期望效用函数
期望效用函数理论
其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦 效用函数（VNM函数）。另外，要说明的是期望效用函数失去了保序性，不具有序数性。
受到挑战
EU理论及SEU理论描述了“理性人”在风险条件下的决策行为。但实际上人并不是纯粹的理性人，决策还受 到人的复杂的心理机制的影响。因此，EU理论对人的风险决策的描述性效度一直受到怀疑。例如，EU理论难以解 释阿莱悖论、Ellsberg悖论等现象；没有考虑现实生活中个体效用的模糊性、主观概率的模糊性；不能解释偏好 的不一致性、非传递性、不可代换性、“偏好反转现象”、观察到的保险和赌博行为；现实生活中也有对EU理论 中理性选择上的优势原则和无差异原则的违背；实际生活中的决策者对效用函数的估计也违背EU理论的效用函数。
该理论是将个体和群体合而为一的。阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu）将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中， 成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观、金融、计量等在内 的宏伟而又优美的理论大厦。
函数简介
如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，那么，该随 机变量给他的效用便是：
期望收入=(结果1的概率)×(结果1的收入)+(结果2的概率)×(结果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450则 你应该选择工作A，而期望效用(expected utility)一般在单赌的情况下值为u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)当u(g1) > u(g2)时，则可认为毕业时在g_1与g_2之间更偏好g_1。也就是说，当寻找工作的毕业生有多种未知的情况，而要 选择时，他们能够依靠期望效用的极大化来代表分析自己的主观选择。
金融数学1-期望效用理论
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序数效用函数定理证明
情况1. 当x～x*时，定义U (x) 1； 情况2. 当x～y*时，定义U (x) 0； 情况3. 当x* x y*时，性质2存在唯一的 （0,1)
使x～x* 1 y*, 此时我们定义U (x) 。
日常生活中，我们时常要比较不同商品或者服 务给我们生理、心理上带来的感受或者说效用 （utility）。
例如，看一场电影还是吃一块鸡腿，是需要经 过激烈思想斗争的，尤其是当荷包里所剩无几 的时候。
这便涉及到效用大小比较的问题。
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在18世纪的古典经济学家眼中，效用和黄油、 大炮一样是看得见、摸得着的，他们把效用视为快 乐的代名词，看做是一个人的整个福利的指数。
若1 U (x) U ( y) 0,此时令1 U (x),2 U ( y),
由U的定义， x～1x* 11 y*, y～2 x* 12 y*
因为1 U (x) U ( y) 2 , 由性质1
必有x y。
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（2）证明：x ~ y 当且仅当U (x) U ( y)。
必要性
任取x, y B，设x y， 证U (x) U ( y),
若x y与y x同时成立，则x和y偏好无差异，记作x ~ y。
若x y但y x不成立，则x严格地比y好，记作x y。
自返性保证了消费者对同一商品的偏好具有明显的一 贯性；
可比较性假定保证了消费者具备选别判断的能力； 传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一贯性。
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通常认为这三条并没有给消费者施加过分严格 的限制条件，只要是消费者是理性的都可以做 到这一点。
要解构整个金融体系，要理解金融产品、资本市场、 金融中介在跨期资源配置中的所具有的功能作用及其 实现形式，投资者行为就是一个自然的起点。
预期效用理论的含义、缺陷
预期效用理论的含义、缺陷预期效用理论是一种描述个体在风险环境下决策时所遵循的原则或规则的理论，它的基本思想是将不确定性和风险考虑到决策过程中，并试图以一种理性的、系统化的方式来描述这种决策过程。
1. 预期效用理论的含义预期效用理论的基本假设是，一个理性的决策者会在给定的选择集合中，选择期望效用最大的选项。
这里的效用是指个体从某种结果中获得的满足程度，它可以是正的，也可以是负的。
例如，一个决策者可以选择赌博或储蓄，每种选择都有可能带来不同的结果，如财富的增加或减少，而每种结果都会给决策者带来不同的效用。
