高二数学双曲线
高二双曲线知识点大全
高二双曲线知识点大全一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一种平面曲线，它与一个对称轴相交于两个单独的点，被称为焦点。
双曲线的定义可表示为：离两个焦点的距离之差等于给定常数的点的轨迹。
1. 双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a表示实轴半轴的长度，b表示虚轴半轴的长度。
2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是曲线上离两个焦点距离之差恒定的点，而准线是曲线上离两个焦点距离之和恒定的直线。
3. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，中心对称于原点。
二、双曲线的图像特征1. 双曲线的离心率双曲线的离心率(e)定义为：e = c/a，其中c表示焦点到原点的距离，a表示实轴半轴的长度。
离心率决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线，即离两个焦点越远的点趋近于渐近线。
渐近线的方程为： y = ±(b/a)x。
其中b表示虚轴半轴的长度。
3. 双曲线的顶点和直径双曲线没有顶点，但有两条对称的虚轴。
通常，我们会称双曲线中心处的点为顶点。
直径是由两个对称的点与中心点所确定的线段。
三、双曲线的基本图像和方程变换1. 双曲线的基本图像（插入关于双曲线的示意图，可手绘或导入图片）2. 改变双曲线的形状和位置双曲线的形状和位置可以通过改变方程中的常数来实现。
例如，改变a和b的值可以调整双曲线的大小和比例，而改变c的值可以使双曲线在平面上移动。
3. 双曲线的旋转双曲线可以通过旋转来改变其方向。
通过适当调整方程中的x和y的系数，可以使双曲线绕着原点旋转一定角度。
四、双曲线的相关公式与应用1. 双曲线的离心率与焦距的关系根据焦距f和离心率e之间的关系可得：e² = 1 + (f/a)²。
2. 双曲线的弦长公式双曲线上两焦点之间的弦长可以通过以下公式计算：2a(e² - 1)。
3. 双曲线的面积计算双曲线的面积可以通过积分计算得出，公式为：S = ∫(y√(1 + (dy/dx)²))dx。
高二上数学双曲线知识点
高二上数学双曲线知识点双曲线是解析几何中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。
在高二上数学学习中，我们需要了解双曲线的一些基本知识点，包括双曲线的定义、方程、性质和常见图形等。
下面将对这些知识点进行详细介绍。
1. 双曲线的定义在平面直角坐标系中，以两个定点F1和F2为焦点、定长为2a的点的集合称为双曲线。
双曲线的形状并不固定，可以是打开的、封闭的或者无穷远的。
双曲线可以分为左右开口的双曲线和上下开口的双曲线两种类型。
2. 双曲线的方程双曲线的方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （左右开口）或者 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1（上下开口），其中a和b分别代表双曲线的参数，决定了双曲线的形状和大小。
3. 双曲线的性质双曲线有许多特殊的性质，包括焦点、顶点、直线渐近、离心率等。
焦点是双曲线上距离两个定点F1和F2距离之差为定值的点，顶点是双曲线上对称于坐标原点的点。
直线渐近是通过两个焦点和顶点的直线，双曲线靠近这些直线时，曲线的形状趋于无限接近于直线。
离心率是用来描述焦点与顶点之间距离比顶点与双曲线某一点之间的距离的比值，离心率是双曲线的一个重要参数，它的取值范围在1与无穷大之间。
4. 常见图形在数学中，我们经常遇到的一些图形可以用双曲线来进行描述，例如马鞍面、双曲抛物面等。
这些图形在应用数学和物理学中具有重要的地位，通过对双曲线的研究，我们能够更深入地理解和分析这些图形的特性和行为。
总结：双曲线是解析几何中的重要内容，通过学习双曲线的定义、方程、性质以及常见的图形，我们能够更好地理解这一概念在数学中的应用。
在高二上学期的数学学习中，当我们遇到与双曲线相关的问题时，可以借助所学的知识点进行分析和求解。
掌握双曲线的基本知识点，对于我们理解更高级的数学概念和解题方法都具有很大的帮助。
高二数学双曲线笔记
高二数学双曲线笔记
下面是关于高二数学双曲线的一些笔记：
一、双曲线的定义和特点：
1. 双曲线是平面上的一类曲线，其定义是两个焦点之间的距离差等于常数的点的轨迹。
