一类特殊的有限群
原根存在定理群论
原根存在定理群论群论是数学的一个重要分支，其中原根存在定理是群论中的一个基本定理。
这个定理确定了有限群中一定存在一个原根。
本文将详细介绍原根存在定理群论的相关知识，包括有限群原根存在性、原根个数、计算原根、原根与子群、原根与同态、无限群原根存在性、原根与正规子群、原根与群的构造等方面。
1.有限群原根存在性原根存在定理是群论中的一个基本定理，它证明了在有限群中一定存在一个原根。
所谓原根，是指能够整除群中所有元素的非单位元素。
这个定理的重要性在于，它提供了一种构造有限群的方法，并且对于群的性质研究有着重要的意义。
2.原根个数在有限群中，原根的个数可能不止一个。
那么，原根的个数究竟有多少个呢？事实上，对于一个给定的有限群，其原根的个数是有上限的。
这个上限取决于群的阶数和群的性质。
此外，还可以通过计算得出原根的个数。
3.计算原根对于一些特殊的有限群，可以通过计算得出其原根。
常见的计算方法包括质因数分解法和循环群的性质等。
质因数分解法是将群的阶数分解成质数的乘积，然后通过遍历所有可能的质因数排列组合来寻找原根。
循环群的性质则是指定一个非单位元素作为原根，然后通过循环移位得到其他原根。
4.原根与子群原根的存在性和子群之间有一定的联系。
事实上，如果一个子群包含原根，那么这个子群的阶数一定是原根的阶数的约数。
因此，在研究有限群的结构时，需要考虑子群对原根存在性的影响。
5.原根与同态同态是群论中的一个重要概念，它将两个群之间的关系映射出来。
对于有限群而言，如果两个群之间存在同态映射，那么它们的原根也存在一定的关系。
具体来说，如果一个群的同态像中存在原根，那么这个群的原根也可以通过同态映射得到。
6.无限群原根存在性与有限群不同，无限群的原根可能不存在。
但是，在一些特殊的情况下，无限群也可能存在原根。
例如，阿贝尔群一定存在无穷多个原根。
此外，一些非阿贝尔的无限群也可能存在原根。
7.原根与正规子群正规子群是群论中的一个重要概念，它指的是在群的自同构变换下保持不变的子群。
有限生成abel群之间的群同态
有限生成abel群之间的群同态有限生成abel群之间的群同态是指在有限生成 Abel 群之间构造出一种特殊的群关系，即定义一个可以将一个群的元素映射到另一个群的关系，使得该映射满足群同态的性质。
假设有两个有限生成 Abel 群 G 和 H，若存在一个函数 f : G → H，使得对任意 a、b ∈ G 我们有 f (a*b) = f(a)*f(b) 。
则称函数 f 为从 G 到 H 的群同态。
所谓有限生成 Abel 群，是指由有限多个元素组成的群，它的元素的个数为 n 个，而且每个元素都可以通过有限次的乘法运算来表示出来，称为有限生成 Abel 群。
例如，二阶有限生成 Abel 群 Z2 由 {1, v } 组成，其中 1 表示单位元素，v 表示非单位元素，它们的乘积为 v2 = 1。
有限生成 Abel 群之间的群同态可以理解为一种特殊的函数，这个函数可以将一个群的元素映射到另一个群的元素上，并且能够满足群关系，即保证了两个有限生成Abel 群之间的群同态。
在有限生成 Abel 群 G 和 H 之间的群同态，可以看作是一种特殊的群关系，它能够实现两个群之间的元素的相互映射，并且能够满足群关系，使得在 G 中的任意元素 a、b 都能够被映射到 H 中的一个新元素，同时保证 a*b=c 在 G 中，则 f (a)*f (b)=f (c) 在 H 中也成立。
有限生成 Abel 群之间的群同态具有很多应用，它可以用于研究不同群之间的群同构关系，从而帮助我们更好地理解群的结构。
此外，有限生成 Abel 群之间的群同态也可以用于解决一些组合数学问题，如图论中的匹配问题，也可以用于计算机科学中的密码学问题，如计算可逆函数的密钥扩散。
总之，有限生成 Abel 群之间的群同态是一种重要的群关系，它可以用来描述不同群之间的同构关系，也可以用于解决一些组合数学和计算机科学中的问题，具有广泛的应用前景。
