公开课 竞赛课课件相似三角形应用举例
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相似三角形应用举例(复习)课件
相似三角形与三角函数的综合应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用三角函数性质证明三角形相似，或利用三角形相似关 系求解三角函数问题。
三角函数和相似三角形在解题中经常结合使用。例如，在 证明两个三角形相似时，可以通过证明它们的对应角相等 ，然后利用三角函数性质来证明。同样地，在求解三角函 数问题时，也可以通过寻找与已知三角函数值相似的三角 形来求解。这种结合方法可以帮助我们更全面地运用三角 函数和相似三角形知识来解决问题。
相似三角形与解直角三角形的综合应用
总结词
利用直角三角形中的勾股定理和三角函数性质证明三角 形相似，或利用三角形相似关系求解直角三角形问题。
详细描述
直角三角形和相似三角形在解题中经常结合使用。例如 ，在证明两个直角三角形相似时，可以通过证明它们的 对应角相等，然后利用勾股定理和三角函数性质来证明 。同样地，在求解直角三角形问题时，也可以通过寻找 与已知直角三角形相似的三角形来求解。这种结合方法 可以帮助我们更高效地运用直角三角形和相似三角形知 识来解决问题。
相似三角形在实际问题中的解题步骤
01
02
03
04
分析问题
首先需要仔细分析问题，理解 问题的背景和要求。
建立数学模型
根据问题的实际情况，建立相 应的数学模型，特别是需要构
造相似三角形。
求解模型
利用相似三角形的性质和定理 ，求解数学模型，得出结果。
检验结果
最后需要对结果进行检验，确 保其合理性和正确性。
相似三角形的解题技巧
利用相似三角形的性质
相似三角形具有许多重要的性质，如对应边成比例、对应 角相等、面积比等于相似比的平方等。利用这些性质可以 简化计算过程。
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
27.2.3相似三角形应用举例(优质课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
DE BC EF BC
C．AB BC
DE EF
D．DABE
AC DF
例5 如图，为了估算河旳宽度，我们能够在河对岸选定一种目 旳点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直， 接着在过点S且与PS垂直旳直线a上选择合适旳点T，拟定PT与 过点Q且垂直PS旳直线b旳交点R．假如测得QS＝45m，ST＝ 90m，QR＝60m，求河旳宽度PQ．
2. 在处理某些不能直接度量旳物体旳高度或宽
度等测量类问题时，能够借助他物间接测量，这 时往往需要构造相同三角形来处理.
3. 我们把观察者眼睛旳位置称为视点，观察时 ，从下方向上看，视线与水平线旳夹角称为仰角.
4．相同三角形旳实际应用 (1)测量物高 利用“同一时刻旳物高和影长”
比例式为：DABE＝BECF.
FH AH FK CK
为这棵树旳遮挡，右边树 旳顶端点C在观察者旳盲
即 FH 8 1.6 6.4
FH 5 12 1.6 10.4
区之内，观察者看不到 它．
解得 FH＝8
利用相同来处理测量物体高度旳问题旳一般思绪 是怎样旳?
一般情况下，能够从人眼所在旳部位向物体作垂 线，根据人、物体都与地面垂直构造相同三角形 数学模型，利用相同三角形相应边旳比相等处理 问题．
池塘旳宽为36m．
4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度旳示 意图，点处放一水平旳平面镜，光线从点出发经 平面镜反射后刚好射到古城墙旳顶端处，已知小
明身高1.6米，且测得BP=2米，PD=10米，那么该
古城墙旳高度是（ B ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
例6 已知左、右并排旳两棵大树旳高分别是AB＝6cm和CD＝ 12m，两树旳根部旳距离BD＝5m．一种身高1.6m旳人沿着正 对这两棵树旳一条水平直路 l 从左向右迈进，当他与左边较低 旳树旳距离不大于多少时，就不能看到右边较高旳树旳顶端点
C．AB BC
DE EF
D．DABE
AC DF
例5 如图，为了估算河旳宽度，我们能够在河对岸选定一种目 旳点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直， 接着在过点S且与PS垂直旳直线a上选择合适旳点T，拟定PT与 过点Q且垂直PS旳直线b旳交点R．假如测得QS＝45m，ST＝ 90m，QR＝60m，求河旳宽度PQ．
2. 在处理某些不能直接度量旳物体旳高度或宽
度等测量类问题时，能够借助他物间接测量，这 时往往需要构造相同三角形来处理.
