吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习函数的单调性与最值学案理

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吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习函数的单调性与最值学案理

函数的单调性与最值一、知识梳理：（阅读教材必修1第27页—第32页）1、函数的单调性及性质（1）、定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量当时，都有，那么就说f(x)在区间D上是。

（2）、函数的单调性的理解：要注意以下三点：①、单调性是与区间紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性②、单调性是函数在某个区间上“整体”性质，因此定义中的具有任意性，不能用特殊值代替.③、由于定义是充要条件的命题，因此由f(x)是增（减）函数，f()< f(),这说明单调性存在的前提下，自变量与函数值之间的不等式可以“正逆互推”，于是，增函数的定义等价于：)>0()() >0减函数的定义等价于：)<0()() <0（3）、单调区间：如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说个函数在这个区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间。

（4）、(理科)复合函数的单调性：设复合函数y=,其中,如果y=()与的单调性相同，那么函数y=f[g(x)] 是函数，如果y=()与的单调性相反，那么函数y=f[g(x)] 是函数；（5）、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①、任取，且②、作差③、变形（通常是因式分解和配方）④、判断符号（即判断，的正负)⑤下结论（即指出函数y=f(x)在给定的区间上的单调性）（6）、函数单调性的性质①、奇函数在其关于原点对称的区间上的单调性；②、偶函数在其关于原点对称的区间上的单调性；③、在公共定义域内：增函数+增函数是，减函数+减函数是增函数-减函数是，减函数-增函数是。

2、函数的最值对于函数y=f(x)，设定义域为A，则（1）、若存在，使得对于任意的，恒有成立，则称f()是函数f(x)的。

（2）、若存在，使得对于任意的，恒有成立，则称f()是函数f(x)的。

二、题型探究探究一：判断证明函数的单调性例1：【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x是R上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a=->，则（）A．sgn[()]sgng x x=B．sgn[()]sgng x x=-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B例2：【2014高考北京】2.下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（） A ．1y x =+ B ．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+【解析】2.A 【命题意图】本小题主要考查了函数单调性的判定.对于选项A ，在[0,)+∞上为增函数，显然在(0,)+∞为增函数；对于选项B ，只在[1,)+∞上为增函数；对于选项C ，在R 上为减函数；对于选项D ，在(1,)-+∞上为减函数.故选A.探究二：抽象函数与复合函数的单调性例3：【2013师大精典题库】定义在R 上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a 、b ，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意x ，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R 上的增函数。

