第二讲 不确定性下的期望效用理论
期望效用函数理论
其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦 效用函数（VNM函数）。另外，要说明的是期望效用函数失去了保序性，不具有序数性。
受到挑战
EU理论及SEU理论描述了“理性人”在风险条件下的决策行为。但实际上人并不是纯粹的理性人，决策还受 到人的复杂的心理机制的影响。因此，EU理论对人的风险决策的描述性效度一直受到怀疑。例如，EU理论难以解 释阿莱悖论、Ellsberg悖论等现象；没有考虑现实生活中个体效用的模糊性、主观概率的模糊性；不能解释偏好 的不一致性、非传递性、不可代换性、“偏好反转现象”、观察到的保险和赌博行为；现实生活中也有对EU理论 中理性选择上的优势原则和无差异原则的违背；实际生活中的决策者对效用函数的估计也违背EU理论的效用函数。
该理论是将个体和群体合而为一的。阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu）将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中， 成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观、金融、计量等在内 的宏伟而又优美的理论大厦。
函数简介
如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，那么，该随 机变量给他的效用便是：
期望收入=(结果1的概率)×(结果1的收入)+(结果2的概率)×(结果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450则 你应该选择工作A，而期望效用(expected utility)一般在单赌的情况下值为u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)当u(g1) > u(g2)时，则可认为毕业时在g_1与g_2之间更偏好g_1。也就是说，当寻找工作的毕业生有多种未知的情况，而要 选择时，他们能够依靠期望效用的极大化来代表分析自己的主观选择。
微观经济学第二讲_不确定条件下消费者行为理论
A
第一节 不确定性与风险
二、风险的测度
通常以实际结果与人们对该结果的期望值之间的离差 来度量某一事件的风险程度的大小。一般来说，当某个事 件有k种可能的结果，k种结果的取值分别为X1，X2……Xk， 取以上可能值的概率分别为P1，P2……Pk，则该事件结果的 期望值为： E(X)= P1X1+ P2X2+……+PkXk
我们将含有概率的效用函数表达式叫做期望效用函数。
11
A
例如：对于一张彩票L=[P; W1 ,W2]来说，彩 票的期望效用函数为：E{U[P; W1, W2]}=PU （W1）+（1－P）U（W2）
期望效用函数也被称为冯·诺曼－奥斯卡·摩 根斯坦效用函数。显然，期望效用带有基数效 用的性质。由于期望效用函数的建立，对不确 定条件下消费者面临风险的行为分析，就构成 了对消费者追求期望效用最大化的行为分析。
23
A
第二节 风险偏好与规避风险
确定性等值是指一个完全确定的收入量，在此收入水平上所 对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平。
即：U(16000)≡0.5u(10000)+0.5u(30000)＝0.510+0.5 18=14。
一个人的风险规避程度如何取决于他的收入和风险的性质。 一般而言，风险规避者希望结果出现较小的变化。我们考察两种 情况，在收入以0.5概率为10000元与30000元时，风险升水为 4000元。
中级西方经济学（微观）
第二讲 不确定条件下消费者行 为理论
郑美华
1
A
引言
第一讲对消费者购买行为的研究是在价格、 收入等因素确定的情况下进行的。但是，这 种以完全的确定性为前提进行的分析是不现 实的。实际生活中，人们在做出决策时，往 往面临不确定性，即某种决策可能导致的结 果不止一种，到底出现哪一种结果事先是不 确定的。问在这种情况下，消费追求的目标 是什么？
2 期望效用理论
（元） （元）
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一、风险与不确定性
问题：是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法 问题： 则呢？ 则呢？ 典型例子： 圣彼德堡悖论” 典型例子：“圣彼德堡悖论”（Saint Petersburg Paradox）问题： ）问题： 有这样一场赌博：掷硬币直到正面朝上为止。 有这样一场赌博：掷硬币直到正面朝上为止。第一次 就得到正面朝上的结果， 第二次得到正面 就得到正面朝上的结果，则赢得 1 元，第二次得到正面 朝上的结果， 第三次时， ......。 朝上的结果，赢得 2 元；第三次时，得4 元，......。 一般情形为如果掷 如果掷n 一般情形为如果掷n次，则第 n 次赢得 2 的 n-1 次方元 应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平” 。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ 1 1 1 E (*) == × 1 + × 2 + ... + n × 2 n −1 + ... = ∞ 2 4 2