预期效用理论的核心思想是将不确定性和风险考虑到决策过程中，并通过计算每种可能结果的预期效用来评估每个选项的风险和收益。
预期效用理论认为，一个理性的决策者应该选择预期效用最大的选项，即使在面对不确定性或风险时也是如此。
例如，假设有两台洗衣机可供选择，一台价格较低但洗涤效果较差，另一台价格较高但洗涤效果更好。
如果个体对洗涤效果非常重视，那么他们可能会选择价格较高的洗衣机；但如果他们对价格敏感度更高，他们可能会选择价格较低的洗衣机。
在这种情况下，个体会根据他们对洗涤效果和价格的偏好来评估两种选择的期望效用，并选择能够最大化预期效用的那个方案。
2. 期望效用函数预期效用理论通过期望效用函数来描述决策者的期望效用与风险之间的关系。
期望效用函数的一般形式如下：U(x) = Σ(probability of outcome * utility of outcome)其中，x表示决策的结果，probability of outcome表示x出现的概率，utility of outcome表示x的效用。
期望效用函数对每个可能的决策结果计算其预期效用，并将这些预期效用进行加总，以得出每个选择的期望效用。
期望效用函数的一个重要性质是它满足风险厌恶条件，也就是说，随着风险的增加，期望效用函数的值会减小。
这是因为在面对高风险的选择时，人们通常会更加谨慎和保守。
金融经济学第四章效用函数与风险厌恶
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不难发现，抛硬币选择A或B的结果的概 率分布于彩票C的分布完全相同。因此我 们可以将投资者的偏好概括如下：C偏好 A；A偏好A或B各50%；但是A和B各 50%又恰好与C一样好。因此C明确偏好 A, A明确偏好C—矛盾。
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例20美元； ❖ 方案B:
（1）x y弱偏好于x，x 至少与y 一样好。
（2）x y 强偏好于x ； x y x y 但， y x 不成立。
（3）x y无差异于x 、y；即：
x yxy 和 yx
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2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： （1）完备性（completeness）
x, y C y x x y x y
q (q1, , qm, , qM ) RM
max u(.) s.t.z C RM : qc W
上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集。
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最优解：
u q 0
C C
W qC 0
MRSi, j
u / Ci u / C j
qi qj
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❖ 得到5000000美元的概率是0.1 ❖ 得到1000000美元的概率是0.89 ❖ 得到0美元的概率是0.01
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他发现，在A和B中，他的受试者偏好于 A。于是，他进一步要求受试着考虑一下 情形：
❖ 方案C：以0.11的概率得到1000000美元
第4讲 3.期望效用函数
3、保险费
令Z 表示一个均值为和方差为 2的随机变量， 并设消费者拥有x的财富： 保险费 I：u x I E u x +Z
消费者购买保险是为了规避风险，那么消费者 愿意出多少钱来规避风险呢？ 如果没有保险，消费者的预期效用为 E u x+Z 购买保险后，消费者的收入带来的效用应该不 低于存在风险时的期望效用。
风险规避的度量一不确定性不确定性和风险是一个不同的概念奈特在风险不确定和利润1916第一次区分了经济活动中不确定性与风险风险是可以计算出客观概率的情况不确定性是不可以计算出客观概率的情况
Ch.4 期望效用函数
本章要点
§1.不确定性与选择公理 §2.冯· 诺依曼—摩根斯坦效用函数 §3.风险的客观度量及对风险的主观态度 §4.风险规避的度量
确定性等值是完全确定的收入量，此收入水平对应的 效用水平等于不确定条件下期望的效用水平，即CE满 足：
u(CE) Eu( g ) u(E g )
一个赌局的确定性等价应该小于这个赌局的期望收入， 即
CE E g
u ( w)
u ( E ( g ))
u(w2 )
1u(w1 ) 2u(w2 ) T
P 1000元 (1 P)死亡 10元
【不相等公理】
A B, L1 ( P 1 , A, B) P 1 A (1 P 1 )B L2 ( P 2 , A, B) P 2 A (1 P 2 )B
当且仅当： P2 P 1 消费者严格偏好于L2。
L2 L1
四.期望效用函数
u( g ) u( E ( g ) P)
