的公式：
S=√[s（s-a）（s-b）（s-c）]
可以把a，b，c换成正弦定理中的中间参数，即b+c-2bc·cosA，则可以得出：
S=√[s（s-a）（s-b）（s-b+c-2bc·cosA）]
展开可得：
S=√[s+s（-a-b-c）+s（ab+bc+ca-a-bc+2abc·cosA）
+ab+bc+ca-2ab·bc·cosA]
如果假设：
ab=c（a+b-c）
那么有：
S=√[s（s-a）（s-b）（s-c）+2abc·cosA]
即三角形面积公式：
S=√[s（s-a）（s-b）（s-c）+2abc·cosA]
可以看到，正弦定理对三角形面积公式的推导起了关键作用。
三角形面积公式 sin
三角形面积公式 sin
三角形的面积公式可以使用正弦函数来表示。
假设三角形的一
个角为A，而对边为a，那么三角形的面积S可以表示为S = (1/2) a b sin(A)，其中b为与角A相对的边长。
这个公式称为正弦定理，它是三角形面积计算中的重要公式之一。
正弦定理的推导可以通过将三角形分割成两个直角三角形，然
后利用正弦函数的定义来得到。
正弦函数在三角形中有着重要的几
何意义，它表示了一个角的对边与斜边的比值，而正弦定理则利用
了这一性质来计算三角形的面积。
除了正弦定理，三角形的面积还可以使用其他公式来表示，比
如利用三角形的高、底边长，或者使用海伦公式等。
不同的方法适
用于不同的情况，但正弦定理是在已知一个角和两条边的情况下计
算三角形面积的常用方法之一。
总之，正弦定理是计算三角形面积的重要公式，它通过正弦函
数的性质来表示三角形的面积，是数学和几何中的重要概念之一。
三角形面积公式与正余弦定理
高三總複習第三單元、三角形面積公式及正餘弦定理練習題：1. ABC ∆，6=BC ，7=CA ，5=AB ，求(1) ABC ∆的面積 (2) BC 邊的高 (3) B cos 。
解：(1) 66))()((=---=∆c s b s a s s ABC(2) h BC ABC ⋅⋅=∆21，故62=h(3) 516527652cos 222222=⋅⋅-+=-+=ac b c a B 2. ABC ∆中，︒=∠75A ，其對邊長為26+， (1) 求外接圓的半徑。
(2) 若2=b ，求B ∠。
解：(1) 由正弦定理：R A a 275sin 26sin =︒+= 又42675sin +=︒ 故2=R (2)R B b 2sin = 21422sin ===⇒R b B 得︒∨︒=∠30150B 又大角對大邊，故︒=∠30B3. 三角形三高為2、3、4，求其面積及最大角的餘弦值。
解：∵c b a h c h b h a ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=∆212121∴3:4:641:31:211:1:1::===c b a h h h c b a∵大角對大邊∴最大角為A ∠且24112cos 222-=-+=bc a c b A ))()((21c s b s a s s h a ABC a ---=⋅⋅=∆272522132621t t t t t ⋅⋅⋅=⋅⋅⇒244556t t =⇒ ∴ 45524=t ∴455455144455144==∆ABC 4. ABC ∆的三邊長6,4,5===BC AC AB 且A ∠之內分角線交BC 於D ，求AD 。
解：由內分比知45===b c AC AB DC BD 得310=BD31022310222222252)(56524652cos ⋅⋅-+=⋅⋅-+=-+=AD ac b a c B得310=AD 練習：ABC ∆，3,7,5,6====BD BC AC AB 且AD 交BC 於D ，求AD 。
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第二课时正弦定理的变形及三角形面积公式
【选题明细表】
题号
知识点、方法
易中正弦定理的变形应用1、2、6 4
三角形面积公式的应用3、7
正弦定理的综合应用 5 9、10
正弦定理的实际应用8
基础达标
1. 在△ ABC中, 若sin A>sin B, 则有 ( C )
(A)a<b (B)a ≥b (C)a>b (D)a ≤b
解析 : ∵a=2Rsin A,b=2Rsin B,
又 sin A>sin B,
∴a>b. 故选 C.