13代数系统-群11-30
4、元素的阶 定义11．7 设G是群，a ∈ G，使得等式: ak=e
成立的最小正整数是称为d的阶(a的周期）， 记作 ｜a｜ =k 这时也称a为k阶元 若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元
5、元素幂的性质 定理11．1 设G为群 则G中的幂运算满足：
(1)∀a∈G ，(a-1)-1 = a (2)∀a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1 (3)∀a∈G anam=an+m n,m∈Z (4)∀a∈G (an)m=anm n,m∈Z (5)若G为交换群，则 (ab)n=anbn
例：<Z,+>中由 <2>所生成的子 群
为<{2k| k ∈Z },+>
在<Z6,+6>中由 <2>所生成的子 群
因为 20=0,21=2,22=4,23=0
<2>=<{0,2,4},+6 >
◦e a ee a aa e bb c cc b
bc bc cb ea ae
在klein四元群中 <e> ={e} <a> = {a,e } <b> = {b,e } <c> = {c,e }
设G为群，H是G的非空子集．H是G 的子群当且仅当下面的条件成立： 1） ∀a,b∈H 有 ab ∈H （运算封闭)
2) ∀a∈H 有 a-1 ∈H (存在逆元)
充分性：只要证明e ∈H 即可
2、定理10．5(判定定理二) 设G为群，H是G的非空子集． 则H是G的子群当且仅当 ∀a,b∈H 有 ab-1 ∈H
与a的阶为2矛盾 所以 |ab|=6
§ 10．2 子群与群的陪集分解 例：求G=<Z4,+4>的所有子群
有限生成阿贝尔群
有限生成阿贝尔群有限生成阿贝尔群是数学中一个重要的概念，它在群论、数论和代数学等领域中具有广泛的应用。
一个群G是有限生成的，如果存在有限个元素$某_1,某_2,...,某_n$使得每个元素都可以写成这些元素的有限和的形式。
而当这个群G是阿贝尔群时，则称它为有限生成阿贝尔群。
另一个有限生成阿贝尔群的性质是它满足加性基本定理。
加性基本定理是说，任何有限生成阿贝尔群都可以表示成$p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_r^{a_r}$的形式，其中$p_1,p_2,...,p_r$是不同的质数，$a_1,a_2,...,a_r$是非负整数。
换句话说，任何有限生成阿贝尔群都可以由有限个循环阿贝尔群的直积表示出来。
这个性质在求解一些问题时非常有用。
例如，我们可以根据这个定理来计算阿贝尔群的七种类型，即循环群、Klein四元群、德墨因-琴伯群、柯西群、元素数量为$p^n$（$p$为质数）的德墨因-莫泽尔群、极小非循环$p$-群和德墨因-托泽群。
这些结论在数论、代数学和物理学等领域中都有重要的应用。
此外，有限生成阿贝尔群还有其他一些重要的结论。
例如，一个有限生成阿贝尔群的子群也是有限生成阿贝尔群；一个有限生成阿贝尔p-群一定是元素数量为$p^n$的德墨因-莫泽尔群的直积；有限生成阿贝尔群的阶数是这个群中最大循环子群的阶数的乘积，等等。
总之，有限生成阿贝尔群是数学中一个基础而且重要的概念，它具有广泛的应用。
通过研究它的性质，我们可以深入理解群论、数论和代数学等领域中的许多问题，也可以在实践中应用它们。
因此，对于数学学术研究及其应用都有很高的价值。
一类6p^(2)阶群的自同态与自同构数量
一类6p^(2)阶群的自同态与自同构数量
鲁子怡;高百俊
【期刊名称】《伊犁师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(18)1
【摘要】结合一次同余方程的相关知识,研究了一类三元生成的6p^(2)阶非交换群的元素性质及自同态和自同构,计算了其自同态和自同构数量,验证其自同态数量是满足T.Asai和T.Yoshida的猜想的.