例：一种彩票赢得900元的概率为0.2；若输， 只获得100元，概率为0.8。若消费者的效用函 数形式为 u w ，问该消费者愿意出多少钱 购买这张彩票？风险升水是多少？ 消费者的出价应按CE给出，即
ch6期望效用函数
同一消费路径在不同状态下可能有不同的效 用：晴天、雨天消费１升水 状态独立假设：效用函数与状态无关
u (c0 , c1 ) u(c0 , c1 )
AF LING, SF, JUFE, NANCHANG
时期累积性
1期消费的效用可能受到0期消费的影响：吃很 多牛肉、吸毒 时期累积time additive或时期独立time separable假设：一个消费路径的效用是各期消 费得到的效用之和
AF LING, SF, JU效用函数的拓展
积习habit formation：效用函数某种形式 上的时期关联性 攀比catching up with the Jones：效用函 数对他人消费的依赖（一种状态依赖） 状态依赖state dependence 一阶风险厌恶first order risk aversion, prospect theory：效用函数不可微 不确定性厌恶uncertainty aversion：独立 性公理不成立
独立性公理是效用函数具有期望效用形式 （6.1）的必要条件
AF LING, SF, JUFE, NANCHANG
Ex 6.2 Page 90
同一状态下不同商品的消费不必独立：
c1=[海滩4h+1升水]， c2=[TV4h+1升水] c1优于c2 c1’=[海滩4h]， c2’=[TV4h] c1’优于c2’?
若两个计划在下雨时消费相同（TV4h或工作 4h），雨天的具体消费不影响晴天的偏好
AF LING, SF, JUFE, NANCHANG
消费路径的偏好
状态互斥（不可能有两个或多个状态同时发 生），故消费路径互斥 独立性公理（不同状态下的效用独立）：同一 状态下的不同消费的偏好可比，并与其它状态 下的消费无关
期望效用理论
期望效用理论简析期望效用函数理论是20世纪50年代，冯·纽曼和摩根斯坦在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人选择进行分析的框架。
这一理论适用于对一不确定性事件的最终效用的评估，即当有一不确定事件的时候，假设这一事件的结果一共有i种可能，而每一结果发生的可能性是Pi，相对应的每一结果发生最后造成的效用是Xi，所以对于这一不确定事件的效用评估就可以用其期望效用来表示即U（x）=P1X1+P2X2 ... +PnXn，而人们会跟据不同事件的期望效用的不同而进行决策，即人们会选择期望效用高的选项。
期望效用理论的建立很好的推动了现代的经济学，金融学，计量学的发展，他为人们有效合理的评估一不确定事件建立了一个规范的框架，这样有利于学科的发展，同样也让人们对于不同的不确定事件可以进行有效的比较。
但是这一理论的基础却是建立在理性人的假设上面，而这一假设已经被卡尼曼等人推翻了，人并不是理性人，或者说人并不是完全理性的，决策会受到人们复杂的心理行为的左右。
例如著名的阿莱悖论，实验者提供给被试两种选择，赌局A：100%的机会得到100万元。
赌局B：10%的机会得到500万元，89%的机会得到100万元，1%的机会什么也得不到。
如果按照期望效用理论来分析赌局A的期望值是100万，而赌局B的期望值是139万，人们应该更倾向于赌局A，但是实验结果却是绝大多数人选择A而不是B。
即赌局A的期望值（100万元）虽然小于赌局B 的期望值（139万元），但是A的效用值大于B的效用值。
所以从这里就可以很明显的看出期望值和效用值并不能完全的等同。
同样的卡尼曼等人提出的前景理论也对期望效用理论有一定的补充，一是大多数人在面临获得时是风险规避的这一条就很好的解释了阿莱悖论即人们在面临获得时更加的倾向于获得确定性的收益；二是大多数人在面临损失时是风险偏爱的，这一条的真实含义通俗的来讲就是人们如果面临的有关损失的选择，一个是确定性的损失，而另一个是不确定性的损失，可能损失的更多也可能损失的少一点，人们更倾向于去赌一把选择不确定的损失；三是人们对损失比对获得更敏感即损失100块比得到100块的效用的绝对值更高。
4 __ 期望效用函数(一)
不同状态下的效用函数形式相同,即 uω()= u()
时间可加性
即假设1期的效用不依赖于0期的消费,即 u(c0,c1ω)=u0(c0)+u1(c1ω)
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三个附加假设(2)
时间偏好系数
未来的消费带来的效用折现到现在的比例,即 u1(c)=ρu0(c) 不失一般性,记 u(c)= u(c)
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期望效用函数(一)
西南财经大学金融学院 罗荣华
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无套利定价的简单应用和回顾
回顾:期权的二叉树定价应用 问题:
如何决定无风险利率? 如何决定状态价格 ……
所以:我们需要回到均衡分析的框架下.
