集合的表示
高中数学 集合的含义及表示
集合的含义及表示•集合的概念：1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）；集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集常用数集及其表示方法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R•集合中元素的特性：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.•易错点:（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z•1、集合的含义：•“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
•所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
•2、集合的表示•通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作d A。
集合的表示与分类
集合的表示与分类一、引言集合是数学中的基本概念之一，它在各个学科和日常生活中都有着广泛的应用。
准确地表示和分类集合是我们研究和理解集合的重要基础。
本文将介绍集合的表示方法和分类方式。
二、集合的表示方法1. 列举法列举法是最直观、最简单的表示集合的方法。
通过将集合中的元素逐个罗列出来，用花括号{}括起来表示集合。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示A是包含元素1、2、3、4、5的集合。
2. 描述法描述法是通过给出集合中的元素满足的特定条件来表示集合。
一般形式为{元素 | 元素满足的条件}。
例如，集合B={x | x是正整数且x<10}表示B是包含所有小于10的正整数的集合。
3. 通用集合符号除了列举法和描述法外，通用集合符号也是表示集合的常用方法。
常见的通用集合符号有：- 空集符号：∅，表示一个不包含任何元素的集合。
- 元素属于符号：∈，表示一个元素属于某个集合。
- 元素不属于符号：∉，表示一个元素不属于某个集合。
- 子集符号：⊆，表示一个集合是另一个集合的子集。
- 真子集符号：⊂，表示一个集合是另一个集合的真子集。
三、集合的分类方式1. 有限集与无限集根据元素的个数，集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素个数有限的集合，例如{1,2,3,4,5}；无限集是元素个数无限的集合，例如正整数集合。
2. 空集与非空集根据元素的存在情况，集合可以分为空集和非空集。
空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；非空集是至少包含一个元素的集合。
3. 包含集与被包含集根据集合之间的包含关系，集合可以分为包含集和被包含集。
如果集合A中的每个元素都是集合B中的元素，则可以称集合B是集合A 的包含集，集合A是集合B的被包含集。
4. 相等集与不相等集根据集合之间的相等关系，集合可以分为相等集和不相等集。
如果两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等；否则，这两个集合不相等。
四、结论本文介绍了集合的表示方法和分类方式。
1.集合及其表示
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
集合的表示与判定
集合的表示与判定集合是数学中的基本概念之一。
在数学中，集合是由一些元素组成的整体，这些元素是没有重复并且没有特定顺序的。
本文将讨论集合的表示与判定方法。
一、集合的基本概念在数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
集合中的元素用小写字母表示，例如a、b、c等。
如果一个元素x是集合A 的成员，我们用x∈A表示；如果一个元素y不是集合A的成员，我们用y∉A表示。
二、集合的表示方法1. 列举法集合的列举法是最简单的表示方法之一。
通过逐个列举出集合中的元素，可以清晰地表达集合的内容。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示集合A包含了元素1、2、3和4。
2. 描述法集合的描述法是通过给出满足某种条件的元素来表示集合。
例如，集合A={x | x是正整数，且x<5}表示集合A包含了所有小于5的正整数。
3. 二进制表示法在计算机科学中，集合可以使用二进制进行表示。
每个元素对应二进制中的一位，如果该位为1，则表示该元素属于集合，如果该位为0，则表示该元素不属于集合。
例如，对于集合A={1, 2, 3, 4}，可以用二进制表示为00001111，其中第1位表示元素1，第2位表示元素2，以此类推。
三、集合的判定方法1. 相等判定两个集合相等的条件是它们的元素完全相同。
即集合A等于集合B，当且仅当A包含的所有元素也都属于B，且B包含的所有元素也都属于A。
2. 包含关系判定如果集合A中的所有元素都属于集合B，但B中可能还有其他元素，那么可以说集合A是集合B的子集。
记作A⊆B。
相反地，如果集合A中的所有元素都属于集合B，且B中没有除A以外的其他元素，那么可以说A是B的真子集。
记作A⊂B。
3. 交集、并集与差集判定交集表示两个集合共有的元素，可以表示为A∩B。
并集表示两个集合中所有的元素，可以表示为A∪B。
