倒格子和X衍射
倒格子
2.3位矢之间关系 2.3位矢之间关系
r 正格子位矢： 正格子位矢： Rl = l1a1 + l2 a2 + l3 a3
倒格子位矢： 倒格子位矢： G n = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3 二者的关系： 二者的关系： G n ⋅ R l = 2πm
位置矢量
r R = l1a1 + l2 a2 + l3 a3
G = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3
倒格子空间
简称“倒格矢” 简称“倒格矢” (Reciprocal lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
之间存在如下关系： a i 和b j 之间存在如下关系：
2π (i = j) i,j=1,2,3 ai ⋅ bj = 0(i ≠ j)
为整数) (m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量 若两矢量点积为2π的整数倍， 2π的整数倍
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。 为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系 2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v 与正格子原胞体积v的关系为 的关系为: 倒格子原胞的体积 *与正格子原胞体积 的关系为
正格子空间 或正点阵） （或正点阵）
倒格子空间 或倒易点阵） （或倒易点阵）
其中 v＝a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) 为正格子原胞体积
2、倒格子与正格子的关系 、
2.1 数学描述
空间 正格子空间 基矢
a1, a2 , a3
SSP第3章倒格子布里渊110827-P
FCC (正基矢) a (j + k) 2 a a 2 = (k + i ) 2 a a 3 = (i + j) 2
可见 BCC 倒格子是一个边长为4π/a 的FCC格子。 倒格子原点最近邻有十二个格点。 所以BCC晶格第一布里渊区是一个 正十二面体。
17
3.5 晶体的X射线衍射
所以有 eiK h ⋅R l = 1
h
h
h
Q R l 是正格矢， ∴ K h应是 R l 的倒格矢
F (Kh)是物理量 Γ (r) 在傅氏 空间的表示形式
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
10
3Байду номын сангаас3 倒格子的性质
13
3.4 布里渊区
3.4.2 布里渊区界面方程
令，Kh为倒格矢，如下图， A为Kh的垂直平分面 k为倒空间的矢量 则，A上所有点都应满足
1 K h2 2 证明：由图可见， k ⋅Kh = Q K 1 k ⋅ h = Kh Kh 2 1 Kh 2
A
1 Kh 2
0 k
k’
Kh
∴
k ⋅Kh =
1 2 Kh 2
可以验证，当波矢Kh取为
K h = h1b1 + h2b 2 + h3b 3， h1h2 h3为整数
其中 b1,b2,b3 由 验证：
a i ⋅b j = 2πδ ij
确定，则以上条件成立。
K h ⋅ R l = (h1b1 + h2b 2 + h3b 3 ) ⋅ (l1a1 + l2a 2 + l3a3 )
17 倒格子
2 π a a 2 3 a b a 1 1 1 Ω
0 i j
2π
2 π a a 3 1 a b a 1 2 1 0 Ω
2.
R π (为整数) l K h 2
K h b h b h b h 1 2 3 1 2 3
其中 Rl和 Kh分别为正格点位矢和倒格点位矢。
R l a l a l a l 1 2 3 1 2 3
h b h b h b ) 1 2 3 l a l a l a ) ( Rl Kh ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 π ( l h l h l h ) 1 1 2 2 3 3
2π
3.
3 2 π Ω*
2π d h1h2h3
。
h b h b h b (1)证明 K h 1 2 3 与晶面族(h1h2h3)正交： 1 2 3
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a 2 a 3 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 , , 。 h1 h2 h3
a
i a 2 a 2
j a 2 a 2
a a a k a i 2 2 j 2 a a a 2 a 2 2 2 2 a2 a2
a a a Байду номын сангаас 2 k 2 2 a a a 2 2 2
2 2 π 2 πa 2 π b a a 2 3 j k j k 1 3 Ω a 2 a 2
是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍。
晶体结构
正格子
倒格子 1.
