X射线衍射和倒格子
倒格子和X衍射
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X射线光谱
图 2 元素特征X射线的激发机理
X射线的产生：高速电子流轰击金属，内层电子被击出，Kα1 、Kα2、Kβ1高
能级电子跃迁到低能级补充空位, 能量以X光的形式放出。
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图3
X射线的物理性质和穿过物质时的作用
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2、X射线的本质
劳厄斑Laue spots
X射线 X--ray
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劳厄斑 晶体 Laue spots 晶体的三维光栅 crystal Three-dimensional “diffraction grating”
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• 由此，X射线被证实是一种频率很高（波长很 短）的电磁波。 X射线的本质是电磁辐射，与 可见光完全相同，仅是波长短而已，因此具有 波粒二像性。 (1)波动性; (2)粒子性。
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• 2、正、倒格子对应关系 不同空间描写晶体的对称性 • r空间 k空间 • Bravais格子 倒格子 • W-S原胞 Brilliuon区 • 正格子的晶面(hkl)对应于倒格子的格点h,k,l；反之亦然。 • 3、等价的周期性 • 如果Kh是倒格矢，那么物理量的Fourier级数在晶体任何平 移变换下具有所期待的不变性。
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图1 电磁波谱
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X照片
• 伦琴夫人的手
• 戒指
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1、X射线的产生
原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子在靶上骤然减速 时伴随的辐射，称为X 射线。
倒格子
2.3位矢之间关系 2.3位矢之间关系
r 正格子位矢： 正格子位矢： Rl = l1a1 + l2 a2 + l3 a3
倒格子位矢： 倒格子位矢： G n = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3 二者的关系： 二者的关系： G n ⋅ R l = 2πm
位置矢量
r R = l1a1 + l2 a2 + l3 a3
G = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3
倒格子空间
简称“倒格矢” 简称“倒格矢” (Reciprocal lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
之间存在如下关系： a i 和b j 之间存在如下关系：
2π (i = j) i,j=1,2,3 ai ⋅ bj = 0(i ≠ j)
为整数) (m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量 若两矢量点积为2π的整数倍， 2π的整数倍
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。 为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系 2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v 与正格子原胞体积v的关系为 的关系为: 倒格子原胞的体积 *与正格子原胞体积 的关系为
正格子空间 或正点阵） （或正点阵）
倒格子空间 或倒易点阵） （或倒易点阵）
其中 v＝a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) 为正格子原胞体积
2、倒格子与正格子的关系 、
2.1 数学描述
空间 正格子空间 基矢
a1, a2 , a3
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。
引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。
固体物理总结
4.当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以
为单位。
晶体热容
1.固体比热的实验规律 (1)在高温时，晶体的比热为3NkB； (2)在低温时，绝缘体的比热按T3趋于零。
2.模式密度
定义：
D(
)
lim
0
n
m D()d3N 0
计算：D3 n12 V π c3
ds
s qq
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
2.线缺陷
当晶格周期性的破坏是发生在晶体内部一条线的周围近邻，