高三数学一轮复习优质教案6：2.2 函数的单调性与最值教学设计

2.2 函数的单调性与最值『复习指导』本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握．基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值助学微博一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两种形式设任意x 1，x 2∈『a ，b 』且x 1＜x 2，那么 ①f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在『a ，b 』上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在『a ，b 』上是减函数．②(x 1－x 2)『f (x 1)－f (x 2)』＞0⇔f (x )在『a ，b 』上是增函数；(x 1－x 2)『f (x 1)－f (x 2)』＜0⇔f (x )在『a ，b 』上是减函数．两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基自测1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )． A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)2．(2011·湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．『2－2，2＋2』B ．(2－2，2＋2)C ．『1,3』D ．(1,3)3．(2012·保定一中质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．5．若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．考向一函数的单调性的判断『例1』试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性．『审题视点』可采用定义法或导数法判断．『答案』法一 f (x )的定义域为R ，在定义域内任取x 1＜x 2，都有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1－x 21－x 1x 2x 21＋1x 22＋1，其中x 1－x 2＜0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0.①当x 1，x 2∈(－1,1)时，即|x 1|＜1，|x 2|＜1，∴|x 1x 2|＜1，则x 1x 2＜1,1－x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )为增函数． ②当x 1，x 2∈(－∞，－1』或『1，＋∞)时， 1－x 1x 2＜0，f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为减函数．综上所述，f (x )在『－1,1』上是增函数，在(－∞，－1』和『1，＋∞)上是减函数．法二 ∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x x 2＋1′＝x 2＋1－x x 2＋1′x 2＋12＝x 2＋1－2x 2x 2＋12＝1－x 2x 2＋12，∴由f ′(x )＞0解得－1＜x ＜1.由f ′(x )＜0解得x ＜－1或x ＞1，∴f (x )在『－1,1』上是增函数，在(－∞，－1』和『1，＋∞)上是减函数．判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等．『训练1』讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．『答案』设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝ax －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝ax 2－x 1x 1－1x 2－1当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．考向二利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)『例2』已知函数f (x )＝x 2＋ax (a >0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．『审题视点』求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性．『答案』法一设2<x 1<x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－ax 1x 2<0恒成立．即当2<x 1<x 2时，x 1x 2>a 恒成立．又x 1x 2>4，则0<a ≤4.法二 f (x )＝x＋a x ，f ′(x )＝1－ax 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，根据已知条件a ≤2，解得0<a ≤4.已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．『训练2』函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3『解析』y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a ＋2≤－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≤－3，∴a ≤－3. 『答案』C考向三利用函数的单调性求最值『例3』►已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在『－3,3』上的最大值和最小值．『审题视点』抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形． (1)证明法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有 f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．法二设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在『－3,3』上也是减函数，∴f (x )在『－3,3』上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在『－3,3』上的最大值为2，最小值为－2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．『训练3』已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在『2,9』上的最小值．『答案』 (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在『0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在『2,9』上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.∴f (x )在『2,9』上的最小值为－2.规范解答2——如何解不等式恒成立问题『问题研究』在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置. 『解决方案』解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.『示例』►(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈『－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．利用函数性质求f (x )的最值，从而解不等式f (x )min ≥a ，得a 的取值范围．解题过程中要注意a 的范围的讨论．『解答示范』 ∵f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴此二次函数图象的对称轴为x ＝a (1分) (1)当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在『－1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.(3分)要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3，即－3≤a ＜－1.(6分)(2)当a ∈『－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.(8分) 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2－a 2≥a (10分)解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1.(11分)综上所述，实数a 的取值范围为『－3,1』(12分)本题是利用函数的性质求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，由于导数知识的运用，拓展了这类问题深度和思维的广度，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．『试一试』当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．『解析』法一当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0可化为：m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，又函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上递增，则f (x )>－5，则m ≤－5.法二设g (x )＝x 2＋mx ＋4当－m 2≤32，即m ≥－3时，g (x )＜g (2)＝8＋2m ，当－m 2＞32，即m ＜－3时，g (x )＜g (1)＝5＋m 由已知条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－3，8＋2m ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－3，5＋m ≤0.解得m ≤－5『答案』(－∞，－5』答案双基自测1．『答案』C 2．『解析』函数f (x )的值域是(－1，＋∞)，要使得f (a )＝g (b )，必须使得－x 2＋4x －3＞－1.即x 2－4x ＋2＜0，解得2－2＜x ＜2＋ 2. 『答案』B 3．『解析』由已知条件：⎪⎪⎪⎪1x >1，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0. 『答案』C4．『解析』要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1＞0，即x ＞－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x ＞－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 『答案』⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 5．『解析』∵x ＞0，则x ＋2x≥2x ·2x＝2 2 当且仅当x ＝2x ，即x ＝ 2时，等号成立，因此x ＋2x 的最小值为2 2.『答案』2 2。

