集的势与证明两个集等势的几个方法
集合的等价关系与等势
集合的等价关系与等势等价关系和等势是集合论中重要的概念，它们在研究集合的性质和关系时具有重要的应用。
本文将介绍等价关系和等势的定义、性质以及它们在数学中的具体应用。
一、等价关系的定义与性质等价关系是集合上的一种二元关系，满足自反性、对称性和传递性三个条件。
具体地说，对于集合A上的等价关系R，对任意元素x，都有自反性xRx；对于任意元素x和y，若xRy，则yRx，即对称性；对于任意元素x、y和z，若xRy且yRz，则xRz，即传递性。
等价关系将集合A划分成若干个非空子集，这些子集称为等价类。
等价类具有以下性质：1）等价类之间两两不相交；2）集合A中的每个元素都属于某个等价类；3）两个元素属于同一个等价类，当且仅当它们之间存在等价关系。
二、等势的定义与性质等势是集合之间的一种对应关系，表示两个集合具有相同的基数（元素个数）。
具体地说，对于集合A和B，若存在一个双射（一一对应）f: A→B，则称A与B等势。
等势具有以下性质：1）等势关系满足自反性、对称性和传递性；2）若集合A与B等势，集合B与C等势，则集合A与C等势；3）对于有限集合，等势关系等价于具有相同的基数；4）对于无限集合，存在真子集与原集合等势。
三、等价关系与等势的具体应用1. 等价关系的应用等价关系在数学中有广泛的应用。
在抽象代数中，等价关系可以用来定义商集，从而构造模结构；在拓扑学中，等价关系可以用来定义同伦等概念；在图论中，等价关系可以用来定义等价类，揭示图的结构等。
2. 等势的应用等势是研究集合基数的重要工具。
等势关系可以用来比较集合的大小，并且可以用来证明两个集合等势的方法有很多，例如通过构造双射、利用Cantor-Bernstein定理等。
除了应用于集合论和数学基础理论之外，等价关系和等势还在其他学科中起到重要的作用。
在计算机科学中，等价关系和等势广泛应用于数据库、图像处理和人工智能等领域。
在社会科学中，等价关系和等势常常用于建立分类系统、分析关系网络等。
集合等势的概念
集合等势的概念
集合等势是集合论中的一个重要概念，用于描述两个集合之间的一种关系。
当两个集合具有相同的基数（元素个数）时，它们被称为等势的。
具体来说，如果存在一个双射（一一对应）将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上，那么这两个集合就是等势的。
换句话说，如果两个集合之间存在一个一一对应的关系，那么它们具有相同的基数。
例如，考虑两个集合A和B，其中A={1, 2, 3}，B={a, b, c}。
我们可以定义一个映射f：A→B，使得f(1)=a，f(2)=b，f(3)=c。
这个映射是双射，因为每个元素都有唯一的映射，且每个元素都被映射到。
因此，集合A和集合B是等势的，它们具有相同的基数，即3。
集合等势的概念可以推广到无限集合。
例如，自然数集合N和偶数集合E都是无限集合，但它们是等势的。
我们可以定义一个映射g：N→E，使得g(n)=2n。
这个映射是双射，因为每个自然数都有唯一的偶数映射，且每个偶数都被映射到。
因此，N和E是等势的，它们具有相同的基数，即可数无穷。
集合等势的概念在集合论中有广泛的应用，它可以用来比较集合的大小、研究无限集合的性质，以及证明一些重要的定理，如康托尔-伯恩斯坦定理
（Cantor-Bernstein定理）等。
08-集合的势
我们怎么比较集合的大小
“数得清”的我们就数元素个数。 “无数”的怎么办？
– “常识”不一定经得起追问。
集合的等势关系
等势关系的定义：
– 如果存在从集合A到集合B的双射，则称集合A与B等 势。
– 集合A与B等势记为：AB, 否则A≉B – AB意味着：A，B中的元素可以“一一对应”。
– 要证明AB，找出任意一个从A到B的双射即可。
传递性：单射的复合仍然是单射
因此，集合优势关系是偏序关系
– 其实，优势关系是全序
优势关系的反对称性用于证明等势
有时候找双射不太容易
– 证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]。
关键是如何安排在[0,1]中但不在(0,1)中的0和1。
想等一象势种那的证个子“集法宇(一：宙定旅有f 馆()x{”a)1,。a2我,a2123们12,.可..}以, “腾取出(0,”1)的前一两个个xx与位0自置1 然安数排集0和合1