3. 我们把观察者眼睛旳位置称为视点，观察时 ，从下方向上看，视线与水平线旳夹角称为仰角.
4．相同三角形旳实际应用 (1)测量物高 利用“同一时刻旳物高和影长”
比例式为：DABE＝BECF.
FH AH FK CK
为这棵树旳遮挡，右边树 旳顶端点C在观察者旳盲
即 FH 8 1.6 6.4
FH 5 12 1.6 10.4
区之内，观察者看不到 它．
解得 FH＝8
利用相同来处理测量物体高度旳问题旳一般思绪 是怎样旳?
一般情况下，能够从人眼所在旳部位向物体作垂 线，根据人、物体都与地面垂直构造相同三角形 数学模型，利用相同三角形相应边旳比相等处理 问题．
池塘旳宽为36m．
4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度旳示 意图，点处放一水平旳平面镜，光线从点出发经 平面镜反射后刚好射到古城墙旳顶端处，已知小
明身高1.6米，且测得BP=2米，PD=10米，那么该
古城墙旳高度是（ B ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
例6 已知左、右并排旳两棵大树旳高分别是AB＝6cm和CD＝ 12m，两树旳根部旳距离BD＝5m．一种身高1.6m旳人沿着正 对这两棵树旳一条水平直路 l 从左向右迈进，当他与左边较低 旳树旳距离不大于多少时，就不能看到右边较高旳树旳顶端点
相似三角形应用举例ppt课件
FH 5 12 1.6 10.4
解得FH=8（m） 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于
８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，
观察者点看拨不：到解它实。际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对 应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，
∴
BC CD
EF GE
，即
BC 3.6
2 1.2
，∴BC＝6m
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，
即点树拨长：A解B是答12此m类。问题时，首先要把实际问题转化为数学
问题。利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
解：∵OA：OC＝OB：OD＝n且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD
∵ OA：OC＝AB：CD＝n，又∵CD＝b，
∴AB=CD•n＝nb，∴
x
a AB 2
a nb 2
点拨：利用三角形相似求线段长是常用方法。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？
活动2 例题讲解
例2：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿 影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全 落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 l.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
解得FH=8（m） 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于
８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，
观察者点看拨不：到解它实。际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对 应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，
∴
BC CD
EF GE
，即
BC 3.6
2 1.2
，∴BC＝6m
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，
即点树拨长：A解B是答12此m类。问题时，首先要把实际问题转化为数学
问题。利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
解：∵OA：OC＝OB：OD＝n且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD
∵ OA：OC＝AB：CD＝n，又∵CD＝b，
∴AB=CD•n＝nb，∴
x
a AB 2
a nb 2
点拨：利用三角形相似求线段长是常用方法。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？
活动2 例题讲解
例2：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿 影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全 落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 l.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
相似三角形应用举例课件(共33张PPT)(共33张PPT)
过点O作AB、A′B′的垂线，垂 C
足分别为Ｃ、Ｃ′，则由三角形
相似，得
OC ＝ AB OC' A'B'
B
32cm
即 32 ＝ 30 20 A'B'
解得：A′B′＝18.75(cm)
答：像A′B′的长度为18.75cm.
B′ O
C′
20cm A′
32
毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
PE N
所以 因此
AE AD 80–x 80
PN
= BC
B Q DM C
= x ，得 x=48（毫米）。答：-------。
120
28
课堂小结
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1、 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2、 测距(不能直接测量的两点间的距离)
∴BE=3，
AB=BE+AE=4.2
A
答:这棵树高有4.2米.
