平面向量的所有公式
平面法向量的计算公式
平面法向量的计算公式
另一种方法是使用平面上的三个点来计算法向量。
如果平面上
有三个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)，P3(x3, y3, z3)，那
么可以通过向量叉乘来计算法向量。
假设向量P1P2 = v1 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)，向量P1P3 = v2 = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)，则法
向量n = v1 × v2 = (i, j, k)，其中i、j、k分别是向量v1和
v2的分量。
这样得到的法向量n就是平面的法向量。
另一种情况是，如果已知平面的法向量n = (A, B, C)和平面
上一点P(x0, y0, z0)，也可以直接得到平面的方程为Ax + By +
Cz = D，其中D = Ax0 + By0 + Cz0。
这时平面的法向量就是n = (A, B, C)。
综上所述，平面法向量的计算公式可以根据平面的已知信息来
灵活选择使用点法式、向量叉乘或者直接读取法向量的分量来计算。
这些方法都可以帮助我们准确地计算出平面的法向量。
平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的坐标运算公式推导用已知向量表示未知向量
一、共面向量基本定理1.如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。
（x，y不全为零）2.平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
3.在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。
4.平面向量可以在任意给定的两个方向上分解，任意两个向量都可以合成一个给定的向量，即向量的合成和分解。
5.当两个方向相互垂直时，它们实际上是在直角坐标系中分解的，（x，y）称为矢量的坐标。
（矢量的起点是原点）所以这个定理为矢量的坐标表示提供了理论基础。
二、平面向量的坐标运算AB+BC=AC；ABAC=CB；(λμ)a=λ(μa)；(λ+μ)a= λa+μa；a·a=|a|²；a·b=b·a等。
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称（x，y）为向量的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。
三、向量的数量积的性质(1)a·a=∣a∣²≥0(2)a·b=b·a(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a·(b+c)=a·b+a·c(5)a·b=0<=>a⊥b(6)a=kb<=>a//b(7)e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ四、基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一．(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线；②有公共起点；③其长度及两两夹角已知．(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
五、用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：（1）要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；（2）把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
平面法向量公式
平面法向量公式
平面法向量是指平面上一组向量，也称平面方向向量，它指向平面正方向。
平面法向量公式指出三个不同的点之间的关系。
如果A，B，C是三个点，则平面法向量公式为： N= (B-
A)X(C-A)
算法法向量是根据空间几何学中夹角的定义引入的，它由夹角旁的对边构成，表示该夹角的正方向，也就是平面的正方向。
平面法向量的计算依赖于向量的知识，具体来说，要确定任意三点组成平面的法向量，首先需要确定三点坐标，例如三点 A，B，C的坐标分别为(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)。
法
向量表示为N，可以采用叉乘公式计算：N= (A2-A1)X(A3-
A1) 。
法向量表示多维物体旋转或平移的方向，在计算机图形学、力学、热力学中都广泛应用。
在计算机图形学中，法向量用于求解光照系统，确定视角变换，确定Bézier曲面等。
力学中，
可以利用法向量来计算滑动及接触方向，以及单位磁场和单位耗散磁场，确定磁力线分布等。
热力学中，可以利用法向量求解相变平衡的条件，确定温度、流量及压力等变量的关系。
总之，平面法向量公式被广泛应用于多个领域，有助于计算几何学中相当复杂的问题，可以用于碰撞检测，模拟对象的重力行为，以及物理系统的仿真等。
以上就是对平面法向量公式的介绍，从定义它的基本原理，到它在各领域的重要作用，都有了更深入的认识。
可以看出，平面法向量公式是一个有效的工具，可以用于重要的研究与实践，相信它会带给我们更多新的应用。
(完整版)高中平面向量公式及知识点默写
平面向量知识点及公式默写一，基本概念1，向量的概念： 。
2，向量的表示：。
3，向量的大小：（或称模）4，零向量：，记为 ，零向量方向是 。
5，单位向量：长度为 的向量称为单位向量，一般用e 、i 1=1=6，平行向量（也称共线向量）：方向 向量称为平行向量，规定零向量与任意向量 。
若a 平行于b ，则表示为a ∥b 。
7，相等向量： 称为相等向量。
若a 与b 相等，记为a =b8，相反向量： 称为相反向量。
若a 与b 是相反向量，则表示为a =b -；向量BA AB -=二，几何运算1，向量加法：（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， =+BC AB（3）两个向量和仍是一个向量；（4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）：= << = 2，减法：（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=-AC AB（2）两向量差依旧是一个向量；（3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+⇔=- 3，加法、减法联系：（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，DB AD AB =- （2=，则四边形ABCD 为矩形 4，实数与向量的积：（1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下： BAaCB A•aba babba +当0>λ时，a λ与a 方向 ；当0<λ时，a λ与a 方向 ；当0=λ时，=a λ当0=a 时，0=a λ；=（2）实数与向量相乘满足：=)(a μλ =+a )(μλ=+)(b a λ5，向量共线：（1）向量b 与非零向量a 共线的条件是：有且只有一个实数λ（2）如图，平面内C BA ,,使得0=++OC n OB m OA q ，且0=++q n m ，反之也成立。
数学向量公式总结
数学向量公式总结数学向量公式是高中数学中不可或缺的一个部分，它在数学的许多领域都有着广泛的应用，如几何、物理、工程等。
向量是有大小和方向的量，可以表示为一个有向线段，并且可以进行运算。
以下是一些常用的数学向量公式：1. 向量的模长公式：向量v的模长表示为|v|，其计算公式为：|v| = √(v1 + v2 + v3 + ... + vn)其中，v1、v2、v3、...、vn为向量v的各个分量。
2. 向量的单位向量公式：向量v的单位向量表示为v，其计算公式为：v = v / |v|其中，|v|为向量v的模长。
3. 向量的点积公式：向量v和向量w的点积表示为v·w，其计算公式为：v·w = v1w1 + v2w2 + v3w3 + ... + vnwn其中，v1、v2、v3、...、vn为向量v的各个分量，w1、w2、w3、...、wn为向量w的各个分量。
4. 向量的叉积公式：向量v和向量w的叉积表示为v×w，其计算公式为：v×w = (v2w3 - v3w2)i + (v3w1 - v1w3)j + (v1w2 - v2w1)k 其中，i、j、k为x、y、z轴的单位向量。
5. 平面向量的共线关系公式：若向量a、b、c共线，则有：a = kb + lc其中，k、l为实数。