这种缺陷称为线缺陷。位错就是线缺陷。
位错
刃型位错：刃型位错的位错线与滑移方向垂直。 螺旋位错：螺旋位错的位错线与滑移方向平行。
位错缺陷的滑移
刃位错：刃位错的滑移方向与晶体受力方向平行。
螺位错：螺位错的滑移方向与晶体受力方向垂直。
第 五 章 能带理论 总结
Kn
(k
Kn 2
)
0
紧束缚近似
1.模型
晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场V(rR n)
的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子
态作为零级近似。
2.势场
1.晶体的结合能 晶体的结合能就是自由的粒子结合成晶体时所释放的能量， 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量。
EbU(r0)U(r0)
2.原子间相互作用势能
u(r)rAm rBn A、B、m、n>0
其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。
3.原子晶体、金属晶体和氢键晶体
(1)原子晶体
结构：第Ⅳ族、第Ⅴ族、第Ⅵ族、第Ⅶ族元素都可以形成
k
r
e ik r
uk
r
固体物理03-倒格子空间
实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
倒格子——精选推荐
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
第二章 X射线衍射和倒格子
第二章 X射线衍射和倒格子框架图
一、基本内容：
<一>晶体衍射理论
1. 布拉格定律
2. 劳厄衍射条件
3. 布里渊散射条件
<二>晶体的倒格子
1. 倒格矢和倒矢量
2. 倒矢量和倒格矢的性质
<三>布里渊区
1. 布里渊区
2. 布里渊区的性质
<四>原子散射因子和几何结构因子
1. 散射波振幅
2. 结构基元的傅立叶分析
3. 原子形状因子
<五>晶体结构的实验确定
1. X射线衍射的三种实验方法
2. 电子衍射和中子衍射和扫描遂穿显微镜
二、重点：
1. 三条晶体衍射理论
2.倒格矢及其性质和证明
3.第一布里渊区及其性质
4. 原子结构因子和结构消光条件的求法
三、难点：
1. 三种晶体衍射条件的等价性
2.倒格子的性质及其证明
3.结构消光条件的求法。
倒格子
倒格子的定义： 倒格子的定义：
• 在固体物理学中：实际观测无法直接测量 在固体物理学中： 正点阵， 正点阵，倒格子的引入能够更好的描述很 多晶体问题， 多晶体问题，更适于处理声子与电子的晶 格动量。 格动量。 • 在X射线或电子衍射技术中：一种新的点阵， 射线或电子衍射技术中： 射线或电子衍射技术中 一种新的点阵， 该点阵的每一个结点都对应着正点阵中的 一个晶面，不仅反映该晶面的取向， 一个晶面，不仅反映该晶面的取向，还反 映着晶面间距。 映着晶面间距。
b1 =
2
(a ×a ) a ⋅ (a ×a ) 1 (a ×a ) b = a ⋅ (a ×a )
1
2 2 3 1 3 3 1
b3 =
(a ×a ) a ⋅ (a ×a )
1
1 1 2 3 2
2
3
1
确定倒格矢的方法：对于一切整数 h,k,l,作出 作出 ( hb1 + k b 2 + l b3),这些向 这些向 量的终点就是倒格 子的节点。 子的节点。
倒格子（倒易点阵）的基本性质： 倒格子（倒易点阵）的基本性质：
• 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为 ，不同 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为1， 名基矢的点积为零； 名基矢的点积为零； • 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数 关系； 关系； • 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； h • 任意倒易矢量（ b1 + kb2 + lb3 ）垂直于正点阵中的 任意倒易矢量（ （hkl）面； ） • 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。
• 任何一个晶体结构都有两个格子：一个是 任何一个晶体结构都有两个格子： 正格子空间(位置空间 位置空间)， 正格子空间 位置空间 ，另一个为倒格子空 状态空间)。 间(状态空间 。二者互为倒格子，通过傅里 状态空间 二者互为倒格子， 叶变换。 叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都 是在倒格子空间中的描述。 是在倒格子空间中的描述。
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第二章 X 射线衍射和倒格子大多数探测晶体中原子结构的方法都是以辐射的散射概念为基础的。
早在1895年伦琴发现X 射线不久，劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原子的间距相同，大约是0.1nm 量级，晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。
