固体物理(2011) - 第1章 晶体结构 2 倒格子
固体物理 第1章 晶体结构2
图1-3-4晶面簇
等效晶面(不同于晶面簇):由于晶体的对称性,晶体在这些晶面 等效晶面(不同于晶面簇): ): 上的具有完全相同的性质
图1-3-5立方晶系晶面及等效晶面
晶面指数(密勒指数): 晶面指数(密勒指数):把晶面在坐标轴(基矢)上的截距的倒数 ): 的比简约为互质的整数的比,所得的互质整数就是晶面指数. 下面说明晶面指数的互质性及对晶面表示的合理性. (1)合理性 描述一个平面的方位可以由其方向余弦.设一晶面簇的面 间距为d,其法线方向的单位矢量为 n ,则晶面簇中离开原 x 点的距离等于md的晶面的方程式为: n = md . 这里m x 为整数, 为晶面上任意点的位矢.若此晶面和坐标轴的交 点的位矢分别为: r a 1 , s a 2 , t a 3 则有:
ra1 cos( a1 , n ) = md sa 2 cos( a 2 , n ) = md ta cos( a , n ) = md 3 3
于是
1 1 1 cos( a1 , n ) : cos( a 2 , n ) : cos( a3 , n ) = : : r s t
此即方向余弦之比等于截距倒数之比.
晶向, §1-3 晶向,晶面和它们的标志 晶列:布拉菲格子联成的相互平行的直线簇. 晶列: 晶向:晶列的方向.
图1-3-1 晶列,晶向
若从一个格点沿晶向到最邻近的格点的位移矢量为: l1 a 1 + l 2 a 2 + l 3 a 3 则晶向可用一组[l1,l2,l3]表征,这组数称为晶向指数.
→晶面包含了所有的格点,因此基矢端点必落在该晶面簇 的某些平面上,设 a 1 , a 2 , a 3 的末端上的格点分别落在离原点 的距离为h1d,h2d,h3d的晶面上(这里h1,h2,h3均为整数), 因:
固体物理 chapter 1
构成晶体的格子。
布喇菲晶格：由同种原子 组成，每个 原子周围环境相同。
晶格
两种或两种以上的 原子组成的 晶格。 复式晶格
由相同的一种原子 组 成，每个原子 周围环 境不同。
一、晶体结构的重要概念
1、配位数：一个粒子周围最近邻粒子数。
由于密堆积的粒子大小相同，所以最大，CN=12。如 果粒子大小不同，则不能形成密堆积，配位数小于12。
Rl ma nb lc
4、惯用元胞体积
a b c
1.2 晶格的基本类型
根据惯用原胞基矢的长短与夹角不同，可分 为七 大晶系。
三斜 单斜 正交 三方
abc
a b c 90
abc
a bc
90
惯用元胞的体积 a3
惯用元胞
一个惯用元胞包含格点数 4
SC
初基元胞
惯用元胞
c
a
b
a1 ai a2 aj a3 ak
a ai b aj c ak
a
3
a
3
1个原胞包含格点数 1
bcc
初基元胞
惯用元胞
c
a
Y
六角蜂房结构的晶格
a2
3 a1 ai 2 3 a2 ai 2
X
3 aj 2 3 aj 2
a1
a
一个初基元胞包含一个格点（两个原子）
例 一维晶格 （1） a n
基元
空间点阵
a1
基矢
a ai
一个初基原胞包含1个格点——1个基元——1个原子
固体物理学：第一章晶体结构1-2
——
a1
a 2
(
j
k)
a2
a 2
(k
i)
a3
a 2
(i
j)
晶胞中只包含4个格点
—— 晶胞体积是原胞的4倍
1. 2 简单格子和复式格子 我是哪种 简单格子——晶体的原胞只格含一子种？粒子，这些粒子的化
学成分和所处的化学环境相同
复式格子——晶体的原胞由两种或三种以上粒子组成
1. 2.1 体心立方结构晶体
复式格子
例子：立方系ZnS晶体的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
Zn : 000, 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0 22 2 2 22
S:1 1 1,1 3 3,31 3,3 31 444 444 444 444
1. 2.5 氯化钠结构
基元由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体(通过离
—— 描写晶体中粒子排列的紧密程度
密堆积 —— 晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球 这些全同的小圆球最紧密的堆积
密堆积所对应的配位数 —— 晶体结构中最大的配位数
两种堆积方式 —— 六角密积，立方密积
六角密积
—— 全同小圆球平铺在平面上，任一个球都与6个球相切。 每三个相切的球的中心构成一等边三角形
格点动画
1. 1.3 布拉菲格子 布拉菲格子（空间晶格） ——格点在有规则周期性 排列构成的阵列
布拉菲格子+基元=晶体结构
1. 1.4 原胞与晶胞(动画114)
原胞——组成晶体的最小周期平移单元
原胞基矢——原胞的边长矢量 a1, a2, a3
晶胞——组成晶体的体积较大的结构重复单元
晶胞基矢——原胞的边长矢量
固体物理§1.5倒格子
r r r Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
9
r 3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 r a1 = ⋅ h1
r r r r r Kh a1 ⋅ h1b1 + h2b2 + h2b3 r = r Kh h1 Kh
( Ω Ω＝2π )
∗
3
