第3课时 三角函数的图象
《3.3三角函数的图象与性质》 学案
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课程小结 1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同： π (1)y＝sinωx－4； π (2)y＝sin4－ωx. 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个 x 值都满足 f(x＋T)＝f(x)，其中 T 是不为零的常 数．如果只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x＋T)＝f(x)，都不能说 T 是函数 f(x)的周 期．
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x π A．y＝sin2＋6 π C．y＝sin2x＋6
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【巩固】 4．函数 y＝ 1 的定义域为________． tan x－ 3
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π π 5．已知函数 f(x)＝cosωx＋6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为2，则函数在[0,2π]上的 零点个数为________．
k∈Z}
R
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考点 2
正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性及最值 函数 y＝sin x 递增区间： π π 2kπ－2，2kπ＋2(k∈Z) 单调性 递减区间： π 3 2kπ＋2，2kπ＋2π(k∈ Z) π x＝2kπ＋2(k∈Z)时，ymax 最 值 π ＝1 x＝2kπ－2(k∈Z)时， ymin＝－1 y＝cos x y＝tan x
π π π π 【解析】(1)由 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋2(k∈Z)，即 3×12＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，得 φ＝kπ＋4(k∈Z)． π π 又|φ|＜2，所以 k＝0，故 φ＝4. π (2)由题意，得 y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故 φ＝kπ＋2，(k∈Z)．
3-3第三章 三角函数、解三角形
解析
1 3 1 3 2 (1)f(x)＝1－2sin x＋2sinx＝－2 sinx－2 所以当 sin x ＝ 时， f ( x ) f(x)min ＋ ， max＝ ， 2 2 2 当 sinx＝－1 时，
2
＝－3，故选 C. (2)要使函数 y＝lg (2sinx－1)＋ 1－2cosx有意义，
π π 2．函数 f(x)＝sin 2x－4在区间0，2 上的最小值为(
)
A．－1 2 C. 2
2 B．－ 2 D．0
π π π 3π 解析 由 0≤x≤2得－4≤2x－4≤ 4 ，结合 y＝sinx 的图象易得 B.
π x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z x π 3 ． 3．[教材改编]函数 y＝－tanx＋ ＋2 的定义域为______________________
)
π π π π kπ π kπ 5π 解析 由 kπ－2<2x－3<kπ＋2(k∈Z)得，2 －12<x< 2 ＋12(k∈Z)， 所以函数 f(x)＝tan2x－3 的单调递增
kπ π kπ 5π 区间为 2 －12， 2 ＋12 (k∈Z)，故选 B.
) B．2 D．5
π π π π π π ＋2 解析 ∵f(x)在 6，2 ＝0， 上单调递减，且 f ＋f ＝0，∴f6 6 2 2 π ∵f(x)＝sinωx＋ 3cosωx＝2sinωx＋3 ， π＋π π π π ∴f6 2＝f3＝2sin3ω＋3 ＝0， 2 π π 1 2π π π ∴3ω＋3＝kπ(k∈Z)，又2· ω ≥2－6，ω>0， ∴ω＝2.
