11.1.2三角形的高、中线与角平分线-11.1.3三角形的稳定性

1 BC•AF 2
A
.
C
E D F
B
4.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于 E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法哪些是正确的,
哪些是错误的.
①AD是△ABE的角平分线( × )
A 1 2 F B
H
②BE是△ ABD边AD上的中线( × ) ③BE是△ ABC边AC上的中线( × )
【解析】选C.A，D项作的不是三角形的高，B项作的是三 角形的高，但不是最长边上的高.
3.如图，在Δ ABC中，AE是中线， AD是角平分线，AF是高.填空： 1 BC CE （1）BE= = ； 2 1 ∠BAC （2）∠BAD= ∠CAD = 2 （3）∠AFB= ∠AFC =90°；
；
（4）SΔ ABC=
A ∵ AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠BAD =∠CAD =
1 2
●
∠BAC. B
︶
1 2
任意画一个三角形,然后利用 量角器画出这个三角形三个角 的角平分线,你发现了什么?
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部. 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
A
因为BE是△ABC的角平分线，
O
D
E
C
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形.
(1)画出直角三角形的三条高.
(2)它们有怎样的位置关系？ 直角三角形的三条高交于直角顶点. AB 直角边BC边上的高是______; 直角边AB边上的高是 CB ;
A
D
B
●
C
斜边AC边上的高是_______. BD
4、如图，AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、中 线、高。 （1）∵AD是△ABC的角平分线，
1 ∴∠ BAD =∠ DAC = ∠ BAC 。 2
A
(2) ∵AM是△ABC的中线，
1 BC 。 ∴ BM = CM = 2
（3）∵AH是△ABC的高，
∴∠ AHC =∠ AHB =90°
B M D H C
A
任意画一个锐角△ABC, 请你画出BC边上的高.
如图, 线段AD是BC边上的高.
B
A
D
C
注意 标明垂直的记号和垂足 的字母.
B
D
C
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. B A F
A
∴线段AD是△ABC的中线 ___
∵∠BAD=∠CAD，
B
D
C
A
∴线段AD是△ABC的角平分线 _____
B D
A
C
∵∠ADC=90°， 高 ∴线段AD是△ABC的___
B D C
2.下列各组图形中，哪一组图形中的AD是△ABC 的高( D )
C A B D C
A
D
A
B
B
C A
B
D
C
B
C
D
D
A
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点， 那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.任意三角形
课堂练习
1.如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则
AB=2 AF =2 BF
1 AC 。 ，BD= CD ， AE= 2
2.如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线， 1 则∠1= ∠2 ，∠3= ∠ABC ，∠ACB=2 ∠4 。
2
A F B D 图1 E C
B
A F 12 E 3 D 图2 4 C
BD=CD=
1 2
A
BC. B
F
O
E
C ● 任意画一个三角形,然后利用 D 刻度尺画出这个三角形三条边 上的中线,你发现了什么? 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线.
1 ∠ABE ∠CBE ∠ABC 所以______=________= _____. 2 F
因为CF是△ABC的角平分线， 所以∠ACB=2____ ∠ACF =2_____. ∠BCF 三角形的角平分线与角 的平分线有什么区别？ BO NhomakorabeaE
D
C
三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线.
1、点D是△ABC的BC边上的一点。 ∵BD=CD，
E
G
④CH是△ ACD边AD上的高( √ )
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.三角形的三条重要线段：高、中线、角平分线.
2.三角形的稳定性.
作
业
三角形的稳定性
斜 梁 斜 梁
直
梁
如图，工人师傅砌门时，常用木条EF，EG固定门框ABCD，
三角形的稳定性 使其不变形，这种做法根据的是_______________.
A
G
E F
D
B
C
四边形不稳定性的应用
活动挂架
1.下列图形中具有稳定性的是（ C ） A.正方形 C.直角三角形 B.长方形 D.平行四边形
A E 1 2 B D F C
三角形的稳定性
盖房子时，在窗框未安装好之前， 木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，
为什么要这样做呢？
三角形具有稳定性， 四边形没有稳定性.
三角形的稳定性
将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接
起来,然后再扭动它,这时木架的形状会改变吗?为什么？
不会改变.钉上的木条将四边形分成两个三角形， 而三角形具有稳定性.
钝角三角形的三条高
A
在纸上画出一个钝角三角形. (1)画出钝角三角形的三条高. (2)钝角三角形的三条高交于一点吗？
F
D B E C
钝角三角形的三条高不相交于 一点. 钝角三角形的三条高所在直线 交于一点.
O
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边上的高. 三角形的三条高的特性：
2.要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？
1.下列设备,没有利用三角形的稳定性的是(
)
A.活动的四边形衣架
B.起重机 C.屋顶三角形钢架 D.索道支架
【解析】选A.四边形没有稳定性.
2.（连云港·中考）小华在电话中问小明：“已知一 个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形 的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来 求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是 （ ）
例2、已知： AD、AE是△ABC中线和高。 AB=5cm,AC=3cm, (1)求△ABD与△ACD的周长之差； （2）写出△ABD与△ACD的面积关系，并说明理由。 A
B
D
E
C
例3、 如图，AD是△ABC的角平分线，AC∥DE,DE交 AB于E，DF∥AB,DF 交AC 于F，图中∠1与∠2有 什么关系？为什么？
11.1.2
三角形的高、
中线与角平分线 11.1.3 三角形的稳定性
1.掌握三角形中三条重要的线段的概念;
2.了解三角形的稳定性在日常生活中的应用.
0 5
1
2
3 5
0 4
15
2
3 5
4 0 51
2
3
4
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
4
你还记得“过一点画已知 直线的垂线”吗?
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线，顶点和垂足 之间的线段叫做三角形这边上的高， 简称三角形的高.
3. 在下图中，如果 AE=ED=DC ，则 BE、 BD分别 是 △ABD 、△BCE 的中线，
图中有没有面积相等的三角形？
例题
A
例1、如图，BD=DE=EF=FC。
AD是△ABE ____的中线， ____ AF 是△AEC的中线，
B
D
E
F
C
ADF 的中线。 AE是△ABC ____和△_____
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线 的交点的位置
3
相交 相交
1
相交 相交 直角顶点
1 不相交
相交
三角形 外部
三角形 内部
三角形的中线
在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边上的中线.
●
∵
∴
AD是△ABC的中线，