一次函数解析式的求法及面积求法讲义
19_2_5 一次函数的解析式的求法(教学设计)
人教版初中数学八年级下册19.2.5 一次函数的解析式的求法教学设计一、教学目标：1.理解待定系数法的意义.2.会用待定系数法求一次函数的解析式.二、教学重、难点：重点：用待定系数法求一次函数的解析式.难点：能从不同的条件下找出隐含条件求一次函数解析式.三、教学过程：复习回顾1.什么叫一次函数？一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.2.一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)有什么性质呢？①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小.3.常数k和b是怎样影响函数图象的呢？①k的正负决定直线的方向.②b的正负决定直线与y轴交点在原点上方还是下方.画一画3x+3的图象.画出函数y=2x和y=-2知识精讲新知探究求下图中直线的函数解析式.①图(1)是经过_____的一条直线，因此是_______函数.②设它的解析式为_______.③将点________代入解析式求出______，从而确定该函数的解析式为_______.确定正比例函数的解析式需要___个条件.图(2)设直线的解析式是________，因为此直线经过点______和______，因此将这两个点的坐标代入可得关于k ，b 方程组，从而确定k ，b 的值，确定了函数解析式.确定一次函数的解析式需要___个条件.解：设直线的解析式为y=kx+b∵ 直线经过点(0，3)与(2，0)∴ ⎩⎨⎧=+=023b k b 解方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k∴ 这条直线的解析式为y=-23x+3典例解析例1.已知一次函数的图象过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的解析式.解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b ←设∵ y=kx+b 的图象过点(3，5)与(-4，-9)∴ ⎩⎨⎧-=+-=+9453b k b k ←列解方程组得 ⎩⎨⎧-==12b k ←解 ∴ 这个一次函数的解析式为y=2x-1 ←代【归纳】像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.【针对练习】已知一次函数的图象经过点(9，0)和点(24，20)，写出函数的解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b∵ y=kx+b 的图象过点(9，0)与(24，20)∴ ⎩⎨⎧=+=+202409b k b k 解方程组得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==1234b k∴ 这个一次函数的解析式为y=34x-12例2.若一次函数的图象经过点A(2，0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式.解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.∵一次函数的图象与直线y=-x+3平行∴k=-1把A(2，0)代入y=-x+b 中解得b=2∴一次函数的解析式为y=-x+2.例3.一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，求这个函数的解析式.解:①当k>0时，y 随x 的增大而增大∴当x=-3时，y=-5，当x=6时，y=-2.把这两组值分别代入y=kx+b 中{-5=-3k+b -2=6k+b 解方程组得{k =13 b =−4∴一次函数的解析式为y=13x-4.②当k<0时，y 随x 的增大而减小当x=-3时，y=-2，当x=6时，y=-5把这两组值分别代入y=kx+b 中得到{−2=−3k +b −5=6k +b 解方程组得{k =−13b =−3∴一次函数的解析式为y=-13x-3综上所述，一次函数的解析式为y=13x-4或y=-13x-3例4.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.分析：一次函数y=kx+b 与y 轴的交点是（0，b ），与x 轴的交点是（- b k ，0）.由题意可列出关于k ，b 的方程.注意：此题有两种情况.解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k ≠0)∵一次函数y=kx+b 的图象过点（0，2），∴b=2∵一次函数的图象与x 轴的交点是(-2k ，0)，则1222,2k ⨯⨯-= 解得k=1或-1.故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。
一次函数解析式的常见求法
一次函数解析式的常见求法一、求函数解析式的几种方法：方法一：利用待定系数法。
解析：（ 1）建立关于x， y的一元二次方程： y^2=2×x^2-8x+42，当x=0时，得到一次函数的解析式。
2．（解析：令y为所求函数的自变量，根据题意列出含有x的方程组即可解决。
） 3．（解析：注意所求的解不能超过两个，这样可以保证方程组有唯一解。
） 4．（解析：此法仅限于当y为已知实数时使用，且在自变量取定后，函数式能唯一确定的情况下使用。
）4．（解析：将y=f(x)-4y， f=x-4作为未知数代入（ 1）中，可得y=f(x)-4y，而根据“同一平面内，两个函数的图象关于y轴对称”可知，所求函数的自变量必须是该函数的奇函数，因此只需要再令f=x-4，即可解决。
） 5．（解析：根据题目中已知条件，可列出关于x， y的一元二次方程，并对方程两边同时求导数。
当x=0时，二次函数的解析式为y=2x-6；当x=-3/2时，二次函数的解析式为y=-1/2-6/2。
利用待定系数法可得y=-x/2，或者直接根据两个函数的关系进行判断。
）6．（解析：设y为实际问题的一次函数，由已知条件知，二次函数与y有关，由待定系数法可知， y可取任意值。
）7．（解析：以点B为圆心， y=f(x)=kx-4为半径画圆，令f(y)与k是两个不同的自变量，则其图象关于y轴对称，即可解决问题。
）方法二：利用方程法。
解析：（ 1）建立关于x， y的一元二次方程： y^2=2×x^2-8x+42，当x=0时，得到一次函数的解析式。
2．（解析：令y为所求函数的自变量，根据题意列出含有x的方程组即可解决。
） 3．（解析：注意所求的解不能超过两个，这样可以保证方程组有唯一解。
） 4．（解析：此法仅限于当y为已知实数时使用，且在自变量取定后，函数式能唯一确定的情况下使用。
） 5．（解析：根据题目中已知条件，可列出关于x， y的一元二次方程，并对方程两边同时求导数。
一次函数解析式的求法
2021/5/27
3. 若直线y=3x+b与两坐标轴 所围成的三角形的面积是6个 面积单位，求b的值.
