周期信号的傅里叶级数和频谱分析
实验三-周期信号的频谱分析-实验报告
信号与系统实验报告实验三周期信号的频谱分析学院专业班级学号指导教师实验报告评分：_______实验三 周期信号的频谱分析一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。
二、实验容实验前，必须首先阅读本实验原理，读懂所给出的全部例程序。
实验开始时，先在计算机上运行这些例程序，观察所得到的信号的波形图。
并结合例程序应该完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序。
实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。
Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：-+-=)5cos(51)3cos(31)cos()(000t t t t x ωωω∑∞==10)cos()2sin(1n t n n nωπ其中，ω0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(ω0t)、cos(3ω0t)、cos(5ω0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title ，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。
抄写程序Q3_1如下： clear,%Clear all variablesclose all,%Close all figure windowsdt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t);N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N;x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; endsubplot(221)plot(t,x1)%Plot x1axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(w0.*t)')subplot(222)plot(t,x2)%Plot x2axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(3*w0.*t))')subplot(223)plot(t,x3)%Plot x3axis([-2 4 -2 2])grid on,title('signal cos(5*w0.*t))')执行程序Q3_1所得到的图形如下：Q3-2给程序Program3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
周期函数的傅里叶级数
t
A：脉冲幅度
2 ：三角函数公共周期 1
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数
T 2 T 2
bn=0
a
0
2 T
2 2 2 A f (t ) dt 2 Adt T T
2 T an T 2T 2
n sin 2A n 2 A T 2 A Sa( n ) f (t ) cos n1tdt sin n n T T T T T
设 f (t ) 是周期为T的函数
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
f ( t )dt
2 a0 T
2 an T 2 bn T
t1
t 1 T
t1
t 1 T
f ( t ) cos n 1 tdt f ( t ) sin n 1 tdt
a0 f (t ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t
An an bn
2 2
a0 An cos(n1t n ) 2 n 1
an cos n1t bn sin n1t an bn An cos n1t An sin n1t An An An cos(n1t n )
T 2 0
§ 周期信号的傅立叶级数
An
E
11
31
51
4E 25 2
4 T 2E 2 2 an t cos n1tdt (1 ) 0 T T T T T 8E t 1 2 2 2[ sin n1t 0 sin 1tdt] 0 n T n1 1
实验1信号的频谱图
1
…
…
-3 -2 -1 0 1 2 3
t
图 1-5 周期三角信号波形 2. 试用 MATLAB 分析上图中周期三角信号的频谱。当周期三角信号的周期和三角信号
的宽度变化时，试观察其频谱的变化。 3 傅里叶变换及其性质
在前面讨论的周期信号中，当周期T ® ¥ 时，周期信号就转化为非周期信号。当周期 T ® ¥ 时，周期信号的各次谐波幅度及谱线间隔将趋近于无穷小，但频谱的相对形状保持 不变。这样，原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会连成一片，形成非周期信号 的连续频谱。为了有效地分析非周期信号的频率特性，我们引入了傅里叶变换分析法。
10
15
20
图 1-4 周期矩形脉冲信号的傅里叶系数 从图中可以看出，脉冲宽度 t 越大，信号的频谱带宽越小；而周期越小，谱线之间间隔越 大，验证了傅里叶级数理论。 【练习】 1. 已知周期三角信号如图所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用 MATLAB 编程实现
其各次谐波的叠加，并验证其收敛性。
f (t )
=
2p T
，该信号可展开为三角形式的傅里
叶级数，即为：
f (t ) = a + a cosw t + a cos2w t + L + b sin w t + b sin w t + L
0
1
0
2
0
1
0
2
0
¥
å ( ) = a + 0
an
cosnw t 0
+
bn
sin nw t 0
n=1
其中，正弦项与余弦项的系数an 和bn 成为傅里叶系数，根据函数的正交性，得
2.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数
f (t )
−2
0
2
X
第
例2
不满足条件2的一个函数是 不满足条件2
11 页
π 2 f ( t) =sin ,( 0 <t ≤1) t
f (t)
1
L
−1
0
L
1 t
对此函数，其周期为1 对此函数，其周期为1，有
∫ f ( t) dt <1
1 0
X
第
例3
12 页
1 周期为1 不满足此条件。 周期信号 f ( t) = ,( 0 <t ≤1) ，周期为1，不满足此条件。 t
直流 基波 谐波
X
第
其他形式
余弦形式
f (t) = c0 + ∑cn cos(nω1t +ϕn )
n=1 ∞
15 页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)
−1
c0 = a0
cn = a +b
2 n
