初一数学.春季.直升班.教师版.第3讲 二次根式(二)1
初中二次根式知识点总结
初中二次根式知识点总结二次根式是初中数学的一个重要内容，它涉及到实数的非负数平方根、根式的性质、根式的乘除法、根式的加减法等内容。
以下是关于二次根式的重要知识点总结：1. 二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
其中，a是实数。
2. 非负数的平方根：对于任何非负数a，都有实数平方根，记作√a。
3. 根式的性质：√a² = a（a表示a的绝对值）。
√ab = √a × √b（当a≥0，b≥0时）。
√(a/b) = √a / √b（当a≥0，b>0时）。
4. 根式的乘除法：当两个根式相乘或相除时，可以直接对它们的被开方数进行乘除运算。
例如：√a × √b = √(a×b)，√a / √b = √(a/b)。
5. 根式的加减法：当两个根式相加或相减时，需要先将它们化为最简二次根式，然后再对被开方数进行加减运算。
例如：√a + √b 和√a - √b 不能直接合并，除非它们有相同的被开方数。
6. 最简二次根式：满足以下三个条件的二次根式被称为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式没有重复；被开方数中不含有分母；根号内没有剩余的被开方数。
7. 负数的平方根：负数没有实数平方根。
在实数范围内，只有非负数有实数平方根。
8. 无理数：无法表示为两个整数的比的数被称为无理数。
常见的无理数包括π和√2等。
9. 代数运算：在二次根式的运算中，经常需要使用代数的基本运算规则，如分配律、结合律等。
以上是关于二次根式的重要知识点总结。
在学习二次根式时，需要理解并掌握这些知识点，以便能够正确地进行二次根式的运算和化简。
二次根式(2)(20201109205243)
、学习目标 1、掌握二次根式的基本性质：Ja 2 3 = a2、能利用上述性质对二次根式进行化简 、学习重点、难点重点：二次根式的性质 苗=a难点：综合运用性质= a 进行化简和计算 三、学习过程（一）复习引入：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？3、在化简过程中运用了哪些数学思想？（三）自主学习自学课本第3页的内容，完成下面的题目:观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到: 当 a 0 时，-、a = ______a a > 0J a =a = « 0 a=0-a ac02、 化简下列各式： 2 计算：丫匸47 =_苇 D 2 = ______________Y （1）=_J （-20）2 = ________ 观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当 a ：：： 0时-a 二 ____3 计算： -°2二 ________ 当a = 0时八a - _______（四）合作交流1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质: 二次根式（2）（2）二次根式 '.x 25 有意义，则x （3）在实数范围内因式分解：X 2-6= x 2 - （ ）2=（ x+（二）提出问题I -- 1、式子'a a 表示什么意义？ ）（X-____） 2、如何用^ = a 来化简二次根式？ 1、计算:0.22 202 二(1)j0.3二_______ (2)J(-°.3) = ------------- (3)J(-5)= ------------------------ (4)「(2a)2二____ (a<0)3、请大家思考、讨论二次根式的性质(I a )2二a(a亠0)与•. a2二a有什么区别与联系。
(五)展示反馈1、化简下列各式(1)斗衣"0) (2) J x42、化简下列各式(1) ：. (a匚3)2(a 一3) (2) 七一3 2(x v-2 )(六)精讲点拨利用痔=a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“ a”的取值。
二次根式课件
式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式
左边，只要ab≥0即可.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 18
时，先把 18化成
2.利用
32 × 2的形式;
= ⋅ （a≥0，b≥0）和
2 =
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，
2.7 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作
， 0的算术平方根是0.
如
18 =
32 × 2 = 3 2.
拓展： = ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）.
例4
化简：
（1） 16 × 81； 2
42 3 .
在本章中，如果没有
特别说明，所有的字
母都表示正数.
解：（1） 16 × 81= 16 × 81 = 4 × 9 = 36；
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
1
3−
在实数范围内有意义.