集合B优势于集合A 记为 A≼•B
如果集合B优势于集合A，且B与A不等势，则称
“集合B真优势于集合A”，记为A≺•B
实数集合真优势于自然数集 例子：对任意集合A，A的幂集真优势于集合A
集合优势关系的性质
自反性：恒等函数 若A≼•B，且B≼•A，则AB
(Cantor-Bernstein定理)
... <0,0> <1,0> <2,0> <3,0> <4,0>
... <0,1> <1,1> <2,1> <3,1> ... <0,2> <1,2> <2,2> ... <0,3> <1,3>
集合的等势及其性质.ppt
0< 其中2N={0，1}N
∀A满足A≺ ·P(A)，所以有
cardA<cardP(A)
这说明不存在最大的基数。将已知的基数按从小到大 的顺序排列就得到：
0，1，2，…，n，…， 0， … 其中0，1，2…，n，…，恰好是全体自然数，是有穷 集合的基数，也叫有穷基数。而 0， ，…，是无 穷集合的基数，也叫做无穷基数， 0是最小的无穷基 数，而后面还有更大的基数，如cardP(R)等。
例如： 2∪5={0,1}∪{0,1,2,3,4}={0,1,2,3,4}=5 3∩4={0,1,2}∩{0,1,2,3}={0,1,2}=3
4-2={0,1,2,3}-{0,1}={2,3} 2×3={0,1}×{0,1,2}={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}
第九章 集合的基数
1.集合的等势及其 性质 2.重要的等势或不等势结果 3.集合的优势及其性质 4.集合的基数
(1) 后继与归纳集 (2)自然数,有穷集,无穷集 (3) 集合的基数 (4)可数集
基本要求:
1. 掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的 性质（自反性，对称性，传递性）
2. 掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内 容及证明方法
f1={<0,0>,<1,0>,<2,1>} f3={<0,0>,<1,1>,<2,1>} f5={<0,1>,<1,0>,<2,1>} f7={<0,1>,<1,1>,<2,1>}
离散数学证明题解题方法
离散数学证明题解题方法离散数学是现代数学的一个主要分支，是计算机科学中基础理论的中心课程。
离散数学以研讨离散量的结构和彼此间的联系为主要方针，其研讨对象一般地是有限个或可数个元素，因而他充分描绘了计算机科学离散性的特色。
1、界说和定理多。
离散数学是建立在很多界说上面的逻辑推理学科。
因而对概念的了解是咱们学习这门学科的中心。
在这些概念的基础上，格外要注意概念之间的联络，而描绘这些联络的实体则是很多的定理和性质。
●证实等价联系：即要证实联系有自反、对称、传递的性质。
●证实偏序联系：即要证实联系有自反、反对称、传递的性质。
(特殊联系的证实就列出来两种，要证实剩余的几种只需要联系界说来进行)。
●证实满射：函数f：XY，即要证实关于恣意的yY，都有x或许关于恣意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。
●证实调集等势：即证实两个调集中存在双射。
有三种情况：榜首、证实两个详细的调集等势，用结构法，或许直接结构一个双射，或许结构两个调集彼此间的入射;第二、已知某个调集的基数，假如为?，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出别的的双射，因而等势;假如为?0，则设和N之间存在双射;第三、已知两个调集等势，然后再证实别的的两个调集等势，这时，先设已知的两个调集存在双射，然后依据剩余题设条件证实要证的两个调集存在双射。
●证实群：即要证实代数系统关闭、可联系、有幺元和逆元。
(相同，这一有些能够作为证实题的概念更多，要联系界说把它们全部搞透彻)。
●证实子群：尽管子群的证实定理有两个，但假如考证实子群的话，一般是第二个定理，即设是群，S是G的非空子集，假如关于S中的恣意元素a和b有a*b-1是的子群。
关于有限子群，则可考虑榜首个定理。
