高考中解析几何问题的热点题型63
高考数学：解析几何常考题型及解题方法汇总（含详解），
相信很多同学都知道，解析几何其实并不难，解题思路也相对简单，但是它却折磨着大多数的考生们！
为什么？因为它的计算量实在是太大了，想找个简单快捷的方法去做都是很不容易的一件事。
在高考数学中，解析几何属于必考题，而且其所占的分值和函数也相差不大，都是在3 0分左右，但是它并没有像函数压轴题一样，让人看了就想放弃。
但是只要找对方法，你会发现其实解析几何也没有想象中的那么折磨人，而且出乎意料的简单。
今天，学长就为同学们整理了高考数学中解析几何的热点常考题和解题方法的汇总，希望同学们好好把握，在高考中取得一个更好的成绩！
需要电子打印版的同学可以私信发送，解析几何，就可以打印出来了！用起来超方便！！！。
解析几何重点题型归纳
解析几何重点题型归纳1、设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =u u u r u u u r,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求 (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.2、在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切. （Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、的取值范围.3、已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，. （Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；（Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.4、已知抛物线C :22x py=()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标； (2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.5、 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l（I ）求a ，b 的值；（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
6、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．7、设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．8、如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。
高中解析几何典型题
高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。
具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。
解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。
如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。
题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。
通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。
在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。
在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。
2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。
3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。
4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。
高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。
高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题主要分为以下几类：
1. 平面向量问题：涉及向量加减、点积（数量积）、叉积（向量积）及其性质，例如线段长度、平行四边形面积、点到直线距离等等。
2. 空间几何问题：涉及空间中点、线、面的位置关系、相交情况、垂直或平行关系、大小关系等问题，例如两平面夹角、直线与平面的交点、平面方程等。
3. 三角形问题：涉及三角形内部、外部、垂心、垂足、中线、中心、外心、内心等概念，例如三角形的外接圆、内切圆、垂心定理等。
4. 圆锥曲线问题：涉及圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的定义、性质、焦点、方程、参数等问题，例如椭圆离心率、抛物线焦点、双曲线渐近线等。
5. 空间向量问题：涉及空间中平行六面体、四面体的体积、重心、外接球、内切球等问题。
以上是高考解析几何大题的主要题型归纳，但具体涉及哪些内容还是要根据题目的情况来确定的。
高中数学高考专题(6)解析几何的高考解答题型及求解策略
∴S▱OANB＝24
＝24≤24＝2，
当且仅当t＝，即k2＝时取等号，
∴当k＝±时，平行四边形OANB的面积的最大值为2.
此时直线l的方程为y＝±x＋3.
[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：
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1．如图所示，已知圆G：x2－x＋y2＝0经过抛物线y2＝2px的焦点F，过点(m,0)(m<0)且倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．
第四步：借助函数知识求最值．
[规范解答](1)设椭圆的焦距为2c，∵离心率为，
∴2＝，∴3a2＝4c2，
又点(，0)是抛物线的焦点，∴c2＝3.
∴a2＝4，b2＝a2－c2＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)∵＝＋，∴四边形OANB为平行四边形，
当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，
[解](1)依题意A(0,1)，设F(c,0)，则直线AF的方程为＋＝1，即x＋cy－c＝0.
因为直线AF与圆M相切，所以＝，
得c＝，所以a2＝1＋c2＝3，故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，
直线AQ的方程为y＝－x＋1.
(1)求抛物线的方程；
(2)若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．
[解](1)因为圆与x轴的交点为(0,0)，(1,0)，且抛物线的焦点在x轴的正半轴上，所以抛物线的焦点为(1,0)，故可得抛物线方程为y2＝4x.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，因为点F在圆E外部，所以·>0，即(x1－1)(x2－1)＋y1y2>0.