1. R n a n a n a n 1 2 3 1 2 3
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。
引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。
倒易格子与电子衍射
倒易格子对电子衍射的深入理解
理解电子衍射原理
倒易格子有助于深入理解电子衍射的原 理，通过将复杂的电子衍射过程简化为 倒易格子中的数学运算，有助于更好地 掌握电子衍射的基本概念和理论。
探索新型材料
利用倒易格子可以探索新型材料，通 过分析电子衍射图谱，可以研究材料 的原子结构和分子排列，从而发现具 有潜在应用价值的材料。
倒易格子与电子衍射
• 引言 • 倒易格子基础 • 电子衍射原理 • 倒易格子与电子衍射的关系 • 实际应用案例 • 结论
目录
01
引言
主题简介
倒易格子
倒易格子是晶体学中的基本概念，用于描述晶体中原子或分 子的排列方式。它是一个抽象的数学模型，通过将原子或分 子的位置映射到一个连续的空间格子上，可以方便地描述和 预测晶体中的各种性质。
布拉格定律
当电子束满足布拉格定律时，即电子束方向与晶体中原子面网法线方向 平行，且入射角等于晶面间距与波长的比值，将产生衍射。
03
倒易格子
倒易格子是描述晶体中原子排列周期性的数学工具，通过倒易格子可以
方便地计算出电子衍射图样中各衍射斑点的位置和强度。
电子衍射与晶体结构
晶体结构分析
点阵常数测量
通过电子衍射图样中各衍射斑点的位 置和强度，可以反推出晶体的结构信 息，如晶面间距、晶胞参数等。
通过电子衍射技术可以观察金属材料的微观结构，如晶粒大小、晶界特征等，进一步研究 这些结构特征对金属材料力学性能的影响。
陶瓷材料的电子衍射分析
陶瓷材料的晶体结构和相变
利用电子衍射技术可以研究陶瓷材料的晶体结构、相变过 程以及晶体缺陷等，有助于理解陶瓷材料的物理和化学性 质。
陶瓷材料的微观结构和性能
通过电子衍射技术可以观察陶瓷材料的微观结构，如晶粒 大小、晶界特征等，进一步研究这些结构特征对陶瓷材料 性能的影响。
倒易格子与衍射
倒易格子与衍射--3.倒易点阵与电子衍射四、电子衍射1. 电子波的波长电子束的波长很短，因此根据布拉格方程，其衍射角度2θ也特别小。
波长C射线衍射仪0.1——100 Å电子显微分析0.0251 Å(200kV)2. 晶体形状与倒易点形状的关系3. 倒易格子与倒易球因为电子束的波长很短，只有一半X射线波长的1%，因此倒易球的半径很大，能与倒易球直接相交的一般只能是0层倒易面(即在垂直入射光束的方向倒易原点所在的平面)。
另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。
图4-1. 倒易点阵图4-2 倒易点阵与倒易球图4-3. 0层的棒状倒易点与倒易球相交产生点阵衍射4. 电子衍射方程如图所示，倒易点G与倒易球相交，产生的衍射效果记录在胶片的G’点。
图4-4 电子衍射方程的推导因为电子波长很短，倒易球的半径很大，在倒易原点附近，倒易球面非常接近平面，因此，O1O/O1O’ = OG / OG’1/λ/L = 1/d/RRd=Lλ在恒定的实验条件下，Lλ是一个常数，即衍射常数(单位：mm.nm)。
此即电子衍射的衍射方程。
由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个（uvw）*方向的0零层倒易平面的放大像[（uvw）*的0层平面法线方向[uvw]近似平行于入射束方向（但反向）]。
因而，单晶电子衍射花样与二维（uvw）*的0层平面相似，具有周期性排列的特征。
5. 单晶电子衍射花样的标定标定是指确定衍射花样中各斑点的指数(hkl)及其晶带轴方向[UVW]，并确定样品的点阵类型和位向。
（1）对斑点进行指标化如图所示，晶带轴方向[uvw]，指向与入射电子束方向相反，属于该晶带的0层倒易面为[uvw]*0，记录的衍射花样相当于0层倒易面面的放大象。
中心为倒易点阵原点(000)，图4-5记录的衍射花样与倒易点阵的关系图4-6一例典型的电子衍射花样图4-7衍射斑点的矢量关系如图4-7所示，表达衍射花样周期性的基本单元（可称特征平行四边形）的形状与大小可由花样中最短和次最短衍射斑点矢量R1与R2描述，平行四边形中3个衍射斑点连接矢量满足矢量运算法则：R3=R1+R2|R3|2=|R1|2+|R2|2+2|R1||R2|cosφ(φ为R1,R2夹角)同理：R4=R1+2R2|R4|2=|R1|2+|2R2|2+2|R1||2R2|cosφ=|R1|2+4|R2|2+4|R1||R2|cosφR5=R1-R2|R5|2=|R1|2+|R2|2-2|R1||R2|cosφ若5个向量终点的衍射斑点衍射指标分别为(h1k1l1), (h2k2l2), (h3k3l3), (h4k4l4), (h5k5l5), 则斑点指标之间有如下关系：h3=h1+h2k3=k1+k2l3=l1+l2h4=h3+h2k4=k3+k2l4=l3+l2h5=h1-h2k5=k1-k2l5=l1-l2假定(h1k1l1), (h2k2l2)倒易指数为 (100)和(010), 则上图中各点的指标化结果如下：图4-8衍射斑点的指标化结果如果晶体是面心结构的，则其衍射效果要满足面心结构的衍射消光规律，即衍射指标要全奇或全偶（见图），体心结构的晶体，衍射指标要符合h+k+l=偶数(见图)，因此，可根据电子衍射图的指标化结果确定空间格子类型。