差集表示集合A中除去与集合B相同的元素后的剩余元素，可以表示为A-B。
四、集合的应用集合在数学中有广泛的应用，例如在概率论、数理逻辑、集合论、图论等领域都有重要的作用。
集合的表示方式
集合的表示方式
集合的表示方式有以下几种：
1.列举法：直接列出集合中的元素，用花括号“{}”括起来表示。
例如：A={1,2,3,4}。
2.描述法：用一种或多种属性描述集合中的元素，具有该属性的元素构成该集合。
例如：奇数集合O={x|x∈Z,x是奇数}。
3. 图示法：用图形或图像表示集合中的元素，如Venn图等。
例如：用Venn图表示A={1,2,3}和B={2,3,4}两个集合的交集为{2,3}。
4.公式法：用数学符号和逻辑符号表示集合中的元素。
例如：
A={x|x³<8,x∈Z}表示A是由整数中所有小于8的立方数构成的集合。
5.对称差法：用两个集合的并集减去交集表示。
例如：A△B=(A∪B)-(A∩B)表示A和B的对称差集。
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
1.2集合的表示法
1.2
（3）图示法
集合的表示方法
1，2，3，4
指南针，活字印刷术， 火药，造纸术
1.2
集合的表示方法
例1：由方程x2 -1=0的解的全体构成的集合， 可表示为
（1）列举法：{1，-1}。 （2）描述法：{x|x2 -1=0,x∈R} （3）图示法：如下
1，-1
1.2
集合的表示方法
有限集：含有有限个元素的集合，叫做有 限集。{1，2，3，4}
1.4.2
例1：
并集
已知：A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6， 7}，求A∪B。 解：A∪B={1，2，3，4} ∪{3，4，5，6，7} ={1，2，3，4，5，6，7}
1.4.2
例2：
并集
已知N={自然数}，Z={整数}，求N∪Z。
解：N∪Z={自然数} ∪{整数}={整数}
1.4.1
复习
交集
1、交集的概念和表示方法 2、交集的性质
1.4.1
作业
1.4.1 课后作业
交集
1.4.2
并集
引入 观察下列集合A，B，C有怎样的关系？ A={2，4，6}，B={4，8，12}， C={2，4，6，8，12}
容易看出来，集合C中的元素是由集合A和 集合B中的元素合并在一起构成的
1.5 充分条件与必要条件
例如： （1）如果四边形ABCD是正方形，则这个 四边形的四条边相等。 我们可以把这个命题写为： p：四边形ABCD为正方形，q：四边形的 四条边相等。 那么：p是q的充分条件，q是p的必要条件。
1.5 充分条件与必要条件
（2）如果x-1=0，那么x2-1=0。 分析：由x-1=0推出x2-1=0是正确的。 我们可以把命题写成： p： x-1=0，q： x2-1=0 则有：p是q的充分条件，q是p的必要条 件。
集合含义及表示
集合的含义及其表示【知识要点】1、集合一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体所构成的就是一个集合。
2、元素集合中的每一个对象称为该集合的元素。
3、元素与集合的关系元素与集合有属于和不属于两种关系4、特定集合的表示非负整数集（或自然数集）——记作N正整数集——记作，或整数集——记作Z有理数集——记作Q实数集——记作R5、集合的分类按集合中元素的个数分为有限集和无限集。
有限集是指含有有限个元素的集合；无限集是指含有无限个元素的集合。
我们把不含任何元素的集合称为空集。
记作。
6、集合的表示方法列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
Venn图示法（文氏图法）：用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形【方法与应用】1、集合的概念是一种描述性说明，用‘{}’表示，表示所有的、全部的，具有共同特征的研究对象都在花括号内，集合中的元素必须是确定的。
【J】例1、下列各组对象：1、接近于0的数的全体 2、比较小的正整数全体 3、平面上到点O的距离等于1的点的全体 4、正三角形的全体 5、的近似值的全体，其中能构成集合的组数是（ A ）A,2 B. 3 C. 4 D.5【L】例2、中国的直辖市是否是一个集合。
（）【C】例3、下列各种对象，可以构成集合的是（）A、某班身高超过1米8的女学生B、某班比较聪明的学生C、某书中的难题D、使||最小的x的值2、元素是指在集合中的每一个具体的对象。
（强行记忆）判定一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征。
【J】例1、下列各组中，（A D ）是集合{b，o，k}中的元素，（BC ）不是集合{b,o,k}的元素。
A、oB、cC、uD、 k【L】例2、已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，那么这个集合中有（）个元素【C】例3、由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合，最多含有元素（）个A、2B、3C、4D、53、当元素a属于集合A时，记作aA，读作a属于集合A；当元素a不属于集合A，记作aA，读作a不属于集合A.。
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示为
{
x | x < 11 ; 2
}
1.判断下列集合的写法是否正确,如正确,请说出该集合
中元素的个数.