高考数学(理科)一轮复习函数的单调性与最值学案含答案

高考数学（理科）一轮复习函数的单调性与最值学案含答案学案5函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在区间D上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔－－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔－－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是________．(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________．(4)函数y＝x＋ax(a>0)在(－∞，－a)，(a，＋∞)上是单调________；在(－a，0)，(0，a)上是单调______________；函数y＝x＋ax(a<0)在______________上单调递增．2．最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的____________．自我检测 1．(2011•杭州模拟)若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是 ()A．增函数 B．减函数C．先增后减 D．先减后增2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有 ()A．f(a)<f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)>f(a)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ()A．y＝1－2x B．y＝x－1C．y＝－x2＋2x D．y＝54．(2011•合肥月考)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是 ()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定5．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为()A．[c,55＋c] B．[－43＋c，c]C．[－43＋c,55＋c] D．[c,20＋c]探究点一函数单调性的判定及证明例1 设函数f(x)＝x＋ax＋b(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．变式迁移1已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论．探究点二函数的单调性与最值例2 (2011•烟台模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．变式迁移2已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．探究点三抽象函数的单调性例3 (2011•厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 分类讨论及数形结合思想例(12分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1) 当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[3分](2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[6分](3)当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.[9分] (4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，(1)当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；(3)当1<a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；(4)当a>2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[12分]【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)． 1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．(2)f(x)与af(x)，当a>0时，具有相同的单调性，当a<0时，具有相反的单调性．(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与具有相反的单调性．(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)•g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数． (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011•泉州模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2009•天津)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2， x<0，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．(2009•宁夏，海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 ()A．4 B．5 C．6 D．74．(2011•丹东月考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是 ()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]5．(2011•葫芦岛模拟)已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 ()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能题号 1 2 3 4 5答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数．8．设0<x<1，则函数y＝1x＋11－x的最小值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011•湖州模拟)已知函数f(x)＝a－1|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．10．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．11．(14分)(2011•鞍山模拟)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有＋＋b>0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f(x＋12)<f(1x－1)；(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．答案自主梳理1．(1)增函数(减函数)(2)增函数减函数(3)单调区间(4)递增递减(－∞，0)，(0，＋∞) 2.最大(小)值自我检测1．B[由已知得a<0，b<0.所以二次函数对称轴为直线x＝－b2a<0，且图象开口向下．]2．D[∵a2＋1>a，f(x)在R上单调递增，∴f(a2＋1)>f(a)．]3．C[常数函数不具有单调性．]4．D[在本题中，x1，x2不在同一单调区间内，故无法比较f(x1)与f(x2)的大小．]5．C[∵f(x)＝3(x－23)2－43＋c，x∈[0,5]，∴当x＝23时，f(x)min＝－43＋c；当x＝5时，f(x)max＝55＋c.]课堂活动区例1解题导引对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解在定义域内任取x1，x2，且使x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝x2＋ax2＋b－x1＋ax1＋b＝＋＋－＋＋＋＋＝－－＋＋∵a>b>0，∴b－a<0，∴(b－a)(x2－x1)<0，又∵x∈(－∞，－b)∪(－b，＋∞)，∴只有当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，函数才单调．当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0，即Δy<0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1解在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)>f(x1)，F(x2)－F(x1)＝[f(x2)＋－[f(x1)＋＝[f(x2)－f(x1)][1－，∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，∴当x<5时，0<f(x)<1，而当x>5时f(x)>1；①若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1，∴0<f(x1)f(x2)<1，∴1－，∴F(x2)<F(x1)；②若x2>x1>5，则f(x2)>f(x1)>1，∴f(x1)•f(x2)>1，∴1－，∴F(x2)>F(x1)．综上，F(x)在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．例2 解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，设x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1＋12x1－x2－12x2＝(x1－x2)(1－12x1x2)∵x1<x2，∴x1－x2<0，又∵1<x1<x2，∴1－12x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax>0恒成立，等价于x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，∴当x＝1时，ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)恒成立，故a>－3.方法二f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，满足题意，当a<0时，函数f(x)递增；当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.方法三在区间[1，＋∞)上f(x)＝x2＋2x＋ax>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0恒成立．即a>－x2－2x恒成立．又∵x∈[1，＋∞)，a>－x2－2x恒成立，∴a应大于函数u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值．∴a>－x2－2x＝－(x＋1)2＋1.当x＝1时，u取得最大值－3，∴a>－3.变式迁移2解设1<x1<x2.∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x1)－f(x2)＝x1－ax1＋a2－(x2－ax2＋a2)＝(x1－x2)(1＋ax1x2)<0.又∵x1－x2<0，∴1＋ax1x2>0，即a>－x1x2恒成立．∵1<x1<x2，x1x2>1，－x1x2<－1.∴a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f(x)为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．(1)证明设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)又∵x>0时，f(x)<0.而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．又∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)∴f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.变式迁移3解(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x1x2>1，由于当x>1时，f(x)<0，∴f(x1x2)<0，即f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)得f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，∴当x>0时，由f(|x|)<－2，得f(x)<f(9)，∴x>9；当x<0时，由f(|x|)<－2，得f(－x)<f(9)，∴－x>9，故x<－9，∴不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．课后练习区1．A[f(x)对称轴x＝a，当a≤1时f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴“a＝1”为f(x)在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]2．C[由题知f(x)在R上是增函数，由题得2－a2>a，解得－2<a<1.]3．C[ 由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．]4．D[f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0<a≤1.]5．A[∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．又∵x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，∴x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1.又∵f(x1)>f(－x2)＝－f(x2)，f(x2)>f(－x3)＝－f(x3)，f(x3)>f(－x1)＝－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>－f(x2)－f(x3)－f(x1)．∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0.]6．[0，32] 解析y＝－－－画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析举例：设f(x)＝x，易知①②④均不正确．8．4解析y＝1x＋11－x＝－，当0<x<1时，x(1－x)＝－(x－12)2＋14≤14.∴y≥4.9．(1)证明当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－1x，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0.f(x1)－f(x2)＝(a－1x1)－(a－1x2)＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………………………………………………………(6分)(2)解由题意a－1x<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋1x，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………………………………………………………………(8分)∵h′(x)＝2－1x2，x∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分)故a≤h(1)，即a≤3.∴a的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分)10．解设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)≥0，由题意知，f(x)的对称轴为－a2.(1)当－a2<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤73.又a>4，故此时的a不存在．……………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f(－a2)＝3－a－a24≥0得－6≤a≤2.又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.……………………………………………………………(8分)(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0得a≥－7.又a<－4，故－7≤a<－4.综上得所求a的取值范围是－7≤a≤2.………………………………………………(12分)11．解(1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2，则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝＋－＋－－x2)，由已知得＋－＋－，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴x＋12<1x－1，－1≤x＋12≤1，－1≤1x－分∴－32≤x<－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m•a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.……………………………………………………(14分)。

吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习函数的图象(1)学案理

导数与定积分应用（尖刀班）（1）一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x ' 4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭8.复合函数的导数：（1）.（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'(2).复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数(3).复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代9.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.10.极值：极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点. 极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .11.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值12．定积分(理科)（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰ba dx x f )(，即⎰b a dx x f )(＝∑=∞→n i n f 1lim (ξi )△x 。

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习函数的图象(2)学案理

导数与定积分应用（尖刀班）（1）一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页） 1、导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率xx f x x f x y∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=， ()xxe e '= ； ()ln x xa a a '= 7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭8.复合函数的导数：（1）.（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'(2).复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数(3).复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代9.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.10.极值：极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 . 11.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个. 利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值12．定积分(理科)（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习函数的奇偶性学案理

函数的奇偶性一、知识梳理：（阅读教材必修1第33页—第36页）1、函数的奇偶性定义：2、利用定义判断函数奇偶性的步骤（1）首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；（2）确定与的关系；（3）作出相应结论3、奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含0，则（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：4、一些重要类型的奇偶函数（1）、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;f(x)= (a>0,a) 为奇函数;（2）、f(x)=（3）、f(x)=（4）、f(x)=x+（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究[探究一]：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1.（15年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．x e x y +=B ．x x y 1+= C ．x x y 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．2.（15年福建理科）下列函数为奇函数的是( )A ．y =．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．例2: 函数f(x)的定义域为R ，且对任意的a 、b ，f(a+b) = f(a)+f(b),（1）、判断f(x)的奇偶性，并证明。

吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习函数的图象(1)教案文

函数的图象（1）一、知识梳理：函数的图象是函数的直观表达，形象地显示了函数的性质，借助函数的图象，我们可以方便地研究函数的性质，加深对函数性质的理解和认识，而且分析函数图象是运用“数形结合”思想解决一些综合问题的有力工具，它一方面能启发我们发现解题思路，另一方面能够简化解题过程。

（一）、作图象作函数的图象通常有以下两种办法：（1）、描点法：其步骤①、确定函数的定义域。

②、化简函数的表达式。

③、列表。

④、描点。

⑤、连线。

（2）、图象的变换：主要有以下四种形式：①、平移变化：(a)左右平移：(>0) 的图象可由的图象向左或向右平移a个单位得到；（b）上下平移：(>0) 的图象可由的图象向上或向下平移a个单位得到。