三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质2.(1)y ＝sin x 在]2,0[π上是增函数．(√)(2)y ＝sin x 在第一、四象限是增函数．(×) (3)所有的周期函数都有最小正周期．(×) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )的最大值为k ＋1.(×) (6)y ＝sin|x |为偶函数．(√)(7)y ＝|sin x |和y ＝sin|x |的周期都是π.(×) (8)y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)(k∈Z )．(×) (9)若sin x ＞22，则x ＞π4.(×)(10)y ＝sin x 与y ＝cos x 同时为增的区间是)2,22(πππk k -，k ∈Z .(√)考点一 有关三角函数的定义域、值域问题[例1] (1)函数y ＝lg sin x ＋1－2cos x 的定义域是________． 解析：由题意，得⎩⎨⎧sin x ＞0，1－2cos x ≥0，∴sin x ＞0且cos x ≤12，作单位圆中三角函数线(图略)，得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为},232|{Z k k x k x ∈+<≤+ππππ.答案：},232|{Z k k x k x ∈+<≤+ππππ(2)函数y ＝2sin )36(ππ-x (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 解析：利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin )36(ππ-x ∈]1,23[-.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：A(3)当x ∈]67,6[ππ时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：∵x ∈]67,6[ππ，∴sin x ∈]1,21[-.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝22)41(sin -x ＋78.∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2. 答案：78 2[方法引航] 1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)常见的有以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．1．若将本例(1)变为y ＝1－2cos x ，其定义域为________．解析：1－2cos x ≥0，∴cos x ≤12.如图，当x ∈(0,2π)时，cos π3＝cos 53π＝12，∴cos x ≤12，x ∈)35,3(ππ∴x ∈R 时，cos x ≤12的解集为},23523|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ答案：},23523|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ2．若在本例(2)中，x 的范围变为“－1≤x ≤9”，其它不变，如何选答案． 解析：－1≤x ≤9时，－π2≤π6x －π3≤76π. －1≤sin )36(ππ-x ≤1，y ∈[－2,2]，y max ＋y min ＝0. 答案：B3．若将本例(3)中的函数换为“y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]”，如何求解？ 解：令t ＝sin x －cos x ，又x ∈[0，π]，∴t ＝2sin )4(π-x ，t ∈[－1，2]．由t ＝sin x －cos x ，得t 2＝1－2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22.∴原函数变为y ＝t ＋1－t22，t ∈[－1，2]．即y ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.∴当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－12(－2)2＋1＝－1.考点二 三角函数的单调性和周期性[例2] (1)(2016·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.32π D ．2π解析：法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin )32(π+x .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin )6(π+x ×2cos )6(π+x ＝2sin )32(π+x .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B. 答案：B(2)(2016·湖北武汉模拟)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ))2||,0,0(πϕϖ<>>A 与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中不是函数f (x )的单调递增区间的是( ) A.]0,3[π-B.]65,34[ππ--C.]67,32[ππD.]3,65[ππ-- 解析：由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f )6(π＝3或f )6(π＝－3， ∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin )62(π+x ，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 故当k ＝－1时，f (x )的增区间为]65,34[ππ--，当k ＝0时，f (x )的增区间为]6,3[ππ-，当k ＝1时，f (x )的增区间为]67,32[ππ，故选D. 答案：D(3)已知ω＞0，函数f (x )＝sin )4(πϖ+x 在),2(ππ上单调递减，则ω的取值范围是( )A.]45,21[B.]43,21[C. ]21,0( D ．(0,2] 解析：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知)4,42(ππϖπϖπ++⊆]23,2[ππ，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.答案：A[方法引航] 形如y ＝A sin (ωx ＋φ)的函数的单调区间的求法 (1)代换法,①若A ＞0，ω＞0，把ωx ＋φ看作是一个整体，由2π-＋2k π≤ωx ＋φ≤2π＋2k π(k∈Z )求得函数的增区间，由2π＋2k π≤ωx ＋φ≤23π＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间.,②若A ＞0，ω＜0，则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解.(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.,对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.1．已知函数f (x )＝2sin )42(πϖ-x (ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________． 