∞
2 n
an = cn cosϕn
正弦形式
b =−cn sinϕn n
n=1
−b ϕn = tg n an
f (t) = d0 + ∑ n sin(nω1t +θn ) d
∫ | f (t ) | dt < ∞
T
X
第
例1
10 页
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2，它 是这样组成的： 是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的 一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2 一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2，但不连续 点的数目是无穷多个。 点的数目是无穷多个。
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的1）学会利用MATLAB 分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB 分析周期信号的频谱特性。
2实验原理及实例分析2.1 周期信号的傅里叶级数（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。
）例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。
f(t)t(sec)图1 周期方波信号)(t f 的波形图解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)(00000 +++++=t t t t t t f ωωωωωπ其中，ππω220==T。
则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。
close all;clear all; clct = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:Nfk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);fk = fk + bn * sin(n * omega * t); endfigure; plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形'); String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];axis([-2 2 -3 3]);grid; title(String);disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']);f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 endt(sec)部分和的波形最大谐波数=1t(sec)部分和的波形最大谐波数=3t(sec)部分和的波形最大谐波数=5t(sec)部分和的波形最大谐波数=9t(sec)部分和的波形最大谐波数=19t(sec)部分和的波形最大谐波数=39t(sec)部分和的波形最大谐波数=79t(sec)部分和的波形最大谐波数=159图2 例1程序产生的图形程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.94642.2周期信号的频谱分析（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。
信号分析3.01 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
时域信号分解 频域信号分解
X
三角傅立叶级数 指数傅立叶级数
频域分析概念
第 第 8 8 页 页
提出以正弦信号或虚指数函数为基本信号进行信号 分解,从而引出信号的频域分析. 其思想:任意复杂的激励信号可分解为一系列不同幅 值、不同频率的正弦信号或虚指数信号的线性组合. 引出傅立叶变换概念 对周期信号
三维空间矢量 类 比
正交矢量集
C
2
A C1 A1 C2 A2 C3 A3
分解 正交函数集
A3
A2
A
C C
3 1
A1
2.信号空间
f (t )
c
j 1 j
j
(t )
n维空间
X
3.正交函数集
n个函数i(t) （i=1，…，n），若在区间( t1，t2)上满足:
1 t 0 T 积分限为-T/2 直流分量 a0 f (t ) d t 到T/2行吗? t0 T 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
bn An sin n
bn n arctan a n
f (t ) a0 [ An cos n cos( n1t ) An sin n sin( n1t )]
余弦形式
, bn , An , n随变量nw1变化，是nw1n的函数 信号的频域分析 n an
f (t )
画波形
A
O
T t
A
f (t ) A(sin t 1 sin 3t 1 sin 5t ) 3 5
周期信号的傅里叶级数(1)
sin 3t
1
3
sin
3
xˆ3
a3e j30t
a e j30t 3
2
3
cos3t
k k
5 : a5e j50t
1
5
5 : a5e j50t
cos5t j 1 5
1 cos5t j 5
sin
1
5
5t
sin 5t
xˆ5
a5e j50t
a5e j50t
2
5
cos5t
k k
2 : a2e j20t 0 2 : a2e j20t
为：
3
x(t) ak e jk 2t
k 3
其中， a0 1, a1 a1 1 4, a2 a2 1 2, a3 a3 1 3 求其三角函数傅里叶级数
注：大多数情况下，复指数和三角函数傅里叶 级数间的互换可以通过欧拉公式来完成
cos x e jx e jx , sin x e jx e jx
6
3、系统的特征函数(Eigenfunction)
若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子 常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为 系统的特征函数，而该幅度因子常数称为系统的特征 值(eigenvalue )。
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H就(zk是) 对应的特征值。
T
本证明供学有余力同学参考
x(t)
ak e jk0t x(t)e jn0t
a e e jk0t jn0t k
k
k
两边都从0 ~ T对t求积分：
T x(t)e jn0tdt T
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实验报告
课程名称信号与线性系统分析
实验名称周期信号的傅里叶级数和频谱分析实验类型验证（验证、综合、设计、创新）