●证实规范子群：若是一个子群，H是G的一个子集，即要证实关于恣意的aG，有aH=Ha，或许关于恣意的hH，有a-1 *h*aH。
这是最常见的标题中所使用的办法。
●证实格和子格：子格没有条件，因而和证实格相同，证实调集中恣意两个元素的最大元和最小元都在调集中。
分析第二章第二节集合的势
第二章 函数、函数的极限与函数的连续性第二节 集合的势（集合中元素个数的计数法，阵势，架势，形势）一 、 集之间等势的概念及性质设A 与B 是两个集合，如果存在一个由A 到B 上的一对一的映射，我们就称集A 与B 有相同的势，或者说A 与B 等价，用B A ~来表示。
这就在某些集之间建立了一种关系。
例如 正整数集*N ，正偶数集A ，正奇数集B ，显然有A N ~*，B N ~* 。
很明白，刚才定义的关系具有下列性质：自反性：A A ~；对称性：B A ~，则A B ~； 传递性：若B A ~且C B ~， 则C A ~ 。
二 集中元素个数的计数法我们给出如下的定义：定义 2.8 令*N 是正整数的全体，且},,2,1{n N n（1）如果存在一个正整数n ，使得n N A ~，那么A 叫做有限集。
空集也被认为是有限集。
（2）如果集A 不是有限集，称A 为无限集。
（3）若*~N A ，则称A 为可数集（或可列集）。
（4）若A 既不是有限集，也不是可数集，则称A 为不可数集。
（5）若A 是有限集或者A 是可数集，则称A是至多可数的。
对于两个有限集A与B，显然，A与B有相等的势的充分必要条件是它们的元素个数相同。
但是，对于无限集而言，“元素个数相同”这样的话就变得十分含混。
而一一对应的概念是明确的、毫不含糊的。
在有限集之间，利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡。
设想在一个大礼堂中，恰有2000个座位，在一次演出中所有座位都有观众坐着，并且还有人站着，我们立刻知道到场的观众多于2000；如果不但没人站着而且还有位子空着，便知道到场的人数不足2000。
只有当既没有空着的位子又没有站着的人的时侯，观众的人数正好是2000。
由此可见，集合的势是有限集中“元素个数”这一概念的推广，并且“势”是一切互相等价的集合中惟一共有的属性。
利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡在社会生活中的智慧闪现。
在原始社会或现在一些地方部落，没有更大数的概念（也不会数数），但他们在大量的物对物的交换中，仍能使交换顺利进行，他们是用了一个物对另一个物的一次次交换。
例说组合恒等式的六种证明方法
例说组合恒等式的六种证明方法组合恒等式是组合数学中的重要概念，指的是形如$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$的等式。
这个等式表明，在$n$个元素中选择$k$个元素的方法数等于在$n-1$个元素中选择$k-1$个元素的方法数与选择$k$个元素的方法数之和。
在这篇文章中，我们将介绍六种常见的证明组合恒等式的方法。
方法一：基于组合的定义将组合数的定义应用到恒等式的两边可以得到证明。
根据组合数的定义，$\binom{n}{k}$表示从$n$个不同元素中选择$k$个元素的方法数，即$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$。
同样地，$\binom{n-1}{k-1}$表示从$n-1$个不同元素中选择$k-1$个元素的方法数，$\binom{n-1}{k}$表示从$n-1$个不同元素中选择$k$个元素的方法数。
可以利用这些定义将等式两边都表示成组合数的形式，然后将它们相减，最后通过化简得到恒等式的正确性。
方法二：递推法递推法是证明组合恒等式的常见方法之一、递推法的思想是，通过利用等式的递推关系，将一个组合数表示成另一个组合数的和的形式。
在这个例子中，等式$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$可以被看作是递推关系。
通过递推关系，我们可以将$\binom{n}{k}$表示成$\binom{n-1}{k-1}$和$\binom{n-1}{k}$的和的形式。
递推法的证明可以采用数学归纳法，从$n=1$和$k=1$的情况开始，递推到$n$和$k$的一般情况。