解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π，∴f (x )＝2sin )4(ππ-x ，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为]43,41[-.答案：]43,41[-2．若将本例(3)改为f (x )＝sin ωx 在),2(ππ上为增函数(ω＞0)，如何求ω的范围？解：当π2＜x ＜π时，ωπ2＜ωx ＜ωπ (ω＞0) ∴),2(ϖπϖπ⊆]2,0[π∴ωπ≤π2，∴ω≤12，∴ω∈]21,0(. 考点三 三角函数的奇偶性、对称性[例3] (1)A ．y ＝cos )22(π+x B ．y ＝sin )22(π+x C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：对于A ，y ＝cos )22(π+x ＝－sin 2x ，T ＝π为奇函数，故选A.答案：A(2)(2016·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2)12(π+x ＝2sin )62(π+x 的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B. 答案：B(3)(2017·吉林长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2|(|πϕ<向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为________．解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2|(|πϕ<向左平移π6个单位后得到函数为f )6(π+x ＝sin ])6(2[ϕπ++x ＝sin )32(ϕπ++x ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin )32(π-x .当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin )32(π-x 有最小值为sin )3(π-＝－32.答案：－32(4)(2017·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是)0,8(π，则f (x )的最小正周期是________．解析：由题设，得f )4(ϖπ＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，∴a ＝b . 又)8(πf '＝0，∴aω)8sin 8(cos ϖπϖπ-＝0，∴tan ω8π＝1，∴ω8π＝k π＋π4，∴ω＝8k ＋2，(k ∈Z ) 而0＜ω＜5,0＜8k ＋2＜5，∴k ＝0，ω＝2，∴f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin )42(π+x ，∴T ＝2π2＝π.答案：π[方法引航] 函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)的奇偶性和对称性(1)若f (x )＝A sin (ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin (ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测f (x 0)的值进行判断.(3)求形如y ＝A sin (ωx ＋φ)或y ＝A cos (ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象的对称轴或对称中心进行求解.1．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b 为常数，a ≠0)在x ＝π4处取得最小值，则函数g (x )＝f )43(x -π是( ) A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D. 奇函数且它的图象关于点(π，0)对称解析：选D.因为f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)在x ＝π4处取得最小值，所以π4－φ＝2k π－π2，k ∈Z ，故φ＝3π4－2k π，k ∈Z ，得f (x )＝a 2＋b 2sin )43(π-x ，g (x )＝f )43(x -π＝－a 2＋b 2sin x ，所以g (x )为奇函数，且其图象关于点(π，0)对称．2．已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3解析：选D.由已知得f (x )＝2cos )]3(3[πϕ++x 为偶函数，由诱导公式可知φ＋π3＝k π.(k ∈Z )当k ＝0时，φ＝－π3.(也可由f (－x )＝f (x )恒成立求．)[易错警示]求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的A ，ω的符号处理借助于y ＝sin x 的单调区间求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先保证ω＞0，然后再看A 的正负，结合整体“ωx ＋φ”，求x 的范围．[典例] 已知函数y ＝sin )23(x -π，则函数在[－π，0]上的单调递减区间为________．[解析] y ＝sin )23(x -π＝－sin )32(π-x ，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以y ＝sin )23(x -π在[－π，0]上的减区间为]0,12[π-.[答案] ]0,12[π-[警示] 当ω＞0，A ＜0时，y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间是利用2k π＋π2≤ωx ＋φ≤32π＋2k π，(k ∈Z )求得x ，减区间是利用2k π－π2≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，(k ∈Z )求得x .[高考真题体验]1．(2016·高考全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在)365,18(ππ上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B.先根据函数的零点及图象对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f (x )在)365,18(ππ上单调，则)365,18(ππ的区间长度不大于函数f (x )周期的12，然后结合|φ|≤π2计算ω的最大值．因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在)365,18(ππ上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin )411(π-x ，f (x )在)443,18(ππ上单调递增，在)365,443(ππ上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin )49(π+x ，满足f (x )在)365,18(ππ上单调的条件．故选B.2．(2016·高考浙江卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关解析：选B.由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos )62(π+x ，④y ＝tan )42(π-x 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解析：选C.