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2021/5/27
4.一次函数的图象与直线x+y6=0交于A(5,m)点，且与直线 y=2x-3无交点，求一次函数的 解析式。
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2021/5/27
6、已知直线y=kx+b经过点 （2.5，0），且与坐标轴所围 成的三角形的面积为6.25，求 该直线的解析式。 7、已知直线y=2x-4向左平移4 个单位后的解析式 8、判断点A(3，2)、B(-3，1)、 C(1，1)是否在一直线上？
为y_＝__2_x_+__1___.
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你会用所学知识解决生活中的问2021/5题/27 吗?
(4)生物学家研究表明： 某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数； 当蛇的尾长为 14cm时, 蛇的长为105.5cm; 当蛇的尾长为6 cm时, 蛇的长为45.5 cm； 当蛇的尾长为10 cm时,这条蛇的长度是多少?
x -2 -1 0 1
y3
10
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看， 该空格里原来填的数是多少？
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2021/5/27
1、一次函数的图象经过点(0,2),且与 两坐标轴形成的三角形面积等于1.求 出一次函数的解析式. 2、一次函数y=2x-2（1）向下平移4 个单位得到的解析式（2）向右平移2 个单位后的解析式（3）直线l与一次 函数y=2x-2直线关于x轴对称,求解析 式。
3
1．用待定系数法求一次函数的解析式 (1)先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的 ___系__数___，从而具体写出这个式子的方法，叫做待__定__系__数__法__． (2)探究：已知一次函数的图象经过(2,5)和(－4,2)，求这个 一次函数的解析式．
一次函数完美讲义
一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量;常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量;s=中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是例题：在匀速运动公式vt________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr中,变量是________,常量是_________.2、函数：一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数;判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数1y=πx 2y=2x-1 3y=错误! 4y=2-1-3x 5y=x2-1中,是一次函数的有A4个 B3个 C2个 D1个3、定义域：一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域;4、确定函数定义域的方法：1关系式为整式时,函数定义域为全体实数；2关系式含有分式时,分式的分母不等于零；3关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零；4关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零；5实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义;例题：下列函数中,自变量x的取值范围是x≥2的是． D．A．．函数y=x的取值范围是___________.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步：描点在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点；第三步：连线按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来;8、函数的表示方法列表法：一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律;解析式法：简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示;图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系;1.判定一次函数的方法：1)从表达式角度考虑：有三条件：自变量x为一次；因变量为一次,系数k≠0.三、考点知识梳理一一次函数的定义一般地,如果y＝kx＋bk、b是常数,k≠0,那么y叫做x的一次函数．特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx＋b就成为y＝kxk是常数,k≠0,这时,y叫做x的正比例函数．1．由定义知：y是x的一次函数它的解析式是y＝kx＋b,其中k、b是常数,且k≠0.2．一次函数解析式y＝kx＋bk≠0的结构特征：1k ≠0；2x 的次数是1；3常数项b 可为任意实数．它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.当b>0时,向上平移；当b<0时,向下平移3．正比例函数解析式y ＝kxk ≠0的结构特征：1k ≠0；2x 的次数是1；3没有常数项或者说常数项为0.温馨提示：正比例函数是一次函数,但一次函数(0)y kx b k =+≠不一定是正比例函数,只有当b=0时,它才是正比例函数;例1 已知y-3与x 成正比例,且x=2时,y=7.1写出y 与x 之间的函数关系式； 2当x=4时,求y 的值；3当y=4时,求x 的值．