E
C
1.2
m
B
2.7m D
26
解法三:延长AC交BD延长线于G，
CD:DG=1:0.9 ∴DG=0.9CD=1.08 BG=BD+DG=3.78
∵AB:BG=1:0.9 ∴ AB:3.78=1:0.9
∴ AB=4.2
答:这棵树的高为4.2米.
∴ △ABD ∽ △ECD
∴AB︰EC=BD︰CD
∴ AB =BD×EC/CD
B
=120×50/60
D
C
E
=100（米）
答：两岸间的大致距离为100米。
18
例3：已知左，右并排的两棵大树的高分别 是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对着 两棵树的一条水平直路从左向右前进，当
相似三角形的性质公开课ppt课件
01
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则这两个三角形相似。
02
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例， 对应角相等，面积比等于相似
比的平方。
03
相似三角形的判定
通过比较两个三角形的对应角 或对应边来判断它们是否相似
。
解题技巧归纳
寻找相似三角形
在复杂的图形中，通过观察和分析，找出可能相似的三角形。
与全等三角形关系
全等三角形是特殊的相似三角形 ，当相似比为1时，两个三角形
全等。
全等三角形的性质在相似三角形 中同样适用，如对应边、对应角 相等，周长、面积等性质也可以
类比到相似三角形中。
在研究相似三角形时，可以利用 全等三角形的性质进行推导和证
明。
02
相似三角形性质探究
对应角相等
相似三角形的对应角相等，即如果两个三角形相似，那 么它们的对应角必定相等。
，能够独立思考并解决问题。
学习态度与习惯
在学习过程中，我始终保持积极 的学习态度和良好的学习习惯， 认真听讲、积极思考、及时复习
。
THANKS
个三角形相似。
相似三角形的对应角相等，对应 边成比例，面积比等于相似比的
平方。
02
性质
判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所 在的直线，截得的三角形与原三角形相 似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等，则两个三 角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形相似。
在证明过程中，需要注意证明两个三 角形相似的条件以及对应角的确定。
通过构造相似三角形，可以找到与已 知角相等的另外一个角，从而证明角 度相等关系。
相似三角形应用举例PPT教学课件
2020/10/13
9
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ BO OA ， EF FD
∴ BO OA EF 201 2 134 m.
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离
AB．
A
60m C
B 120m D
50m
E
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴
AB BD EC DC
，即
AB 120 50 60
，
解得 AB = 100.
因此，两岸间的大致距离为 100 m.
C．0.4m
D．0.5m
D
2020/10/13
20
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处， 取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝ 15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 20 m.
A
B
E CD
4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线， 并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到 平面镜的距离 SA 的长度为 12 cm .
2020/10/13
21
5.如图，在高为4m的平房顶上A处望一幢楼的底部D时，视线恰好过一棵树 的顶端E，从平房底部B处望楼顶C时，视线也恰好经过小树的顶端E.如果 测得小树的高度为3m，求这幢楼的高度.
相似三角形应用举例 优秀课件
则
DE DC
EF CA
.
A
∴
0.5 20
0.25 ， CA
解得：AC = 10，
C
故 AB = AC + BC
B
= 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m.
E FD
G
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面
上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆
AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，在 AE、BE 延长线上的
C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD
＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
A
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛
的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴
EH EK
AH
CK ，
即
EH EH+5
=
8-1.6 12-1.6
∴ EH=8
由此可知，如果小芳继续前进，当她与左边的树的距离小 于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
∴ 河宽大约为 90 m.