①中，y ＝cos|2x |＝cos 2x ，周期T ＝π，①符合； ②中，y ＝|cos x |＝1＋cos 2x2，周期T ＝π，②符合； ③中，周期T ＝π，③符合；④中，周期T ＝π2，④不符合． ∴符合条件的函数为①②③.4．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A.由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0＜φ＜π，所以φ＝π4. 5．(2016·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin )42(πϖ+x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin )42(π+x函数y ＝sin x 的单调递增区间为]22,22[ππππ+-k k (k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为]8,83[ππππ+-k k k ∈Z . 6．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间]2,0[π上的最大值和最小值．解：f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin )42(π+x ＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin )42(π+x ＋1.当x ∈]2,0[π时，2x ＋π4∈]45,4[ππ，由正弦函数y ＝sin x 在]45,4[ππ上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在]2,0[π上的最大值为2＋1，最小值为0.课时规范训练 A 组 基础演练1. 函数f (x )＝cos )42(π+x 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π解析：选B.由周期公式T ＝2π2＝π.2．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin )22(π-xB ．y ＝cos )22(π-xC ．y ＝sin )2(π+xD ．y ＝cos )2(π+x解析：选A.y ＝sin )22(π-x ＝－cos 2x 为偶函数，且周期为π.3．与函数y ＝tan )42(π+x 的图象不相交的直线是( )A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8 解析：选C.2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π8.4．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点)0,2(π-对称解析：选D.由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点)0,2(ππ+k ，k ∈Z ，D 对．5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f )4(π+x ＝f (－x )成立，且f )8(π＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：选C.由f )4(π+x ＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.6．函数f (x )＝sin )42(π-x 在]2,0[π上的单调递增区间是________．解析：由2k π－π2≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤38π＋2k π，k ∈Z ，在]2,0[π上的单调增区间为]83,0[π. 答案：]83,0[π 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：由题得cos π3＝sin )32(ϕπ+，即sin )32(ϕπ+＝12.∵0≤φ＜π，∴23π≤2π3＋φ＜5π3，∴2π3＋φ＝5π6，则φ＝π6. 答案：π68．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈)2,2(ππ-)的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点)0,4(π对称；②图象关于点)0,3(π对称；③在]6,0[π上是增函数；④在]0,6[π-上是增函数中，所有正确结论的序号为________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈)2,2(ππ-，∴φ＝π3，∴y ＝sin )32(π+x ，由图象及性质可知②④正确． 答案：②④9．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin )432(π-x ，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为]85,8[ππππk k ++，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f )45(π的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)f )45(π＝2cos 5π4)45cos 45(sin ππ+＝－2cos π4)4cos 4sin (ππ--＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin )42(π+x ＋1，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为]8,83[ππππ+-k k ，k ∈Z . B 组 能力突破1．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0且|φ|＜π2)，在区间]32,6[ππ上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32 D.6＋24 解析：选A.由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π＝2πω， ∴ω＝2.将点)1,6(π代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin )3(ϕπ+＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，故y ＝sin )62(π+x .令x ＝0，则y ＝12.2．若函数y ＝f (x )＋cos x 在]434[ππ，-上单调递减，则f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．－sin xD ．sin x 解析：选C.－sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ＝2cos )4(π+x ，∵－π4≤x ≤3π4，∴0≤x ＋π4≤π，∴函数y ＝－sin x ＋cos x 在]434[ππ，-上为减函数．3．函数f (x )＝tan )32(π-x 的单调递增区间是( )A.]1252,122[ππππ+-k k (k ∈Z ) B.)1252,122(ππππ+-k k (k ∈Z )C.)32,6(ππππ++k k (k ∈Z ) D.]125,12[ππππ+-k k (k ∈Z ) 解析：选 B.由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan )32(π-x 的单调递增区间为)1252,122(ππππ+-k k (k ∈Z )．