2. 双曲线有两支，分别称为右支和左支。
3. 双曲线的直线称为渐近线，右支的渐近线与x轴夹角为正，左支的渐近线与x 轴夹角为负。
二、双曲线的标准方程：
1. 右支的标准方程：(x-h)²/a²- (y-k)²/b²= 1 ，其中(h, k)为中心点坐标，a为椭圆的横轴长度的一半，b为椭圆的纵轴长度的一半。
2. 左支的标准方程：(x-h)²/a²- (y-k)²/b²= -1。
三、双曲线的基本性质：
1. 焦点：双曲线的两个焦点的坐标为(h ±c, k)，其中c为双曲线的离心率，离心率e的计算公式为e = c/a。
2. 焦距：焦点与对应渐近线的距离称为焦距，焦距的计算公式为2a。
3. 长轴和短轴：右支的长轴长度为2a，短轴长度为2b；左支的长轴长度为-2a，短轴长度为2b。
4. 集中在中心点附近：双曲线的曲线在中心点附近最为集中。
四、双曲线的图形与方程的关系：
1. 由方程可以确定双曲线的中心点、长轴、短轴、焦点等参数。
2. 由图形可以确定双曲线的形状、方程的参数等。
以上是关于高二数学双曲线的一些基本笔记。
要理解和掌握更深入的知识，建议阅读相关教材、参考书籍，并进行大量的练习和实践。
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
高二数学双曲线知识点汇总
高二数学双曲线知识点汇总双曲线是高二数学中重要的一章，它是解析几何的重要内容之一。
在本文中，将对双曲线的定义、性质以及相关公式进行详细的总结与汇总，以帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。
1. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的曲线，其定义为平面上所有点到两个不相交定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线有两种类型：横向双曲线和纵向双曲线，具体形状与焦点之间的距离差有关。
2. 双曲线的标准方程横向双曲线的标准方程为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为焦点到原点的距离，b为垂直于主轴的距离。
纵向双曲线的标准方程为：y²/a² - x²/b²= 1，其中a和b的含义同上。
3. 双曲线的焦点、准线和直径横向双曲线的焦点为(±c,0)，准线为x = ±a，直径为两焦点间的距离，即2c。
纵向双曲线的焦点为(0, ±c)，准线为y = ±a，直径同样为2c。
4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的一个重要属性，表示焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意点的距离之比。
对于横向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/a，而对于纵向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/b。
5. 双曲线的对称性和渐近线横向双曲线关于y轴对称，纵向双曲线关于x轴对称。
双曲线还有两条渐近线，横向双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x，纵向双曲线的渐近线方程为y = ±a/b * x。
6. 双曲线的图像特点当双曲线的焦点位于原点时，曲线两支在原点相交；当焦点位于x轴上时，曲线两支分离，称为“非奇异双曲线”；当焦点位于y轴上时，曲线两支开口向下，称为“奇异双曲线”。
7. 双曲线的参数方程双曲线也可以通过参数方程来表示。
高二双曲线的基本知识点总结
高二双曲线的基本知识点总结双曲线是数学中的一种重要曲线，它在高中数学中也是一个重要的学习内容。
本文将对高二双曲线的基本知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、双曲线的定义和基本属性双曲线可以通过平面上一对直角坐标轴以及两个焦点和一个给定的常数e来定义。
它具有以下基本属性：1. 双曲线有两条分支，分别接近于两条渐近线，渐近线的斜率分别是正无穷和负无穷。
2. 与坐标轴的交点是曲线的特殊点，它们被称为顶点和焦点。
3. 双曲线在顶点处对称。
4. 双曲线的离心率e大于1。
二、双曲线的方程和图像特点1. 标准方程双曲线的标准方程为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。