2. 已知△ ABC中,A ∶B∶C=1∶1∶4, 则 a∶b∶c 等于 ( C )
(A)1 ∶1∶4 (B)1 ∶1∶
(C)1 ∶1∶(D)1 ∶2∶
解析 : ∵A∶B∶C=1∶1∶4,
∴A=30°,B=30°,C=120°,
∴a∶b∶c=(2Rsin A) ∶(2Rsin B) ∶(2Rsin C)
=sin A ∶sin B ∶sin C
=sin 30 °∶ sin 30 °∶ sin 120 °
=1∶1∶. 故选 C.
3. 在△ ABC中, 若 A=75°,B=45°,c=6, 则△ ABC的面积为 ( A )
(A)9+3 (B)
(C)(D)
解析 : ∵A=75°,B=45°,
∴C=60°,b===2 ,
∴S = bcsin A= ×2 ×6×=9+3 .
△ABC
故选 A.
4.(2013 即墨实验高中高二月考 ) 在锐角三角形 ABC中,a,b,c分别是内角 A,B,C 的对边 , 设 B=2A,则的取值范围是 ( B )
(A)(-2,2)(B)( , )(C)( ,2)(D)(0,2)
解析 : 由锐角三角形知
又 B=2A,A+B+C=180°,
∴30°<A<45°,
∴= = =2cos A ∈( , ). 故选B.
5.(2013 连江一中高二期中联考) 若三角形的三个内角成等差数列, 对应三边成等比数列, 则三角形的形状是( C )
(A)等腰三角形 (B) 直角三角形
(C)等边三角形 (D) 等腰直角三角形
解析 : 设三角形的三角为A,B,C, 所对的边分别为a,b,c,则
2
A+C=2B,ac=b,
∵A+C+B=180°,
∴2B+B=180°, 即 B=60°.
又由 ac=b2及正弦定理 , 得
sin Asin C=sin2B=sin260°= ,
令 A=60°- α, 则 C=60°+α,
∴s in(60 °- α) ·sin(60 °+α)= ,
( cos α + sinα)= ,
cos2α- sin 2α= .
∵c os2α+sin 2α=1,
∴s in α=0,
又-60 °<α<60°,
∴α =0°,
∴A=B=C,
∴三角形是等边三角形. 故选 C.
6. 在△ ABC中, 若 b= ,B=60°, 则=.
解析 : 由正弦定理===2R,
知=,
∴= =2.
答案 :2
能力提升
7.(2011 年高考福建卷) 若△ ABC的面积
,BC=2,C=60°, 则边AB的
为
长度等于.
解析: 由于S△ABC= ,BC=2,C=60°,
∴= ×2×AC× ,
∴A C=2,
∴△ ABC为正三角形 ,
∴A B=2.
答案 :2
8.如图所示 , 我炮兵阵地位于地面 A处, 两观察所分别位于地面点 C和D处, 已知 CD=6000 m,∠ACD=45°, ∠ADC=75°, 目标出现于地面上点B处时, 测得∠BCD=30°, ∠BDC=15°, 求炮兵阵地到目标的距离 .( 结果保留根号 )
解: 在△ ACD中, ∠CAD=180°- ∠ACD-∠ ADC=60°,
∴AD==CD.
在△ BCD中, ∠CBD=180°-30 °-15 °=135°,
∴BD==CD.
在△ ABD中, ∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°,
∴AB==·CD=1000(m).
即炮兵阵地到目标的距离为1000m.
9. 在△ ABC中,A 、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 且 b=acos C, △ABC
的最大边长为 12, 最小角的正弦值为.
(1)判断三角形的形状 ;
(2)求△ ABC的面积 .
解:(1) 由正弦定理知 = ,
∵b=acos C,
∴cos C=, 即 sin B=sin Acos C,
∵A+B+C=π,
∴s in(A+C)=sin Acos C,
即 cos Asin C=0,
在△ ABC中 sin C ≠0,
∴c os A=0,
∴A= ,
∴△ ABC为直角三角形 .
(2)由题意知 a=12, 不妨设最小角为 C,
∴s in C= ,
则 cos C=,
∴b=acos C=12×=8 ,
∴S△ABC= absin C= ×12×8 × =16 .
10.(2012 年高考大纲全国卷 ) △ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c, 已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c, 求 C.
解: 由 B=π-(A+C), 得 cos B=-cos(A+C),
于是 cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C,
由已知得 sin Asin C= , ①
由 a=2c 及正弦定理得 sin A=2sin C,②
由①②得 sin 2 C= ,
于是 sin C=或sin C=-( 舍去 ),
又 a=2c>c,
∴A>C,即 C为锐角 ,∴C= .。