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一、风险与不确定性
伯努利选择的期望效用函数为对数函数，即用 伯努利选择的期望效用函数为对数函数，即用alog(x) 效用函数为对数函数 表示效用函数， 表示财富 表示财富。 表示效用函数，x表示财富。则对投币游戏的期望值的计算 应为对其对数函数期望值的计算： 应为对其对数函数期望值的计算：
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一、风险与不确定性
状态偏好方法： 状态偏好方法：用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的 集合，来反映个人所面临的随机性。 集合，来反映个人所面临的随机性。 不确定性下选择的要素设定： 不确定性下选择的要素设定： X: 可行行为的集合 S: 可能现实状态的集合 C: 结果的集合 行为x∈ 结合产生的结果c∈ ， 函数f(.) 把行为 行为 ∈X 和s ∈ S 结合产生的结果 ∈C， 函数 与状态和结果对应起来： 与状态和结果对应起来： (s,x)→c=f(s,x) →
《预期效用理论》
抽彩人究竟会购买哪一种彩票，取决于 EU 与 EV 的比较。如果 EU > EV ，则购买福利彩票会预期给购买者带来更大的效用，因而 抽彩人更喜欢福利彩票。这样，抽彩人的选择是购买福利彩票。如 果 EU < EV ，则抽彩人更喜欢会足球彩票，他的选择就是购买足球 彩票。如果 EU = EV ，即两种彩票对抽彩人的预期效用相同，则可 认为这两种彩票抽彩人来说无差异，购买哪一个都可以。
注意，这里的概率与彩票中奖的概率意义不同。彩票中奖的概 率是客观存在的，因而叫做客观概率；而这里的概率是由赌博的双 方各自主观确定的，因而叫做主观概率。
1. 预期效用
设甲和乙的货币收入效用函数为u和v。甲和乙各自根据自己的 概率判断计算出赌博的预期效用：
甲的预期效用：EU = p u(100) + (1 p) u(0) 乙的预期效用：EV = q v(0) + (1 q) v(100) 如果 EU > u(50)，即甲参加赌博的预期效用大于不赌的效用，那么 甲会参加赌博。如果 EV > v(50)，即乙参加赌博的预期效用大于不 赌的效用，那么乙会参加赌博。只有当 EU > u(50) 且 EV > v(50) 时， 这场赌博才能开展起来。否则，就有一方不愿意打赌。可见，一个 人是否接受赌博，关键看他打赌的预期效用是否大于不赌的效用。 一般地描述一个赌博，则可以这样来说：赌博是一种游戏，输 者赢得W1元(W1 < 0)，赢者赢得W2元(W2 > 0)；输的概率为 p，赢的概 率为1 p。这个赌博可表示为: G = (W1, p; W2,1 p)。某人现有收入W 元，货币收入效用函数为U(r)。如果他不接受赌博 G，则收入 W 元 不变，效用为U(W )；如果他接受赌博G, 则预期收入ER和预期效用 EU分别为： ER = ER (G,W ) = p (W + W1) + (1 p) (W + W2) EU = EU(G,W ) = p U(W + W1) + (1 p) U(W + W2)
期望效用理论
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一、风险与不确定性
伯努利选择的期望效用函数为对数函数，即用alog(x) 表示效用函数，x表示财富。则对投币游戏的期望值的计算 应为对其对数函数期望值的计算：
E[u(x)] 1 a log 2x1 a1.39 a log 2x 2x
其中， 0 为一个确定值。
（元） （元）
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一、风险与不确定性
问题：是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法 则呢？
典型例子：“圣彼德堡悖论”（Saint Petersburg Paradox）问题：
有这样一场赌博：掷硬币直到正面朝上为止。第一次 就得到正面朝上的结果，则赢得 1 元，第二次得到正面 朝上的结果，赢得 2 元；第三次时，得4 元，......。 一般情形为如果掷n次，则第 n 次赢得 2 的 n-1 次方元
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一、风险与不确定性
通过观察函数f可以区分确定条件下和不确定条件下的 决策。
若f关于现实状态是不变的，即现实状态不会影响产生的 结果，则可以认为是确定条件下的决策。
若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定条 件下的决策。
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一、风险与不确定性
3、在投机与赌博中的风险 投机：在获取相应报酬时承担一定的风险。 赌博：为一个不确定的结果打赌或下注。
Return
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一、风险与不确定性
（二）不确定性下建立偏好模型的方法 1、状态偏好方法
