一次函数解析式求法总结
高一函数解析式的求解及其常用方法知识点总结
函数解析式的常用求解方法：（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。
（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。
（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
例1. 已知，求。
解：因为二、换元法已知看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法。
例2. 同例1。
解：令，所以，所以。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R上的函数满足，求的解析式。
解：，①②得，所以。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例4. 已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。
一次函数解析式快速求法(一秒出答案)
一次函数解析式快速求法（一秒出答案）直线斜率：k=tanα首先需要向大家解释清楚的是这个α指的是直线与X轴正方向的夹角，如下图这里会存在一个问题，就是同学们初中学的叫“锐角三角函数”，所以对于图2这样的钝角三角函数，大部分同学应该还不太会，那么这个问题我们可以简化一下，具体操作如下：对于图1，同学们很容易可以看出tanα=1，所以这一类比较简单，直接得出k=1 对于图2，先求出α的邻补角，即那个与X轴的负方向的夹角的正切值为1/2，然后因为直线是往下走的，所以K为负值，因此只需要将刚才那个正切值前面加上“－”号就可以了，即K=tanα=－1/2。
它在求一次函数的解析式的时候能减少计算量，节省考试时间。
举例说明：已知直线过A(-1，5)， B(1，-1)两点，求直线的解析式。
常规方法是将这两点代入y=kx+b，然后解二元一次方程组，那么同学们可以这样操作：首先可以简单画个草图，然后像我这样构造一个直角三角形，tan∠ABC=3,又因为直线往下走，所以k=-3，于是直线解析式为y=－3x+b,再将(1，-1)代入，可口算出b=2，所以直线解析式为y=－3x+2。
肯定有同学认为这样做学校老师不会给分的，那么我教大家一个可以拿分的办法：考试的时候试卷上这样写：“将A,B两点坐标代入y=kx+b，解得k=-3,b=2。
”所有老师都希望学生通过解二元一次方程组来求这个直线解析式，但事实上我们可以偷偷使用我教的这个方法，但是卷面上可以假装解了一个二元一次方程组，老师不会看具体计算过程，因此这样写老师是会给分的。
一次函数解析式练习题一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。
其中求一次函数解析式就是一类常见题型。
例1. 已知函数y m x m=-+-()3328是一次函数，求其解析式。
例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
例3. 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），求这个函数的解析式。
确定一次函数解析式的五种方法
五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。
下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。
一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。
函数的解析式就确定出来了。
解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。
分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。
解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。
三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。
解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。
一次函数解析式求法
斜率 $k$ 的意义
截距 $b$ 的意义
解析式求法
表示函数图像的倾斜程度，$k > 0$ 时图像上升，$k < 0$ 时图像下降。
表示函数图像与 $y$ 轴交点的纵坐标。
通过已知的两个点坐标，利用两点式或点斜式求出一次函数的解析式。
关键知识点总结
忽视斜率 $k neq 0$ 的条件，将常数函数误认为一次函数。
已知斜率和一点坐标求解析式
已知一次函数的图像经过点 $(2, 3)$ 和 $(-1, -2)$，求这个一次函数的解析式。
例题
设一次函数解析式为 $y = kx + b$，根据已知条件列方程组
解
实际应用举例
$$begin{cases}
3 = 2k + b
2 = -k + b
实际应用举例
end{cases}$$
将求得的待定系数代回原解析式后，必须验证是否满足已知条件。
误区提示：常见的误区有以下几点
注意事项与误区提示
忽略了已知条件对解析式的限制；
在列方程或方程组时出现了错误；
在解方程或方程组时出现了计算错误；
没有验证求得的解析式是否满足已知条件。
01
02
03
04
注意事项与误区提示
04
解析式求法之图像法
创新思维在求解过程中运用
逆向思维
从问题的结论出发，逆向推导问题的条件，从而找到解决问题的新思路。
类比思维
将问题与其他类似问题进行类比，借鉴其他问题的解决方法，以启发新的解题思路。
转化思维
将问题转化为另一种形式或模型，以便利用已知的知识和方法进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
一次函数解析式23招经典解法
一次函数表达式的方法解法（23招）求一次函数的表达式基本解法1、待定系数法（1）图象过原点：函数为正比例函数，可设表达式为y=kx ，再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式，即可求出k.（2）图象不过原点：函数为一般的一次函数，可设表达式为y=kx+b ，再找图象上的两个点的坐标代入表达式，即可求出k ，b 。
例：已知一次函数y=kx+b （k ，b 为常数且0≠k ）的图象经过点A （0，－2）和点B （1，0），则k=______，b=______.答案：k=2，b=-2例：已知正比例函数)0(≠=k kx y 的图象经过点（1，－2），则这个正比例函数的表达式为______.答案：y=-2x常见解法：1、定义式例：已知函数3)3(82+-=-mx m y 是一次函数，求其解析式。