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C， 使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视 线确定 BC 和 AE 的交点 D．若测得 BD＝120米，DC ＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离 AB．
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相似三角形应用举例
教学目标
能够运用三角形相似的知识，解决求不能直接测量物体 的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题) 等一些实际问题．
教学重点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和 高度．
教学难点 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题 抽象为数学问题)．
知识回顾 (1)相似三角形有哪些判定方法 ？定义，平行法，(SSS)，(SAS)， (2A)A相) 似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形呢 ？对应角相等， 根据 对应角相等， 对应边成比例； 定义； 对应边成比例；
解得 x=54（m）． 所以这栋楼的高度是 54 m．
相似的实际应用 2．如图，测得 BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m， 求河宽 AB． 解：由已知可得 △ABD∽△ECD，
∴ AB=100（m）． 所以河宽大约为 100 m．
相似的实际应用
小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了 同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米． 已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度48为______ 米．
思考
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古 代七大奇观之一”．塔的 4 个斜面正对东南西北四个方向， 塔基呈正方形，每边长约 230 米．据考证，为建成胡夫金字 塔，一共花了 20 年时间，每年用工10 万人．该金字塔原高 146.59 米，但由于经过几千年的风化吹蚀，高度有所降低．
你能发现图中的相似三角形吗？ △=∠PST=90°，∠P=∠P， ∴ △PQR∽△PST．
PQ×90=（PQ+45）×60． 解得 PQ=90（m）． 因此，河宽大约为 90 m．
相似的实际应用 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自 己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水 平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小 于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？ 眼睛与A、C在 同一条直线上 时 刚好看不见
答案：6.4m
相似的实际应用 为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB ，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测 出AD=35m，DC=35m，DE=30m，那么你能算出池塘的 宽AB吗？
答案：60m
相似的实际应用
某校宣传栏后面 2 m 处种了一排树，每隔 2 m 一棵，共 种了 6 棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离 3 m 处，正好看到两端的树，其余的 4 棵均被挡住，那么宣传 栏的长6为______m ( 不计宣传栏的厚 ) .
相似的实际应用 你能发现这个图中的相似三角形吗？ △EAH∽△ECK 解：∵AB⊥l， CD⊥l， ∴AB∥CD． ∴ △AEH∽△CEK．
解得 EH=8（m）． 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C．
归纳 1．什么时候需要用到相似三角形测量距离？ ①测量不能到达顶部的物体的高度：通常用 “ 在同一时刻 物高与影长成比例 ” 的原理解决 . ②测量不能到达两点间的距离：常构造相似三角形求解 . 2．应用相似三角形解决实际问题的一般步骤：
审题
构建图形
利用相似解决问题
相似三角形应用举例 如何利用相似三角形测高度？ 如何利用相似三角形测距？
相似的实际应用 1．在某一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m ，同时测得一栋楼的影长为 90 m，这栋楼的高度是多少？ 解：设这栋楼的高度为 x m，因为在同一时刻物高与 影长的比相等，所以依题意有
相似的实际应用 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三 角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太 阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影 长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO． 金字塔的影子可以看成一个等 腰三角形，所以OA等于这个 怎么测得OA的长？ 等腰三角形的高与金字塔的边 长一半的和．
相似的实际应用 如图 ，利用标杆 BE 测量建筑物的高度 . 如果标杆 BE 高 1.2 m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，求楼高 CD 是多少？
答案：10.5m
相似的实际应用 数学兴趣小组测校内一棵树高，如图，把镜子放在离树（ AB）8m点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在 镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2m，观察者 目高CD=1.6m．树高多少米？
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊 国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量 一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题， 因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高 度的吗？
思考
同学们有过测量物体高度的体验吗？ 你有什么方法测量金字塔的高度？
如果你没想到，我们就一起来看看泰勒斯是怎么做的吧！
相似的实际应用 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO． 解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO=∠EDF. 又∠AOB=∠DFE=90°， ∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高度为 134 m．
相似的实际应用 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目 标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选 择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的 交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m ，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
(3)相似三角形的对应边的比叫什么
相似比