X射线衍射和倒格子
第二章 X 射线衍射和倒格子大多数探测晶体中原子结构的方法都是以辐射的散射概念为基础的。
早在1895年伦琴发现X 射线不久，劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原子的间距相同，大约是0.1nm 量级，晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。
随后布拉格用X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有面心立方结构，从而奠定了用X 射线衍射测定晶体中的原子周期性长程有序结构的地位。
随着科学技术的不断发展，电子、中子衍射有为人类认识晶体提供了有效的探测方法。
但到目前为止，X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚至是只具有短程有序的无定形材料结构的重要工具。
本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论，引入倒格子的概念，在此基础上介绍原子形状因子和几何结构因子，并介绍几种确定晶格结构的实验方法。
§2.1 晶体衍射理论一、布拉格定律 （Bragg ’s Law ）X 射线是一种可以用来探测晶体结构的辐射，其波长可以用下式来估算012.4()()hcE h A E KeV νλλ==⇒= （2.1.1） 能量为2~10KeV 的X 射线适用于晶体结构的研究。
在固体中，X 射线与原子的电子壳层相互作用，电子吸收并重新发射X 射线，重新发射的X 射线可以探测得到，而原子核的质量相对较大，对这个过程没有响应。
X 射线的反射率大约是10-3~10-5量级，在固体中穿透比较深，所以X 射线可以作为固体探针。
1912年劳厄（ul ）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，布拉格（W.L.Bragg ）父子测定了NaCl 、KCl 的晶体结构，首次给出了晶体中原子规则排列的实验数据，发现了晶态固体反射X 射线特征图像，推导出了用X 射线与晶体结构关系的第一个公式，著名的布拉格定律（Bragg ’s Law ）。
布拉格对于来自晶体的衍射提出了一个简单的解释。
假设入射波从晶体中的平行晶面作镜面反射，每个平面反射很少的一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。
1.5 倒格空间+1.8晶体的X射线衍射
a a 22
a 2
i
2 a
a a a
2
2 a
j
2 a
2
2
2 a
k
2 a
22
2 a
2
22
2 a2
a2
j k
22
UESTC a2 a3 a2 j a2 k 22
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
b1
2π Ω
a2 a3
2π a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
同理得：
b2
(4) S 0和S 分别为入射和衍射线方向的单位矢量；
(5)只讨论布喇菲晶格。
UESTC
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3
波程差
S
Rl
CO D
CO OD Rl S0 Rl S Rl S S0
衍射加强条件为：
Rl S S0 (为整数)
正点阵中晶面族与倒易位矢的关系
UESTC(1)证明 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1,a2,a3上的 截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
a3
由图可知： CA OA OC a1 a3
解： 体心立方的原胞基矢：
a
a1 2 i j k
a
a2 i j k 2
a
a3 i j k 2
b1 2π a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1
Ω
b3 2π a1 a2 Ω
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
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X射线光谱
图 2 元素特征X射线的激发机理
X射线的产生：高速电子流轰击金属，内层电子被击出，Kα1 、Kα2、Kβ1高
能级电子跃迁到低能级补充空位, 能量以X光的形式放出。
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图3
X射线的物理性质和穿过物质时的作用
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2、X射线的本质
劳厄斑Laue spots
X射线 X--ray
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劳厄斑 晶体 Laue spots 晶体的三维光栅 crystal Three-dimensional “diffraction grating”