定义：自然（或现实）状态指特定的、会影响个体行 为的所有外部环境因素。
通常用S表示自然状态的集合： S={1，…，s}。
第二讲 不确定性下的期望效用理论
第二讲 不确定性下的期望效用理论确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。
未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。
我们从一个经典的案例开始讲起。
圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。
该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。
1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的：彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔12n -个盾。
这个博局可以无限期地玩下去。
保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。
他发现，如果计算保尔的期望收入，则23211111()*1()*2()*2...()*2...22221111......2222n n E w -=+++++=+++++=∞按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。
但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。
期望效用理论
期望效用理论简析期望效用函数理论是20世纪50年代，冯·纽曼和摩根斯坦在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人选择进行分析的框架。
这一理论适用于对一不确定性事件的最终效用的评估，即当有一不确定事件的时候，假设这一事件的结果一共有i种可能，而每一结果发生的可能性是Pi，相对应的每一结果发生最后造成的效用是Xi，所以对于这一不确定事件的效用评估就可以用其期望效用来表示即U（x）=P1X1+P2X2 ... +PnXn，而人们会跟据不同事件的期望效用的不同而进行决策，即人们会选择期望效用高的选项。
期望效用理论的建立很好的推动了现代的经济学，金融学，计量学的发展，他为人们有效合理的评估一不确定事件建立了一个规范的框架，这样有利于学科的发展，同样也让人们对于不同的不确定事件可以进行有效的比较。
但是这一理论的基础却是建立在理性人的假设上面，而这一假设已经被卡尼曼等人推翻了，人并不是理性人，或者说人并不是完全理性的，决策会受到人们复杂的心理行为的左右。
例如著名的阿莱悖论，实验者提供给被试两种选择，赌局A：100%的机会得到100万元。
赌局B：10%的机会得到500万元，89%的机会得到100万元，1%的机会什么也得不到。
如果按照期望效用理论来分析赌局A的期望值是100万，而赌局B的期望值是139万，人们应该更倾向于赌局A，但是实验结果却是绝大多数人选择A而不是B。
即赌局A的期望值（100万元）虽然小于赌局B 的期望值（139万元），但是A的效用值大于B的效用值。
所以从这里就可以很明显的看出期望值和效用值并不能完全的等同。
同样的卡尼曼等人提出的前景理论也对期望效用理论有一定的补充，一是大多数人在面临获得时是风险规避的这一条就很好的解释了阿莱悖论即人们在面临获得时更加的倾向于获得确定性的收益；二是大多数人在面临损失时是风险偏爱的，这一条的真实含义通俗的来讲就是人们如果面临的有关损失的选择，一个是确定性的损失，而另一个是不确定性的损失，可能损失的更多也可能损失的少一点，人们更倾向于去赌一把选择不确定的损失；三是人们对损失比对获得更敏感即损失100块比得到100块的效用的绝对值更高。
期望效用理论及其检验研究
结论
本次演示对期望效用理论及其检验研究进行了全面的探讨。通过了解期望效 用理论的内涵、检验方法和应用领域，我们可以深刻理解该理论在经济学、金融 学、心理学、社会学等领域的重要作用。尽管该理论在实践中已得到广泛应用，
但仍需针对其局限性进行深入研究，不断完善和发展这一重要理论。
参考内容
期望效用函数理论是现代经济学和决策科学中的一个基本概念，它为决策者 在进行决策时提供了有力的工具。该理论基于对未来不确定性的考虑，通过将未 来的收益和风险以一定的概率分布进行量化，从而计算出预期的效用值。
在期望效用理论的应用中，通常涉及到的定理有：风险厌恶定理、风险中性 定理和确定性效应定理。这些定理揭示了个体在面对风险和不确定性时的行为特 征。
检验研究
对于期望效用理论的检验，研究者们采用了多种方法，包括实证检验、历史 文献回顾等。实证检验主要是通过实验或调查收集数据，然后运用统计方法来验 证理论是否符合实际观察的结果。历史文献回顾则是通过对已有研究进行梳理， 分析期望效用理论在不同领域的应用效果。
非期望效用理论：非期望效用理论的假设前提是决策者可能是非理性的，会 受到认知偏见、直觉、情感等因素的影响，从而偏离最优决策。
三、应用范围
期望效用理论：期望效用理论在经济学、金融学、统计学等领域有着广泛的 应用。例如，在金融投资中，投资者会根据每个股票的预期收益和风险来评估其 投资价值，并选择投资价值最大的股票。
参考内容二