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， （ + 1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
新知探究 知识点3：二次根式的性质
二次根式课件(超经典)
加减乘除法
二次根式的加减法、乘法和除法有什么规则？在本节课中，我们将深入探讨 这些运算规则，并通过实例演示如何运用它们。
解二次方程
二次根式在解二次方程中有着重要的应用。我们将学习如何使用完全平方公 式和求根公式来解二次方程，并通过实例进行深入分析。
应用实践
二次根式不仅仅在数学中有应用，还广泛应用于几何、物理和其他学科。在本节课中，我们将探索这些应用领 域。
二次根式课件(超经典)
欢迎进入超经典的二次根式课件！本课程将深入讲解什么是二次根式以及二 次根式的定义和性质，帮助你轻松掌握这一重要数学概念。
引言
什么是二次根式？本节将介绍二次根式的概念和基本性质，？这节课将详细讲解如何合并同类项、分解因数和有理化 分母，并教你如何求解二次根式。
总结
在本次课程中，我们将回顾重点难点，探讨二次根式与其他学科的联系，并 进行动手练习，巩固所学知识。
参考资料
为了帮助你更好地理解二次根式，我们提供了一些优质的参考资料，包括书籍、网站、视频教程等。
初中数学二次根式的知识点汇总
初中数学二次根式的知识点汇总二次根式是代数中的一个重要概念，它是一个含有平方根的表达式。
在初中数学中，学生将会学习有关二次根式的一些基本知识，以及如何进行运算和简化。
以下是一些关于初中数学二次根式的知识点的汇总。
一、二次根式的定义和表示方法1.二次根式是一个非负实数的平方根或一组二次根目标。
它可以表示为√a或±√a。
2.在二次根式中，a被称为根式的被开方数，表示所求的数；√a被称为二次根号，表示开方操作。
3.如果a是一个非负实数，那么二次根式√a表示的是非负的实数。
如果a是一个负实数，那么二次根式√a没有实数解。
4.二次根式的定义域是非负实数集合[0,∞)。
二、二次根式的比较大小1.二次根式的大小比较可以通过比较根式的被开方数来进行。
2.如果a和b是两个非负实数，且a>b，则有√a>√b。
3.如果a和b是两个非负实数，且a=b，则有√a=√b。
4.如果a和b是两个非负实数，且a<b，则有√a<√b。
三、二次根式的加减法运算1.只有具有相同的被开方数的二次根式才能进行加减法运算。
2.二次根式的加减法运算可以通过合并同类项的方式进行。
3.合并同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
四、二次根式的乘法运算1.二次根式的乘法运算可以通过乘法分配律进行。
2.二次根式的乘法运算可以通过提取同类项的方式进行。
3.提取同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
五、二次根式的除法运算1.二次根式的除法运算可以通过乘以倒数的方式进行。
2.二次根式的除法运算可以通过有理化的方式进行，即将分母有理化为无二次根式的形式。
六、二次根式的化简1.将一个二次根式化简为最简形式时，需要将其内部的二次根式去除。
2.二次根式化简的基本原则是尽量将被开方数的因式分解为平方数的积。
3.化简二次根式时，需要注意遵循二次根式的定义域，确保结果是有意义的。
七、二次根式的应用1.二次根式广泛应用于几何、物理和计算机科学等领域。
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式的基础知识点包括以下内容：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a（a≥0）的数，其中a被称为根式的被开方数。
2. 二次根式的化简：化简二次根式的方法为把根号内的被开方数分解成互素的因子，然后把每个因子的二次根式提取出来。
3. 二次根式的运算：二次根式之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
运算法则如下：
- 加减法：只有当二次根式内的被开方数完全相同时，才可以进行加减法运算。
- 乘法：将二次根式的因子分别相乘，然后化简。
- 除法：将二次根式的被除数与除数进行有理化，即将分母有理化为整数，然后进行除法运算。
4. 二次根式的合并：合并二次根式是把其中相同根号内的被开方数合并在一起。
- 合并加减法：只有相同根号内的被开方数相同，才能进行合并加减法运算。
- 合并乘法：将二次根式的因子合并后再进行乘法运算。
5. 二次根式的定义域：二次根式的定义域是指使得根式有意义的实数集合。
对于二次根式来说，被开方数必须为非负实数，即定义域是非负实数集合[0,+∞)。
6. 二次根式的性质：二次根式具有以下性质：
- 非负性：二次根式的值大于等于0。
- 单调性：二次根式的值随着被开方数的增大而增大。
- 零点：当被开方数为0时，二次根式的值为0。
- 消去：二次根式的分子分母同时乘以相同的数，二次根式的值不变。
以上是初中数学二次根式的基础知识点，掌握了这些知识，可以进行二次根式的化简、运算和合并等操作。
初中数学《二次根式》说课稿（通用6篇）
初中数学《二次根式》说课稿初中数学《二次根式》说课稿（通用6篇）作为一名教学工作者，往往需要进行说课稿编写工作，说课稿有助于提高教师理论素养和驾驭教材的能力。
那么说课稿应该怎么写才合适呢？以下是小编收集整理的初中数学《二次根式》说课稿，希望对大家有所帮助。
初中数学《二次根式》说课稿篇1一、说教材本节课选自人教版九年级数学上册第二十一章二次根式第一节的内容。
“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。
本章是在第13章实数(13.1平方根;13.2立方根;13.3实数)的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质、和运算。
本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也为以后将要学习的“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容打下重要基础。
二、说学情学生已经学习了平方根(算术平方根)等有关知识，有了一定的知识基础和认识能力。
本课时及后面的知识的学习，对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有了更高的要求，如果学生在此不能很好地理解和正确地认知，将对后续的学习产生很大的影响，所以要求学生积极探究与思考，及时加以训练巩固，克服学习困难，真正“学会”。
三、说教学目标根据大纲的要求和教材结构内容分析，结合九年级学生的实际水平，考虑到学生已有的认知结构心理特征，本节课可确定如下教学目标：1.知识与技能：掌握二次根式的概念，二次根式的取值范围和被开方数的取值范围2.过程与方法：根据条件处理问题的能力及分类讨论问题的能力3.情感态度价值观：严谨的科学精神四、说教学重点和难点教学重点：二次根式中被开方数的取值范围教学难点：二次根式的取值范围五、说教法教学活动的本质是一种合作，一种交流。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。
为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。
第3讲二次根式ppt课件全面版
值,然后代入代数式计算,根据题意,得 x-1=0,y+3=0,解得:x=1,y=-3,
所以 x+y=-2.