二一次函数的图象1．一次函数y ＝kx ＋bk ≠0的图象是经过点0,b 和－错误!,0的一条直线．2．正比例函数y ＝kxk ≠0的图象是经过点0,0和1,k 的一条直线．3．一次函数y ＝kx ＋bk ≠0的图象与k 、b 符号的关系：1k ＞0,b ＞0图象经过第一、二、三象限．2k ＞0,b ＜0图象经过第一、三、四象限．3k ＜0,b ＞0图象经过第一、二、四象限．4k ＜0,b ＜0图象经过第二、三、四象限．温馨提示：画一次函数的图像,只需过图像上两点作直线即可,一般取(0,)b ,(,0)b k-两点; 三一次函数图象的性质一次函数y ＝kx ＋b,当k ＞0时,y 随x 的增大而增大,1) 图象一定经过第一、三象限；当k ＜0时,y 随x 的增大而减小,图象一定经过第二、四象限．k 的正负决定直线的倾斜方向：● 两直线k 相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的．|k|=x y ∆∆● 增减性：当k>0时,y 随x 值的增加而增加,当k<0时,y 随x 值的增加而减小,● |k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x 轴相交的锐角度数越大直线陡,|k|越小,直线与x 轴相交的锐角度数越小直线缓；增加的快慢由两点的纵坐标之差和横坐标之差的比值来决定,即由k 值的大小决定;点和直线的关系：点Px 0,y 0与直线y=kx+b 的图象的关系1如果点Px 0,y 0在直线y=kx+b 的图象上,那么x 0,y 0的值必满足表达式y=kx+b ；2如果x 0,y 0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x 0,y 0为坐标的点Px 0,y 0必在函数的图象上． 2) 直线和直线的关系：当平面直角坐标系中两直线平行时,这两个函数解析式中k 1=k 2,且b 1≠b 2.当平面直角坐标系中两直线重合时,这两个函数解析式中k 1=k 2,且b 1=b 2.当平面直角坐标系中两直线相时,这两个函数解析式中k 1≠k 2,.当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K 值互为负倒数即两个K 值的乘积为-1● 直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2k 1≠0 ,k 2≠0的位置关系：① k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；其交点的横纵坐标分别是两直线表达式所联立的方程组的解; ② ⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点0,b 1或0,b 2； ③ ⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④ ⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合四一次函数的应用1．求一次函数解析式求一次函数解析式,一般是已知两个条件,设出一次函数解析式,然后列出方程,解方程组便可确定一次函数解析式．2．利用一次函数性质解决实际问题用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解决问题；⑤答．温馨提示：1.题目中的条件在列等式、不等式时不能重复使用,要仔细寻找题目中的隐含条件；2.正确理解题目中的关键词语：盈、亏、涨、跌、收益、利润、赚、赔、打折、不大于、不小于；3.设未知数相关量要有依据,而代数式为多项式时要加括号,带上单位,列方程时相关量的单位要保持一致;类型一一次函数的图象与性质1已知一次函数y＝－3x＋2,它的图象不经过第________象限．2若一次函数y＝kx＋b,当x的值减小1,y的值就减小2,则当x的值增加2时,y的值A．增加4 B．减小4 C．增加2 D．减小23若一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小,且图象与y轴的负半轴相交,那么对k和b的符号判断正确的是A．k>0,b>0 B．k>0,b<0C．k<0,b>0 D．k<0,b<04如图,一次函数y＝－错误!x＋2的图象上有两点A、B,A点的横坐标为2,B点的横坐标为a0<a<4且a≠2,过点A、B分别作x轴的垂线,垂足为C、D,△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2,则S1、S2的大小关系是A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．无法确定点拨准确掌握一次函数的图象与性质是做对此类题的关键．答案1三2A3D4A类型二一次函数的解析式及应用1将直线y＝错误!x向下平移3个单位所得直线的解析式为________．2我们知道,海拔高度每上升1千米,温度下降6 ℃,某时刻,益阳地面温度为20 ℃,设高出地面x千米处的温度为y ℃.①写出y与x之间的函数关系式；②已知益阳碧云峰高出地面约500米,求这时山顶的温度大约是多少℃③此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃,求飞机离地面的高度为多少千米点拨一次函数解析式的确定需要明确两个点的坐标,从而求出系数k、b的值,一次函数的应用题需从题意中获取有用的信息．答案1y＝错误!x－3.2①y＝20－6xx>0；②500米＝千米,y＝20－60×＝17℃；③令－34＝20－6x,得x＝9千米．五、易错题探究一次函数y＝kx＋bk为常数且k≠0的图象如图所示,则使y>0成立的x的取值范围为________．解析当y>0时,函数图象在x轴上方,此时x<－2.易错警示不清楚y>0指的是哪部分图象．一、选择题1．若正比例函数的图象经过点－1,2,则这个图象必经过点A．1,2 B．－1,－2 C．2,－1 D．1,－2解析：设y＝kxk≠0把－1,2代入得k＝－2,∴y＝－2x,再把被选项代入验证,选D.2．若一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小,且图象与y轴的正半轴相交,那么对k和b的符号判断正确的是A．