(c)的图象按向量②、对称变换：主要有：的图象与的图象关于轴对称；的图象与的图象关于轴对称；的图象与的图象关于对称。

③、伸缩变换：主要有：(a)、的图象可将的图象上每点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍而得到；(b)、的图象可将的图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍而得到；④、翻折变换：主要有：(a)、图象可将的图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折，x轴及其上方的图象保持不变；(b)、图象是先画出在y轴及右侧的图象再将y轴右侧的图象以y轴为对称轴翻折到左侧而得到左边的图象（右侧部分保持不动）；（二）、识图象对于给定的函数的图象，要能从图象的左右上下分布范围、变化趋势，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质；（三）、用图象函数的图象形象对显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题图径、获得问题结果的重要工具。

（四）、图象对称性的证明证明函数的图象的地称性，即证明图象上任意一点关于对称中心（或对称轴）对称点仍在图象上；有关对称问题有以下三个重要结论：(1)若=对于定义域内任意x都成立，则函数的图象关于直线x= 成轴对称图形；(2)若的图象关于直线x=m及x=n对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期；(3)若的图象关于点（m，0）（n，0）对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期。

函数单调性与最值的综合(一轮复习教案)

学习过程一、复习预习1.函数的值域1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、知识讲解常见函数的值域：1 一次函数的)0(≠+=a b ax y 的定义域为R ，值域为R ，对于一个R 中的任意一个数，对R 中都有为唯一的数与它相对应。

2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，值域为B 。

当0>a 时，}44{2ab ac y y B -≥=，当0<a 时，}44{2a b ac y y B -≤=，对R 中都有为唯一的数与它相对应。

3反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠.4求函数值域的方法：观察法，配方法，换元法，分离常数法,反解法，判别式法等。

单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)（2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习函数与方程学案理

函数与方程一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数,我们把使0的实数x叫做函数的零点。

这样，函数的零点就是方程0的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程0有实根。

（2）、函数的零点存在性定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。

（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。

（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因此在区间[a，b]上连续函数，是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。

2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且的函数通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

（2）、给定精确度（）用二分法求函数的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证给定精确度（）；②求区间（a，b）的中点c；③计算（I）若=0，则c就是函数的零点；（II）若则令b=c，（此时零点）；（III）若则令a=c，（此时零点）；④判断是否达到精确度，若|a-b|，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。

函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的程序，借助计算器或者计算机来完成计算。

二、题型探究[探究一]：考察零点的定义及求零点例1：已知函数(1)m为何值时，函数的图象与x轴只有一个公共点？（1或1/3）(2)如果函数的一个零点为2，则m的值及函数的另一个零点。