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• 由此，X射线被证实是一种频率很高（波长很 短）的电磁波。 X射线的本质是电磁辐射，与 可见光完全相同，仅是波长短而已，因此具有 波粒二像性。 (1)波动性; (2)粒子性。
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• 2、正、倒格子对应关系 不同空间描写晶体的对称性 • r空间 k空间 • Bravais格子 倒格子 • W-S原胞 Brilliuon区 • 正格子的晶面(hkl)对应于倒格子的格点h,k,l；反之亦然。 • 3、等价的周期性 • 如果Kh是倒格矢，那么物理量的Fourier级数在晶体任何平 移变换下具有所期待的不变性。
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图1 电磁波谱
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X照片
• 伦琴夫人的手
• 戒指
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1、X射线的产生
原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子在靶上骤然减速 时伴随的辐射，称为X 射线。
阴级
+ 阳级
特点： 1、在电磁场中不发生偏转。 2、穿透力强，能使照片感光，空气电离。 3、波长较短的电磁波，范围在0.001nm～10nm之间。
格点间距b, 写出正格子基矢,倒格子基矢.
正格子基矢 a1 ai a2 bj ai b j 2 ij 2 2 倒格子基矢 b1 i b2 j a b
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例：已知某晶格的固体物理学元胞基矢为 a a1 i 3 j , 2 a a2 i 3 j , 2 a3 ck
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二、布喇格定律
1912年，英国物理学 家布喇格父子提出 X射线 在晶体上衍射的一种简明 的理论解释——布喇格定 律，又称布喇格条件。
2d sin k (k 1.2.3)
• 1915年布喇格父子获诺贝尔物理学奖， 小布喇格当年25岁，是历届诺贝尔奖最 年轻的得主。
ai b j 2 ij
Rl K h 2
2、正格矢与倒格矢的关系 Rl l1a1 l2a2 l 3a3
K h h1b1 h2b2 h3b3
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3、正格子元胞与倒格子元胞的关系
一定厚度内许多间距相同晶面共同作用的结果。
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（2）入射线波长与面间距关系
sin
2
/ d 1
所以要产生衍射，必须有: d >/2
这规定了X衍射分析的下限： 对于一定波长的X射线而言，晶体中能产生衍射的晶面数是
—— 积分在一个原胞中进行
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倒格子与正格子间的关系
1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
(2 ) *
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3
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2）正格子中一簇晶面
和
正交
—— 可以证明
Gh1h2h3 CA 0
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Gh1h2h3 CB 0
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§1.7 晶体X射线衍射
一、绪论
• 1895年伦琴 (W. C. Roentgen， 1845-1923, 德国物理学 家, 伦琴射线的发现者, 获1901年诺贝尔物理学奖) 研究 阴极射线管时，发现管的对阴极能放出一种有穿透力 的肉眼看不见的射线。由于它的本质在当时是一个“ 未知数”，故称之为X射线。这一伟大发现当即在医 学上获得非凡的应用——X射线透视技术。 • 1912年劳厄 (M. Von Laue, 1879-1960, 德国物理学家, 1914 年获诺贝尔物理学奖) 以晶体为光栅，发现了晶 体的X射线衍射现象，确定了X射线的电磁波性质。 X射线和可见光一样属于电磁辐射，但其波长比可见 光短得多，介于紫外线与γ射线之间，约为10–2到102 埃的范围 (图1)。X射线的频率大约是可见光的103倍 ，所以它的光子能量比可见光的光子能量大得多，表 现出明显的粒子性。
为整数
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由倒格子基矢
得到
代入
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得到