3 r r r (2π ) (a a ) [(a a ) (a a )] r r r r r r ∗ Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 ) = 2× 3 ⋅ 3× 1 × 1× 2 3 Ω r r r r r r r r r 利用： A 利用： × (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C r r r r r r r r r r r r r (a3 × a1 ) × (a1 × a2 ) = [(a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 = Ωa1
1
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 倒格子基矢和正格子基矢之间的关系
r r r r r r 正格子基矢： a 正格子基矢： 1、a2、a3；倒格子基矢： 1、b2、b3; 倒格子基矢： b
晶面族： a d 晶面族： 1a2、a2a3、a3a1的面间距分别为 3、d1、d2;
r b3
r a3
r b2
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
r r r r r r r r Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
(参考资料)固体物理习题带答案
D E ( ) ，其中 ， 表示沿 x ， y ， z 轴的分量，我们选取 x ， y ， z
沿立方晶体的三个立方轴的方向。
显然，一般地讲，如果把电场 E 和晶体同时转动， D 也将做相同转动，我们将以 D' 表示转
动后的矢量。
设 E 沿 y 轴，这时，上面一般表达式将归结为：Dx xyE, Dy yyE, Dz zy E 。现在
偏转一个角度 tg 。（2）当晶体发生体膨胀时，反射线将偏转角度
tg ， 为体胀系数
3
解：（1）、布拉格衍射公式为 2d sin ，既然波长改变，则两边同时求导，有
2d cos ，将两式组合，则可得 tg 。
（2）、当晶体发生膨胀时，则为 d 改变，将布拉格衍射公式 2d sin 左右两边同时对 d
考虑把晶体和电场同时绕 y 轴转动 / 2 ，使 z 轴转到 x 轴， x 轴转到 z 轴， D 将做相同
转动，因此
D'x Dz zy E
D'y Dy yyE
D'z Dx xy E 但是，转动是以 E 方向为轴的，所以，实际上电场并未改变，同时，上述转动时立方晶体
的一个对称操作，所以转动前后晶体应没有任何差别，所以电位移矢量实际上应当不变，即
第一章：晶体结构 1． 证明：立方晶体中，晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。
证 明 ： 晶 向 [hkl] 为 h1 k2 l3 ， 其 倒 格 子 为
b1
2
a1
a2
a3
(a2 a3 )
b2
2
a1
a3 a1 (a2 a3)
b3
2
a1
a1
a2
(a2 a3)
。可以知道其倒格子矢量
固体物理第一章总结
第一章晶体结构1.晶格实例面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3??氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞 维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n] 晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅= 简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k⎧=⎪=⎨⎪=⎩体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。
固体物理-第一章
•
ai
aj
ak
•
•
•
•
顶角8个格点→8×1/8=1个原 子；→平均包含1个原子
原胞的体积 V a1 (a2 a3 ) a3
➢晶体的周期性
面心立方晶胞
晶
胞
的
ABC ABC 排列（立方密堆）
选
取
a1
a 2
jk
顶角8个格点→8×1/8=1个原子；面心6个原 子→6×½=3个原子；→平均包含4个原子
1.1 晶体的周期性
1.1.1 常见的晶体
沸石晶体
方沸石
化学式：RR[Alx+2ySin-(x+2y)O2n]·mH2O含水架状结 构铝硅酸盐矿物，单斜和正交（斜方）晶系为主。 式中R代表碱金属离子，基本上为K+或Na+。
菱沸石
纯净的各种沸石均为无色或白色，但可因混入杂质而呈各种浅色。玻璃光泽。解 理随晶体结构而异。沸石的晶体结构是由硅（铝）氧四面体连成三维的格架，格架中 有各种大小不同的空穴和通道，具有很大的开放性。碱或碱土金属子和水分子均分布 在空穴和通道中，与格架的联系较弱。不同的离子交换对沸石结构影响很小，但使沸 石的性质发生变化。晶格中存在的大小不同空腔，可以吸取或过滤大小不同的其他物 质的分子。工业上常将其作为分子筛，以净化或分离混合成分的物质 ，如气体分离、 石油净化、处理工业污染等。此外沸石还具有独特的吸附性、催化性、离子交换性， 离子的选择性、耐酸性、热稳定性、多成份性、及很高的生物活性和抗毒性等。
1.1.3 基本概念
晶体的特点：晶体具有规则 的几何外形，固定的熔 点，某些晶体具有一定 的解理性。
周期性：晶体中 微粒的排列按照 一定的方式不断 的做周期性重复 的性质，称为晶 体结构的周期性。
倒格子——精选推荐
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
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Rl l1a1 l2a2 l3a3
量子力学如何描述一个自由粒子？
4
根据原胞基矢定义三个新的矢量 —— 倒格子基矢量
a2 a3 b1 2 a1 a2 a3
以