高三数学一轮复习精品教案3：2.2函数的单调性与最值教学设计

第2课时函数的单调性与最值1．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性．2．理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大(小)值．『梳理自测』一、函数的单调性1．下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝1x B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e2D．f(x)＝ln(x＋1)2．函数y＝x2＋2x－3(x＞0)的单调增区间是() A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－3』『答案』1.A 2.A◆以上题目主要考查了以下内容：(1)单调函数的定义(2)若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．二、函数的最值1．(教材改编)f(x)＝x 2－2x(x ∈『－2，4』)的最小值为________，最大值为________． 2．(教材改编)函数f(x)＝2xx ＋1在『1，2』的最大值为________，最小值为________．『答案』1.－1 8 2.43 1◆以上题目主要考查了以下内容：『指点迷津』1．函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．如y ＝x 2在(－∞，＋∞)上不具有单调性 .2．f(x)在区间『a ，b 』上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为『a ，b 』的含义不同． 3．函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．4．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．如函数y ＝1x 的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)是错误的．考向一判断函数的单调性判断函数f(x)＝axx ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．『审题视点』利用单调性定义证明．『典例精讲』当a ＞0时，函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．证明如下：设－1＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1＝ax 1（x 2＋1）－ax 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝a （x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1） ∵－1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0.∴当a ＞0时，f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)， ∴函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a ＜0时，f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)， ∴函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．『类题通法』 (1)判定(或证明)函数单调性的主要方法有： ①能画出图象的函数，用图象法． ②能作差变形的用定义法． ③能求导的函数用导数法．④由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法． (2)判断函数的单调性应先求定义域；(3)用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等．1．试讨论函数f(x)＝axx －1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．『解析』设－1＜x 1＜x 2＜1， f(x)＝a x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f(x 1)－f(x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1（x 1－1）（x 2－1）当a ＞0时，f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a ＜0时，f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，函数f(x)在(－1，1)上递增．考向二求函数的单调区间求下列函数的单调区间． (1)函数f(x)＝x ＋ax (a ＞0)(x ＞0)；(2)函数y ＝x 2＋x －6.『审题视点』 (1)用定义法，(2)用复合函数法．『典例精讲』 (1)设x 1＜x 2， f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋a x 1－(x 2＋ax 2)＝(x 1－x 2)＋a （x 2－x 1）x 1x 2＝(x 1－x 2)·（x 1x 2－a ）x 1x 2当0＜x 1＜x 2＜a 时，x 1x 2＜a ， ∴f(x 1)－f(x 2)＞0.在(0，a)上，f(x)是减函数．当a ＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，f(x 1)－f(x 2)＜0， ∴f(x)在(a ，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝x ＋ax(a ＞0)的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a)．(2)令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3』上是减函数，在『2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3』，单调增区间为『2，＋∞)．『类题通法』求单调区间的方法(首先求定义域) 1．定义法：注意证明函数单调性只能用定义和导数法． 2．图象法：图象上升区间为增区间；图象下降区间为减区间．3．导数法：f′(x)＞0的解的区间为增区间； f′(x)＜0的解的区间为减区间．4．复合函数法：按复合函数“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．2．(1)函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为________． (2)函数y ＝x －|1－x|的单调增区间为________．『解析』(1)函数f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t ＞0)，因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)y ＝x －|1－x|＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x≥1，2x －1，x ＜1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1』，无单调减区间．『答案』(1)⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ (2)(－∞，1』考向三利用函数的单调性解不等式(2014·山东济宁二模)定义在R 上的偶函数f (x )在『0，＋∞)上递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 D.