k>0,b<0 B．k>0,b<0C．k<0,b>0 D．k<0,b<03．若直线y＝3x＋b与两坐标轴围成的三角形面积为6,则b为A．6 B．－6 C．±6 D．±7二、填空题11．已知一次函数y＝2x－6与y＝－x＋3的图象交于点P,则点P的坐标为________．12．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示,当x<1时,y的取值范围是________．三、解答题13．如图,直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P1,b．1求b的值；2不解关于x、y的方程组错误!请你直接写出它的解；3直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P请说明理由．。
一次函数解析式求法
斜率 $k$ 的意义
截距 $b$ 的意义
解析式求法
表示函数图像的倾斜程度，$k > 0$ 时图像上升，$k < 0$ 时图像下降。
表示函数图像与 $y$ 轴交点的纵坐标。
通过已知的两个点坐标，利用两点式或点斜式求出一次函数的解析式。
关键知识点总结
忽视斜率 $k neq 0$ 的条件，将常数函数误认为一次函数。
已知斜率和一点坐标求解析式
已知一次函数的图像经过点 $(2, 3)$ 和 $(-1, -2)$，求这个一次函数的解析式。
例题
设一次函数解析式为 $y = kx + b$，根据已知条件列方程组
解
实际应用举例
$$begin{cases}
3 = 2k + b
2 = -k + b
实际应用举例
end{cases}$$
将求得的待定系数代回原解析式后，必须验证是否满足已知条件。
误区提示：常见的误区有以下几点
注意事项与误区提示
忽略了已知条件对解析式的限制；
在列方程或方程组时出现了错误；
在解方程或方程组时出现了计算错误；
没有验证求得的解析式是否满足已知条件。
01
02
03
04
注意事项与误区提示
04
解析式求法之图像法
创新思维在求解过程中运用
逆向思维
从问题的结论出发，逆向推导问题的条件，从而找到解决问题的新思路。
类比思维
将问题与其他类似问题进行类比，借鉴其他问题的解决方法，以启发新的解题思路。
转化思维
将问题转化为另一种形式或模型，以便利用已知的知识和方法进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
一次函数解析式的常见求法
一次函数解析式的常见求法一次函数解析式的常见求法：⑴已知一次函数的图象和几个特殊点时，一般是求它的解析式。
⑵先画出一次函数y=ax+b的图象，确定自变量和因变量的位置，设出a、 b的值；然后由b的值确定a的值。
在此基础上，利用待定系数法或分离变量法确定y = ax+b的解析式。
⑶利用一次函数与几何图形的关系，列方程组解一次函数。
这是根据一次函数的单调性，求得最值的问题。
⑷若已知自变量和函数的表达式，则应根据具体情况确定二元一次方程的一个根。
⑸若已知解析式，可直接代入一次函数解析式求值，再检验或估计;若已知表达式，则应先化为标准形式，再根据方程组求得其中一个未知数。
(3)对于含有反比例函数，可根据一次函数的图象和一元二次方程进行讨论，通过解方程来解答，必要时还需求得一些表达式。
(4)当二次函数和原来函数相交时，二次函数的解析式即为原函数的解析式，但不一定正确，所以在用二次函数解析式解决实际问题时，必须注意它的适用范围。
(5)从一次函数图象上看，抛物线有三个特殊点。
(它们都是直线与x轴交点。
)如果直线与抛物线只有两个交点，则一次函数图象经过两个交点时抛物线开口向下。
(如果有三个交点，则抛物线与x轴的交点是坐标原点，也就是说抛物线开口向上)(6)在实际应用中，可能没有给出抛物线的解析式，而给出了几个点(包括与x轴的交点)这样就可以根据点与坐标原点连线的斜率大小来判断它在直线上的位置。
一般地，点P(x， y)取决于原点的位置，直线上点P的横坐标(x， y)等于该点所对应的一次函数解析式中的自变量的值。
当直线上点P的纵坐标(x， y)大于零时，点P(x， y)在直线上。
当直线上点P的横坐标(x， y)小于零时，点P(x， y)在直线上。
在某一直线上，其他的点都落在直线上。
一次函数在y=ax+b上有两个交点，其中， A点在第一象限内， B点在第三象限内，那么当直线上点的坐标大于0，并且点P的横坐标小于0时，点P(x， y)> 0。
函数解析式的求法
函数解析式的求法1.待定系数法例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3.解：设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(f(x))==af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b∴a^2x+ab+b=4x+3∴a^2=4,ab+b=3解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。
其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。
2.换元法换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。
常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。
例2.已知f(1-√x)=x.求f(x).解：设1-√x=t,则x=(1-t)^2∵x≥0,∴t≤1,∴f(t)=(1-t)^2(t≤1)∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性)总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。
(2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。