解析：该函数是一次函数， ∴182=-m解得m=±3,又m≠3∴m=-3故解析式为y=-6x+32、点斜式要点：如何求k ？（1）公式：1212x x y y k --=，（2）图象（比值）：|k |=BCAB (两直角边的比） （3）增量：V （速度）、P （电功率）（4）平移变换：k 值相等（5）垂直变换：121-=k k（6）对称变换：|k|、|b|不变（7）相似比：(略)（8）正切值：tanα（斜率）（9）旋转变换：（略）例：已知一次函数y=kx-3的图象过点（2，-1），求这个函数解析式。
解析：方法一：（代入法）将点（2,-1）代入y=kx-3得，-1=2k-3，解得k=1.故解析式为y=x-3方法二：（一点式）解析：一次函数y=kx-3的图象过点（2，-1），∴可令y=k(x-2)-1=kx-2k-1，∴-2k-1=-3,解得k=1，∴这个函数解析式为y=x-3.3、两点式例：一次函数经过（-2，0)、(0，4),求此函数的解析式。
解析：方法一：（构建方程组）令解析式为y=kx+b,过（-2,0)、(0,4)，则⎩⎨⎧=+-=b b k 420 解得k=2，b=4 故解析式为y=2x+4. 方法二：由点斜式，得)2(0041212---=--=x x y y k =2 再一点式，得y=2(x+2)+0=2x+4方法三：由斜截式，得y=2x+4方法四：由数形结合，得y=2x+4(k=直角边的比）方法五：（纯一点式）y=k(x+2)=k(x+0)+4⇒k=24、一点式：例：过（2,5）的一次函数解析式为_____。
一次函数 反比例函数 求一次函数解析式
一、引言一次函数和反比例函数是数学中常见的两种函数类型，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍一次函数和反比例函数，并重点讨论如何求解一次函数的解析式。
二、一次函数的定义和特点1. 一次函数的定义一次函数又称为线性函数，其一般形式可以写作y = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
2. 一次函数的特点一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，常数项为b。
直线的斜率决定了直线的倾斜程度，而常数项决定了直线与y轴的交点。
三、求解一次函数的解析式1. 已知斜率和截距的情况当已知一次函数的斜率和截距时，求解其解析式非常简单。
只需要将已知的斜率和截距代入到一次函数的一般形式中即可得到解析式。
以y = 2x + 3为例，斜率为2，截距为3，因此解析式为y = 2x + 3。
2. 已知两个点的情况当已知一次函数上的两个点时，可以通过求解直线的斜率和截距来得到解析式。
首先根据已知两个点的坐标(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，可以求得直线的斜率a=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
然后可以取其中一个点代入斜率和一次函数的一般形式中，解出常数项b。
以两点(-1, 1)和(2, 4)为例，斜率为(4-1)/(2-(-1))=1，带入(-1, 1)可以得到方程组1 = -2 + b，解得b=3，结合斜率a=1，得到解析式为y = x + 3。
3. 已知斜率和直线上一点的情况当已知一次函数的斜率和直线上的一个点时，可以通过斜率和直线上的点来求解解析式。
首先将斜率和给定点代入到一次函数的一般形式中，得到方程y = ax + b。
以斜率为2和点(3, 7)为例，将斜率和点的坐标代入，得到方程7 =2*3 + b，解得b=1，因此解析式为y = 2x + 1。
四、反比例函数的定义和特点1. 反比例函数的定义反比例函数又称为一次函数的倒数函数，其一般形式可以写作y = k/x，其中k为比例系数，且k≠0。
2. 反比例函数的特点反比例函数的图像是一条以原点为中心的双曲线，其横轴为渐近线。
函数解析式的求法
函数解析式的求法1.待定系数法例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3.解：设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(f(x))==af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b∴a^2x+ab+b=4x+3∴a^2=4,ab+b=3解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。
其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。
2.换元法换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。
常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。
例2.已知f(1-√x)=x.求f(x).解：设1-√x=t,则x=(1-t)^2∵x≥0,∴t≤1,∴f(t)=(1-t)^2(t≤1)∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性)总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。
(2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。
3.配凑法例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x).解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5=(3x+1)^2-12x+4=(3x+1)^2-4(3x+1)+8∴f(x)=x^2-4x+8总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。
4.消元法（又叫解方程组法）例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x).分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。
用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。
解析式的7种求法
一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1设 是一次函数，且 ，求
解：设 ，则
二、配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 的值域。
例2已知 ，求 的解析式
用 替换 得：
即 ②
解①②联立的方程组，得
，
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7已知： ，对于任意实数x、y，等式 恒成立，求
解 对于任意实数x、y，等式 恒成立，
不妨令 ，则有
再令 得函数解析式为：