⎝⎛⎭⎫0，12 『审题视点』根据单调性剥去“f ”符号转化为对数不等式．『典例精讲』由f (x )＝f (－x )＝f (|x |) 得f (|log 18x |)＞f ⎝⎛⎭⎫13，于是|log 18x |＞13，解出答案，可知选B.『答案』 B『类题通法』根据函数y ＝f (x )的单调性，由x 1、x 2的大小，可比较f (x 1)与f (x 2)的大小．反之知f (x 1)与f (x 2)的大小，可得x 1与x 2的大小，即剥去“f ”符号解不等式．3．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈『0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)『解析』选 A.由题意得，在『0，＋∞)上，f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，故f (x )在『0，＋∞)上单调递减，且满足n ∈N *时，f (－2)＝f (2)，3＞2＞1＞0，得f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A.考向四函数的最值及应用(2014·昆明模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈『1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈『1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．『审题视点』 (1)利用单调性求最小值． (2)当x ∈『1，＋∞)时，f (x )min ＞0，求a . 『典例精讲』 (1)当a ＝12，f (x )＝x ＋12x ＋2，∴f ′(x )＝1－12x 2，当x ∈『1，＋∞)时，f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )在『1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)取最小值，f(1)＝72.故f(x)min＝72.(2)要使f(x)＞0，x∈『1，＋∞)恒成立，即x2＋2x＋a＞0，x∈『1，＋∞)恒成立．设g(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，∴当x∈『1，＋∞)时，g(x)min＝3＋a.∴3＋a＞0，∴a＞－3即可，∴a∈(－3，＋∞)．『类题通法』 1.求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．2．恒成立问题的解法(1)m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max；(2)m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min.4．(2014·荆州市高三质量检测)函数f(x)＝|x3－3x2－t|，x∈『0，4』的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时，g(t)的最小值为________．『解析』令g(x)＝x3－3x2－t，则g′(x)＝3x2－6x，令g′(x)≥0，则x≤0或x≥2，在『0，2』上g(x)为减函数，在『2，4』上g(x)为增函数，故f(x)的最大值g(t)＝max{|g(0)|，|g(2)|，|g(4)|}，又|g(0)|＝|t|，|g(2)|＝|4＋t|，|g(4)|＝|16－t|，在同一坐标系中分别作出它们的图象，由图象可知，在y＝16－t(t≤16)与y＝4＋t(t≥－4)的交点处，g(t)取得最小值，由16－t＝4＋t，得2t＝12，t＝6，∴g(t)min＝10.『答案』10求函数在闭区间上最值和单调性应用(2014·郑州市高三质检)已知函数f (x )＝1－xax＋ln x . (1)当a ＝12时，求f (x )在『1，e 』上的最大值和最小值；(2)若函数g (x )＝f (x )－14x 在『1，e 』上为增函数，求正实数a 的取值范围．『审题视点』 (1)利用求导法求极值再与f (1)，f (e)比较得最值． (2)g (x )在『1，e 』上递增可转化为g ′(x )≥0在『1，e 』上恒成立，求解a . 『思维流程』a ＝12时，化简f (x )．求导，并求出f ′(x )＝0的根．判断单调性，确定极值点．求极值，并确定最值．确定g (x )并求导．转化题意，求解g ′(x )≥0恒成立问题．利用二次函数求a 的范围．『规范解答』 (1)当a ＝12时，f (x )＝2（1－x ）x＋ln x ，f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2，∴当x ∈『1，2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在『1，2)上单调递减；当x ∈(2，e 』时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，e 』上单调递增，∴f (x )在区间『1，e 』上有唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (x )极小值＝f (2)＝ln 2－1.3分又∵f (1)＝0，f (e)＝2－ee＜0.∴f (x )在区间『1，e 』上的最大值f (x )max ＝f (1)＝0.5分综上可知，函数f (x )在『1，e 』上的最大值是0，最小值是ln 2－1.6分(2)∵g (x )＝f (x )－14x ＝1－x ax ＋ln x －14x ，∴g ′(x )＝－ax 2＋4ax －44ax 2(a ＞0)，设φ(x )＝－ax 2＋4ax －4，由题意知，只需φ(x )≥0在『1，e 』上恒成立即可满足题意.9分∵a ＞0，函数φ(x )的图象的对称轴为x ＝2，∴只需φ(1)＝3a －4≥0，即a ≥43即可．故正实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞.12分『规范建议』 (1)区分极值与最值．(2)正确转化题意，如本题(2)中转化为g ′(x )≥0恒成立时求a 的范围．切记不能去掉“＝”号．1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝x |x |『答案』D2．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |『解析』选C.利用偶函数的定义及函数单调性的判断方法求解． A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.3．(2013·高考全国大纲卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．『－1，0』B ．『－1，＋∞)C ．『0，3』D ．『3，＋∞)『解析』选D.由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立，分离参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，需a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max.令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞.因为h ′(x )＝－2x 3－2，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，故a ≥3. 4．(2012·高考安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是『3，＋∞)，则a ＝________．『解析』f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ≥－a2；－2x －a ，x ＜－a2.由图象可知，单调增区间为『－a2，＋∞)．∴－a2＝3，a ＝－6.『答案』－6。