当x轴为对称轴时，a为x轴上的顶点到焦点的距离。
当y轴为对称轴时，b为y轴上的顶点到焦点的距离。
2. 图像特点双曲线的图像呈现两个向外打开的分支，两个分支在顶点处相交，顶点是双曲线的对称中心。
双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴相交于双曲线的两个顶点，与x轴交点对应的坐标为(-a, 0)和(a, 0)，与y轴交点对应的坐标为(0, -b)和(0, b)。
三、双曲线的参数方程和焦点及直径方程1. 参数方程双曲线的参数方程为：x = asecθ，y = btanθ，其中θ是参数。
2. 焦点及直径方程双曲线的焦点坐标可通过以下公式计算：(±ae, 0)，其中e为离心率。
双曲线的一个焦点到曲线上任意一点的距离是常数c，满足c^2 = a^2 + b^2。
四、双曲线的性质和应用1. 双曲线的准线和离心率双曲线的准线是通过焦点的渐近线。
离心率e决定了双曲线的形状，当离心率接近于1时，双曲线的形状趋近于直线，离心率越大，双曲线的形状越扁平。
2. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
例如，双曲线可以描述电磁场的分布和力学系统中的轨迹，也可以用于描述经济增长模型中的边际效应。
高中数学高二知识点双曲线和圆
高中数学高二知识点双曲线和圆高中数学高二知识点：双曲线和圆在高中数学的学习过程中，双曲线和圆是高二学生需要重点掌握的两个重要知识点。
本文将从定义、性质以及相关公式等方面进行详细的介绍。
一、双曲线双曲线是二次函数图象的一种，其定义可以通过以下方程得到：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0)$。
其中，$a$和$b$分别表示双曲线的横坐标半轴和纵坐标半轴的长度。
通过调整$a$和$b$的值，可以得到不同形状和方向的双曲线。
双曲线的性质：1. 双曲线的中心点位于坐标原点$(0,0)$。
2. 双曲线关于$x$轴和$y$轴对称。
3. 双曲线有两条渐近线，即$x=a$和$x=-a$。
当$x$趋近于无穷大时，双曲线的图像将无限接近于这两条直线。
4. 双曲线分为两支，分别位于$x$轴的两侧。
两支之间的间距为$2a$。
双曲线的常见公式：1. 离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，用字母$e$表示。
其计算公式为：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。
2. 焦点坐标：双曲线的焦点分别位于$(\pm ae, 0)$。
3. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$。
4. 弦长公式：双曲线上一条弦的长度可以通过如下公式计算：$l=2a\sqrt{1+\left(\frac{d}{2a}\right)^2}$，其中$d$表示弦与中心点的距离。
二、圆圆是我们生活中常见的几何图形之一，其定义可以通过以下方程得到：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
其中，$(a,b)$表示圆心的坐标，$r$表示圆的半径。
圆的性质：1. 圆的中心点位于$(a,b)$。
2. 圆对称于其中心点。
3. 圆的半径相等，即任意点到圆心的距离都相等。
4. 圆的直径等于半径的两倍，即直径$d=2r$。
5. 圆的周长可以通过公式$C=2\pi r$计算，其中$\pi$为圆周率。
高二数学双曲线的几何性质1
5、渐近线方程：y
a
2 2
x2 b2
0
a ob
A1 F2
6、离心率： e=c/a
B2 X
练习:
1.双曲线 9y2－16x2 = 144 的半实 轴长是 4 , 半虚轴长 3 ,
焦点坐标是 (0, －5) 、(0, 5)
,
离心率为
5 4
,渐近线方程
是
y4x .
3
2.双曲线的一条渐近线方程为 y 1 x ,
且过点 P (3, 1 ),
2
则它的标准方程
是
x2
y2
2
1
82
.
3.求与双曲线x2 y2 1共渐近线且 16 9
过点A(2 3,3)的双曲线方程。
4、若双曲线的渐近线方程是
y 3 x ，求离心率。
5.
4
设双曲线
x2 a2
y2 b2
1(0
a
b)
的
半焦距为c，直线L过(a,0),(0,b)
叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞).