解： ，
三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3已知 ，求
解：令 ，则 ，
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数 的图象关于点 对称，求ห้องสมุดไป่ตู้的解析式
解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点
则 ，解得： ，
点 在 上
把 代入得：
整理得
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5设 求
解 ①
显然 将 换成 ，得：
②
解①②联立的方程组，得：
例6设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式
解 为偶函数， 为奇函数，
又 ①，
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
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一次函数解析式的求法
用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
（1） 定义型 例1. 已知函数y m x m =-+-()3328
是一次函数，求其解析式。
（2）点斜型 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
（3）两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
（4）图像型 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
（5）斜截型 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 。
（6）平移型 例 6.①把直线y x =+21向上平移2个单位得到的图像解析式为 。
②把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为 。
③把直线y x =+21向左平移2个单位得到的图像解析式
为 。
④把直线y x =+21向右平移2个单位得到的图像解析式
为 。
规律： （7） 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为 。
（8）面积型 例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 。
（9）对称型 例9. 若直线l 与直线y x =-21关于y 轴对称，则直线l 的解析式为____________。
知识归纳： 若直线与直线y kx b =+关于
（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-- （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为
y kx b =-+
（3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为
（4）直线y x =-对称，则直线l 的解析式为y k x b
k
=+1 （5）原点对称，则直线l 的解析式为y kx b =-
（10）开放型 例10.一次函数的图像经过(－1,2)且函数y 的值随x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 .
（11）比例型 例11..已知y 与x +2成正比例，且x ＝1时y ＝－6．求y 与x 之间的函数关系式 练习题：
1. 已知直线y =3x －2, 当x =1时，y =
2. 已知直线经过点A （2,3），B （－1，－3），则直线解析式为________________
3. 点（－1，2）在直线y =2x ＋4上吗？ （填在或不在）
4. 当m 时，函数y =(m －2)
+5是一次函数，此时函数解析式
为 。
5. 已知直线y =3x +b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式
为 .
3
2
-m
x
6. 已知变量y 和x 成正比例，且x =2时，y =－
2
1
,则y 和x 的函数关系式为 。
7. 点(2,5)关于原点的对称点的坐标为 ；关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于
y 轴对称的点的坐标为 。
8. 直线y =kx ＋2与x 轴交于点（－1，0），则k = 。
9. 直线y =2x －1与x 轴的交点坐标为 与y 轴的交点坐标 。
10. 若直线y =kx ＋b 平行直线y =3x ＋4，且过点（1，－2），则k = . 11. 已知A (－1,2), B (1,－1), C (5,1), D (2,4), E (2,2),其中在直线y =－x +6上的点有
_________,在直线y =3x －4上的点有_______
12. 某人用充值50元的IC 卡从A 地向B 地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费
2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t 分钟（3≤t ≤45），则IC 卡上所余的费用y （元）与t （分）之间的关系式是 .
13. 某商店出售一种瓜子，其售价y （元）与瓜子质量x （千克）之间的关系如下表
由上表得y 与x 之间的关系式是 14. 已知:一次函数的图象与正比例函数Y =－
3
2
X 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若点M (－8,m )和N (n ,5)在一次函数的图象上,求m ,n 的值
15. 已知一次函数y =kx +b 的图象经过点(－1, －5),且与正比例函数y = 1
2
x 的图象相交于点
(2,a ),
求(1)a 的值 (2)k ,b 的值 (3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积.
16. 有两条直线b ax y +=1，c cx y 52+=，学生甲解出它们的交点坐标为（3，－2），学生乙因把c 抄错了而解出它们的交点坐标为)4
1,43(，求这两条直线解析式
17. 已知正比例函数x k y 1=的图象与一次函数92-=x k y 的图象交于点P （3，－6） （1）求21,k k 的值。
（2）如果一次函数92-=x k y 与x 轴交于点A ，求A 点坐标
18. 某种拖拉机的油箱可储油40L ，加满油并开始工作后，•油箱中的余油量y （L ）与工作时间x （h ）之间为一次函数关系，如图所示． （1）求y 与x 的函数解析式． （2）一箱油可供拖位机工作几小时？。