6. 向量的投影公式：向量v在向量u上的投影表示为proj_u v，其计算公式为：proj_u v = (v·u) / |u|其中，|u|为向量u的模长。
除了上述公式，还有许多与向量相关的公式，例如向量的夹角、向量的平移、旋转等。
掌握这些公式对于解决数学问题、理解物理现象等都有着很大的帮助。
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结★定比分点定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。
（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式★三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线★三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy-xy=0。
★零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 a?b=0。
a⊥b的充要条件是 +yy=0。
★零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x，y)。
★向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x，y+y)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
★向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).★数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
平面向量重要公式
平面向量重要公式平面向量是指在同一平面上定点两点之间的差。
在平面向量的运算中，存在许多重要的公式，这些公式对于解决数学问题具有重要的指导作用。
下面将介绍一些平面向量的重要公式。
1.向量的加法：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)向量的加法满足交换律和结合律。
2.向量的数乘：设向量a=(a₁,a₂)，k为实数，则有：k*a=(k*a₁,k*a₂)数乘与向量的顺序可以交换。
3.向量的模：设向量a=(a₁,a₂)，则有：a，=√(a₁²+a₂²)向量的模等于其坐标的平方和的平方根。
4.向量的数量积（点积）：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a·b=a₁*b₁+a₂*b₂向量的数量积满足交换律和分配律。
5.向量的平行性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a//b⇔a₁/b₁=a₂/b₂两个向量平行的充分必要条件是它们的坐标成比例。
6.向量的垂直性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a⊥b⇔a·b=0两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为0。
7.向量的共线性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a、b共线⇔a₁/b₁=a₂/b₂=k（k为实数）两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。
8.向量的二次共线性：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，c=(c₁,c₂)，则有：a、b共线两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。
9.向量的夹角：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：cosθ = (a·b) / (，a，，b，)两个向量的夹角cosθ等于它们的数量积与它们的模的乘积之商。
10.平行四边形法则：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=c+d一个平行四边形的对角向量相等。
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平面向量的所有公式
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算xx：
交换律：
a+b=b+a；
结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=
0." 0的反向量为0
AB-AC=
C
B.即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=
0。
"
注：
按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=
0。
"
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算xx
结合律：
(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：
(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：
λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：
①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积
定义：
已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：
两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：
a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算xx
a•b=b•a（交换律）；
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a•b=
0。
"
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：
(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：
(a•b)^2≠a^2•b^
2。
"
12、向量的数量积不满足消去律，即：
由a•b=a•c (a≠0)，推不出b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积
定义：
两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。
若a、b 不共线，则a×b的模是：
∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：
垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b共线，则a×b=
0。
"
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=
0。
"
a‖b〈=〉a×b=
0。
"
向量的向量积运算xx
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：
向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时，左边取等号；
②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
7、定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
设P
1、"P2是直线上的两点，P是l上不同于P
1、"P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则
A、
B、C三点共线
9、三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心10、"向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=
0。
"
零向量0平行于任何向量。
1
1、"向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a•b=
0。
"
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=
0。
"
零向量0垂直于任何向量.2。