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2、函数的最值对于函数y=f(x)，设定义域为A，则（1）、若存在，使得对于任意的，恒有成立，则称f()是函数f(x)的。

（2）、若存在，使得对于任意的，恒有成立，则称f()是函数f(x)的。

二、题型探究探究一：判断证明函数的单调性例1：【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x是R上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a=->，则（）A．sgn[()]sgng x x=B．sgn[()]sgng x x=-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B例2：【2014高考北京】2.下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+【解析】2.A 【命题意图】本小题主要考查了函数单调性的判定.对于选项A ，在[0,)+∞上为增函数，显然在(0,)+∞为增函数；对于选项B ，只在[1,)+∞上为增函数；对于选项C ，在R 上为减函数；对于选项D ，在(1,)-+∞上为减函数.故选A.探究二：抽象函数与复合函数的单调性例3：【2013师大精典题库】定义在R 上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a 、b ，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意x ，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R 上的增函数。

例4：函数f(x)对任意a 、b ，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。

(1)证明：f(x)是R 上的增函数；(2)若f(4)=5,解关于m 的不等式f(3<3.例5：求函数的的单调区间探究三：与单调性有关的参数问题例5：已知函数()12(1)xxf x a a a 2=--> （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为7-，求a 的值和函数()f x 的最大值。

解析：设22021(1)2xa t y t t t =>∴=--+=-++ （1）t=-1, 221y t t ∴=--+在(0,)+∞上是减函数1y ∴<, 所以值域为(,1)-∞（2） t, 由211[,]t a a=-∉ 所以221y t t =--+在21[,]a a 上是减函数 22172a a a --+=-∴=或4a =-（不合题意舍去）当2114t a ==时y 有最大值，即2max 117()214416y =--⨯+=探究四、函数的单调性与最值例6：求下列函数的值域1、 y ＝－x 2－6x －5 2、 y=x+ 3、4、 ,表示不超过x 的最大整数例7：12．求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .w w w .x k b 1.c o m①当a ＜0时，由图①可知， f (x )min ＝f (0)＝－1， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .②当0≤a ＜1时，由图②可知， f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .③当1≤a ≤2时，由图③可知， f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (0)＝－1.④当a ＞2时，由图④可知， f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1.综上所述，当a ＜0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；当0≤a ＜1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；当1≤a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1；当a ＞2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1.三、方法提升1、函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，函数在给定的区间的单调性反映函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域内上的整体性质，函数的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；2、求函数的单调区间，首先请注意函数的定义域，函数的增减区间都是定义域的子区间;其次，掌握基本初等函数的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，复合函数法和导数法；3、利用函数的单调性可以解函数不等式、方程及函数的最值问题。

四、反思感悟。

五、课时作业一、选择题1. 【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（） A. ),1()0,(+∞-∞Y B ),1[]0,(+∞-∞Y C.)1,0( D. ]1,0[2. 【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ C ）A. 3B. 2C. 1D. -13.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（A ）A ．（13，23） B ．（∞-，23） C ．（12，23） D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32 4.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（D ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()23()2(-<-<f f f5.已知f （x ）是R 上的奇函数()f x ，且f （2）=0，x 为单调增函数，求x f （x ）的解集（）A ．[-2，0] B.C. D.6.偶函数在上单调递增，则与的大小关系是（）A ．)2()1(+≥+b f a fB ．)2()1(+<+b f a fC ．)2()1(+≤+b f a fD ．)2()1(+>+b f a f7.设a ，b ∈R ，且a ＞0，函数f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，g (x )＝ax ＋b ，在[－1，1]上g (x )的最大值为2，则f (2)等于( )．A ．4B ．8C ．10D ．168.函数f(x)= x 2+2(a －1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是( ) A. [)3,-+∞B. (],3-∞-C. (－∞,5)D.[)3,+∞9.已知函数3()log 2,[1,9]f x x x =+∈，则函数22[()]()y f x f x =+的最大值是（） A ．22 B ．13 C ．11 D ．－3 10.函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大值为M ，最小值为m ，则A.4=-m MB.4=+m MC.2=-m MD.2=+m M 11.已知20π<<x ，t 是大于0的常数，且函数xt x x f sin 1sin 1)(-+=的最小值为9，则t的值为（）A.4B.6C.8D.10二、填空题12.函数⎩⎨⎧++=762)(x x x f ]1,1[]2,1[-∈∈x x ，则)(x f 的最大值、最小值为。

13. 当x 则函数的最大值为。

14.设x ∈R ，则函数f (x ) =16)12(122+-++x x 的最小值为。

15.22x y +22(8)(6)x y -+-20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为，最小值为。

三、解答题16.求证：函数()1f x x x=+，在区间()0,1上是减函数。

17.已知函数. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[2,),()0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围。

18.已知函数()12(1)x x f x a a a 2=--> （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为7-，求a 的值和函数()f x 的最大值。

19.对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数。

（1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数2++=x k y 是否为闭函数？若是闭函数，求实数k 的取值范围。