(1){ a, b, c, d } (2){0, 1, 3} (3) 正确 正确
4
3
无限
{2, 1,0,1,2}
x | 4x 3 7 x 7} | 3 x 2}
错误 {x | 4 x 3 7} 正确
解：(1){x|x2-2=0}
(2){x∈Z|10<x<20}
下面我们来解答问题导引提出的问题
（1）“地球上的四大洋”组成的集合表示为
{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}； （2）把“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组 成的集合表示为 {1，-2}； （3）把“小于10的正偶数”组成的集合表示为 {2，4，6，8}. （4）不等式2x-7＜4的所有的解组成的集合表 用元素 的共同 特征表 示
综上可知：a=-1.
拓展提高（1）
自然语言 列举法 描述法
特点
容易理解
直观明了
元素有共 同的特征
适用对象
所有
元素不太多的 元素无限或 集合 很多
拓展提高（2）
1. a与{a} 的含义是否相同？ 不同，前者为元素，后者为集合. 2. 集合{y|y=x2,x∈R}与集合{x|y=x2, x∈R} 相同吗？ 前者是函数的所有函数值组成的集合； 后者是函数的所有自变量组成的集合.
{1,0}
（3）由1～20以内的所有素数组成的集合.
{2,3,5,7,11,13,17,19}
2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
xÎ I
p ( x)
元素的一般符号及 取值范围
元素所具有的共同特征
例2 用描述法表示下列集合. (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
集合的表示方法
1、列举法： 确定 无序 互异
元素
}”
将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{
括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意：）小于10的所有自然数组成的集合. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
勤奋严谨
第2课时 集合的表示
秭归一中数学组
1. 初步掌握用列举法和描述法表示集合. 2.掌握自然语言、数学语言相互转化.
简要回顾一下上节课所学内容：集合、元素与集合的关系.
判断下列元素的全体能否组成集合？
（1）地球上的四大洋； （2）方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根； （3）小于10的正偶数； （4）不等式2x-7＜3的所有的解. 除了用自然语言表示集合， 还可以用数学语言表示集合 能
(4) {x | 2 (5) {x Z
正确
5
2.用适当的方法表示下列给定的集合： （1）比4大2的数；
6
（2）由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合；
3, 3
（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集 合；
{(1,4)}
（4）反比例函数
x x 0
2 y x
回顾本节课你有什么收获
集合的表示方法：列举法，描述法
作业：《世纪金榜同步训练》（二）
的自变量的值组成的集合.
3.已知集合A={1,0,a},若a2∈A ，求实数a的值． 解：(1)若a2=1，则a=±1， 当a=1时，集合A中有两个相同元素1，舍去. 当a=-1时，集合A中有三个元素1,0，－1，符合题意． (2)若a2=0，则a=0， 此时集合A中有两个相同元素0，舍去．
(3)若a2=a,则a=0或1,不符合集合元素的互异性,舍去．