方法三：二项式定理二项式定理是一个重要的数学定理，可以用于证明组合恒等式。
二项式定理的表述是$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$。
在这个定理中，将$x$和$y$分别替换为$1$和$-1$，则可以得到组合恒等式的形式。
集合的势,你了解吗~
集合的势,你了解吗~布于 2021-09-06 23:42写在前⾯我的好朋友们，⼤家好哎~ 好久没有更新啦，所以今天xia写⼀些东西，谈⼀下⾃⼰对集合的认识，代表我还在呢！^-^ 反正最近就是去外边⼲项⽬了，⼜学了⼀堆奇奇怪怪的知识，也发⽣了许多神奇的事情~~~摘要: 本⽂的相关内容主要取⾃本学年开设的泛函分析课程，对集合的势理论做了深⼊的分析与思考，其中还涉及了映射关系、集合势的意义、⽆穷⼤与阿列夫数以及⼀些看起来的悖论命题等部分。
1引⾔初次接触泛函分析，⼼⾥还是怀着激动的⼼情，毕竟⼏年都没有接触数学⽅⾯的知识，对于这门课在⾃⼰后⾯的科研学习中到底有多⼤的作⽤，暂时我还不能得知，但隐隐约约感到这⼀门课程将会影响我的数学思维，给我带来潜移默化的影响。
相信⼤多数⼈对于数学的直观感受就是晦涩难懂，尤其是像泛函分析这种纯理论推理证明的课程，有这些感受我认为是很正常的，⾄少当初⾃⼰也是这么认为的，但总的来讲正是有了这些⾼度抽象的理论，才让我们发现了宇宙的奥妙以及事物的本质，⽐如海王星的发现，光的波粒⼆象性等等，⽆不涉及数学。
⽽相⽐数学中的那些定理公式，我更喜欢那些定理公式后有趣的数学故事，⽐如像希尔伯特的"旅馆"、⽜顿的"苹果"等，因为每⼀个故事背后都蕴含着深刻的理论，通过这些故事更能深⼊地理解那些理论，也会使得数学显得不在那么枯燥乏味，尤其是像泛函分析这类纯理论推理证明的课程。
说是应⽤泛函分析课程，倒不如说是预备知识课程，因为学习泛函分析需要掌握众多的基础理论知识，像集合、映射、势、测度以及距离空间等⼀系类的预备知识。
本来打算要写对测度理论的理解与分析，由于测度⾃⼰学的还不够深⼊，想了想还是写写⾃⼰⽐较感兴趣的集合这个专题，本⽂将主要围绕集合的势进⾏展开，分享⼀下⾃⼰的所学所想。
2集合⾥的映射关系映射作为集合中常见的⼀种对应关系，算是⽐较重要的概念。
映射关系在⽇常⽣活当中，也是⾮常的普遍，⽐如在⼀定年龄段，你的⾝⾼总是与体重呈现某种关系，这是⼀种简单的映射。
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证 明：。妒：一ｔ 是（ ． ） 一 对 ．ｌ ‘ ｇ 、 ， ， 的 一 应， ｘ 二 一 二 到Ｒ
：一仃一 （， 到 一 等）一 对 ， 手是 ｏ ） （ 手， 的 一 应 ｛ １
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复合映射 ＝９ 。 是 （ ，）到 Ｒ 。 ２ ０ １ 的一一对应 。 对应。
作者简介 ： 孙雪雯 （９ ５ 女 ， １６ 一） 河北人， 中教一级。
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３ ４・
景德镇高专学报
２１ ０ ０年 ６月
程 为 ｚ＝０。 ｓ∈Ａ设 直 线 交 平 面 丌 于 ｔ则 妒： ７ ｔ Ａ 对 ， Ｓ１ 是 － ＋
和整个平面上的点所 作成的集 仃是对等的。
证明 ： 如图一所 示 ， 建立 空间直 角坐标 系 ， 设球 面方程
．
１
２
１
势为 Ａ， Ｂ具有相同势时 ， Ａ和 记为 Ａ ＝Ｂ ；
① 收 稿 日期 ：００一 ３－２ ２１ ｏ １
为２Ｙ （一 ＝ 点 的 标 （０ ） 的 Ｘ ｚ ÷） 寺，Ｐ 坐 为ｏ ，， 方 ＋＋ ，１仃
（） ２ 图像法 ： 通过图像来建立两个集 之间的一
定义 设 Ａ、 ８是两个集
（） 若存在一个 Ａ到曰的一一对应 ， 那么称集Ａ与集 对 等 。 为Ａ —Ｂ 规定空集 与 自身对等 ； 记 。 （ｉ ｉ ）若Ａ与 曰 等 ， 对 那么称Ａ和 具 有相 同的势 。 记集 Ａ的
例 ２ 将一球 面去掉一 点 Ｐ以后 ， 余下的点所作成的集 Ａ
可 以进行 比较 。