4．设函数f (x )＝3sin )42(ππ+x ，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 解析：f (x )＝3sin )42(ππ+x 的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2. 答案：25．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin )62(π+x ＋2a ＋b ，当x ∈]2,0[π时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f )2(π+x 且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈]2,0[π，∴2x ＋π6∈]67,6[ππ.∴sin )62(π+x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin )62(π+x ∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin )62(π+x －1，g (x )＝f )2(π+x ＝－4sin )672(π+x －1＝4sin )62(π+x －1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin )62(π+x －1＞1，∴sin )62(π+x ＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，∴g (x )的增区间：2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，即k π＜x ≤k π＋π6， g (x )的减区间为2k π＋π2≤2x ＋π6＜2k π＋56π，即k π＋π6≤x ＜k π＋π3，故g (x )增区间为]6,(πππ+k k ，减区间为)3,6[ππππ++k k k ∈Z .。
《第3讲 三角函数的图像与性质》
【反思归纳】 (1)三角函数定义域的求法 ①应用正切函数 y＝tan x 的定义域求函数 y＝Atan(ωx＋φ)的定义 域． ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数的图象求解． ②利用三角函数线求解．
【即时训练】 (1)函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定义域为 ________．
2020届高考第一轮复习理科数学
第三章 三角函数、解三角形
第3讲 三角函数的图像与性质
（第三课时）
三角函数的周期性、奇偶性、对称性(多维探究)
角度一 三角函数的周期性
例 3. (1)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( B )
(A)y＝sin2x－π3
故 y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－ 2≤t≤ 2)，从而知： f(－1)≤y≤f( 2)，即－1≤y≤ 2＋12. 即函数的值域为[－1， 2＋12]．
(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x
＝
π 3cos
x－2sin
π 3sin
x＋2cos
x
＝3cos x－ 3sin x
＝2
【答案】 (1)[－32，3] (2) 1 (3)[－12－ 2，1]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则 () A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4 2.求下列函数的值域： (1)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x；(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x. (《金榜题名》第 54 页 典例 2 【即时训练】)
苏教版高中数学必修第一册7.3.2 第3课时 正切函数的图象与性质【授课课件】
值域 周期 奇偶性 单调性
对称性
R π 奇函数 在开区间kkππ－－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数 无对称轴，对称中心为k2π，0(k∈Z)
1
2
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4
第3课时 正切函数的图象与性质 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
正切函数在定义域内是单调函数吗？ [提示] 不是．
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第3课时 正切函数的图象与性质 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在定义域上是增函数．
()
(2)正切函数的对称轴方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z．
()
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．
2．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝lg tan x”，结果又如 何？
[解] 因为函数 y＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以函数 y＝lg tan x 的增区间就是函数 y＝tan x(tan x>0)的增区 间，即kπ，π2＋kπ，k∈Z．
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第3课时 正切函数的图象与性质 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
握正切函数的性质．(重点)
培养直观想象素养．
2．能利用正切函数的图象及性质 2．通过正切函数的性质的应用，提 解决有关问题．(难点、易错点) 升逻辑推理素养．
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第3课时 正切函数的图象与性质 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2015年高考数学一轮复习课时训练第3节 三角函数的图象与性质