高考中解析几何问题的热点题型
高考中解析几何问题的热点题型一、填空题1．(优质试题·苏州调研)若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析 由弧长相等得弧所对的圆心角相等，所以四段弧所对的圆心角都是90°，直线l 1，l 2分布在圆心的两侧，且圆心到直线l 1，l 2的距离d ＝22r ＝2，即|a －1|2＝2，|b －1|2＝2，所以a ＝22＋1，b ＝－22＋1或a ＝－22＋1，b ＝22＋1，所以a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 答案 182．(优质试题·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________． 解析 抛物线y 2＝－12x 的焦点(－3,0)是双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点，则a 2＋1＝9，a 2＝8，则双曲线的两条渐近线方程为y ＝±122x ＝±24x .答案 y ＝±24x 二、解答题3．(优质试题·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点M ，N 的坐标．解 (1)由题意知1a 2＋94b 2＝1,2a ＝4，解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则ON 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 22，PM 的中点坐标为1＋x 12，32＋y12.因为四边形POMN 是平行四边形，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 12＝x 22，32＋y 12＝y 22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2－1，y 1＝y 2－32.又点M ，N 是椭圆C 上的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 22＋4y 22＝12，3(x 2－1)2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－322＝12. 解得⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32.由⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－32.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32，得⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝0.所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，N (2,0)或M (－2,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32.4．(优质试题·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． (1)解 由题意知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.(2)证明 设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0,1)得直线PB 方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而AN ＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1， 由A 点坐标(2,0)得直线P A 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)， 令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而BM ＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2， 所以S 四边形ABNM ＝12AN ·BM ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.即四边形ABNM 的面积为定值2.5．(优质试题·南京师大附中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 23＋y 22＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于直线l 1，垂足为点P .线段PF 2的垂直平分线与直线l 2的交点M 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 2的方程；(2)已知点Q 是曲线C 2上的一点，点F 是曲线C 2的焦点，以QF 为直径的圆与y 轴交于点A (0,2)，求点Q 的坐标．解 (1)由题意可知点M 到直线l 1的距离与到点F 2的距离相等，故点M 的轨迹为抛物线，设其方程为y 2＝2px ，由c 2＝a 2－b 2＝1得p2＝c ＝1，即p ＝2，所以曲线l 2的方程为y 2＝4x .(2)设Q (x 0，y 0)，由题知A (0,2)，F (1,0)，因为QF 为圆的直径，则AF ⊥AQ ， 即k AF ·k AQ ＝－1， 则⎩⎨⎧y 0－2x 0·2－1＝－1，y 20＝4x 0，解得⎩⎨⎧x 0＝4，y 0＝4，故Q (4,4)．6．(优质试题·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，点M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．(1)若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标； (2)若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围． 解 (1)∵x 28＋y 24＝1，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 又P (2，2)，∴k OP ＝22，kF 1M ＝24， ∵PO ⊥F 2M ，∴kF 2M ＝－2， ∴直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)， 直线F 1M 的方程为y ＝24(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝－2(x －2)，y ＝24(x ＋2)，解得x ＝65，∴点M 的横坐标为65.(2)由题知0<e <1，F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M )，。