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质：
y2 a2
x2 b2
1
y
1、范围： y≥a或y≤-a
F2
A2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（0，-a）,A2（0，B1a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2
a2 b2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
X=－a X=a
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质
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x2 y 2 1(k 0) 的焦点坐标是________________ k 4
7、若椭圆
x2 y 2 x2 y 2 1 与双曲线 1 有相同的焦点，则实数 m=___________________ 4 m m 2
2 2
8、双曲线 3x y 3 的渐近线方程是______________
解得：a= 3 3 ，c=9
（2） f （1） =-3+a （6-a） +c， 又因为 f （1） >0 则 a 2 6a 3 c 0 而方程 a 2 6a 3 c 0
的 =24+4c
14. [解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝
2.设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数 a＞0)，2a＞2c＝2 2，∴a＞ 2 |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 (|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－|F1F2|2 2a2－4 由余弦定理有 cos∠F1PF2＝ ＝ ＝ －1 2|PF1||PF2| 2|PF1||PF2| |PF1||PF2| |PF1|＋|PF2| 2 ∵|PF1||PF2|≤( ) ＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值 a2. 2 2a2－4 2a2－4 1 2 2 2 此时 cos∠F1PF2 取得最小值 2 －1，由题意 2 －1＝－ ，解得 a2＝3， b a c 3 2 1 a a 3 x2 ∴P 点的轨迹方程为 ＋y2＝1. 3
P
12.（本小题满分 12 分）
PA 如图， 在四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 是矩形，
ABCD， PA AD 2 ， AB 1 , BM PD 于点 M 。
平 M
面
A
12/8/2017 刘萧 电话：13618049061 QQ：358177526
D
B
C
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①
12/8/2017 刘萧 电话：13618049061 QQ：358177526
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x2 y2 1 (2)设 l：y＝kx＋m(k≠0)，则由， 3 y kx m
将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 x1＋x2 －3km m ＝ ，y ＝kx0＋m＝ 2 1＋3k2 0 1＋3k2
12/8/2017 刘萧 电话：13618049061 QQ：358177526
14． （本小题 10 分）已知动点 P 与双曲线 x2－y2＝1 的两个焦点 F1，F2 的距离之和为定值，且 1 cos∠F1PF2 的最小值为－ . 3 （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）设 M(0，－1)，若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B，若要使 |MA|＝|MB|，试求 k 的取值范围．
12/8/2017 刘萧 电话：13618049061 QQ：358177526
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参考答案 1、B 2、10 3、 （—2，5） 4、—1 5、 y
2
x2 1 3
6、 (0, 4 k )
7、 1
8、 y 3x
9、 （—12，0） 10、 （1）
x2 y 2 x2 y 2 y 2 x2 1或 1 （2） 1 9 4 4 9 12 4
(1) 求证： AM PD ； (2) 求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值。 13.（本小题满分 12 分） 已知 f ( x) 3x 2 a(6 a) x c
(c 6)
（1）若关于 x 的不等式 f ( x) 0 的解集是（－1，3） ，求实数 a , c 的值。 （2）解关于 a 的不等式 f (1) 0 。
3、若方程
x2 y2 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是_______________ k 2 5k
2 2
4、若双曲线 8kx ky 8 的一个焦点是（0，3） ，则 k 的值是____________ 5、已知双曲线的焦点分别为（0，—2） ， （0，2） ，且经过点 P（—3，2） ，则该双曲线的标准方 程是__________________ 6、双曲线
9、双曲线
x2 y 2 1 ，离心率 e (1, 2) ，则 k 的取值范围是_______________ 4 k
10、求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点为 F 1 ( 13,0), F 2 ( 13,0), a b 5 （2）焦点在 y 轴上，焦距为 8，且经过点 M (2 2, 6) 11、已知一双曲线的离心率是 2，且经过点 M（—2，3） ，则它的标准方程是？
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方程与双曲线
1、如果双曲线经过点 P (6, 3) ，渐近线方程为 y
1 x ，则此双曲线方程为（ 3
）
A.
x2 y 2 1 18 3
x2 y 2 1 81 9
B.
x2 y2 1 9
x2 y2 1 36 9
C.
D.
2、已知双曲线是
x2 y 2 1 ，那么它的焦距是 ______________ 20 5
BM PD 且 AB BM=B PD 平面 ABM 又∵AM 平面 ABM, AM PD
13. （本题满分 12 分）
a (6 a ) 2 3 2 解： （1） 由题意知， -1 和 3 是方程-3 x +a(6-a)x+c=0 的根， 由韦达定理得： c 3 3
(*)
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB 中点 Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝ 即 Q(－
3km m ， ) ∵|MA|＝|MB|，∴M 在 AB 的中垂线上， 1＋3k2 1＋3k2 m ＋1 1＋3k2 1＋3k2 ∴klkAB＝k· ＝－1 ，解得 m＝ …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0， 3km 2 － 2 1＋3k 即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④ ，将③代入④得 1＋3k2 2 12[1＋3k2－( ) ]＞0，解得－1＜k＜1，由 k≠0，∴k 的取值范围是 k∈(－1，0)∪(0，1). 2
11、 x
2
y2 3x 2 y 2 1或 1 3 23 23
12. （本题满分 12 分） 解： （ 1 ）由 底面 ABCD 是矩形 ， PA 平面 ABCD 且 AB 平 面 ABCD ，则有 AB PA,AB AD,且 AD PA=A,所以 AB 平面 PAD,又∵PD 平面 PAD,所以 AB PD,又∵