3日实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的
1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义；
2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。
2实验原理及实例分析
周期信号可以再函数的区间里展成在完备正交信号空间中的无穷级数。
如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别成为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。
2.1周期信号的傅里叶级数
（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。
）
例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。
图1 周期方波信号)(t f 的波形图
解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为
)9sin 9
1
7sin 715sin 513sin 31(sin 4
)(00000 +++++=
t t t t t t f ωωωωωπ 其中，ππ
ω220==
T。
则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。
close all;clear all; clc
t = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;
y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:N
fk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);
fk = fk + bn * sin(n * omega * t); end
figure;plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形');
f(t)
t(sec)
String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];
axis([-2 2 -3 3]);grid;title(String);
disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']); f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 end
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
t(sec)
部分和的波形
图2 例1程序产生的图形
程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：
13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.9464
2.2周期信号的频谱分析
（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。
）
例2：已知周期矩形脉冲信号)(t f 的脉冲幅度为1=A ，宽度为τ，重复周期为T （角频率T
π
ω20=
）。
将其展开为复指数形式的傅里叶级数，研究周期矩形脉冲的宽度τ和周期T 变化时，对其频谱的影响。
解：根据傅里叶级数理论可知，周期矩形脉冲信号的傅里叶系数为
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=T n A T n Sa A T n Sa A n Sa A F n ττπτττπτττsinc 222
各谱线之间的间隔为T
π
2=
Ω。
图3画出了1=τ、10=T ，1=τ、5=T 和2=τ、10=T 三种情况下的傅里叶系数。
MATLAB 程序如下。
close all clear all clc
tau = 1; T = 10;
w1 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi); fn = tau * sinc(w1 / pi * tau / 2); subplot(311);stem(w1, fn);grid; title('\tau = 1,T = 10'); axis([-25 25 -0.5 2]); tau = 1; T = 5;
t(sec)
部分和的波形
w2 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi);
fn = tau * sinc(w2 / pi * tau / 2);
subplot(312);stem(w2,fn);grid;
title('\tau = 1, T = 5');
axis([-25 25 -0.5 2]);
tau = 2; T = 10;
w3 = (-8 * pi) : (2 * pi / T) : (8 * pi);
fn = tau * sinc(w3 / pi * tau / 2);
subplot(313);stem(w3,fn);grid;
title('\tau = 2, T = 10');
axis([-25 25 -0.5 2]);
τ = 1,T = 10
τ = 1, T = 5
图3 例2程序产生的波形图
3实验报告与要求
请简要说明对信号进行傅里叶级数展开的原理及其物理意义，简要说明Gibbs现象，并解释周期信号频谱与脉冲宽度τ和周期T之间的关系。
答：吉布斯现象：合成波所包含的谐波分量越多时，除间断点附近外，它月接近于原方波信号。
在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰越靠近间断点，单尖峰幅度并未减小。
可以证明，即使合成波形所含的谐波次数趋于无穷时，在间断点仍有9%的偏差，这种现象就叫做吉布斯现象。
周期信号频谱与脉冲宽度和周期间的关系：
由1，3图可见，周期相同时，相邻频谱线的间隔相同；脉冲宽度越窄，起频谱包络先第一个零点频率越高，信号带宽越宽；可见，信号的频带宽度与脉冲
宽度成反比。
有1,2图可见，这时的频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期增长时，相邻谱线的间隔减小，频谱变密。
如果周期信号无限增长，那么相邻谱线的间隔将趋于零，周期信号的离散频谱就过渡为飞周期信号的连续频谱。
实验总结：
学会了用MATLAB分析傅里叶级数的展开，并理解起含义。
并学会将周期函数转换成傅里叶级数，将方波信号变为傅里叶的展开，傅里叶的扩充，有信号信息推出原信号。
还验证了吉布斯现象；通过将周期信号变为复数形式的傅里叶展开式，弄清了周期信号频谱与脉冲宽度和周期间的关系。
并了解到信号波动的变化随系统信号的增加，位置越靠近端点。