高考重点题型回顾(解析几何)
省内各地市一模 解析几何题分析
总结
1.考查的曲线主要是椭圆，部分题联系到圆，日照题联系圆与抛物线； 2.几乎所有题第一问是求曲线方程； 3.其余问考查面积（三角形及四边形）取值范围与最值，考查定点与定 值； 4.所有题都利用了韦达定理； 5.绝大部分题目换元转化为函数，利用二次函数（或均值不等式）求最 值。
解析几何
2015.3
总结
1.第一问一般是求椭圆（理科另加抛物线）方程比较简单， 分值4分左右，要得到。 2.一般是设置三问，第二问相对简单，力争多得分。
3.考查定值（理科3次、文科1次）、直线过定点（各1次）、 面积或距离的最值（理科2次、文科3次）、范围（理科1次） （文科求参数值2次）、存在性问题（理科2文科1）
复习建议
1.抓基础。圆锥曲线的定义、性质、相关概念，要记牢，定义要活用。 2.抓基本题型。四类题型其中最值问题考查的最多，一般是与三角形（四 边形）为主，如何求面积、求最值的常用方法。 定值问题也是一个计算的 问题。直线过定点问题。要分析思路形成过程、运算的技巧。 3.一些常见几何量的转化要熟练。垂直与数量积。斜率与倾斜角。一些几 何关系的代数化，如角平分线。 4.强化训练，提升信心。训练要讲求策略，教师分析思路，帮助学生突破 难点，学生练习运算，教师指导运算技巧，优化思维。
高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题题型归纳高考解析几何大题题型归纳一、三角形的性质与判定在高中数学中，三角形是一个重要的图形。
学生在高考中常常会遇到与三角形性质与判定相关的大题。
在这一题型中，常见的题目包括用三角形的边长、角度或者特殊性质来判断三角形的形状、大小或者其他性质。
二、直线与线段的相交问题直线和线段是解析几何题目中常见的图形。
学生在高考中常常会遇到关于直线和线段相交问题的大题。
在这一题型中，学生需要根据已知条件求解未知的角度、线段长度或者其他相关问题。
三、圆的性质与判定圆是解析几何题目中一个重要的图形。
学生在高考中经常会遇到与圆的性质与判定相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断圆的位置，或者通过已知条件求解未知物品与圆的关系。
四、平行线与垂直线的判定平行线与垂线也是高考解析几何题目中常见的考点。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判定两条线是否平行或者垂直，或者根据已知条件求解未知的线段长度或者角度。
五、多边形的性质与判定在解析几何题中，多边形也是一个重要的图形。
学生在高考中常常会遇到与多边形的性质与判定相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断多边形的形状、大小或者其他性质，或者求解未知的角度或者线段长度。
六、空间几何问题空间几何问题在高考中也是一个重要的考点。
在这一题型中，学生需要利用已知条件来求解空间中的角度、线段长度或者其他相关问题。
这类题目常常需要学生运用立体几何知识和空间想像力来进行推理和求解。
七、向量的应用在解析几何题目中，向量是一个重要的工具。
学生在高考中常常会遇到与向量的应用相关的大题。
在这一题型中，学生需要利用向量的性质来求解角度、线段长度或者其他相关问题。
总结：解析几何题目涉及到的题型很多，常见的包括三角形的性质与判定、直线与线段相交问题、圆的性质与判定、平行线与垂直线的判定、多边形的性质与判定、空间几何问题以及向量的应用等。
针对这些题型，学生在备考中应该重点复习相关知识，并且多进行一些练习题，以加深对题型的理解和应用能力。
高中解析几何典型题
高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中解析几何是高中数学里的一个重要内容，它是一种将几何问题转化成代数问题，通过代数的方法解决几何问题的技巧。
在高中解析几何中，典型题目有很多种，今天我们就来看一些高中解析几何典型题目，并一起来分析解题的思路。
第一类典型题目是关于直线和平面的交点问题。
例如：已知直线l 过点A(1,2,3)且与平面Ax+By+Cz+D=0垂直，求直线l的方程。
要解决这类问题，我们首先要确定直线的方向向量，对于垂直于平面的直线，直线的方向向量与平面的法向量相同。
直线l的方向向量可以取平面的法向量，即直线l的方程为(x-1)/A = y - 2/B = z - 3/C。
第二类典型题目是关于平面的夹角问题。
例如：已知两平面Ax+By+Cz+D1=0和Ex+Fy+Gz+D2=0，求两平面的夹角。
解决这类问题，我们可以利用两平面的法向量，设a=(A,B,C)和b=(E,F,G)，两平面的夹角θ为cosθ=|a·b|/(|a||b|)，其中|a·b|为a和b的内积，|a||b|为a和b的模的乘积。
通过计算得到夹角θ的数值。
第三类典型题目是关于球和平面的交点问题。
例如：已知球体方程为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²，平面方程为Ax+By+Cz+D=0，求球体和平面的交线的方程。
要解决这类问题，我们可以将球体方程代入平面方程，得到球心到平面的垂直距离d，若d小于半径R，则得到一个交点，若d等于半径R，则得到一个交点，若d大于半径R，则无交点。
通过计算得到交点的坐标。
高中解析几何典型题目还有很多，但以上三种类型是其中比较常见的类型。
在解题过程中，我们需要灵活运用向量、平面方程、球体方程等知识点，通过代数运算和几何推理，逐步解题。
在解析几何的学习过程中，同学们要注意掌握各种几何图形的性质和特点，熟练掌握向量、坐标、平面方程、球体方程等相关知识点，培养逻辑思维，勤于练习，多做题目。
高考解析几何中的热点问题
高考解析几何中的热点问题近年来，高考命题中越来越注重对学生数学学科核心素养的考察，高考解析几何中的热点问题考察方式也发生了一定的转变。
高考解析几何中的热点问题也从对运算能力的考察转变为对学生数学思想和能力的考察，体现了素质教育改革要求。
在扎实的基础知识教学之上重视对学生反思能力以及开拓思维能力的培养，成为高中数学教学的重要趋势之一。
标签：圆的方程;解析几何;高考;知识网络;核心素养;热点问题引言解析几何作为高考中的压轴大题，其难度和考察知识面的广度都可想而知的，在教学中很多教师也会主张数学能力不足的学生只需要做完前面两个小题，最后一问可以放弃，这样也是基于高考成绩最大化的原则。