（ｉ ｉ）若 Ａ对等 于 ８的某个子集 Ｂ ， ｉ ，那么称 Ａ的势小于或 等于 Ｂ的势 ， 或称 Ｂ的势大于或等于 』 ４的势 。 记为 Ａ ｓ Ｂ或 Ｂ ≥Ａ； 如果 Ａ≤Ｂ， 并且 Ａ≠Ｂ， 那么称 的势小于 Ｂ的势 ， 或称
Ｂ 的势 大 于 Ａ的 势 。 为 Ａ ＜ Ｂ， Ｂ ＞Ａ 记 或 。
从上面的叙述可见 ， 这个 概念的直 观背 景就是 元素 的 势 个 数， 它是元素个数 的抽象 。 势的符号 Ａ就 是用来 表示集 Ａ所 含元素 的多少的那个符 号 。 而势 的大小则 是元素个数 多少 的
抽 象 ， 的 大 、 意 味着 元 素个 数 的 “ 、 ” 势 小 多 少 。
２ 证 明两个 集等势 常 用的几个 方法
第２ ５卷 第 ２期
２１ ０ ０年 ６月
景 德 镇 高专 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｇ ｅ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｆＪｎ ｄ ｚ ｅ ｏ ｌ ｅ ｅ
Ｖ０． ２ ． ２ １ ５ Ｎｏ
Ｊｎ ０ ０ ｕ ．２ １
集 的势 与证 明两个 集 对等 ； 等势 ； 一一对应
中 图 分 类 号 ： ４． Ｏ１ ６ ４
文 献 标 识 码 ： Ｂ
文 章编 号 ：０８ ８５ （０００ — ０３— ２ １０ — ４８ ２ １）２ ０３ ０
１ 集 的势的意义
对于由有 限多个元素组 成 的集 ， 表示其元 素 的多少 可 以 使用元素的个数 。两个有限集其所含 的元 素个数谁多 谁少 也
对应将所有 的集合 进行 分类 ， 使同一类 的集 中任何 两个集之
间都存在着一一对 应 ， 样 同一类 的集 所含 的元素就 应该是 这
“
一
例 １ （ ，）～ Ｒ （ 为实数集 ） ０１ ’ 。
样多” 的了 ， 再对每一 类集都用 一个符号 来表示 这一类集
中任何一个集所含 的元 素的个数 ， 这样 任一个 集就都 有一个 符号来表示其所含元素的多少 了。特 别无穷集元 素的多少也 就有 了表示的方法 。当然对有 限集来 讲 ， 这个表 示其元 素多 少 的符号就取其元 素的个数 。至此 我们很 自然 的有 下面的定
建立集 Ａ和集 Ｂ之间的一
用 Ｂ ｒｓｅ ｅｎｔｉ 理 。 ｎ定
对应 ； ） （ 若这样做有困难 ， ２ 那就确
定集 Ａ和集 Ｂ的子集对等 ， 又集 Ｂ和集 Ａ的子集对等 ， 然后应
以下我们举例来证明两个集等势的方 法 ：
ｆ） 析 法 ： １解 直接 用 解 析 式 建立 两 个 集 之 间 的 一 一对 应 。
孙 雪 雯①
（ 德镇 二十六 中， 西 景德 镇 ３ ３ ０ 景 江 ３ ００）
摘 要 ： 集的势是集 的一个性质描 述。文章针对学生在 学习实变函数论这门课 程的集合这 一章时所表现 出来的对 集的
势 的概 念 感 到抽 象 、 理 解 及 对 证 明 两 个 集等 势感 到 不 知 怎样 下 手 这 两 个 问题 ， 述 了集 的 势 的 意 义 ， 以例 题 的 形 式 难 叙 并 介 绍 了证 明 两 个集 等 势 的 几 个 方 法 。
然而对于无穷集来说 ， 如何表示 “ 其所含元 素的多少？又 如何 比较 两个集谁 的元素多呢？人们在长期 的实践 中注意到 这样一个极其重要 的事实 ： 即要 说 明教室里 是学生 多还是座
位多 ， 不用 先点 一 下 学 生 数 ， 点 一 下 座 位 数 ， 后 根 据 两 数 再 然 比较 后 做 出 结 论 谁 多 谁 少 。可 以 让 学 生 全 部 找 座 位 座 下 ， 然
要证 明两个集 Ａ Ｂ等势 ， 、 按定义就是要证明存在一个 Ａ到
Ｂ的 一一 对 应 。 们 一 般 可 以用 下 面 的 方 法进 行 。１或 是 直 接 我 （ ）
后 观察 ， 如果学生都 座下 了 ， 有空 位子 ， 还 则说 明位子 比学生 多， 如果有学生找不 到座 位 ， 就是学 生 比位 子多 ， 那 如果 既没 有空位子也没有站着的学生 ， 则说明学生数与座位数相等 。 就是说 ， 对于存在一一对应 的两个有限集 ， 人们通 常都认 为其所含元 素是一样 多的。对这个 事实进 行 总结 ， 人们就 找 到 了怎样表示无穷 集所 含元素 的多少 ， 怎样来 比较两个 无 又 穷集所含的元 素谁 多谁少 ， 我们可 以这样做 ， 就是先利用 一一