高一数学教案：4_10正切函数的图象和性质(1)

课 题：410正切函数的图象和性质（1）
教学目的：
1．理解并掌握作正切函数和余切函数图象的方法．
2．理解并掌握用正切函数和余切函数的图象解最简三角不等式的方法．
教学重点：勇单位圆中的正切线作正切函数的图象．
教学难点：作余切函数的图象．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
正切线：
首先练习正切线，画出下列各角的正切线：
正切线是AT ．
现在我们来作正切函数和余切函数的图象．
二、讲解新课：
正切函数x y tan =的图象：
1．首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2π
π
2．为了研究方便，再考虑一下它的周期：
()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T （最小正周期） 3．因此我们可选择⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ
2的图象，称“正切曲线”
正切函数的性质：
1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R
3．观察：当x 从小于()z k k ∈+
2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于
()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan
4．周期性：π=T
5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增余切函数y=cotx 的图象及其性质（要求学生了解）：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y ——即将x y tan =的图象，向左平移2π个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象
定义域：
z k k x R x ∈≠∈,π且
值域：R ， 当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期：π=T
奇偶性：奇函数
单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减
三、讲解范例：
例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭
⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-， 又：⎪⎭
⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4tan 即 例2讨论函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=4tan πx y 的性质 略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-4,43ππππk k 上是增函数 图象：可看作是x y tan =的图象向左平移
4
π单位 例3求函数y ＝tan2x 的定义域解：由2x ≠k π＋2
π，(k ∈Z ) 得x ≠2πk ＋4
π，(k ∈Z ) ∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠2πk ＋4
π，k ∈Z ｝ 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0
解：画出y ＝tan x 在(－
2π，2π)上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：0＜x ＜2
π 结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋2π上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋2
π)(k ∈Z ) 例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
四、课堂练习： 1函数y ＝tan （ax ＋6π
）（a ≠0）的最小正周期为( )
a
a a a ππππ D. ||C. ||2B. 2A. 2以下函数中，不是．．
奇函数的是( ) A y ＝sin x ＋tan x Ｂ．y ＝x tan x －1 Ｃ．y ＝x x x cos 1tan sin +- Ｄ．y ＝lg x
x tan 1tan +- 3下列命题中正确的是( )
A ．y ＝cos x 在第二象限是减函数 Ｂ．y ＝tan x 在定义域内是增函数
Ｃ．y ＝｜cos （2x ＋3π）｜的周期是2π
Ｄ．y ＝sin ｜x ｜是周期为2π的偶函数 4函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为
5函数y ＝cot x －tan x 的周期为
6函数y ＝x
x 22tan 1tan 1+-的周期为
7作出函数y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间 8试证cot x ＝－tan （2π
＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象 9作出函数y ＝x
x 2tan 1tan 2-的图象，并观察函数的周期 参考答案：
1C 2B 3C 412
2,122+-］ 5 2
π 6π 7函数y ＝｜tan x ｜的图象如下图：
函数y ＝｜tan x ｜的周期为π
单调递增区间为［k π，
2π＋k π］，k ∈Z 单调递减区间为(－
2
π＋k π，k π］，k ∈Z 8(略)
9函数y ＝x
x 2tan 1tan 2-的图象如下图： 周期为π
五、小结 本节课我们研究了正切函数和余
切函数
的图象和性质，并能在解题中应用
六、课后作业： 1正切函数在其定义域上有最值吗? 答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于k π＋
2
π (k ∈Z )． 2在下列函数中，同时满足的是( ) ①在(0，2
π)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 A y ＝tan x B y ＝cos x C y ＝tan 2
1x D y ＝－tan x 答案：C 3函数y ＝tan(2x ＋4
π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开，与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0，1)，周期是2π，定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠
∈k k x x x ππ且，值域的集合是R ，它是非奇非偶函数
4函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是( ) A (2k ＋1)π≤x ≤(2k ＋1)π＋2
π
，k ∈Z B (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2
π，k ∈Z C (2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2
π，k ∈Z D (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π或x ＝k π，k ∈Z
解：由⎩⎨⎧≥≤0
tan 0sin x x ，得(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π 答案：C 5已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，求它的最小值
解：y ＝(tan x －1)2＋2
当tan x ＝1时，y min ＝2
七、板书设计（略）
八、课后记：
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