第3节三角函数的图象与性质课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013福州模拟)已知函数f(x)=3cos(2x-)在[0,]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于( C )(A)0 (B)3+(C)3-(D)解析:∵x∈[0,],∴(2x-)∈[-,],∴cos(2x-)∈[-,1],∴f(x)∈[-,3],∴M+N=3-.故选C.2.y=sin(x-)的图象的一个对称中心是( B )(A)(-π,0) (B)(-,0)(C)(,0) (D)(,0)解析:令x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,于是(-,0)是y=sin(x-)的图象的一个对称中心.故选B.3.使函数f(x)=sin(2x+ϕ)为R上的奇函数的ϕ值可以是( C )(A)(B)(C)π (D)解析:要使函数f(x)=sin(2x+ϕ)为R上的奇函数,需ϕ=kπ,k∈Z.故选C.4.(2013揭阳二模)设函数f(x)=cos(2π-x)+cos(-x),则函数的最小正周期为( C )(A)(B)π (C)2π(D)4π解析:函数f(x)=cos x+sin x=2sin(x+),故其最小正周期为2π,故选C.5.(2013洛阳市模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f()=0,则ω的最小值是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设函数的周期为T,则T的最大值为4×(-)=π,≤π,ω≥2.故选B.6.(2013佛山质检(二))函数f(x)=sin(πx+),x∈[-1,1],则( A )(A)f(x)为偶函数,且在[0,1]上单调递减(B)f(x)为偶函数,且在[0,1]上单调递增(C)f(x)为奇函数,且在[-1,0]上单调递增(D)f(x)为奇函数,且在[-1,0]上单调递减解析:∵f(x)=sin(πx+)=cos πx,∴f(x)是[-1,1]上的偶函数,又由f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,可得应选A.二、填空题7.(2013年高考江苏卷)函数y=3sin(2x+)的最小正周期为.解析:T==π.答案:π8.函数f(x)=sin x+cos x的值域是.解析:∵f(x)=sin x+cos x=2sin,又x∈,∴x+∈,∴2sin∈[-1,2].答案:[-1,2]9.函数y=2sin(3x+ϕ)的一条对称轴为x=,则ϕ= . 解析:∵函数y=sin x的对称轴为x=+kπ(k∈Z),又函数的一条对称轴为x=,∴3×+ϕ=+kπ(k∈Z),∴ϕ=+kπ(k∈Z),又|ϕ|<,∴k=0,故φ=.答案:10.函数y=cos(-2x)的单调减区间为.解析:y=cos(-2x)=cos(2x-),由2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z)答案:[kπ+,kπ+](k∈Z)三、解答题11.(2013汕头质检(二))已知向量a=(,),b=(cos x,sin x).若函数f(x)=a·b,求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间. 解:∵f(x)=a·b=cos x+sin x=sin(x+),∴f(x)的最小正周期T==2π.令-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z.12.(2013年高考天津卷)已知函数f(x)=-sin(2x+)+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=-sin 2x-cos 2x+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos2x=2sin(2x-).所以f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)f(x)=2sin(2x-),2x-∈[-,],则sin(2x-)∈[-,1].所以f(x)在[0,]上最大值为2,最小值为-2.13.已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时, -5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)∵x∈[0,],∴2x+∈[,].∴sin(2x+)∈[-,1],∴-2asin(2x+)∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得f(x)=-4sin(2x+)-1,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,由+2kπ≤2x+≤+2kπ得+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z),单调递减区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).B组14.(2013广州市毕业班综合测试(二))若函数y=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是(,0),则ω的最小值为( B )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:依题意得cos(ω·+)=0,(ω+1)=kπ+,ω=6k+2(其中k∈Z).又ω是正整数,因此ω的最小值是2,故选B.15.(2013广州市高三调研)已知函数f(x)=(1-cos 2x)·cos2 x,x∈R,则f(x)是( C )(A)最小正周期为的奇函数(B)最小正周期为π的奇函数(C)最小正周期为的偶函数(D)最小正周期为π的偶函数解析:因为f(x)=(1-cos 2x)·cos2 x=2sin2 xcos2 x=sin22x=×=,所以最小正周期T==,且是偶函数,故选择C. 16.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω= .解析:因为当0≤ωx≤,即0≤x≤时,函数是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,函数是减函数,∴=,ω=.答案:。
三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号：
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
三角函数的图像和性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
｛x｜x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z｝
｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝
值域
［-1，1］x=2kπ+ 时ymax=1
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccotห้องสมุดไป่ตู้-x)=π-arccotx
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［- , ］)
cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)
y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy
y=tanx(x∈(- , )的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctany
y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于［- , ］
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角
在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)
在(kπ- ，kπ+ )内都是增函数(k∈Z)
在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)
.反三角函数：
《三角函数图象》教案设计