【总页数】6页(P8-13)
【作者】鲁子怡;高百俊
【作者单位】伊犁师范大学数学与统计学院;伊犁师范大学应用数学研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O152.6
【相关文献】
1.一类特殊的p^4阶群的自同构群的构造
2.自同构群阶为8pq的一类有限群
3.具有4p^2q^2阶自同构群的一类有限群
4.自同构群的阶为2~6p^2的有限Abel 群G
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有限群在有限域上的表示和编码问题
有限群在有限域上的表示和编码问题有限群在有限域上的表示和编码问题是现代数学中一个重要的研究方向。
在这个问题中，我们探讨的是如何将一个有限群的元素表示为矩阵，并通过矩阵的乘法来描述群的运算规则。
首先，让我们回顾一下有限域。
有限域是指具有有限个元素的域。
在有限域上，我们可以定义加法和乘法运算，并满足域的基本性质。
有限域是有限群在数论和密码学中的重要应用领域。
有限群的表示是指将群的元素映射到矩阵上的一种方式。
这种表示可以方便地描述群的运算规则，并在实际应用中发挥重要作用。
例如，在密码学中，将群的元素表示为矩阵可以用于加密和解密算法的设计。
表示的选择通常是基于群的性质和所需的应用。
常见的表示方式包括单位表示、正规表示和忠实表示等。
单位表示是指将群的元素表示为单位矩阵，它保持了群的运算规则。
正规表示是指将群的元素表示为可约矩阵块的形式，每个块代表一个不可约子群。
忠实表示是指将群的元素表示为非零的可逆矩阵，它完全保留了群的运算规则。
表示的选择也与群的阶数和特征有关。
对于有限群和有限域来说，我们可以利用群的阶数和域的特征来确定最优的表示方式。
例如，当群的阶数是素数时，我们可以使用特殊的正规表示来简化计算。
编码问题是指利用表示来实现信息的编码和解码。
在有限域上，我们可以将信息表示为群的元素，并通过矩阵运算来进行编码和解码。
这种编码方式可以提高信息传输的可靠性和安全性。
总结来说，有限群在有限域上的表示和编码问题是一个重要的研究领域。
通过将群的元素表示为矩阵，我们可以方便地描述群的运算规则，并在实际应用中应用于密码学、通信等领域。
选择合适的表示方式需要考虑群的性质和应用需求，并利用群的阶数和域的特征进行优化。
编码问题则利用表示来进行信息的编码和解码，提高信息传输的可靠性和安全性。
循环群的例子
循环群的例子循环群是代数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用，如密码学、密码破解、编码理论等。
循环群是一种特殊的群结构，具有很多有趣的性质和特征。
下面我将列举一些循环群的例子，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 整数加法群（Z，+）：这是最简单的循环群，它由所有整数构成，运算为加法。
对于任意整数n，我们可以用加法运算得到n的倍数，即n，2n，3n，……，形成一个循环群。
2. 整数乘法群（Z*，x）：这是整数的乘法运算构成的循环群。