随后布拉格用X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有面心立方结构，从而奠定了用X 射线衍射测定晶体中的原子周期性长程有序结构的地位。
随着科学技术的不断发展，电子、中子衍射有为人类认识晶体提供了有效的探测方法。
但到目前为止，X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚至是只具有短程有序的无定形材料结构的重要工具。
本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论，引入倒格子的概念，在此基础上介绍原子形状因子和几何结构因子，并介绍几种确定晶格结构的实验方法。
§2.1 晶体衍射理论一、布拉格定律 （Bragg ’s Law ）X 射线是一种可以用来探测晶体结构的辐射，其波长可以用下式来估算012.4()()hcE h A E KeV νλλ==⇒= （2.1.1） 能量为2~10KeV 的X 射线适用于晶体结构的研究。
在固体中，X 射线与原子的电子壳层相互作用，电子吸收并重新发射X 射线，重新发射的X 射线可以探测得到，而原子核的质量相对较大，对这个过程没有响应。
X 射线的反射率大约是10-3~10-5量级，在固体中穿透比较深，所以X 射线可以作为固体探针。
1912年劳厄（ul ）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，布拉格（W.L.Bragg ）父子测定了NaCl 、KCl 的晶体结构，首次给出了晶体中原子规则排列的实验数据，发现了晶态固体反射X 射线特征图像，推导出了用X 射线与晶体结构关系的第一个公式，著名的布拉格定律（Bragg ’s Law ）。
布拉格对于来自晶体的衍射提出了一个简单的解释。
假设入射波从晶体中的平行晶面作镜面反射，每个平面反射很少的一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。
在这种反射中，其反射角等于入射角。
当来自平行晶面的反射发生干涉相长时，就得出衍射束，图2.1是X 射线分别在相邻两个晶面反射的情况。
我们考虑的是弹性散射，X 射线的能量在反射中不变。
图2.1 X 射线分别在相邻两个晶面的反射考虑间距是d 的平行点阵平面，入射和反射X 射线束位于纸平面内。
如图2.1所示，相邻平行平面反射线的光程差是 2sin d θ，式中 θ 是从反射平面开始度量。
根据相干波干涉加强的条件，当光程差是波长λ 整数倍时，来自相邻晶面的辐射就发生干涉相长，所以 2sin d n θλ= （2.1.2）这就是布拉格定律，其中 n 是衍射级数，它表示同一族晶面，在不同入射角下的衍射。
由此可见，反射角受到严格的限制，只有满足式（2.1.2）的那些反射角才能观察到强的反射束。
布拉格定律成立的条件是波长2d λ<<。
布拉格定律是晶格周期性的直接结果。
布拉格定律很简单，但却令人信服，因为它能够给出正确的结果。
应该指出的是，这条定律只能给出衍射加强的条件，没有给出衍射强度的分布和衍射峰值的宽度，而且不涉及放置于每个格点的基元中的原子的排列情况。
二、劳厄衍射条件在布拉格给出X 射线衍射的简单解释之后，劳厄（Max von Laul ）介绍了另一种X 射线衍射的方法。
他认为晶体是将全同的原子放置在晶格的格点上构成的，并且假定每个原子都可以在空间所有的方向上重新发射入射的辐射，而辐射的峰值只能在所有格点上散射的X 射线发生干涉的波长和方向上观察到。
为了找出干涉相长的条件，我们考虑两个由格矢R 分隔开的散射体，如图2.2所示。
图2.2 劳厄衍射图假设X 射线沿 0k 方向从无穷远处入射，波长为λ，波矢为02k k πλ=，散射为弹性散射，那么沿着0'k 方向的散射波与入射波有相同的波长，其波矢为02''k k πλ=。
这里0k 和0'k 分别为入射和散射方向的单位矢量。
由这两个散射体反射的X 射线要发生相长干涉，入射和反射波的波程差必须是波长的整数倍。
由图2.2可知，相长干涉的条件是： 00'k R kR m λ-= （2.1.3） 其中m 是整数。
给（2.1.3）式两边同乘以2πλ，有 0022'2k R k R m πππλλ-=即'2k R k R m π-= （2.1.4）（2.1.4）即为入射波矢和散射波矢相长干涉的条件。
定义散射波矢 'k k k ∆=- ，则衍射条件可以写为 2k R m π∆= （2.1.5）即散射波矢与格矢的点乘积是2π的整数倍。
（2.1.5）式就是劳厄衍射条件。
§2.2 晶体的倒格子一、倒格矢（reciprocal lattice vectors ）在劳厄衍射条件中，将散射波矢'k k k ∆=-用G 表示，即k G ∆=，则（2.1.5）式又可以写成Rk 0'k 0k R -⋅0'k R ⋅2G R m π= （2.2.1）即这一组满足（2.2.1）式的G 矢量与格矢R 的乘积是2π的整数倍。
因为R 是格矢，R 的端点的集合构成了整个晶格，而G 矢量端点的集合也构成一个点阵，称为倒格子（reciprocallattice ），G 矢量称为倒格矢（reciprocal lattice vectors ）。
与它相对应的点阵称为正格子（direct lattice ），格矢R 则称作是正格矢（direct lattice vectors ）。