？(4)△ABC与△A’B’C’ 的相似 比为k，则△A’B’C’ 与
ΔABC的相似比是多少？
知识回顾
相似三角形的性质
相
对应高的比
似
三 对应中线的比
角
等于相似比 对应角平分线的比
形
的
周长的比
性 面积的比 质
等于相似比的平方
思考 怎样测量非常高大物体的高度？怎样测量河宽？
教学目标
能够运用三角形相似的知识，解决求不能直接测量物体 的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题) 等一些实际问题．
教学重点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和 高度．
教学难点 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题 抽象为数学问题)．
知识回顾 (1)相似三角形有哪些判定方法 ？定义，平行法，(SSS)，(SAS)， (2A)A相) 似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形呢 ？对应角相等， 根据 对应角相等， 对应边成比例； 定义； 对应边成比例；
解得 x=54（m）． 所以这栋楼的高度是 54 m．
相似的实际应用 2．如图，测得 BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m， 求河宽 AB． 解：由已知可得 △ABD∽△ECD，
∴ AB=100（m）． 所以河宽大约为 100 m．
相似的实际应用
小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了 同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米． 已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度48为______ 米．
思考
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古 代七大奇观之一”．塔的 4 个斜面正对东南西北四个方向， 塔基呈正方形，每边长约 230 米．据考证，为建成胡夫金字 塔，一共花了 20 年时间，每年用工10 万人．该金字塔原高 146.59 米，但由于经过几千年的风化吹蚀，高度有所降低．
你能发现图中的相似三角形吗？ △=∠PST=90°，∠P=∠P， ∴ △PQR∽△PST．
PQ×90=（PQ+45）×60． 解得 PQ=90（m）． 因此，河宽大约为 90 m．
相似的实际应用 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自 己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水 平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小 于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？ 眼睛与A、C在 同一条直线上 时 刚好看不见
答案：6.4m
相似的实际应用 为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB ，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测 出AD=35m，DC=35m，DE=30m，那么你能算出池塘的 宽AB吗？
答案：60m
相似的实际应用
某校宣传栏后面 2 m 处种了一排树，每隔 2 m 一棵，共 种了 6 棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离 3 m 处，正好看到两端的树，其余的 4 棵均被挡住，那么宣传 栏的长6为______m ( 不计宣传栏的厚 ) .
相似的实际应用 你能发现这个图中的相似三角形吗？ △EAH∽△ECK 解：∵AB⊥l， CD⊥l， ∴AB∥CD． ∴ △AEH∽△CEK．
解得 EH=8（m）． 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C．
归纳 1．什么时候需要用到相似三角形测量距离？ ①测量不能到达顶部的物体的高度：通常用 “ 在同一时刻 物高与影长成比例 ” 的原理解决 . ②测量不能到达两点间的距离：常构造相似三角形求解 . 2．应用相似三角形解决实际问题的一般步骤：
审题
构建图形
利用相似解决问题
相似三角形应用举例 如何利用相似三角形测高度？ 如何利用相似三角形测距？
相似的实际应用 1．在某一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m ，同时测得一栋楼的影长为 90 m，这栋楼的高度是多少？ 解：设这栋楼的高度为 x m，因为在同一时刻物高与 影长的比相等，所以依题意有
相似的实际应用 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三 角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太 阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影 长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO． 金字塔的影子可以看成一个等 腰三角形，所以OA等于这个 怎么测得OA的长？ 等腰三角形的高与金字塔的边 长一半的和．
相似的实际应用 如图 ，利用标杆 BE 测量建筑物的高度 . 如果标杆 BE 高 1.2 m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，求楼高 CD 是多少？
答案：10.5m
相似的实际应用 数学兴趣小组测校内一棵树高，如图，把镜子放在离树（ AB）8m点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在 镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2m，观察者 目高CD=1.6m．树高多少米？
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊 国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量 一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题， 因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高 度的吗？
思考
同学们有过测量物体高度的体验吗？ 你有什么方法测量金字塔的高度？
如果你没想到，我们就一起来看看泰勒斯是怎么做的吧！
相似的实际应用 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO． 解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO=∠EDF. 又∠AOB=∠DFE=90°， ∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高度为 134 m．
相似的实际应用 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目 标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选 择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的 交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m ，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
(3)相似三角形的对应边的比叫什么
相似比
？(4)△ABC与△A’B’C’ 的相似 比为k，则△A’B’C’ 与
ΔABC的相似比是多少？
知识回顾
相似三角形的性质
相
对应高的比
似
三 对应中线的比
角
等于相似比 对应角平分线的比
形
的
周长的比
性 面积的比 质
等于相似比的平方
思考 怎样测量非常高大物体的高度？怎样测量河宽？