对于任意非零整数n，我们可以用乘法运算得到n的幂，即n，n^2，n^3，……，形成一个循环群。
3. 有限域的乘法群（F*，x）：有限域是一种特殊的代数结构，它由有限个元素构成，并定义了加法和乘法运算。
其中乘法运算构成一个循环群，这个循环群通常被用于密码学中的椭圆曲线加密算法。
4. 复数单位根群（U(n)）：复数单位根是指满足z^n=1的复数z，其中n是一个正整数。
所有满足这个条件的复数构成一个循环群，被称为复数单位根群。
这个循环群在信号处理和图像处理等领域有广泛的应用。
5. 矩阵乘法群（GL(n, R)）：GL(n, R)是n阶可逆矩阵构成的群，其中矩阵乘法是运算。
对于任意可逆矩阵A，我们可以用矩阵乘法得到A的幂，即A，A^2，A^3，……，形成一个循环群。
6. 带余除法群（Z/nZ，+）：带余除法群是由整数模n的剩余类构成的群，其中运算为模n的加法。
对于任意整数m，我们可以用加法运算得到m的倍数模n的剩余类，即[m]，[2m]，[3m]，……，形成一个循环群。
7. 旋转群（SO(2)）：旋转群是二维空间中所有旋转操作构成的群。
其中运算为矩阵乘法。
对于任意角度θ，我们可以用旋转矩阵得到所有绕原点旋转θ的操作，形成一个循环群。
8. 圆周群（S^1）：圆周群是单位圆上所有点构成的群，其中运算为复数乘法。
对于任意角度θ，我们可以用复数乘法得到所有绕原点旋转θ的点，形成一个循环群。
一类2 nm(m为奇数)阶有限群的构造
知， 有子 群 Ｆ ≤Ｇ， 足 Ｇ 满 ＝ＭＦ， ｎＦ一１ 故 Ｊ 一 Ｍ ． Ｆｌ
＝２ ， Ｆ为 Ｇ 的 Ｓ ｌｗ２子群． 即 ｙｏ 一
１ｙ Ｉ 』
由题设 知 Ｆ为循 环 群 ， Ｆ一（一 ｂ ：２． 令 ／ ｌ 由霍 尔特定理 知
Ｇ一 （ ， ＞ａ 口 ６ ， 一 １一 ｂ ， ａ 。 扩 ｂ— ａ ， 中 其 三 １ ｍｏ ｍ） （ ， （ ｄ ，ｒ ）一 １ ．
则 由此二群 中 阶循环子 群的 唯一性 ， 可得 口 一口 ， ， 一ｌ以及 一口 ． （ ）
因为 是 同构 ， ６必定 满足 和 ａ与 ｂ相 同 的关 系 ， （ ）１ ＇ 一 （ ｎ与 即 －ａｂ ｎ）． 于是 （ Ｆ ａ （ ） ， 口 ｂ ） 口 一口 由计 算得 ｒ ｒｍｏ ｍ） 故 ＜＞ ＜ ． ￣ （ ｄ ， ｒ≤ ｒ＞ 同理 ， ｒ与 ｒ 的对称 性知 ＜ ≤ ＜ ＞ 因此 ， ｒ ＝＜ ． 由 ｒ ＞ ｒ． ＜ ＞ ｒ＞
１ 引言
文 ［］ １ 解决 了具 有奇数 阶循 环子 群的 ４ 阶有 限 群之完 全 分类 ， ［ ］ 决 了具 有 奇 ｍ 文 ２解 数 阶循环 正规子 群且 其 补子 群 为循 环 群 的 ２ 阶有 限群 的构 造 问题 ． 文将 主要 依从 本
［］ ［］ １ 、２两文 的思想 方法 ， 运用数论 的有关 知识 和群的扩张理论 ， 此类 问题推广 到一般情 况 ， 将 即讨论具有奇 数 阶循 环正规子群并且其补子 群为循 环群的 ２ｍ 阶有 限群的构造问题． ＂ 引理 １ 设 Ｍ 是 ２ 阶群 Ｇ 的循 环 正规子 群 ， ｌ ｌ 且 —ｍ（ 为奇 数 ）若 Ｍ ｍ ， Ｇ的 Ｓ ｌｗ２ 子群循 环 ， ｙｏ 一 则
ｂ一６ ， 把 扩展到整 个 Ｇ 上． ：并 ， 易验证 ｎ和 ６满 足 ａ和 ｂ同样 的关系 ， 于是 ￣Ｇ ．