(2)∵ ������-2 ≥0,(n-2 017)2≥0, ������-2+(n-2 017)2=0,
∴ ������-2=0,(n-2 017)2=0,解得:m=2,n=2 017.
∴m-1+n0=2-1+2 0170=12+1=32.
x2
1 x2
5
的值.
解:(1)
(2)由x2-4x+1=0 x+ -4=0 x+ =4. ∴原式=
1.(04浙江)若数轴上表示数x的点在原点的
左边，则化简 3x x2 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
2.能使等式
x x2
x 成立的x的取值
x2
范围是（ B ）
(3)
2
2
2 1
(4) 3 18 1 50 4 1
2 1
5
2
(5)先化简，再求值：x2 x
1 1
x(1
1 x
)
，
其中 x 2 1
7.
x
的取值范围是(
A.x≥-12,且 x≠1 B.x≠1
C.x≥-12
D.x>-12,且 x≠1
答案:A
2.下列式子中,属于最简二次根式的是(
A. 9
B. 7
C. 20
答案:B
)
)
D.
1 3
考点梳理 自主测试
3.下列根式中,不能与 3合并的是( )
A.
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模块一：二次根式的大小比较
1
1.414≈
1.732
2.236≈． 2．平方法：若22a b >（0a >且0b >），则a b >． 3．带分母的二次根式比较大小：
（1）分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小． （2）分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小． 4．作差作商：作差和0比较大小，作商和1比较大小． 模块二：二次根式的配方
配方：2(0,0)x y x y -=>>
2(0,0)x y x y +=>>．
模块三：双重二次根式的化简 1．配方法：
（1
将x ±
表示成2形式，利用待定系数法得：a b x
ab y +=⎧⎨=⎩
，求得a 和b ，
则=； （2
将
，转化成（1）的类型即可； （3
类型：
1）的类型即
可．
2．平方法． 例题1比较大小：（1
________2；
（2
________ （3
；
（4
）2++
（5
（6
） （7
； （8
．
例题2（1
）比较大小：
2-
（2
）设a
1b =
，c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）． A ．a b c >>B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>
（3）已知1c >
，x =
y =
z =x ，y ，z 的大小．
例题3（1）（成外半期）若2
2
4250x y x y +--+=，
的值为________．
（2
）已知0(0,0)x y x y -=>>
的值为________．
例题4（1
）已知0x -，则x =________．
（2
）已知40y --=，则y =________．
（3
）已知4=0x y +-，则x =________，y =________． （4
）已知111
+242
a b +，则a =________，b =________．
例题5（1
）++x y z
________．
（2）（成外半期）若实数x ，y ，z
1
()2
x y z ++，则2x y z
-+的值为________．
（3
）如果52
c
a b +--．那么a b c ++的值是________
例题6（1）计算下列各式：
．
（2）计算下列各式：
（3
的结果是________．
例题7（1）计算下列各式：
-
（2
________．
例题8（1
）若x y +=
x y -xy ．
（2）设M ，x ，y
x y M ++的值是________．
例题9
．
演练1（1）比较大小：
（2
<<，则a，b，c的大小关系是（）．
A．a b c
>>B．a b c
<<C．b c a
>>D．c a b
<<
演练2已知非零实数a、b满足等式
542 b a
a b ab b a ++=+
演练3设a，b，c是实数，
若14
a b c
++=，则2bc=________．演练4计算：
演练5代数式：（1
________．
（2
4
+=________．。