近年来，随着高中学科核心素养培育理念的发展，高考解析几何也更为注重学生数学思想、数学能力以及情感态度的考察，对学生的整体知识能力的考察也更为全面。
因此，在高中数学教学中也需要转变教学观念，提升对高考解析几何热点问题考察的意图的思考和把握。
一、高考解析几何中的热点问题以及考察思路（一）解析几何基础知识的考察高考解析几何题目对于解析几何基础知识的考察是命题根本，但是具体会考察到什么解析几何知识，会将什么知识点与解析几何基础知识融合，解析几何的载体是什么，这都是未知数。
综合全国I卷的解析几何命题，我们不难发现，双曲线的取值范围、几何性质;抛物线的定义、与直线的交点坐标等问题是从2015年到2019年的考试热点，几乎每年的解析几何命题中都会考察到这一类基础知识，有的是以选择题的方式考察，有的是以解答题第一问的方式考察。
（二）数学思想的考察在计算曲线方程或者切线方程过程中，应用数形结合思想，不仅能够降低高考数学解题难度，也能够帮助学生节约解题时间。
同时，在方程取值范围或者交点坐标的选择方面，应用分类讨论思想，也能够提升学生思考的全面性等。
数学思想的考察正随着我国数学教育教学改革的发展受到越来越多的重视，无论是在选择题还是解答题中都有所体现。
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课时跟踪检测(六十三) 高考中解析几何问题的热点题型[高考基础题型得分练]1．[2018·山西太原模拟]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD→＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围． 解：(1)由题意，得当点P 是椭圆的上、下顶点时， △PF 1F 2面积取最大值，此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP |＝bc ， ∴bc ＝43，∵e ＝12，∴b ＝23，a ＝4， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1， 则F 1的坐标为(－2,0)， ∵AC →·BD→＝0，∴AC ⊥BD . ①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14.②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，则其方程为y ＝k (x ＋2)，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24(k 2＋1)3＋4k2， 此时直线BD 的方程为y ＝－1k (x ＋2)， 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1，可得|BD →|＝24(k 2＋1)3k 2＋4， ∴|AC →|＋|BD →|＝24(k 2＋1)4k 2＋3＋24(k 2＋1)3k 2＋4＝168(k 2＋1)2(3k 2＋4)(4k 2＋3)， 令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1， ∴|AC→|＋|BD →|＝16812＋t －1t 2， ∵t >1，∴0<t －1t 2≤14，∴|AC →|＋|BD →|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14.由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.2．[2018·安徽江南十校联考]在平面直角坐标系中，直线2x －y ＋m ＝0不过原点，且与椭圆y 24＋x 22＝1有两个不同的公共点A ，B .(1)求实数m 的取值所组成的集合M ；(2)是否存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线P A ，PB 的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)因为直线2x －y ＋m ＝0不过原点，所以m ≠0.将2x －y ＋m ＝0与y 24＋x 22＝1联立，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A ，B ，所以Δ＝8m 2－16(m 2－4)>0，所以－22<m <2 2.故实数m 的取值所组成的集合M 为(－22，0)∪(0,22)．(2)假设存在定点P (x 0，y 0)使得任意的m ∈M ，都有直线P A ，PB 的倾斜角互补，即k P A ＋k PB ＝0.令A (x 1，2x 1＋m )，B (x 2，2x 2＋m )，则2x 1＋m －y 0x 1－x 0＋2x 2＋m －y 0x 2－x 0＝0.整理得22x 1x 2＋(m －2x 0－y 0)(x 1＋x 2)＋2x 0(y 0－m )＝0.(*)由(1)知x 1＋x 2＝－2m2，x 1x 2＝m 2－44，代入(*)式化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫22y 0－x 0m ＋2(x 0y 0－2)＝0，则⎩⎨⎧22y 0－x 0＝0，x 0y 0－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－2，所以定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)．经检验，满足题意．故存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线P A ，PB 的倾斜角互补，且定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)．3．[2018·安徽蚌埠一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为32，右焦点为F .(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 相切于点P (不为椭圆C 的左、右顶点)，直线l 与直线x ＝2交于点A ，直线l 与直线x ＝－2交于点B ，请问∠AFB 是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．