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的有限循环群是超 尸 ． 群，并给 出了一 个 ２ １阶的有限非 Ａｂｌ ｎ群是超 尸・ ｅｉ ａ 群． 关键词 ：序 列；Ｒ． 序列；导群；尸． 群；超 尸－ 群； 中图分类号： ５ ： Ｏｌ２１ 文献标识码： Ａ
１ 预 备知识
定义 １ ， 阶有限群 Ｇ， Ｇ 中元素可 以排成这样一个序ｙ ：ｏ ，１ ２． ａ ２ 若 ｌａ ＝１ ， ，…，ｎ ｜ 口ａ ．
定义 ５ 设整数 ｍ ＞０ ｍ，） ，ｓ ，（ ａ ＝１ 是使 ａ 三ｌ ｄ ） （ 成立的最小正整数， Ｓ ｍｏ ｍ 则 称为 ａ 对模数 ｍ 的次数； 若 Ｓ ｏｍ ， Ｓ ＝ｔ ） 则 称为 ｍ的一个原根． （
２ 主要结果
引理 １ Ｇ是有限 Ａ ｅａ 群， Ｇ 中无唯一的二阶元素， Ｇ 中所有元素的乘积等于单位元素 １ 若 Ｇ 中 ｂｌ ｎ 若 ｉ 则 ；
（） ｉ 类型的有限 Ａ ｅａ 群是序列的［ ｂｌｎ ｉ 文献 ２；ｉ） ｉ） ｉ） ］ ｉ 、（ｉ、（ 类型的有限 Ａ ｅａ 群（ （ ｉ Ｖ ｂｌｎ 除了 是序列的） ｉ 是
尺． 序列的［ 文献 ３ 】 ．
引理 ３ 若 ＝２４ｐ ，ｐ （ ，， ， ，Ｐ是奇素数） 则 ｍ有原根． ２ ０ ， 定理 ｌ 设 Ｇ是有限 Ａ ｅａ 群， ｂ ｌｎ ｉ 若Ｇ是序列群或是 尺－ 序列群， Ｇ是超 Ｐ－ 则 群．
有唯一 的二阶元素时， 设这个唯一的二阶元素为 ｈ ，由引理 １可知， 则 Ｇ’ ＝ｈ等于群 Ｇ 中，个元素的乘积 ？
ｑ口 … ｌ 若 ，Ｉ ２． ， ｌ Ｇ 中是序列的， ２ ＿’ ａ， ，… 一在 ａ ． 由定义 ４ －￣ Ｇ是超 Ｐ・ ，ｑ ｎ ＇ 群．
定理 ２ 引理 ２中（ ～（ ） ｉ ｉ 类型的有限 Ａ ｅａ 群都是超 Ｐ－ ｖ ｂｌｎ ｉ 群．
使得部分乘积序列 ＝ａ，ｌ ｏ１ ２ ｏ１ ，…， １ ｏ１ … １ ｏ ＝ａａ， ＝ａａ ２． 一 ＝ａａ ２ 一都不相 同， ｂ ｂ ａ ． 口 则称 阶有限群 Ｇ是
序列的．
定义 ２ ／ ７阶有限群 Ｇ，若 Ｇ 中元素可 以排成这样一个序列：ｏ ，１ ２． ， 使得部分乘 积序列 ａ ＝１ ， ，… ａ ａａ ．
・
证明 因（ ） （ ） ｉ ～ ｉ 类型的有限 Ａ ｅａ 群都是序列或是 尺． ｖ ｂｌｎ ｉ 序列的，ｄ定理 ｌ ｔ 易知定理 ２ 显然成立．
定理 ３ 所有的有限循环群是超 尸－ 群．
证明 设 Ｇ是偶数阶循环群，Ｇ＝ 。 ，Ｉ ２ａ， ． ＂ ， ） ＝１ ， ，３…．ａ－ ａ ’． ａａ ， ２
有唯一的二阶元素， Ｇ 中所有元素的乘积等于这个唯一的二阶元素… 则 ． 引理 ２ 若 Ｇ是以下类型之一的有限 Ａ ｅ ａ 群则Ｇ 是序列的或是 一 ｂｌｎ ｉ 序列的：
收稿 日期 ：２ ０ ．１２ ０ ６ １． １
作者简介 ：钟锐（ ８． 男， １ ３） ９ ， 成都理工大学数学系硕士研究生
ｂ ｏ＝ａ ， ｌ ｏ １ｂ ｏ ｂ ＝ａ ａ ， ２＝ａ ａａ ，． ， ｏ ￣２ ． …
一
２ ＝ ａｏ ａ２． ． ａ１ ． ａｎ
一