注意，倒矢量或倒格子空间的长度量纲是［L －1］，即1／米，这与波矢的量纲是一样的。
所以，也将倒格子称作是波矢空间。
二、倒矢量（reciprocal vectors ）在数学上，可以由正格子定义倒格子。
根据基矢 123,,a a a 定义三个新的矢量1232()b a a π=⨯Ω2312()b a a π=⨯Ω（2.2.2） 3122()b a a π=⨯Ω 其中 123()a a a Ω=⨯是正格子原胞体积，称 123,,b b b 为倒矢量(reciprocal vector )。
以 123,,b b b 为基矢进行平移可以得到的周期点阵，称为倒易点阵，也就是倒格子（reciprocal lattice ）。
因此，123,,b b b 也叫做倒格子基矢(reciprocal basic vectors )。
123,,b b b 在倒空间所围成的平行六面体称为倒空间的原胞，它在倒空间占的体积为123*()b b b Ω=⨯ （2.2.3）每个原胞中只包含一个倒格点。
这样，倒格矢就可以表示为112233h G hb h b h b =++ （2.2.4）其中h 1 , h 2 , h 3 为整数。
下面证明由基矢 123,,b b b 构成的倒格矢满足（2.21）式。
首先我们注意到，i b 满足条件2i j ij b a πδ= （i,j=1,2,3） （2.2.5）其中ij δ是Kroneker δ函数：当 i=j 时， 1ij δ= ；当 i j ≠ 时，0ij δ= 。
实际上，因为 112233l R l a l a l a =++ ，我们得到112233112233112233()()2()h l G R hb h b h b l a l a l a hl h l h l π=++++=++ （2.2.6） 因为h 1 , h 2 , h 3 以及l 1, l 2 , l 3 都是整数，因此，（2.2.6）式中的 112233()h l h l h l ++ 也是整数，这就证明了由基矢 123,,b b b 构成的倒格矢满足（2.2.1）式。
对于晶胞基矢,,a b c ，相应的倒格子基矢为2*()a b c π=⨯Γ2*()b c a π=⨯Γ（2.2.7） 2*()c a b π=⨯Γ 其中 ()a b c Γ=⨯ 为晶胞体积。
其实，每个晶体结构有两个点阵与它相联系，一个是正格子，另一个是倒格子。
由正格子的基矢可以得到倒格子基矢，由倒格子基矢也可以得到正格子基矢。
图2.3是一维倒格子，图2.4是二维矩形正格子的倒格子。
表2.1列出部分三维正格子和其对应的倒格子的结构形式。
图2.3一维倒格子ab图2.4 二维矩形正格子和倒格子表2.1 部分三维正格子和对应的倒格子的结构形式 Direct lattice Reciprocal latticesc sc bccfcc fccbcc hcphcp三、倒矢量和倒格矢的性质为了加深对倒格子的理解，下面我们介绍倒格子与正格子之间的一些重要关系：（一）倒格子的原胞体积与相应正格子的原胞体积成反比根据基本的矢量运算，有32331121233123()[()()*()(2)[()]a a a a a a b b b a a a π⨯⨯⨯⨯Ω=⨯=⨯ 323312111233123(){[()][()](2)[()]a a a a a a a a a a a a a π⨯⨯-⨯=⨯ 33123(2)(2)()a a a ππ==⨯Ω即 3(2)*πΩ=Ω （2.2.8） 其中Ω是正格子原胞体积。
（二）正格子是它本身倒格子的倒格子根据倒格子的基矢定义，倒矢量 1b 的倒矢量为22311122[]2(2)***b b b a a πππ⨯==Ω=ΩΩΩ 同理可以得到 22*b a = ，33*b a = 。
1b 2b 1a 2a可见，正格子是它本身倒格子的倒格子，或者说，正格子和倒格子互为对方的倒格子。
（三）以晶面族晶面指数为系数构成的倒格矢恰为晶面族的公共法线方向，即倒格矢112233h G hb h b h b =++ 与晶面族（h 1 h 2 h 3）正交证明如下：如图2.3所示，ABC 是离原点最近的晶面，h G 是由晶面指数（h 1 h 2 h 3）为系数构成的倒格矢。
图2.3 离原点最近的晶面 3111223331()()220h a a G AC h b h b h b h h ππ=++-=-= 2111223321()()220h a a G AB h b h b h b h h ππ=++-=-= 即h G 与晶面指数为（h 1 h 2 h 3）的晶面ABC 正交，也即与晶面族（h 1 h 2 h 3）正交。
（四）倒格矢h G 的模与晶面族（h 1 h 2 h 3）的面间距成反比设123h h h d 是晶面族（h 1 h 2 h 3）的面间距，则由图2.3 可知 1231112233111()2h h h h h h hG a h b h b h b a d h G h G G π++=== （2.2.9） 类似地，倒格面（123l l l ）的面间距可以表示为12311223322l l l ld l a l a l a R ππ==++ （五）一个具有晶格周期性的函数()()l V r V r R =+，可以用倒格矢h G 展开成傅里叶级数22/a h 33/a h BC对晶格周期性的函数()V r 作傅氏变换，有()()iK r K V r V K e=∑ （2.2.10）其中K 是与r 对应的傅氏变换量。