第三届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教案评选教案设计函数sin()y A x ωϕ=+的图象（一）学校：江苏省沭阳高级中学 姓名：李秋香 学科：数学通讯地址：江苏省宿迁市沭阳县学府中路1号 联系电话：0527—83582838 邮编：223600全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教案评选《函数sin()y A x ωϕ=+的图象》教案设计一、 教案背景：1．高中数学苏教版必修4第一章第三节，《函数)sin(ϕω+=x A y 的图象》教学设计2．课时：二课时3．课前准备：在百度上搜索“视频: 弹簧振子简谐运动振动图像形成动画” 二、、教材分析: 1、本节的作用和地位三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，三角函数知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础．2、本节高考要求:(1)了解三角函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义及其参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响; (2)能借助计算机画出sin()y A x ωϕ=+的图象，会用五点法画出sin()y A x ωϕ=+的简图;(3)会画出sin()y A x ωϕ=+的简图,能由正弦曲线y=sinx 通过平移、伸缩变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象．3、本节课教学目标： 知识目标：1、结合实例，了解三角函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义及其参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响；2、会用“五点法”画出函数y = A sin(ωx +ϕ)的简图，掌握它们与y ＝sin x 的转换关系； 能力目标：经历对函数sin y x =到sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律的探索过程，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想．情感态度价值观目标：通过学生对问题的自主探究，培养学生动与静的辨证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想；领悟物质运动具有规律性的马克思主义哲学思想；唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求；引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．4、教学重点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响．5、教学难点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象与正弦曲线sin y x =的关系．6、教学方法：教师引导，学生自主探索．7、教学手段：网络化多媒体教学． 三、教学过程：1、创设情境，引入新课1、如图所示，是一个弹簧振子在做简谐运动（用电脑演示）．【百度搜索】/v_show/id_XMTUxNDY5MzQ0.html 由物理学知识可知，小球离开平衡位置的位移与时间t 的关系为：s i n ()(0,s A t A ωϕω=+>>．其中A 为物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；2T πω=为物体往复振动一次所需要的时间，称为周期；12f T ωπ== 为单位时间内往复振动的次数，称为频率； t ωϕ+称为相位，当0t =时的相位ϕ称为初相．在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如sin()y A x ωϕ=+的函数（其中A ，ω，ϕ都是常数，且0A >，0ω>）如交流电、振动和波等．因此我们有必要画好这些函数的图象．【百度搜索】/show/ZebAZp-4Rm2_9AlP.html?loc=youce_tuijian2、从解析式来看，sin()y A x ωϕ=+与函数sin y x =存在怎样的关系？从图象来看，它与函数sin y x =的图象有什么关系？采用什么研究方法? 如何作出函数sin()y A x ωϕ=+的图象?2、学生活动1、书40页练习4，52、给出下列函数，说出它的振幅、周期、初相并用“五点法”作出下列函数的简图． （1）sin()6y x π=-（2）3sin y x = （3）sin 2y x =3、从作出的图象观察它们与sin y x =的图象存在联系： 如何由sin sin()y x y x ϕ=→=+？ 如何由sin sin y x y A x =→=？如何由sin sin()y x y x ω=→=？ 3、建构数学 1、 平移变换函数sin()y x ϕ=+的图象是将sin y x =的图象向左平移（当0ϕ>）或向右（当0ϕ<）平移ϕ个单位长度而得到的． 2、 伸缩变换sin y A x =的图象(A>0A 1≠且)是把sin y x =的图象上所有点的纵坐标伸长(A >1)或缩短（01A <<）到原来的A 倍（横坐标不变），而得到的．sin y x ω= (>01ωω≠且)的图象是将sin y x =的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长(0<<1ω)或缩短(ω>1)到原来的1ω倍而得到的．【百度搜索】/html/jiaoyuwenzhai/2011/1128/484.html4、数学应用例1．已知函数sin()3y x π=-的图象为C ．(1) 为了得到sin y x =的图象,只需把C 上的所有点 (2) 为了得到sin()4y x π=+的图象,只需把C 上的所有点(3) 为了得到2sin y x =的图象,只需把C 上的所有点 (4) 为了得到cos()3y x π=-的图象,只需把C 上的所有点变式训练：1、函数sin y x =的图象向左平移6π，所得函数的解析式是 2、函数sin 2y x =的图象向左平移6π，所得函数的解析式是【百度搜索】/view/5bdb184769eae009581becdd.html例2． 用“五点法”作出下列函数的简图,并说出它们与y ＝sin x 的图象间的关系． (1)sin 3y x = (2)2sin2x y = (3)sin()23x y π=+变式训练：如何变换函数sin y x =可以得到函数思考：如何变式训练：如何变换函数sin y x =可以得到函数sin(2)3y x π=+的图象？【百度搜索】1、/s/blog_62277ac40100fhzz.html2、/view/9c80d2fe770bf78a652954ac.html3、/p-01872229637.html 5、回顾小结1．三角函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义及其参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响； 2．由正弦函数s i n y x =的图象经过平移变换和伸缩变换得到如sin()y x ϕ=+、sin y A x =、sin y x ω=，sin()(0,0)s A t A ωϕω=+>>的图象，学习时可以类比()(),(),()y f x y f x m y kf x y f nx ==+==与之间的关系．3．注意通过数形结合，化归思想的来学习新的知识． 6、课后作业1、课本P 45 7，92、思考函数sin y A x =、sin y x ω=分别有哪些性质．【百度搜索】/view/bea41e0d76c66137ee06195c.html 7、板书设计。
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延伸·拓展
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶 函数，其图象关于点M(3π/4，0)对称，且在区间[0， π/2]上是单调函数.求φ和ω的值.