２
都不相同， 且有： 一＝ａａａ … ｎ１ ｏ 则称 １ 并 １ ｏ １ ａ一：ｂ ＝１ ２ ７ 阶
有限群 Ｇ是 ． 序列的．
定义 ３
阶有限群 Ｇ， Ｇ的导群 Ｇ。 若 的某一个陪集 ｇ （ Ｇ‘ ｇ∈Ｇ 中任意一个元素能够表成 Ｇ 中 个元素 ）
按一定次序乘积的形式， 则称 ，阶有限群 Ｇ是一个 Ｐ． ２ 群．
定义 ４ ， ２阶有限群Ｇ， 若Ｇ的导群Ｇ的某一个陪集ｇ 。 Ｇ＆ｇ≠ ） 任意一个元莉 皂 ’ Ｇ（ ｇ∈ １中 够表示ｒ ＆Ｇ
中ｎ 个元素按一定次序乘积的形式， 并且在每个乘积中 Ｇ的 ｎ 个元素相乘的次序构成 Ｇ的一个序列； ｇ＝１ 当 时， Ｇ’ 中任意一个元素能够表示成 Ｇ 中 ｎ 个元素按一定次序乘积的形式， 并且除构成单位元 １ 外的每个乘积中 Ｇ 的ｎ 个元素相乘的次序构成 Ｇ 的一个序列， 构成单位元 １ 的乘积中Ｇ 的 ｎ 个元素相乘的次序构成 Ｇ 的一个 Ｒ一 序列． 满足以上条件的 阶有限群 Ｇ称为超 Ｐ． 群．
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第 ３ 卷第 ２期 ３
西南民族大学学报 ・ 然科学版 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｏ ｔ ｗｅ ｔ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｔ ｎ ｌ ｉｓＮａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｕ ｈ ｓ ｖ ｒｉ ｆ ｒ Ｓ Ｕｎ ｙ Ｎａｉ ａ ｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｏ ｔ Ｓ ｉ
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２２ ７
西南民族 大学学报 ・ 自然科学版
第 ３ 卷 ３
（ ） ｙｏ ２子群是 循环群 的有 限 Ａｂｌｎ群； ｉ Ｓ ｌｗ－ ｅｉ ａ
（Ｓ ｌ ． 子群是循环群的奇数阶有限 Ａ ｅａ 群； ｉ） ｙ ｗ ３ ｏ ｂｌｎ ｉ
（ｉ ｉ） ｉ 有限 Ａ ｅａ 群 Ｇ＝ × （ １， 中Ｃ ＝ 口 １； ｂｌｎ ｉ 七 ）其 棚 ＝ ） （） ｉ 初等 Ａ ｅ ａ ｐ－ Ｖ ｂｌｎ 群； ｉ
证明 Ｇ是有限 Ａ ｅａ 群， ｂｌｎ ｉ 故Ｇ ：１当Ｇ 中无唯一的二阶元素时， ｔ Ｉ １ ． ｄ￣Ｎ 可知， ， Ｇ’ 等于群 Ｇ 中 ￣ １ ＝１ Ｏ
， 元 的 积 １． ＿ 若 ａａ ． ａｌ ？ 素 乘 ａ ２ ｌ ，， ， ｎ在Ｇ中 －列 ， 定 ， 知Ｇ 超Ｐ群当Ｇ守 个 ａ． ’ ． ｌ２． — …， 是尺序 的 由 义４可 是 －．
文章编 号 ：１０－８３２ ０ ）２０ ７－４ ０ ３２４ （０ ７０ －２ １０
一
类特 殊 的有 限群
钟 锐，文建伟，齐丽丽
（ 成都理工 大学数学 系，四川成都 ６ ０ ５ ） １０ ９
摘
要 ：研 究 了有限群部分元素乘积的 问题，讨论 了在 有限群 中存在 的一类特殊群一 超 尸－ 群，证明 了所有