期望效用理论和非期望效用理论是决策理论中的两个重要概念，它们在经济 学、心理学、社会学等领域有着广泛的应用。本次演示将从定义、假设前提、应 用范围等方面对这两种理论进行对比分析。
一、定义
期望效用理论：期望效用理论是一种描述决策者如何根据风险和不确定性来 选择最优决策的理论。它认为决策者会根据每个可能的结果及其发生的概率来评 估一个决策的期望效用，并选择期望效用最大的决策。
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第二讲 不确定性下的期望效用理论确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。
未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。
我们从一个经典的案例开始讲起。
圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。
该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。
1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的：彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔12n -个盾。
这个博局可以无限期地玩下去。
保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。
他发现，如果计算保尔的期望收入，则23211111()*1()*2()*2...()*2...22221111......2222n n E w -=+++++=+++++=∞按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。
但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。
如何解释这个悖论？大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。
从而引起了数学界后来者的兴趣。
2.1偏好与效用 2.1.1风险备选项的描述假设C 为代表所有可能的结果所组成的集合。
如果集合所有结果数目有限，则可以用{}12,,n C x x x = 来表示。
假设12,,n x x x 状态发生的概率分别为12,,n p p p （任意一种状态ix 发生的概率为i p ，满足0i p ≥，且11ni i p ==∑），我们称1212(,,;,,)n n L x x x p p p = 表示一个简单博彩。
（说明：博彩是描述风险备选项的一个正式工具。
简单博彩有时候也写成这种形式：1122(,;,;;,)n n L x p x p x p = ，不同的书可能有不同的表示方法，但是内涵是相同的。
）举例如下：投资1相当于博彩1(1050,1200;0.5,0.5)L =，当未来只有两种状态时，简单博彩还可以简化为1(,;)L x y p =，1(,;)L x y p =表示以p 的概率获得结果x ，以1－p 的概率获得y 。
请大家写出投资2和投资3的博彩形式。
相比绝对收益，人们更关注相对收益，即收益率。
可以计算出以上三种投资的或有状态收益率。
在简单博彩中，可能出现的结果本身是确定的。
一种更为复杂的博彩是复合博彩，其可能出现的结果是一个博彩（即结果还是随机的）。
对于任何复合博彩，都可以计算出一个引致博彩。
将复合博彩简化为简单博彩，称此简单博彩为引致博彩。
举例：1(,,)L x y π=，复合博彩1(,,)x L p 的引致博彩为(,;(1))x y p p π+-注：在有风险条件下，理性人是如何决策，或本质上是理性人如何对随机变量进行排序(比较)的。
人们对资产本身没有偏好，而是对资产产生的收益及其发生的概率分布感兴趣。
在不确定性条件下的决策理论，本质上就是在收益的概率分布上做选择。
例1，一袋中有100 个球，编号从0 到99，有四种搏彩，其货币结果分别以不同方式取决于从袋中取出球的偏号，具体见下表。
请分别写出四种搏彩。
0 1-10 11-99 A 50 50 50 B 0 250 50 C 50 50 0 D 0 250 0例2：某超市店庆搞活动，凡属是购物者满50元可获得一次抽奖机会。
抽奖程序如下：先由顾客随机抛一枚硬币，字朝上参加L1博彩，花朝上则退出游戏。
L1是一个摸奖活动，分为一二三等奖，一等奖以万分之一的概率获得免单机会，二等奖以百分之一的概率获得50元购物卡；三等奖获得价值5元的小礼品一个。
请你写出该博彩和引致博彩。
2.1.2偏好关系不确定环境下个体的决策，本质上是在对不同的随机变量进行排序。
在对博彩偏好进行理论分析之前，假定决策者遵循结果主义的假设。
即对任何风险备选项，决策者关心的是定义在最终结果上的简单博彩，而至于中间过程，即产生于简单博彩还是符合博彩对决策者无关紧要。
风险备选项集合定义在结果集合C 上的所有简单博彩的集合，该集合为ċ。
个体决策的目标可以被归结为一个偏好关系中，用来代表偏好关系，它是定义在风险备选项集合ċ上的一种二元关系。
如果,i j L L ∈ċ，i j L L被读作i L 弱偏好于j L ，或i L 至少与j L 一样好。
如果,i j L L ∈ċ，，i j ijL L L L ⇔ 且j i L L不成立，i j L L 被读作i L 强偏好于j L 。