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误解分析
1.在能力· 思维· 方法4中，由于φ没有给出范围，所 以极易求出不合题意的φ值，解题时要结合“零点” 观察
2.设函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/6对 称，求a的值
【解题回顾】此二种方法都应用了三角函数图象 的知识解一，抓住的是正弦曲线在与对称轴交 点处取得函数最大或最小值的特点解二，充分 应用了图形对称以及待定系数法的数学方法，显 示了数形结合的灵活性.
1 3 2 sin x cos x 1x R 3.已知函数 y cos x 2 2 (1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；
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能力·思维·方法
1.先将函数y=f(x)的图象右移π/8个单位，然后再把 图象上每一点的横坐标扩大为原来的两倍，所得 的图象恰好与函数y=3sin(x+π/6)的图象相同.求f(x) 的解析式
【解题回顾】此题为逆向求解对函数y=Asin(ωx+ φ)的图象作变换时应该注意：横坐标的扩大与压缩 只与ω有关，与其他参量无关；图象的左右平移应 先把ω提到括号外，然后根据加减号向相应方向移 动
2.由y=sinx作y=sin(2x+π/3)图象，如果先把横坐标 缩短为原来的1/2倍，得y=sin2x后再平移，应向左 平移π/6，切勿左移π/3.
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3.图象的对称性 函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图象具有轴对 称和中心对称.具体如下： (1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+π/2，k∈Z)成轴对称图形. (2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj ,0)(其中 ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.
(2)该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的 平移和伸缩变换得到? 【解题回顾】当A＞0，ω＞0时，函数y=Asin(ωx+
φ)的图象可用“五点法”作出，也可用下列图象变 换方法作出，先把y=sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ ＜0)平移|φ|的单位，再把各点横坐标缩短(ω＞1)或 伸长(0 ＜ ω＜1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)，再把 各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的 A 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) ； 而 函 数 y=Acos(ωx+φ) 和 y=Atan(ωx+φ) 的 图 象 均 可 仿 上 变 换 由 y=cosx 和 y=tanx作出.
4.函数y=|tgx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2) 的图象是( C )
5.关于函数f(x)=２sin(3x-3π/4），有下列命题： ①其最小正周期是2π/3； ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位得到； ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)； ④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数. ①④ 其中正确的命题的序号是_________
4.如下图，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像上 相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5π/12，3)和 (11π/12，-3)．求该函数 的解析式
【解题回顾】这类问题的求解难点是φ的确定，除 以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为 x=x′+π/6，y=y′，则易知函数在新坐标系中的方程 是 y′=3sin2x′， 而 x′=x-π/6， 故所 求 函 数 y=3sin[2(xπ/6)] 返回
(A)函数y=f(x)· g(x)的周期为2π
(B)函数y=f(x)· g(x)的最大值为1
(C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象
3.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移π/4个单位后再 作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则 f(x)是( B ) (A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx
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课前热身
1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
(C)y=sin(x/2+π/6)
(D)y=tan(x+π/6)
)
则同时具有以下两个性质的函6，0)对称. 2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论 中正确的是( D )
第3课时 三角函数的图象
要点·疑点·考点 课
前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展
误
解 分 析
要点·疑点·考点
1.三角函数线 右面四个图中， 规定了方向的 MP、OM、 AT 分 别 叫 做 角α的正弦线， 余弦线，正切 线.
2.三角函数的图象 (1)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx的图象(略) (2)y=Asin(ωx+φ)的图象及作法 (3)三角函数的图象变换 ①振幅变换：y=sinx→y=Asinx 将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(横 坐标不变)； ②相位变换：y=Asinx→y=Asin(x+φ) 将y=Asinx的图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0) 平移|φ|个单位； ③周期变换：y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ) 将 y=Asin(x+φ) 图 象 上 各 点 的横 坐 标 变为 原 来 的 1/ω 倍(纵坐标不变).