a3 a1 b2 2 a1 a2 a3
13
先想清楚1维是怎么回事！
14
例： 证明 体心立方晶格的倒格子是面心立方
由倒格子定义
体心立方格子原胞基矢
15
倒格子基矢
a 3 a1 2 同理 b2 2 (i k ) a1 a 2 a 3 a a1 a 2 2 b3 2 (i j ) a1 a 2 a 3 a
N
dr r N
32
布里渊区（BZ）
熟悉实例：1维，2维，3维 … …
2
Fourier Transformation is an useful tool
1 ourcase: x 2k 2 k
n
inx e
3
如何表述原子作为点粒子分布在 Bravais点阵上？
r r Rl
1
倒点阵（倒格子）
从物理的角度，也许该先理解X射线衍射实验，之后再引入倒格 子概念 定义（同样适用于一维和二维） 针对反映平移周期性的Bravais晶格(简单) 与正格子的关系
与晶面指数的关系：倒格子矢量对应晶面 体积关系：互为倒数 正点阵的周期性函数可以按倒格矢展开为傅里叶级数 特别是第一布里渊区（1st BZ）
a1 a2 b3 2 a1 a2 a3
为基矢构成一个倒格子 —— 倒Bravais格子 —— 倒格子空间是正格子的倒易空间
2 (i j ) 倒格子基矢的性质 ai b j 2 ij 0 (i j )
5
—— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以
28Βιβλιοθήκη —— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
29
30
为何 “特别是1st BZ” ？
定义在格点上的物理量的FT仅仅需要用到 1st BZ的波矢 后面的格点模型将要详细看到这点
31
较完整的格点FT表述
FT – Fourier transformation
Poisson summation formula 1 1 f r f r Rl f r Rl N l N 特殊情况：
iK r R e l l h
h r
iK h r F K e h h
正点阵 (布拉维)
倒点阵
1 iK h r r r R e , l h l k k K h e ik Rl h l
iGh1h2 h3 x
V ( x)
—— 积分在一个原胞中进行 例子？
9
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
(2 ) *
3
10
2）正格子中一簇晶面
和
正交
—— 可以证明
Gh1h2h3 CA 0
Gh1h2h3 CB 0
与晶面族正交
11
3）倒格子矢量
为晶面
晶面方程
的法线方向
各晶面到原点的距离
ai b j 2ij
面间距
2 d h1b1 h2b2 h3b3
12
4) 倒格子的 “倒格子” 是什么？
(a1 , a2 , a3 ) (b1 , b2 , b3 ) (c1 , c2 , c3 ) ?
—— 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格 点的密度越大，这样的晶面越容易解理
18
能够把倒格子空间定义成复式的吗？
逻辑自洽 物理上有用
19
二维倒格子基矢
20
21
22
• 布里渊区, 特别是第一布里渊区（1st BZ）
—— 在倒格子空间把 原点和所有倒格矢中 点的垂直平分面画出， 倒格子空间分割为许 多区域
26
—— 第一布里渊区
原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体 (菱
形十二面体)
27
3) 面心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长
的体心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和 8个近 邻格点连线的垂直平分面围成的正 八面体，和沿立方轴的 6 个次近邻 格点连线的垂直平分面割去八面体 的六个角，形成的14面体
为周期的三维周期函数
6
由倒格子基矢
得到
代入
7
—— 正点阵的周期性函数可以按倒格矢展开为傅里叶级数 原胞里任一点 晶格周期性函数 宗量
傅里叶级数
为整数
8
得到
V ( x)
h1 , h2 , h3
Vh1 , h2 , h3 e
iGn1n2 n3 x
Vh1 , h2 , h3
1 dxe a1 a2 a3
23
几种晶格的布里渊区
1) 简单立方格子 正格子基矢
倒格子基矢
—— 简单立方格子 —— 第一布里渊区为原点和 6个近邻格点的垂直平分面围 成的立方体
24
—— 第一布里渊区
25
2) 体心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长
的面心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分 面围成的正十二面体
可见由
2 ( j k) a
为基矢构成的格子为面心立方格子
16
1.6 如果基矢 的面间距为：
构成简单正交系，证明晶面族
并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理 简单正交系 倒格子基矢
17
倒格子基矢
倒格子矢量
晶面族
的面间距
1 h 2 k 2 l 2 ( ) ( ) ( ) a b c
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
Solid State Physics
晶体结构 晶体的结合 晶格动力学 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 晶格的描述 2 倒格子 3 晶体的宏观对称性、群定义 4 点群、空间群与晶格分类 5 晶体X射线衍射 6 准晶