如果,i j L L ∈ċ，i j L L且j i L L，则~i j L L ，被读作i L 与j L 无差异。
2.1.3偏好关系的性质假设 假设1、完备性 假设2、传递性 假设3、自返性假设4 独立性：对任何的123,,L L L ∈ċ，和[]0,1α∈，121323(1)(1)L L L L L L αααα⇔+-+-独立性假设表明，如果我们把两个博彩的每个都分别于任意第三个博彩相混合，那么混合之后的博彩之间的偏好排序将独立于我们所用的第三个博彩。
独立性假设是不确定条件个体选择理论的核心，他提供了将不确定潜入个体决策模型的基本结构。
通过独立性假设，个体希望把复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个部分，整个决策行为仅由不同的部分来决定。
2.1.4阿莱斯悖论1953年，阿莱斯（Allias ）曾做过一组心理试验，要求受验者在如下两组博彩组合种进行选择： 第一组：A=（ 0 ，500； 1 ， 100 ；）B=（ 0.1 ， 500 ； 0.89 ， 100 ； 0.01 ， 0 ） 第二组：C=（ 0.11 ， 100 ； 0.89 ， 0 ） D=（ 0.1 ， 500 ； 0.90 ， 0 ）其中，每一数对中的第一个数字表示博彩的收益，第二个为概率大小。
单位：万美元。
作业：如果风险备选项集合上的偏好关系满足独立性假设，请证明：1） 对任何的123,,L L L ∈和(0,1]α∈，12L L ⇔1323(1)(1)L L L L αααα+-+- 。
2）如果34,L L ∈，12L L ，34L L ，和(0,1]α∈，则1324(1)(1)L L L L αααα+-+- 。
3）对任何的12,L L ∈和,[0,1]αβ∈，如果12L L ，当且仅当αβ>，1212(1)(1)L L L L ααββ+-+- 。
（保序性）假设5 连续性：对任何的123,,L L L ∈，和[]0,1α∈，集合123{[0,1]:(1)}[0,1]L L L ααα∈+-⊂ 和312{[0,1]:(1)}[0,1]L L L ααα∈+-⊂为闭集。
等价的阿基米德公理：对任何的123,,L L L ∈，如果123L L L ，则存在,(0,1)αβ∈，使得，13213(1)(1)L L L L L ααββ+-+-连续性假设将保证概率的微小变化不会改变原有的两个抽奖商品之间的偏好顺序。
如：如果消费者对“快乐和安全的开车旅行”的偏好强于“待在家中”，那么，他对于一个“快乐与安全的开车旅行”与一个具有充分小、但不为0的正概率的“发生车祸导致死亡”的混合结果的偏好，仍然要强于“待在家中”。
连续性假设保证了效用函数的连续性。
定理（中值性）如果风险备选项集合上的偏好满足独立性假设和阿基米德公理，若123,,L L L ∈，且123L L L，则存在唯一的*[0,1]α∈，使得**132(1)~L L L αα+-。
证明：如果123~L L L ，取*α=1；如果123~L L L，取*α=0.当123L L L 时，（存在性）反证法。
如果不存在*α，满足**132(1)~L L L αα+-。
那么必然有任意的α，必然有132(1)L L L αα+- 或者213(1)L L L αα+- ，取集合M={132[0,1],(1)L L L ααα∈+- }，N={213[0,1],(1)L L L βββ∈+- }，显然0N ∈，1M ∈，,[0,1]M N M N ⋂=∅⋃=，由于任意的,M N αβ∈∈，有132(1)L L L αα+-213(1)L L L ββ+- 根据传递性可知：1313(1)(1)L L L L ααββ+-+- ，因此αβ>，不妨设M=(,1]μ，N=[0,]μ，因此有1213(1)L L L L μμ+- ，根据阿基米德公理，存在α，满足()1132(1)(1)L L L L ααμμ+-+-()11313(1)(1)(1)L L L L L ααμμμμ+-+-+-⇒()()1313(1)(1)(1)(1)(1)L L L L ααμαμμμααμμ+-+--+-⇒+->(1)ααμμααμ⇒+->⇒>矛盾。
唯一性，也是反证法，自己证明。
2.1.5 效用函数在金融学的理论研究中，效用函数是描述偏好关系的方便工具。
效用函数H(L )赋予风险备选集合中的每个博彩一个数值，将博彩按照个人偏好的顺序排列。
如果对于任意的12,L L ∀∈有1212()()L L H L H L ⇔≥成立，则函数关系:H R →是一个代表了偏好关系的效用函数。
定理3.7 如果在风险备选项集合上只有有限个或者可数个博彩，则建立在风险备选项集合上的理性偏好关系一定可以用效用函数来表示。
2.2期望效用理论当风险备选项的结果集C 中包含的有限结果数目很大，运用效用函数来表示偏好关系就变得异常复杂和极为不便。
为此需要引入一类性质更好、处理起来更方便的效用函数——期望效用函数，为表示建立在上的理性偏好关系。
2.2.1期望效用函数及其特征对于风险备选项的可能结果集合C={12,,N x x x }，如果可以赋予一组数值{12,,N u u u }，使得对于任意的简单博彩1212(,,;,,)N N L x x x p p p =∈ ，都有U(L )=1122N Nu p u p u p +++ ,则称效用函数U ：R →具有期望效用形式。