V ( x)
h1 , h2 , h3
Vh1 , h2 , h3 e
iGn1n2 n3 x
Vh1 , h2 , h3
1 iGh1h2 h3 x dxe V ( x) a1 a2 a3
h
D
层间两反射光的光程差 衍射加强的条件
BD DC 2d sin
2d sin k (k 1.2.3)
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2、 关于Bragg定律的讨论
1 1’
（1) X射线衍射与可 见光反射的差异
2 A B
hkl 2’ dhkl
C
(a)可见光在任意掠射角方向均能产生反射，而X射线则只能 在有限的布喇格角方向才产生反射。就平面点阵（h，k，l ） 来说，只有掠射角θ满足 Bragg方程时，才能在相应的反射 角方向上产生衍射。 (b)可见光的反射只是物体表面上的光学现象，而衍射则是
a1 (a 2 a 3 ) b1 (b2 b3 ) (a 2 a3 ) a 3 a1 a1 a 2 2 ( 2 2 )
( 2 )
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3
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与晶面族正交
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3）倒格子矢量 晶面方程
为晶面
的法线方向
各晶面到原点的距离
ai b j 2ij
面间距
2 d h1b1 h2b2 h3b3
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3、倒格子点阵的得出
一组面间距为d的族，从平行晶面原点（在 一晶面上）沿法线N取P点，使
—— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以
为周期的三维周期函数
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根据原胞基矢定义三个新的矢量 —— 倒格子基矢量
a2 a3 b1 2 a1 a2 a3
以
a3 a1 b2 2 a1 a2 a3
a1 a2 b3 2 a1 a2 a3
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倒格子小结： 2009-9-25(五)
• 1、为什么要讲倒易空间(reciprocal space)？ • 一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可 以在倒(动量)空间描写。（坐标表象r，动量表象k） • * 适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理 • * 比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k 守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单 • • 正空间的格矢(Rl)描写周期性；在动量空间有完全等 价的周期性，只是一个变换。(如四种晶胞的倒格子) • 正(坐标)空间——周期性——倒(动量)空间 • • 数学：(正)格子 • 观察： X射线衍射 • • 观察：显微镜? • 数学：倒格子
op = 2π/d，在沿法线方向平行Pˊ P〞 ……得到许多新点。其它取向的晶面相同操作 ，得到一个新点阵 倒格子点阵
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a3
2 OP d
P’
P O
P”
N
a2 a1
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2、倒格子原胞
以b1、b2、b3为基矢，形成的平行六面体 为倒格子元胞体积
§1.5 倒格子
• 倒格子就是和布拉菲矢量（晶格矢量）共轭的另一组 矢量基，俗称动量空间，适合于用来描述声子电子的 晶格动量。其中分割的第一个等效区是布里渊区，倒 格子空间就是X 射线衍射生成的那个图像。 • 倒格子是相对于实际的晶格而言，是由实际晶格变换 得到。以倒格基矢表示的矢量称为倒格子矢量，简称 倒格矢，因此可以认为倒格子与实际格子都是以矢量 表示格子的空间几何结构，只是基矢不同，这两个基 矢有直接的计算关系。 • 目前，倒格子广泛应用于多体问题 ，而多体问题是现 在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿。
1913年W.H.布喇格制成了第一台X 射线摄谱仪
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X射线
原子或离子中的电子— —受迫振动。 振动着的电子 成为次生X射 线的波源，向 外辐射与入射 X 射线同频率 的电磁波，称 为散射波。
上一内容
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Hale Waihona Puke 回主目录返回1、布喇格方程的导出
分两步讨论： （1）同一晶面上各个格点之间的衍射—点间衍射。 （2）不同晶面之间的衍射—面间衍射。