3.配凑法例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x).解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5=(3x+1)^2-12x+4=(3x+1)^2-4(3x+1)+8∴f(x)=x^2-4x+8总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。
4.消元法（又叫解方程组法）例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x).分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。
用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
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一次函数解析式的求法及面积求法讲义
（一）、用待定系数法求一次函数解析式
设y=kx+b 中的k ，b ，最终求得他们的值，叫做待定系数；用此方法求一次函数的解析式叫用待定系数法求一次函数的解析式。
（二）、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积：
直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k
，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为k b S 22
=
二、【典型例题剖析】
例1如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：求这个函数的解析式 ．
y
x -16
4
B M
A
O
例2已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式．
教师寄语：
成功并不是很复杂,热爱你所做的事,相信你的天分,每天你都应振奋精神,抛开过去,勇往直前,虽然人生并不总是公平的,但却总是
可以掌控的，关键在于态度和信心,遇到任何困难就应立刻想到:"这个
例3.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.
（1）求两直线交点C的坐标;
（2）求△ABC的面积.
三【分类型精讲】
（一）解析式的求法：
1.定义型
已知函数是一次函数，求其解析式。
（注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。
如本例中应保证）
2. 点斜型
已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
3. 两点型
一次函数经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴相交于C点。
求这个一次函数的解析式；
4. 图像型
. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
5. 斜截型 已知直线与直线平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为
___________。
（知识解读：①与已知直线平行的直线斜率相同，即如果已知直线y=kx+b,则平行直线为y=kx+c;
②与已知直线垂直的直线斜率成负倒数，即如果已知直线y=kx+b,则垂直直线为y=-k
1x+c.） 6. 平移型
把直线
向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
（知识解读：
上下左右平移m 个单位
y=kx+b+m,y=kx+b-m,y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b.）
7、实际应用型
某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________。
8. 开放型
一次函数的图像经过(-1,2)且函数y 的值随x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式
（二）与坐标轴围成的三角形的面积
直线21y x =+和直线2y x =-+与x 轴分别交与A 、B 两点，并且两直线相交与点C,那么△ABC 的面积是 .
四【课堂小测验】
1、已知一次函数的图像与直线y=-2x+1平行，且该图像经过点(3,4)，则一次函数的解析式为 。
2、已知一次函数y=kx+b,当x=1时,y=-2, 当x=0时,y=-5,求其解析式.
1y
3、已知直线l1与l2相交于点P，l1的函数表达式为y=-2x+3,点P的横坐标为-1,且l2交y轴于点A(0，1)．求直线l2的函数解析式．
4.已知直线过点（2,1），直线过点（5,0），y1与x轴交与A点，y2交y轴于点B，两直线交于C点，求：
（1）分别写出两直线的解析式
（2）求A, B，C三点的坐标
（3）求ΔABC的面积
5.直线x+2y-2=0分别交x，y轴于点A，B，求A,B两点的坐标及与坐标轴围成三角形的面积
五【快乐作业】
1.已知直线经过原点和P (-3,2)，那么它的解析式为____________
2.若一次函数y=bx+2的图象经过点A （-1，1），则b=__________．
3.直线b kx y +=与直线23-=x y 平行，且过点（4,6），求它的解析式。
4.已知直线y=kx+b 与y=-3x+3平行，且与y=x-2.5相交于y 轴的同一点，
(1)求直线的解板式； （2）若点P(-3,m)在此直线上，求m 的值。
5.农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨数x 和他收入的钱数y （万元）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？
（2）若降价后每千克菠萝的价格是1.6元，他这次卖菠萝的
总收入是2万元，问他一共卖了多少吨菠萝？
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x 吨。