解：(1)因为2a ＝4，所以a ＝2，又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率为0时，切点P 的坐标为(0,1)或(0，－1)，易知此时|AF |2＋|BF |2＝|AB |2，即∠AFB ＝π2；当直线l 的斜率不为0时，设P (x 0，y 0)，则l 的方程为xx 04＋yy 0＝1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1－x 02y 0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1＋x 02y 0， 所以k AF ·k BF ＝1－x 02(2－3)y 0·1＋x 02(－2－3)y 0＝1－x 204－y 20＝－1，所以AF 与BF 互相垂直，所以∠AFB ＝π2.综上可知，∠AFB 为定值π2.[冲刺名校能力提升练]1．[2018·河北石家庄摸底考试]平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，离心率e ＝32，过点F 且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，设过点M (m ，－2)(m ≠0)的直线MA ，MB 与椭圆C 分别交于点P ，Q .求证：直线PQ 必过一定点，并求该定点的坐标．(1)解：由e ＝32，可得a 2＝4b 2，因为过点F 垂直于x 轴的直线被椭圆所截得弦长为1，所以2b 2a ＝1，所以b 2＝1，a 2＝4，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (0,1)，B (0，－1)，点M 的坐标为(m ，－2)， 直线MAP 方程为y ＝－3m x ＋1， 直线MBQ 方程为y ＝－1m x －1.分别与椭圆x 24＋y 2＝1联立方程组，消去x ，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 29＋4y 2－29m 2y ＋m29－4＝0和(m 2＋4)y 2＋2m 2y ＋m 2－4＝0， 由韦达定理，可解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫24m m 2＋36，m 2－36m 2＋36，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4. 则直线PQ 的斜率k ＝m 2－1216m ， 则直线方程为y －4－m 2m 2＋4＝m 2－1216m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8m m 2＋4， 化简可得直线PQ 的方程为y ＝m 2－1216m x －12， 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12. 所以直线PQ 必过y 轴上的一定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12. 2．如图，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？并说明理由．解：(1)依题意可知，直线AB 的斜率存在， 设其方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 24＋y 23＝1， 整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14，解得k ＝±12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2， 显然直线AB 不能与x 轴、y 轴垂直．由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3.设点D 的坐标为(x D,0)．因为DG ⊥AB ， 所以3k 4k 2＋3－4k 24k 2＋3－x D×k ＝－1， 解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0.因为△GFD ∽△OED ， 所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |. 即⎝⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 4k 2＋32 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0.因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.3．[2018·山西太原模拟]如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上．(1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m2，求d 的最大值． 解：(1)y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，∴1－⎝⎛⎭⎪⎫－p 2＝54，p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x . 又点M (t,1)在抛物线C 上，∴t ＝1. (2)由(1)知，点M (1,1)， 从而n ＝m ，即点Q (m ，m )，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 的斜率为k (k ≠0)． 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ·2m ＝1，∴直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )， 即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ， 整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0， ∴Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ， y 1y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2 ＝2(1＋4m 2)(m －m 2). ∴d ＝|AB |1＋4m2＝2m (1－m ) ≤m ＋(1－m )＝1，当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时等号成立， 又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0. ∴d 的最大值为1.。