2
效用函数的影响因素
1.
未来状态的概率分布 各状态下对消费的偏好
2.
3
简化效用函数的基本思路
前提:未来状态的概率分布外生给定(天 生的). 方向:将个体参与者的消费偏好与所有参 与者都知道的概率分布分离.
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习惯(时间不可分离)
uω(c0 , c1ω)=u(c0)+ρu(c1ω-hc0)
特例:h=1, u'(0)=∞
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攀比(依赖于人均消费/状态依赖)
uω(c0 , c1ω)=u(c0-kC0)+ρu(c1ω-kC1ω)
k∈[0,1)
[C0, C1ω]: 整个经济的消费 [kC0, kC1ω]: 人均消费
本质:不同状态之间的效用是独立的.
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期望效用函数与独立性公理
定理6.1 (Debreu):在独立性公理假 设下,有Debreu定理所导出的连续效用 函数满足期望效用函数的形式.
即:满足完备性,传递性,连续性的偏好,在 独立性公理下,对应这一个满足期望效用函数 形式的效用函数.
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期望效用函数
期望效用函数是经济学和行为经济学中的重要概念，它表示的是一个个体、组织或行为主体的期望和预期，这些期望和预期可以用经济学的方法来衡量和理解，是许多决策和行为的基础。
期望效用函数的计算和应用可以大大提高经济决策的成功率，改善行为主体的决策质量和效果，进而影响社会整体的经济福利。
期望效用函数具有多种形式，它们可以用来描述和衡量个体对不同行为、政策或资源配置的期望和预期，以及在行动上如何反应这些期望和预期的变化。
因此，期望效用函数可以用于识别和理解个体在特定决策上的偏好或做出决策的程度，从而推断决策过程中可能发生的变化。
这种功能可以促进人们从偏好、价值观以及期望中理解自身决策。
此外，期望效用函数还可以指导行为者在决策过程中如何权衡不同因素和处理冲突，以便做出最优的决策。
这可以帮助行为者去除其决策过程中的失误，增强其判断能力，从而达到最高的决策效果。
期望效用函数的应用非常广泛，用于解释各种行为主体的行为，包括个人、市场参与者、政府决策者以及社会组织，可以用来做更多的实证研究，以便更好地理解这些主体的行为和选择。
期望效用函数有助于解释不同行为主体在相同决策问题中的行
为差异，他们在做出决策时可能会以不同的方式衡量相应收益，这就涉及到行为主体对风险、收益、时间和成本的取舍，以及如何考虑不确定因素，有助于更好地了解不同行为主体的决策行为。
在实际的经济和社会环境中，期望效用函数的应用可以帮助决策者更好地了解不同行为主体的期望，可以更清楚地确定不同行为主体的行为最终结果，并寻求最佳实践去解决这些问题，有助于提高决策的准确性和有效性。
最后，期望效用函数可以作为决策者识别和掌握政策的有效方式，其有效的运用可以有效地实现社会需求，有效解决社会问题，并提高社会经济福利。